大题专项 专题01 函数（讲义）-2026版山东省（春季高考）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版山东省（春季高考）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及山东省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版山东省（春季高考）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第01个专题，内容为函数。 2026版山东省（春季高考） 《数学考纲专题练》 专题01 函数 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一、考纲解读 1．理解函数的概念；了解函数的三种表示方法； 2．掌握分段函数的含义； 3．能够利用分段函数解决一些简单的实际问题； 4．理解函数的单调性和奇偶性的概念； 5．能判断一些简单函数的单调性和奇偶性； 6．能利用函数的奇偶性与图象的对称性的关系描绘函数图象； 7．掌握一元二次函数的图象与性质； 8．分段函数的应用； 9．二次函数性质的应用； 10．了解根式的概念；理解分数指数幂和有理数指数幂的运算性质； 11．了解幂函数，其中a的取值仅限于集合{1,2,3，-1，-2，}； 12．理解对数的概念，了解积、商、幂的对数的运算法则； 13．理解指数函数、对数函数的概念，掌握指数函数、对数函数的图象和性质，并会解简单的指数方程和对数方程； 14．了解指数函数和对数函数在实际问题中的简单应用． 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2023 解答题 26 二次函数求解析式、证明函数的奇偶性 7 （1）二次函数求解析式 （2）二次不等式恒成立 （3）函数的奇偶性 （4）函数的单调性 （5）对数函数求解析式 2024 解答题 26 对数函数（求参数的值、一元二次不等式恒成立问题） 7 2025 解答题 26 抽象函数问题（由函数的单调性求参数范围、证明抽象函数的单调性） 7 三、考点预测 预估2026年关于函数方面的大题考点如下： · 二次函数、一元二次方程与不等式 · 函数的单调性和奇偶性 · 指数函数与对数函数 四、知识梳理 知识点1 函数的有关概念 1、函数的概念：一般地，设是非空的数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作. 2、函数的三要素： （1）在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域； （2）与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。显然，值域是集合B的子集． （3）函数的对应关系：. 3、相等函数与分段函数 （1）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． （2）分段函数：在函数定义域内，对于自变量取值的不同区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数。分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。分段函数虽然是由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交。 知识点2 函数的单调性 1、单调函数的定义 设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值， 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数。 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。 单调性的图形趋势（从左往右） 上升趋势 下降趋势 2、函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 【注意】 （1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题， 故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． （2）单调区间D⊆定义域I. （3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大； （4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； 3、函数单调性的性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. （7）复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]， 若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单调函数 若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数 若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同增异减”． 知识点3 函数的奇偶性 1、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数是奇函数 关于原点对称 2、函数奇偶性的几个重要结论 （1）为奇函数⇔的图象关于原点对称；为偶函数⇔的图象关于y轴对称． （2）如果函数是偶函数，那么． （3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． （4）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． （5）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 知识点4 函数的周期性 1、周期函数的定义 对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期． 2、最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期． 知识点5 函数的对称性 1、关于线对称 若函数满足，则函数关于直线对称，特别地，当a＝b＝0时，函数关于y轴对称，此时函数是偶函数． 