4.1.2 终边相同的角 课件-2025-2026学年高一上学期高教版中职数学基础模块上册

4.1.2 终边相同的角 基础模块 高教版（第三版） 学习目标 理解终边相同的角的概念，能准确写出与已知角终边相同的角的集合。 掌握终边相同的角的表示方法，会进行简单的角度计算与角度关系的推导。 能够运用终边相同角的知识解决一些基本的数学问题，如判断角的象限归属、求指定范围内终边相同的角等。 重难点 终边相同的角的概念理解；终边相同的角的集合表示方法及应用. 重 准确地用集合表示所有终边相同的角. 难 知识回顾 任意角 角的分类： 角的旋转方向 正角 负角 零角 顺时针 逆时针 不旋转 角的分类： 角的终边位置 界限角 第n象限的角 坐标轴 第n象限 分组探讨 作出角： 分组讨论 分组探讨 作出角： 分组讨论 （1）请同学们观察其终边有何联系？ （2）分析-330°，390°，与30°在数值上有什么关系？ 思考 分组探讨 这三个角度，尽管它们的旋转方向、它们的大小不同，但它们的终边是相同的。 由此可知, 在平面直角坐标系中, 如果两个角相等, 则两个角的终边必然相同; 反之不一定成立． 分组探讨 都可以看做成30°与k个(k ∈Z) 360°的和！ 新知探究 我们把叫做终边相同的角，你能用集合语言描述终边相同的角吗？ 新知探究 终边相同的所有角 一般地，所有与 终边相同的角，连同 在内，可以组成一个集合，即 任意的与 终边相同的角都可以表示成 与整数个周角（360°的整数倍）的和. 此条件不能省略 概念理解 终边相同的所有角 从几何角度看， 表示角的终边按一定的方向旋转的圈数，取正整数时，逆时针旋转；取负整数时，顺时针旋转；时，没有旋转. 用数量关系表示， 就是“终边相同的角相差的整数倍”. 例题解析 例1 写出与−950°角终边相同的所有角构成的集合,并找出0°~360°范围内与其终边相同的角. 与−950°角终边相同的所有角构成的集合为 S={β|β＝−950°+ k 360°,k∈Z }. 当k=3时，β＝−950°+3 360° = 130°, 故在0°~360°范围内, 与−950°角终边相同的角是130°角． 解 【选自教材例3】 因为−950°与130°终边相同, 集合 S={β|β=−950°+k·360°, k∈Z}也可写成S={β|β=130°+k·360°, k∈Z}. 例题解析 例2 在0°～360°之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角. （1）600°；（2）-230°；（3）-890˚ 解 （1）因为600°=240°+360°，所以600°角与240°角终边相同，是第三象限角; （2）因为-230°=130°-360°，所以-230°角与130°角终边相同，是第二象限角; （3）因为-890˚=190˚-3×360˚，所以-890˚角与190˚角终边相同，是第三象限角. 例题解析 例3 写出终边在射线y=x(x≥0)上的角组成的集合． 解 在0°~360°范围，终边在射线y=x(x≥0)上的角为45°角， 因此终边在射线 y=x(x≥0)上的角组成的集合为 S={β|β=45°+k·360°， k∈Z} ． 【选自教材例4】 例题解析 例3’ 写出终边在射线y=x(x≤0)上的角组成的集合． 解 在0°~360°范围，终边在射线y=x(x≤0)上的角为135°角， 因此终边在射线 y=x(x≤0)上的角组成的集合为 S={β|β=135°+k·360°， k∈Z} ． 例题解析 例4 写出终边在y 轴上的角组成的集合． 解 在范围内，终边在轴上的角有两个，即角. 所有与90°角270°角终边相同的角组成的集合分别为 S1={β|β=90°+ k·360°， k∈Z}， S2={β|β=270°+ k·360°， k∈Z}． 终边是轴非负半轴 终边是轴非正半轴 【选自教材例5】 例题解析 例4 写出终边在y 轴上的角组成的集合． 解 在范围内，终边在轴上的角有两个，即角. S=S1∪S2 ={β|β= 90°+ k·360°， k∈Z}∪{β|β=270°+ k·360°， k∈Z} = {β|β= 90°+ 2k·180°， k ∈Z}∪{β|β=90°+(2k+1) ·180°， k∈Z} = {β|β=90°+n·180°， n∈Z}． 例题解析 例5 写出终边在轴上的角组成的集合． 解 小组合作 随堂练习 1.已知角α是第一象限角，则角−α的终边在第_______象限． 解析 四 【选自教材练习第1题】 随堂练习 2.与1560°角终边相同的角的集合中，最小的正角是_____ ． 解析 【选自教材练习第2题】 随堂练习 3. 写出与下列角终边相同的所有角组成的集合，并在0°～360° 范围内找出与其终边相同的角． (1) 420°； (2) −510°； (3) −73°； (4) 855°. 解析 （1）与 420°角终边相同的集合: 在0°~360°范围内，终边相同的角为60° 【选自教材练习第3题】 随堂练习 3. 写出与下列角终边相同的所有角组成的集合，并在0°～360° 范围内找出与其终边相同的角． (1) 420°； (2) −510°； (3) −73°； (4) 855°. 解析 （2）与 －510°角终边相同的集合: 在0°~360°范围内，终边相同的角为210° 【选自教材练习第3题】 随堂练习 3. 写出与下列角终边相同的所有角组成的集合，并在0°～360° 范围内找出与其终边相同的角． (1) 420°； (2) −510°； (3) −73°； (4) 855°. 解析 （3）与 －73°角终边相同的集合: 在0°~360°范围内，终边相同的角为287° 【选自教材练习第3题】 随堂练习 3. 写出与下列角终边相同的所有角组成的集合，并在0°～360° 范围内找出与其终边相同的角． (1) 420°； (2) −510°； (3) −73°； (4) 855°. 解析 （4）与 855°角终边相同的集合: 在0°~360°范围内，终边相同的角为135° 【选自教材练习第3题】 随堂练习 解析 4. 写出终边在x轴上的角组成的集合． 【选自教材练习第4题】 随堂练习 5. 以下说法，其中正确的有（ ） ①是第四象限角； ②是第三象限角； ③是第二象限角； ④是第一象限角. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 解析 ①②③④都正确. 随堂练习 解析 6. （多选）与角终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 与角终边相同的角的集合为 当时， 当时， 课后小结 终边相同的所有角 一般地，所有与 终边相同的角，连同 在内，可以组成一个集合，即 任意的与 终边相同的角都可以表示成 与整数个周角（360°的整数倍）的和. 此条件不能省略 课后作业 1.书面作业：完成《学习指导与练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾; 3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容. $