2、关于点对称 若函数满足，则函数关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，，则函数关于原点对称，此时函数是奇函数． 知识点6 根式与指数幂 1、根式 （1）一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且。 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． （2）的次方根的表示 当n是奇数时，，的值仅有一个，记为 当n是偶数，①时，的有两个值，且互为相反数，记为； ②时，不存在 （3）根式的性质（，且）：； 2、分数指数幂 （1）正分数指数幂：规定： （2）负分数指数幂：规定： （3）性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3、指数幂的运算性质 （1）无理数指数幂：一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数． 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． （2）指数幂的运算性质 ①． ②． ③． 知识点7 指数函数及其性质 1、指数函数的概念 一般地，函数（且）叫做指数函数， 其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． 2、指数函数的图象与性质 图象 图像特征 在轴的上方，过定点 当逐渐增大时，图象逐渐上升 当逐渐增大时，图象逐渐下降 性质 定义域 值域 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 范围 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 3、指数函数的常用技巧 （1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情况讨论； （2）指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数（1）；（2）；（3）；（4）的图象， 底数与1的之间的大小关系为； 规律：在轴右（左）侧图象越高（低），其底数越大。 （3）指数函数与的图象关于轴对称。 知识点8 对数与对数运算 1、对数的概念与性质 （1）对数的概念：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式。 （2）对数的性质 对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN(a>0，且a≠1)； ①loga1＝0，②logaa＝1，③alogaN＝N，④ logaaN＝N (a>0，且a≠1). 指数式与对数式的关系 2、对数的的运算法则 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0 ①loga(M·N)＝logaM＋logaN ②loga＝logaM－logaN ③logaMn＝nlogaM(n∈R) 3、换底公式 （1）logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0) 选用换底公式时，一般选用e或10作为底数。 （2）换底公式的三个重要结论 (1)logab＝； (2)logambn＝logab； (3)logab·logbc·logcd＝logad. 知识点9 对数函数及其性质 1、对数函数的概念 （1）定义：函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为． （2）特殊的对数函数 ①常用对数函数：以10为底的对数函数. ②自然对数函数：以无理数e为底的对数函数. 2、对数函数的图象与性质 图象 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0) 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 在(0，＋∞)上为增函数 在(0，＋∞)上为减函数 3、对数函数图象的常用结论 （1）函数y＝logax与的图象x轴对称； （2）对数函数的图象与底数大小的关系 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数， 故0＜c＜d＜1＜a＜b. 由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 知识点10 幂函数及其性质 1、幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． （1）幂函数的特征：xα的系数是1；xα的底数x是自变量；xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． （2）幂函数的图象：同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，的图象(如图)． 2、幂函数的性质 （1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； （2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； （3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； （4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 2、二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 图象(抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上是减函数； 在上是增函数 在上是增函数； 在上是减函数 知识点11 函数零点与二分法 1、函数零点的定义 （1）函数零点的概念：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点． （2）函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． 【注意】函数的零点不是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点，而是交点的横坐标， 也就是说函数的零点不是一个点，而是一个数． 2、函数零点存在定理 （1）定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0， 那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0， 这个c也就是方程f(x)＝0的根． （2）两个重要推论 推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点. 推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则 3、二分法 （1）二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． （2）给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤 ①确定零点的初始区间，验证 ②求区间的中点 ③计算，进一步确定零点所在的区间： 若（此时），则就是函数的零点； 若（此时），则令； 若（此时），则令. ④判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）~（4） 【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点； 五、经典例题 【考试题型1】函数及其性质 例1．已知，且是定义在上的偶函数． (1)求a的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明． 【答案】(1)1 (2)函数在上单调递增；证明见解析 【分析】（1）由偶函数的性质令可得； （2）由函数单调性的定义证明即可. 【详解】（1）因为，且是定义在上的偶函数， 所以， 即对任意恒成立， 解得. （2）函数在上单调递增； 证明：由（1）可得， 任取，且， 则 因为，所以，，，，， 所以，即， 所以函数在上单调递增. 例2．已知定义域为的函数是奇函数. (1)求的值； (2)判断并证明的单调性； 【答案】(1) (2)为上的减函数，证明见解析 【分析】（1）根据求出，并利用奇偶性的定义检验； （2）利用单调性的定义求证. 【详解】（1）因为定义域为的奇函数，则，解得， 经检验此时满足， 则符合题意. （2）函数为上的减函数， 证明如下：对于任意实数，令，则， 因， 则 又， 则，即， 故为上的减函数. 例3．已知二次函数. (1)若，求在上的值域； (2)当时，在上恒成立，求b的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，列出方程组，求得的值，得到函数的解析式，结合二次函数的性质，即可求解； （2）根据题意，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：因为，可得，解得， 所以，可得图象的对称轴为直线，且开口向上， 所以在上单调递增， 又因为，所以在上的值域为. （2）解：当时，可得. 因为在上恒成立，则满足， 解得，所以实数的取值范围为. 例4．已知幂函数的图象过点． (1)求此函数的解析式，并判断奇偶性； (2)设函数，讨论的单调性，并比较与的大小． 【答案】(1)，非奇非偶函数 (2)答案见解析 【分析】（1）根据幂函数的定义，结合代入法进行求解即可； （2）根据偶函数单调性的性质，结合单调性的定义进行求解即可. 【详解】（1）设该幂函数的解析式为， 因为幂函数的图象过点， 所以，显然该幂函数的定义域为非负实数集， 所以该幂函数是非奇非偶函数； （2）是上的增函数，理由如下： 设是上任意两个实数，且，则有， ， 因为， 所以， 所以，即， 所以是上的增函数， ， 因为， 所以函数是偶函数， 所以，， 因为，是上的增函数， 所以. 例5．已知幂函数的图象经过点. (1)证明：. (2)求函数在上的值域. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设，求出解析式，继而即可证明； （2）利用单调性求值域即可. 【详解】（1）证明：设幂函数为， 则，解得，所以. 因为，所以. （2），因为在上均单调递减， 所以在上单调递增， 所以，， 所以在上的值域为. 【考试题型2】指、对、幂函数 例1．完成下列各题： (1)解下列关于的不等式：； (2)已知函数定义域为R，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用指数函数单调性，转化为一元二次不等式求解. （2）利用对数函数定义，将问题转化为恒成立求解. 【详解】（1）由，得， 解得或，所以原不等式的解集为. （2）由函数定义域为R，得恒成立， 当时，成立，则； 当时，，解得， 所以的取值范围是. 例2．已知集合，不等式的解集为集合B. (1)当时，求，； (2)设命题，命题，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】(1)或，； (2). 【分析】（1）解一元二次不等式、指数不等式求集合，再由集合的交、补运算求结果； （2）由题意是的真子集，利用包含关系列不等式求参数范围即可. 【详解】（1）因为， 当时，， 所以或，； （2）因为p是q的充分不必要条件，所以是的真子集， 因为，. 所以，所以， 则的取值范围是. 例3．已知函数（，且），且． (1)求 (2)若，求实数的取值范围； (3)求使成立的的值． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】（1）利用对数运算求出； （2）再利用函数在其定义域上的单调性解不等式，得，解出答案即可； （3）代入解析式解得，再解该方程即得结果. 【详解】（1），则，解得， . （2）是上的增函数， 由，得，解得. 因此，实数的取值范围是. （3），∴，化简得， 解得或. 例4．已知集合 (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数函数的单调性，结合一元二次不等式的解法、并集的定义进行求解即可； （2）根据一元二次不等式的解法，结合必要条件的定义、子集的性质进行求解即可. 【详解】（1）， 当时，， ； （2）由（1）可知， ， 若“”是“”的必要条件， 则 所以，即， 故a的范围为 例5．已知幂函数的图象过点 (1)求函数的解析式； (2)若，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）利用基本不等式直接求解即可. 【详解】（1）解：因为幂函数的图象过点， 所以，解得， 所以 （2）解：因为， 所以， 所以,当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为 六、专题归纳小结 【专题内容总结1函数及其性质】 1.重点考察函数的定义域、值域和解析式的求法 2.熟练判断函数的单调性和奇偶性，并牢记判断公式和技巧 【专题内容总结2指、对、幂函数】 3.掌握指、对、幂函数的区别与联系 4.熟练运用对数运算公式 5.熟练判断对数函数的定义域、单调性，并会求出其解析式 七、强化拓展 1．已知函数（且）. (1)若，求a； (2)若在区间上的最大值与最小值之差为1，求a. 2．已知二次函数满足：，． (1)求二次函数的解析式； (2)求不等式的解集． 3．已知函数的图象过点和点． (1)求实数a，b的值并写出函数的解析式； (2)求的定义域， (3)求的值域． 4．已知函数，且. (1)求函数的解析式，判断函数的奇偶性并证明； (2)用定义证明在区间上单调递减； (3)求函数在区间上的值域.（直接写出结果） 5．已知幂函数在上单调递增． (1)求实数的值： (2)若函数在上的最小值为1，求实数的值． 6．已知函数 是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式：； 7．已知全集，集合，． (1)当时，求； (2)若“”是“”成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 8．已知集合. (1)求； (2)求. 9．已知集合，函数的定义域为集合，集合． (1)求； (2)若，求实数的取值范围． 10．已知函数． (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性并予以证明． 1【答案】(1)4 (2)或. 【分析】（1）代入解析式，由对数的运算解得的值； （2）对数函数单调，由题意建立方程，解得的值； 【详解】（1）， ∵， ∴， 即，∴，∴，∴. （2）∵函数在区间上单调， ∴，即， ∴或， ∴或. 2【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）设出二次函数解析式，利用待定系数法求解. （2）由（1）的结论列出一元二次不等式，再求解该不等式. 【详解】（1）设二次函数，由，得，则； 由，得， 即，因此，解得，， 所以二次函数的解析式为. （2）由（1）知，，不等式， 即，解得或， 所以原不等式的解集为或. 3【答案】(1)，； (2)定义域为； (3)值域为. 【分析】（1）根据给定条件，列出方程组求解即可. （2）利用函数有意义求出定义域. （3）由（1）中解析式，利用基本不等式求出值域. 【详解】（1）由函数的图象过点和点，得， 则，，联立解得， 所以，函数的解析式为. （2）由（1）知，则，解得， 所以函数的定义域为. （3）当时，；当时，， 而，当且仅当时取等号，因此，即， 所以的值域为. 4【答案】(1)，奇函数，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）运用代入法，结合奇函数的定义进行判断证明即可； （2）根据函数单调性的定义进行运算证明即可； （3）根据奇函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）由题设，，解得，故， 函数为奇函数，证明如下： 定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数为奇函数； （2）由（1）知，， 任取，且， 则， 因为，所以，， 则，故， 则在区间上单调递减； （3）由（1）（2）知，在上单调递减，且函数为奇函数， 所以在上递减，则函数在上递减， 而，， 故在区间上的值域为. 5【答案】(1)1 (2)1 【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性求解； （2）根据二次函数的性质讨论求解即可. 【详解】（1）由题可得，即，解得或1， 当时，在上单调递减，不合题意； 当时，在上单调递增，合题意. 综上，. （2）由（1），所以，，对称轴， 当时，在上单调递增，所以，不合题意； 当时，在上单调递减，所以， ，解得，不合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，又，所以； 综上，. 6【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 (3). 【分析】（1）根据奇函数的性质和求解即可； （2）利用函数单调性定义证明即可； （3）首先利用奇偶性将题意转化为解不等式，再结合的单调性求解即可. 【详解】（1）是定义在上的奇函数，，则， 又，则 ，，经验证此时为奇函数. （2）在上单调递增 证明：任取且， ， ，且，，， 所以，即， 所以在上单调递增. （3）在上是奇函数且单调递增， 由得， 解得：， 不等式的解集为. 7【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对数函数的性质解不等式，再结合并集的定义，即可得解； （2）由题意得⫋，然后列不等式组即可求出的取值范围. 【详解】（1），解得，故， 若，则，因此. （2）若“”是“”成立的必要不充分条件，可得⫋， 因为，， 故，解得， 故. 8【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据绝对值不等式解法和指数函数不等式解法即可得到； （2）根据补集和并集的定义即可得到答案. 【详解】（1），所以， ，所以 . （2）由（1）可知， 所以. 9【答案】(1)； (2). 【分析】（1）解分式不等式求集合，利用对数和根式的性质求函数的定义域得集合，再由集合的交运算求结果； （2）根据集合的包含关系，讨论、列不等式求参数范围. 【详解】（1）由题设， 由，可得，即， 所以； （2）由，若，则， 若，则，可得， 综上，. 10【答案】(1) (2)为奇函数，证明见解析 【分析】（1）根据对数函数的真数大于0列不等式，求解即得. （2）根据函数奇偶性的判断方法，求得与之间的关系，求解即可. 【详解】（1）由题意得：且， 解得，所以函数定义域为. （2）为奇函数，证明如下： 因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为奇函数. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $