（温故知新-寒假专供）专题03 简易方程（知识回顾+十四大重点难点题型讲练+拔尖训练 共43题）-人教版数学五年级上册培优讲义

专题03 简易方程 （知识回顾+十四大重点难点题型讲练+拔尖训练 共43题） 【解析版】 知识回顾 2 知识点01：用字母表示数量关系 2 知识点02：用字母表示运算定律和计算公式 2 知识点03：解决形如a±bx的实际问题 2 知识点04：解决形如ax±bx的实际问题 2 知识点05：方程的意义 2 知识点06：等式的性质 3 知识点07：方程的解 3 知识点08：解简单的方程 3 知识点09：解稍复杂的方程 3 知识点10：列方程解决实际问题 4 知识点11：x±bx=c的应用 4 知识点12：ɑx±bx=c的应用 4 题型讲练 4 重点难点题型一：用字母表示数、数量关系 4 重点难点题型二：用字母表示运算定律及计算公式 6 重点难点题型三：三用字母表示稍复杂的数量关系 7 重点难点题型四：含有字母式子的化简与求值 9 重点难点题型五：等式的认识及列等量关系式 11 重点难点题型六：方程的认识 12 重点难点题型七：列简易方程 14 重点难点题型八：应用等式的性质1和2解方程 15 重点难点题型九：解含括号的方程 17 重点难点题型十：解等号两边都有未知数的方程 19 重点难点题型十一：方程的检验 20 重点难点题型十二：列方程解含一个未知数的问题 22 重点难点题型十三：列方程解含两个未知数的问题 23 重点难点题型十四：列方程解决稍复杂的实际问题 24 拔尖训练 26 知识点01：用字母表示数量关系 1. 像a，x，n，m……这样的字母或□、△……这样的符号都可以用来表示数。 2. 用字母a，x，n，m……表示数时，应注意字母的取值范围。 3. 将字母用其所取的值代替，可以求含有字母式子的值。 知识点02：用字母表示运算定律和计算公式 运算定律： 加法交换律 α+b=b+α 加法结合律 α+b+c=α+(b+c) 乘法交换律 αb=bα 乘法结合律 (αb)c=α(bc) 乘法分配律 (α+b)c=αc+bc 计算公式： S=αb S=α2 C=2(α+b) C=4α 知识点03：解决形如a±bx的实际问题 实际问题中的数量关系，如速度×时间=路程，单价×数量=总价等，用字母表示时，认真理解题意，明确字母表示的量，正确地列出式子。 将已知数据代入计算公式求值，应注意还原省去的运算符号。 知识点04：解决形如ax±bx的实际问题 ac+bc=(a+b)c 在利用乘法分配律对含字母的式子进行化简时，要先判断字母是否相同，若相同，再将字母前面的数进行加减。 知识点05：方程的意义 含有未知数的等式叫做方程，如x+8=92，6y=400。 方程都是等式，但等式不一定都是方程。 知识点06：等式的性质 等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 知识点07：方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 形如x±ɑ=b 的方程的解法: 知识点08：解简单的方程 形如ɑx=b的方程的解法: 解：ɑx÷ɑ=b÷ɑ x=b÷ɑ 形如ɑ−x=b的方程的解法: 解：ɑ−x+x=b+x b+x =ɑ x =ɑ−b 知识点09：解稍复杂的方程 形如ɑx±b=c的方程的解法： 如解形如b（x±ɑ）=c的方程，可以把（x±ɑ）看作一个整体，先求出这个整体是多少，再求x是多少；或利用乘法分配律将其化为bx±ɑb=c的形式，再解方程。 解稍复杂的方程时，要灵活运用等式的基本性质求解。 知识点10：列方程解决实际问题 列方程解决实际问题的步骤: （1）找出未知数，用字母x表示； （2）分析实际问题中的数量关系，找出等量关系，列方程； （3）解方程并检验作答。 解形如ɑx±b=c的方程，可以把ɑx看作一个整体，先求出这个整体是多少，再求x是多少。 知识点11：x±bx=c的应用 1. 用方程解含有两个未知数的实际问题，可设其中的1倍数（标准量）为x，另一个未知数则用含有x的式子表示出来。 2. 形如ɑx±bx=c的方程的解法： 知识点12：ɑx±bx=c的应用 通过画线段图可以清楚地分析数量之间的相等关系，结合常用的数量关系式能帮助我们快速列出方程。 行程问题：根据速度、时间和路程三者之间的数量关系列方程解答。 重点难点题型一：用字母表示数、数量关系 【例1】（25-26五年级上·河北邢台·月考）林业人员在某地种了m行柏树，每行柏树有20棵，种的松树的行数比柏树多6行，每行松树有18棵。 （1）用含有字母的式子表示柏树和松树一共种的棵数。 （2）当m＝8时，求柏树和松树一共种了多少棵。 【答案】（1） （2） 412棵 【思路引导】（1）根据题意，柏树有 m 行，每行 20 棵，因此柏树棵数为 20×m 棵，即20m 棵。松树行数比柏树多 6 行，即松树行数为 （m＋6） 行，每行 18 棵，因此松树棵数为 18（m＋6） 棵。总棵数为柏树棵数与松树棵数之和，即 20m＋18（m＋6）。再用乘法分配律简化表达式。 （2）当 m＝8 时，代入简化后的表达式计算，先算乘法再算加法，得出总棵数。 【完整解答】（1）柏树的棵数是：20m 棵 松树的棵数是： 18（m＋6） 棵 柏树和松树一共种的棵数是： 20m＋18（m＋6） ＝20m＋18m＋108 ＝38m＋108 答：用 38m＋108表示柏树和松树一共种的棵数。 （2）当 m＝8 时， 38×8＋108 ＝304＋108 ＝412（棵） 答：当m＝8时，柏树和松树一共种了 412 棵。 【变式】（25-26五年级上·河南新乡·月考）搭房子，如下图，第6幅图中有( )根小棒，第20幅图中有( )根小棒。          【答案】 25 81 【思路引导】第一幅图：搭房子需要5根小棒；第二幅图：搭房子需要9根小棒；第三幅图：搭房子需要13根 小棒；由此可知，后一幅图搭房子需要小棒的根数比前一幅图搭房子多4根小棒。 第一幅图搭房子需要5根小棒，可以写成：4×1＋1； 第二幅图搭房子需要9根小棒，可以写成：4×2＋1； 第三幅图搭房子需要13根小棒，可以写成：4×3＋1； …… 由此可知，第n幅图需要小棒（4n＋1）根小棒；据此求出当n＝6时，需要小棒的根数；n＝20时，需要小棒的根数，据此解答。 【完整解答】根据分析可知，第n幅图需要小棒（4n＋1）根。 当n＝6时： 4×6＋1 ＝24＋1 ＝25（根） 当n＝20时： 4×20＋1 ＝80＋1 ＝81（根） 第6幅图中有25根小棒，第20幅图中有81根小棒。 重点难点题型二：用字母表示运算定律及计算公式 【例2】（25-26五年级上·河北邢台·月考）根据运算律在（      ）里填上适当的数或字母。 5a＋5a＝[( )＋( )]×( )  8（x－6）＝( )×( )－( )×( ) 15·a·b＝15·[( )·( )]   125＋x＋75＝x＋[( )＋( )] 【答案】 a a 5 8 x 8 6 a b 125 75 【思路引导】（1）利用乘法分配律的逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c，据此解答即可； （2）利用乘法分配律（a－b）×c＝a×c－b×c，据此解答即可； （3）利用乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c），据此解答即可； （4）利用加法结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c），据此解答即可； 【完整解答】根据分析： 5a＋5a＝（a＋a）×5＝（5＋5）×a 8（x－6）＝8×x－8×6＝x×8－6×8 15·a·b＝15·（a·b）＝15·（b·a） 125＋x＋75＝x＋（125＋75）＝x＋（75＋125） 【变式】（25-26五年级上·全国·单元测试）证明与应用：这个公式叫作平方差公式。如何验证这个公式是否正确，小聪想到了学习运算律的时候利用“举例论证”的方法来验证，小慧想到了利用“数形结合”的方法来验证。 （1）将小聪笔记的计算过程补充完整，并画图表示小慧的转化方法。 （2）运用平方差公式，简便计算： 【答案】（1）见详解； （2）400 【思路引导】（1）将a＝5，b＝3分别代入a2－b2和（a＋b）×（a－b）中，计算出结果，据此可推导出平方差公式；根据“正方形面积＝边长×边长”可知大正方形的面积为a2，小正方形的面积为b2，那么a2－b2就表示涂色部分的面积，涂色部分可以拼成一个长为（a＋b）、宽为（a－b）的大长方形，据此画图表示出平方差公式。 （2）根据a2－b2＝（a＋b）×（a－b），代入数据计算即可。 【完整解答】（1）当a＝5，b＝3时， a2－b2 ＝52－32 ＝25－9 ＝16 （a＋b）×（a－b） ＝（5＋3）×（5－3） ＝8×2 ＝16 所以a2－b2＝（a＋b）×（a－b）。 原来涂色部分的面积表示为a2－b2，将上面涂色部分A移动到B位置，移动后形成一个大的长方形，长为（a＋b）、宽为（a－b），因为移动前后涂色部分的面积不变，所以a2－b2＝（a＋b）×（a－b）。 （2）1012－992 ＝（101＋99）×（101－99） ＝200×2 ＝400 重点难点题型三：三用字母表示稍复杂的数量关系 【例3】24-25五年级上·西藏林芝·期末）厦门山海健康步道云海线总长约23千米，起于邮轮码头，止于观音山梦幻沙滩，央宗从邮轮码头出发，扎西从观音山梦幻沙滩出发，同时相向而行，4小时后相遇，________，扎西平均每小时行几千米？若算式是23÷4－a，横线上应补充的信息是（    ）。 A．央宗步行的平均速度是a千米/时 B．央宗走了a小时 C．扎西步行的平均速度是a千米/时 D．扎西走了a小时 【答案】A 【思路引导】分析算式：23÷4－a，其中23千米是指相向而行的总路程，同时出发，相向而行4小时相遇，则23÷4表示央宗和扎西每小时走的路程总和，求扎西平均每小时行多少千米，用央宗和扎西平均每小时走的路程总和－央宗平均每小时走的路程＝扎西平均每小时行几千米，所以算式是：23÷4－a，这个a就表示央宗步行的平均速度是a千米/时，据此分析。 【完整解答】扎西平均每小时行（23÷4－a）千米，则a表示央宗步行的平均速度。 横线上应补充的信息是：央宗步行的平均速度是a千米/时。 故答案为：A 【变式】（23-24六年级下·全国·课后作业）某运输公司规定：办理托运，当一件物品称重后不超过16千克时，需付基础费30元和保险费b元；当一件物品称重后超过16千克时，除了付以上基础费和保险费外，超过部分每千克还需付c元超重费。（为限制过重物品的托运） （1）用含有字母的式子表示托运物品的质量a（a＞18）千克与支付费用y元之间的关系。 （2）甲、乙、丙三人各托运了一件物品，物品的质量与支付费用如下表： 物品质量/千克 12 18 25 支付费用/元 33 39 60 请根据上面提供的信息可以确定b＝（    ），c＝（    ）。 （3）在物品可拆分的情况下，用不超过105元的费用能否托运50千克物品？若能，请你设计出一种托运方案，并求出支付费用；若不能，请说明理由。 【答案】（1）y＝30＋b＋（a－16）c （2）3；3 （3）见详解 【思路引导】（1）已知一件物品重量不超过16千克时，需付基础费30元＋保险费b元；质量a＞18，则应付基础费＋保险费＋超重费，超了（18－16）千元，据此列出关系式即可。 根据当一件物品称重后不超过a（a＜16）千克时，需付基础费30元和保险费b元，所以12千克时需付30＋b＝33，即可得出：b＝33－30＝3元；又因为物品是25千克时，付了60元，超出重量为25－16＝9千克，超出的费用为60－（30＋3）＝27（元），用超重费除以超出的重量即可解答c的值。 （2）此题答案不唯一，只要符合不超过105元的费用能否托运50千克物品即可。 【完整解答】（1）y＝30＋b＋（a－16）c （2）33－30＝3（元） （60－33）÷（25－16） ＝27÷9 ＝3（元） b＝3，c＝3 （3）能够托运，将物品拆成三件：两件均为16千克，另一种为18千克，此时费用为： 16千克的托运费为30＋3＝33（元） 18千克的托运费为 33＋（18－16）×3 ＝33＋2×3 ＝33＋6 ＝39（元） 105千克的托运费为： 2×33＋39 ＝66＋39 ＝105（元） 答：能够托运，将物品拆成三件：两件均为16千克，另一种为18千克，此时费用为105元。 【考点再现】熟练掌握用字母表示数量关系是解决本题的关键。 重点难点题型四：含有字母式子的化简与求值 【例4】（25-26五年级上·河北邢台·月考）为准备班级联欢会，五（1）班班委决定购买水果和饮料。苹果每千克8元，计划买a千克。橙子每千克6元，计划买b千克。饮料每瓶4元，计划买c瓶。已知购买的橙子重量是苹果的1.5倍，购买的饮料瓶数比苹果和橙子的总千克数多5.用含有字母a的式子分别表示各种费用。 苹果： 元    橙子： 元 饮料： 元    总花费： 元 【答案】 8a 9a 10a+20 27a+20 【思路引导】根据题意，购买的橙子重量是苹果的1.5倍，将苹果的重量看作“单位1”，因此橙子重量b＝1.5a；购买的饮料瓶数比苹果和橙子的总千克数多5，因此饮料瓶数c＝a＋b＋5。然后利用单价和数量分别计算苹果、橙子和饮料的费用，最后求和得到总花费。 【完整解答】苹果每千克8元，计划买a千克，费用为8a元。 橙子每千克6元，计划买b千克，由b＝1.5a，得费用为6×1.5a＝9a元。 饮料每瓶4元，计划买c瓶，由c＝a＋b＋5和b＝1.5a，得： c＝a＋1.5a＋5 ＝2.5a＋5 费用为： 4×（2.5a＋5）＝（10a＋20）元 总花费为苹果费用、橙子费用和饮料费用之和，即： 8a＋9a＋（10a＋20）＝（27a＋20）元 所以，苹果8a元，橙子9a元，饮料（10a＋20）元，总花费（27a＋20）元。 【变式】（25-26五年级上·全国·单元测试）阅读理解：线段上的一点把线段分成相等的两部分，这个点叫作线段的中点。如图①，P点是线段MN的中点，则如图②，B点是线段AD上的一个动点，从A点到D点以2厘米/秒的速度运动，C点是线段BD的中点，厘米。 （1）当B点的运动时间是x秒时，（    ）厘米，BD＝（    ）厘米。 （2）B点的运动时间是x秒，当时，（    ）厘米。 （3）如图③，在运动过程中，E点是线段AB的中点。下面小凯的说法正确吗？说一说你的想法。 【答案】（1）2x；10－2x （2）3 （3）错误；理由见详解 【思路引导】（1）已知B点从A点到D点以2厘米/秒的速度运动，当B点的运动时间是x秒时，根据“路程＝速度×时间”即可求出AB的长度；已知AD＝10厘米，然后用AD的长度减去AB的长度就是BD的长度，分别用含有字母x的式子表示即可。 （2）把x＝2代入式子中，求出BD的长度，已知C点是线段BD的中点，用BD的长度除以2即可求出BC的长度。 （3）E点是线段AB的中点，C点是线段BD的中点，所以线段EC的长是AD的一半，EC的长度不变。 【完整解答】（1）AB＝2x厘米 BD＝AD－AB＝（10－2x）厘米 当B点的运动时间是x秒时，AB＝（2x）厘米，BD＝（10－2x）厘米。 （2）当x＝2时 10－2x ＝10－2×2 ＝10－4 ＝6（厘米） 6÷2＝3（厘米） B点的运动时间是x秒，当x＝2时，BC＝（3）厘米。 （3）小凯的说法是错误的，EC的长度不变。因为E点是线段AB的中点，C点是线段BD的中点，所以AB＝2×BE，BD＝2×BC，AB＋BD＝2×（BE＋BC）＝2×EC＝10，所以EC的长度不变，为5厘米。 【考点再现】（1）利用“路程＝速度×时间”得出AB长度，再根据线段和差BD＝AD－AB计算，体现了基本公式与线段关系的结合。 （2）先代入x的值求出BD，再依据中点性质BC＝BD÷2计算，突出中点对线段长度的平分作用。 （3）通过设AB长度，结合中点性质分别表示出EB和BC，进而推出EC为定值，考查了用代数方法分析几何动态问题中“不变量”的思维。 重点难点题型五：等式的认识及列等量关系式 【例5】（24-25五年级上·河南新乡·期末）宏宏今年身高154厘米，他比去年长高了8厘米，宏宏去年身高多少厘米？设宏宏去年身高x厘米，在解决这个问题时，明明列出的方程是“x＋8＝154”，明明用的等量关系式是( )；亮亮列出的方程是“154－x＝8”，亮亮用的等量关系式是( )。 【答案】 去年身高＋8＝今年身高 今年身高－去年身高＝8 【思路引导】明明列出的方程“x＋8＝154”表示去年身高加上长高的高度等于今年身高，即去年身高＋8＝今年身高； 亮亮列出的方程“154－x＝8”表示今年身高减去去年身高等于长高的高度，即今年身高－去年身高＝8。 【完整解答】在解决这个问题时，明明列出的方程是“x＋8＝154”，明明用的等量关系式是去年身高＋8＝今年身高；亮亮列出的方程是“154－x＝8”，亮亮用的等量关系式是今年身高－去年身高＝8。 【变式】（24-25五年级上·天津蓟州·期末）根据下面的线段图列式，正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】由图可知：两条线段的长度分别为x和2x＋30，且两条线段的长度之和为100，根据“部分量之和＝总量”的基本数量关系，将两条线段的长度相加等于100，即x＋（2x＋30）＝100，化简即可。 【完整解答】x＋（2x＋30）＝100 x＋2x＋30＝100 3x＋30＝100 故答案为：B 重点难点题型六：方程的认识 【例6】（25-26五年级上·河北唐山·期中）下面的说法中，正确的是（    ）。 A．一个大于0的数乘0.88，积一定小于这个数 B．含有未知数的式子就是方程 C．一个小数不是有限小数，就是循环小数 D．0.58÷0.5的商为1.1，余数为3 【答案】A 【思路引导】（1）由因数和积的大小关系可知，一个大于0的数乘小于1的数，积比原来的数小； （2）由方程的意义可知，方程必须同时满足以下两个条件：（1）是等式；（2）含有未知数；两个条件缺一不可； （3）小数部分的位数有限的小数是有限小数；小数部分的位数无限的小数是无限小数，一个小数不是有限小数就是无限小数，循环小数属于无限小数； （4）由“被除数＝商×除数＋余数”可知，余数＝被除数－商×除数，由此求出0.58÷0.5的商为1.1时的余数，据此解答。 【完整解答】A．假设这个数是0.2，0.2×0.88＝0.176，因为0.176＜0.2，所以0.2×0.88＜0.2，即一个大于0的数乘0.88，积一定小于这个数，该选项说法正确； B．分析可知，含有未知数的式子不一定是方程，如：0.3a不是方程，含有未知数的等式叫作方程，如：0.7x＋2＝16是方程，所以该选项说法错误； C．分析可知，一个小数不是有限小数，就是无限小数，而循环小数属于无限小数，所以该选项说法错误； D．0.58－1.1×0.5 ＝0.58－0.55 ＝0.03 所以，0.58÷0.5的商为1.1，余数为0.03，该选项说法错误。 故答案为：A 【变式】（24-25五年级上·河北保定·期末）下列说法中，错误的是（    ）。 ①既是一个等式，也是一个方程。 ②两个小数相除，商一定大于1。 ③a÷0.9＞a（a≠0） ④三角形的底越长，它的面积就越大。 ⑤因为2×2=4，22=4，所以2a＝a2。 A．①②④ B．③④⑤ C．②④⑤ D．①②⑤ 【答案】C 【思路引导】本题考查等式、方程的定义，小数除法的性质，商与被除数的关系，三角形面积以及乘法和乘方的区别。逐一分析。 ①等式是用等号表示左右两边相等的式子，方程是含有未知数的等式。 ②当被除数大于除数，商大于1；当被除数小于除数，商小于1；当被除数等于除数，商等于1。 ③一个数（0除外）除以一个小于1的数（0除外），商大于这个数。 ④三角形的面积＝底×高÷2，三角形的面积与底和高都有关系。 ⑤2a表示2个a相加，a2表示a和a相乘。 【完整解答】①0.5y＝4既是等式，又含有未知数，是方程。①的说法正确。 ②因为被除数和除数的大小无法比较，所以商与1也无法比较。②的说法错误。 ③因为0.9＜1且a≠0，所以a÷0.9＞a。③的说法正确。 ④高不确定，仅底越长，无法判断三角形面积是否越大。④的说法错误。 ⑤只有当a＝2时，2a＝a2，一般情况下2a和a2不相等。⑤的说法错误。 综上，②④⑤的说法错误。 故答案为：C 重点难点题型七：列简易方程 【例7】（25-26五年级上·全国·单元测试）将连续的奇数1、3、5、7、9…排成如下数表，用十字框框五个数。 （1）如果中间的数是x，那么左边的数是（    ），右边的数是（    ），上面的数是（    ），下面的数是（    ）。 （2）任意框几次，看看每次框出的5个数的和与中间的数有什么关系？ （3）如果中间的数是x，并且5个数之和是225。请用方程表示出中间的数x和5个数之和之间的关系。 【答案】（1）x－2；x＋2；x－16；x＋16 （2）每次框出的5个数的和总是中间数的5倍。 （3）5x＝225 【思路引导】（1）由题图可知，左边的数比中间的数小2，右边的数比中间的数大2，上面的数比中间的数小16，下面的数比中间的数大16，据此规律解答。 （2）把上一题用x表示的5个数相加，得出这5个数的和与中间的数的关系。 （3）根据框出的5个数的和＝中间的数的5倍，可用方程表示出中间的数x和5个数之和之间的关系。 【完整解答】（1）如果中间的数是x，那么左边的数是（x－2），右边的数是（x＋2），上面的数是（x－16），下面的数是（x＋16）。 （2）设中间的数为x，则这五个数的和为： x+(x－2)+(x＋2)+(x－16)+(x＋16)＝5x 说明每次框出的5个数的和总是中间数的5倍。 （3）中间的数x和5个数之和之间的关系为：5x＝225。 【变式】（2025五年级上·广东广州·专题练习）故宫博物院面积是72万平方米，比天安门广场面积的2倍少16万平方米。天安门广场的面积是多少万平方米？解：设天安门广场的面积是x万平方米。根据等量关系( )可以列出方程“2x－72＝16”。 【答案】天安门广场面积×2－故宫博物院面积＝16万平方米 【思路引导】设天安门广场的面积是x万平方米。根据等量关系：天安门广场面积×2－故宫博物院面积＝16，列方程即可。 【完整解答】解：设天安门广场的面积是x万平方米。 根据等量关系：天安门广场面积×2－故宫博物院面积＝16可以列出方程“2x－72＝16”。 重点难点题型八：应用等式的性质1和2解方程 【例8】（25-26五年级上·重庆九龙坡·月考）解方程。          【答案】；； 【思路引导】等式的基本性质一：等式两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。 等式的基本性质二：等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立。 ①先计算已知的乘法，再等式两边同时加39.2，然后等式两边同时除以5.6，求解即可。 ②先消除括号前的系数，等式两边同时除以8，然后等式两边同时加1.2，求解即可。 ③先合并同类项，然后等式两边同时除以5，求解即可。 【完整解答】 解： 解： 解： 【变式】（25-26五年级上·河北邢台·月考）解方程。 4（x－3）＝20    3x－4＝11    1.2x＋0.6＝8.1 5（x＋1.5）＝27.5    （2x－1）×3＝15    0.4x－1.6＝8 【答案】；；； ；； 【思路引导】解方程的关键是熟知等式的两个性质：等式的左右两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；等式的左右两边同时乘同一个数，或同时除以一个不为0的数，等式仍然成立，据此解答。 （1）左右两边同时除以4，再同时加上3求解。 （2）左右两边同时加上4，再同时除以3求解。 （3）左右两边同时减去0.6，再同时除以1.2求解。 （4）左右两边同时除以5，再同时减去1.5求解。 （5）左右两边同时除以3，再同时加上1，最后同时除以2求解。 （6）左右两边同时加上1.6，再同时除以0.4求解。 【完整解答】（1） 解： （2） 解： （3） 解： （4） 解： （5） 解： （6） 解： 重点难点题型九：解含括号的方程 【例9】（24-25五年级上·天津津南·期末）用等式性质解下列方程。                                      【答案】；； 【思路引导】①根据等式的性质1，等式两边同时减去0.7即可； ②先根据等式的性质1，等式两边同时加上0.9；再根据等式的性质2，等式两边同时除以1.2即可； ③先根据等式的性质2，等式两边同时除以2；再根据等式的性质1，等式两边同时减去12即可。 【完整解答】 解： 解： 解： 【变式】（25-26五年级上·福建漳州·期中）解方程（带※的要检验）。 ※3.6÷                             【答案】； ； 【思路引导】※3.6÷，根据等式的性质2，两边同时乘，再同时除以7.2即可； ，根据等式的性质1和2，两边同时除以4，再同时加5即可； ，先将左边合并成3.5，根据等式的性质2，两边同时除以3.5即可； ，根据等式的性质1和2，两边同时加3×7的积，再同时除以6即可。 方程的检验：要将求出的未知数值代入原方程，分别计算等号左右两边的结果，如果两边相等，则为原方程的解；如不相等，则不是原方程的解。 【完整解答】※3.6÷ 解：3.6÷ 检验：方程的左边＝ ＝3.6÷0.5 ＝7.2 ＝方程的右边 所以是方程3.6÷的解。 解： 解： 解： 重点难点题型十：解等号两边都有未知数的方程 【例10】（24-25五年级上·浙江杭州·期末）解方程。 ①x÷12＝2.4       ②5x＝3x＋6       ③2（8.5＋x）＝30 【答案】①x＝28.8；②x＝3；③x＝6.5 【思路引导】①方程左右两边同时乘12，求出方程的解； ②方程左右两边同时减去3x，再把方程左右两边同时除以2，求出方程的解； ③先把方程左右两边同时除以2，再把方程左右两边同时减去8.5，求出方程的解。 【完整解答】①x÷12＝2.4 解：x÷12×12＝2.4×12 x＝28.8 ②5x＝3x＋6 解：5x－3x＝3x＋6－3x 2x＝6 2x÷2＝6÷2 x＝3 ③2（8.5＋x）＝30 解：2（8.5＋x）÷2＝30÷2 8.5＋x＝15 8.5＋x－8.5＝15－8.5 x＝6.5 【变式】（23-24五年级上·江西赣州·期末）当x＝（    ）时，3x－8与2x＋4相等。 A．12 B．10 C．8 【答案】A 【思路引导】令3x－8＝2x＋4，先将方程两边同时减去2x，再同时加上8，解出x即可。或者，将选项中各值分别代入3x－8和2x＋4中，找出x取何值时，两式子相等即可。 【完整解答】3x－8＝2x＋4 解：3x－8－2x＝2x＋4－2x x－8＝4 x－8＋8＝4＋8 x＝12 所以，当x＝12时，3x－8与2x＋4相等。 故答案为：A 重点难点题型十一：方程的检验 【例11】（24-25五年级上·河北邢台·期末）填序号。 ①    ②    ③ ④    ⑤ (1)等式有( )，方程有( )。 (2)方程( )解是。 【答案】(1) ②④⑤ ②⑤ (2)② 【思路引导】等式是含有“＝”且左右两边相等的式子，方程是同时含有未知数和“＝”的等式。先判断各式子：①x＋7.9＜16含未知数但用“＜”连接，不是等式也不是方程；②0.23x＝4.6既含未知数又有“＝”，既是等式也是方程；③55＞m÷0.4含未知数但用“＞”连接，不是等式也不是方程；④15×2.4＝36有“＝”但不含未知数，是等式不是方程；⑤66−x＝38既含未知数又有“＝”，既是等式也是方程，因此等式有②④⑤，方程有②⑤。接着判断哪个方程的解是x＝20，根据“方程的解能使方程左右两边相等”，将x＝20代入②中，左边0.23×20＝4.6与右边相等，代入⑤中左边66−20＝46与右边38不相等，故方程②的解是x＝20。最终答案：（1）等式有②④⑤，方程有②⑤；（2）方程②的解是x＝20。 【完整解答】（1）①x＋7.9＜16不是等式也不是方程；②0.23x＝4.6既是等式也是方程；③55＞m÷0.4不是等式也不是方程；④15×2.4＝36是等式不是方程；⑤66−x＝38既是等式也是方程，因此等式有②④⑤，方程有②⑤。 （2）代入x＝20到②：0.23×20＝4.6，与右边相等；代入x＝20到⑤：66−20＝46≠38，不相等。故方程②的解是x＝20。 【变式】（24-25五年级上·内蒙古赤峰·期末）①列竖式计算，并用乘法进行验算；②解方程，并进行检验。 ①11.7÷0.18＝               ②2×（x－3）＝5.8 【答案】①65；②x＝5.9 【思路引导】①除数是小数的除法计算法则：先移动除数的小数点，使它变成整数，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算；除法的验算可用商乘除数，看结果是否与被除数相等。 ②2×（x－3）＝5.8，根据等式的性质2，方程两边同时除以2，再根据等式的性质1，方程两边同时加上3即可。将求出的未知数值代入原方程，分别计算等号左右两边的结果，如果两边相等，则为原方程的解；如果不相等，则不是原方程的解，据此解答。 【完整解答】①11.7÷0.18＝65 验算： ②2×（x－3）＝5.8 解：2×（x－3）÷2＝5.8÷2 x－3＝2.9 x－3＋3＝2.9＋3 x＝5.9 将x＝5.9代入原方程： 左边＝2×（5.9－3） ＝2×2.9 ＝5.8 右边＝5.8 左边＝右边，x＝5.9是原方程的解。 重点难点题型十二：列方程解含一个未知数的问题 【例12】（24-25五年级上·云南昭通·期末）那拉高速公路是世界上海拔最高的高速公路，全长295千米。甲车每小时行92千米，乙车每小时行88千米，甲、乙两车分别从这条公路的两端相向开出，甲车出发0.8小时后，乙车才开出。乙车开出几小时后与甲车相遇？（列方程解决） 【答案】1.23小时 【思路引导】先明确“甲车先行的路程＋乙车共同行驶的路程＝公路全长”的等量关系，设乙车开出x小时后相遇，再分别用92×0.8表示甲车先行的路程、（92＋88）x表示两车共同行驶的路程，结合总路程295千米列出方程，最后通过解方程求出x的值，即为乙车开出后相遇的时间。 【完整解答】解：设乙车开出小时后与甲车相遇。 92×0.8＋（92＋88）x＝295 73.6＋180x＝295 73.6＋180x－73.6＝295－73.6 180x＝221.4 180x÷180＝221.4÷180 x＝1.23 答：乙车开出1.23小时后与甲车相遇。 【变式】（24-25五年级上·湖南郴州·期末）根据《国家学生体质健康标准》，五年级女生“一分钟跳绳”的满分标准为158下，满分标准比合格标准的3倍少16下。五年级女生“一分钟跳绳”的合格标准是多少下？（列方程解答） 【答案】58下 【思路引导】根据题意，可列出等量关系式：合格标准的下数×3－16＝满分标准的下数，设五年级女生“一分钟跳绳”的合格标准是下，根据等量关系式列出方程解答即可。 【完整解答】解：设五年级女生“一分钟跳绳”的合格标准是下。 答：五年级女生“一分钟跳绳”的合格标准是58下。 重点难点题型十三：列方程解含两个未知数的问题 【例13】（24-25五年级上·重庆长寿·期末）长寿柚是具有悠久历史和独特风味的水果。汁多味浓、醇甜化渣，素有“天然罐头”的美誉。妈妈买A、B两种长寿柚共用460元，已知两种长寿柚共买了50个。 ？ （1）在横线上提出一个两步及以上解决的数学问题。 规格（质量） 单价 A．1kg以上 10元/个 B．0.8kg～1kg 8元/个 （2）解答提出的问题。 【答案】（1）买B种长寿柚多少钱？ （2）160元 【思路引导】（1）依据题意可设A种长寿柚x个，则B种长寿柚（50－x）个，利用“买A、B两种长寿柚共用460元”列方程计算A种长寿柚个数，B种长寿柚个数，可以提问：买B种长寿柚多少钱？（答案不唯一） （2）依据（1）计算出的B种长寿柚个数，利用总价＝单价×数量计算即可。（答案不唯一） 【完整解答】根据分析： （1）买B种长寿柚多少钱？（答案不唯一） （2）解：设A种长寿柚x个，则B种长寿柚（50－x）个 10x＋8×（50－x）＝460 10x＋400－8x＝460 2x＋400＝460 2x＋400－400＝460－400 2x＝60 2x÷2＝60÷2 x＝30 50－30＝20（个） 20×8＝160（元） 答：买B种长寿柚160元。 （答案不唯一） 【变式】（25-26五年级上·河北邢台·月考）王老师带200元去文具店为班级购买奖品。她计划买单价8元的毛笔和单价15元的钢笔。已知钢笔比毛笔少买4支，并且买完这两种奖品后，她还剩下30元。王老师买了多少支钢笔？ 【答案】6支 【思路引导】设王老师买了x支毛笔，钢笔比毛笔少买4支，则钢笔买了（x－4）支；根据总价＝单价×数量；毛笔单价是8元，x支毛笔是8x元；钢笔单价是15元，（x－4）支钢笔是15×（x－4）元，买完这两种奖品后，她还剩下30元，即买毛笔和买钢笔一共花了（200－30）元，列方程：8x＋15×（x－4）＝200－30，解方程，即可解答。 【完整解答】解：设王老师买了x支毛笔，则买了（x－4）支钢笔。 8x＋15×（x－4）＝200－30 8x＋15x－15×4＝170 23x－60＝170 23x－60＋60＝170＋60 23x＝230 23x÷23＝230÷23 x＝10 钢笔：10－4＝6（支） 答：王老师买了6支钢笔。 重点难点题型十四：列方程解决稍复杂的实际问题 【例14】（25-26五年级上·全国·课后作业）《九章算术》的内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题。周老师利用暑假研究其中的问题，前30天每天研究了4个问题，剩下的问题准备每天研究3个，研究完所有问题还要多少天？ 【答案】42天 【思路引导】由题意得：总问题数 ＝ 前 30 天研究的问题数 ＋ 剩余天数研究的问题数。 设 “研究完剩下的还要 x 天”，则剩余天数研究的问题数为 3x，前 30 天研究的问题数为 30×4。根据上述等量关系列方程并解答即可。 【完整解答】解：设研究完所有问题还要x天。 4×30＋3x＝246 x＝42 答：研究完所有问题还要42天。 【变式】（2023五年级上·全国·专题练习）“水是生命之源”，某市自来水供水公司为鼓励企业节约用水，按表规定收取水费： 用水量 单价（元/吨） 不超过40吨的部分 1.8 超过40吨的部分 2.2 另：每吨用水加收0.2元的城市污水处理费 某企业一月份共缴水费128元，则一月份用水多少吨？ 【答案】60吨 【思路引导】根据条件，每吨用水加收0.2元的城市污水处理费，则不超过40吨的部分实际收费2元/吨，超过的部分实际收费2.4元/吨。正好用40吨水是交费：40×2元＝80元＜128元，因而一月份用水一定超过40吨，题目中的相等关系是：40吨水的收费＋超过部分的费用＝128元。 【完整解答】1.8＋0.2＝2（元） 2.2＋0.2＝2.4（元） 解：设一月份用水x吨，根据题意得： 40×2＋2.4（x－40）＝128 80＋（2.4x－96）＝128 80＋（2.4x－96）－80＝128－80 2.4x－96＝48 2.4x－96＋96＝48＋96 2.4x＝144 2.4x÷2.4＝144÷2.4 x＝60 答：一月份用水是60吨。 【考点再现】本题主要考查的方程的应用，根据水费为128元列出方程是解题的关键。 1．（24-25五年级上·湖南湘西·期末）下面方程中，的值最大的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】A．根据等式的性质，方程两边同时加上x，交换两边位置，再同时减去65求解出x； B．根据等式的性质，方程两边同时除以2，再同时减去6求解出x； C．计算得13＋3x＝31，根据等式的性质，方程两边同时减去13，再同时除以3求解出x； D．计算得50x＝100，根据等式的性质，方程两边同时除以50求解出x； 最后比较x的值的大小，进而确定x的值最大的方程。 【完整解答】A．72－x＝65 解：72－x＋x＝65＋x 65＋x＝72 65＋x－65＝72－65 x＝7 B．2（x＋6）＝28 解：2（x＋6）÷2＝28÷2 x＋6＝14 x＋6－6＝14－6 x＝8 C．6.5×2＋3x＝31 解：13＋3x＝31 13＋3x－13＝31－13 3x＝18 3x÷3＝18÷3 x＝6 D．70x－20x＝100 解：50x＝100 50x÷50＝100÷50 x＝2 2＜6＜7＜8 所以x的值最大的是2（x＋6）＝28。 故答案为：B 2．（24-25五年级上·河南商丘·期末）已知＋10＝，经过变换后两个式子依然相等的是（    ）。 A．＋10×3和×3 B．＋10－和－ C．（＋10）÷10和÷10 D．＋10÷5和÷5 【答案】C 【思路引导】等式的性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍成立； 等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍成立。据此解答。 【完整解答】A．＋10×3和×3，等式左边的一个加数乘3，而不是（＋10）乘3，等式右边乘3，根据等式的性质2，此时两个式子不相等； B．＋10－和－，分别是等式左边减去，等式右边减去，根据等式的性质1，此时两个式子不相等； C．（＋10）÷10和÷10，等式两边同时除以10，根据等式的性质2，此时两个式子仍然相等； D．＋10÷5和÷5，等式左边的一个加数除以5，而不是（＋10）除以5，等式的右边除以5，根据等式的性质2，此时两个式子不相等。 故答案为：C 3．（24-25五年级上·湖北黄石·期末）下面各题中的数量关系能用方程3x－x＝24表示的是（    ）。 A．合唱队共有24人，男生x人，女生的人数是男生的3倍 B．鸡兔同笼，兔有x只，鸡的只数是兔的3倍，鸡的脚的只数比兔多24 C．今年丫丫x岁，妈妈的年龄是丫丫的3倍，2年前妈妈比丫丫大24岁 D．一个数的3倍等于24减去它本身 【答案】C 【思路引导】先明确方程3x－x＝24的数量关系：“一个量是x，另一个量是它的3倍（即3x），两者的差为24”。据此逐一分析。 【完整解答】A．合唱队共有24人，男生x人，女生的人数是男生的3倍，则女生人数为3x人，根据“男生人数＋女生人数＝24”可列方程为x＋3x＝24，不符合； B．兔有x只，则兔的脚的只数是4x只，鸡的只数是兔的3倍，则鸡的只数是3x只，鸡的脚的只数是（2×3x）只；鸡的脚的只数比兔多24，根据“鸡的脚的只数－兔的脚的只数＝24”可列方程为2×3x－4x＝24，不符合； C．今年丫丫x岁，妈妈的年龄是丫丫的3倍，则妈妈3x岁，2年前妈妈比丫丫大24岁，年龄差不变，仍为24岁，根据“妈妈的年龄－丫丫的年龄＝24”可列方程为3x－x＝24，符合； D．一个数的3倍等于24减去它本身，设这个数为x，这个数的3倍为3x，因此可列方程为3x＝24－x，即x＋3x＝24，不符合。 故答案为：C 【考点再现】B选项中需明确鸡有2只脚，兔有4只脚，分别表示出鸡和兔的脚的只数，再根据数量关系列出方程；C选项中需明确年龄差不变。 4．（25-26五年级上·河北邢台·月考）一款游戏，玩家初始等级为1级，每升1级需要的经验值比前一级多20点。若想升到第n级需要经验值为180点，则n＝( )。 【答案】10 【思路引导】假设从1级升到2级需要（20＝1×20）点经验值，升到3级需要（20＋20＝20×2）点经验值，升到4级需要（20＋20＋20＝3×20）点经验值……由此可知，（升到几级就用几－1）×20＝相应级数需要的经验值，根据这个等量关系，可以列出方程（n－1）×20＝180，根据等式的性质1和2，两边同时除以20，再同时加1，求出n的值即可。 【完整解答】（n－1）×20＝180 解：（n－1）×20÷20＝180÷20 n－1＝9 n－1＋1＝9＋1 n＝10 若想升到第n级需要经验值为180点，则n＝10。 5．（25-26五年级上·重庆九龙坡·月考）星期天上午，小明和小英同时从自己的家出发步行到少年宫。已知小明的速度是60米/分，小英的速度是50米/分。两人同时到达少年宫，小明比小英多行90米。小明家距少年宫( )米，小英家距少年宫( )米。 【答案】 540 450 【思路引导】由题意可知，小明和小英的步行时间相同，把他们的步行时间设为未知数，根据“路程＝速度×时间”分别表示出小明家与少年宫的距离和小英家与少年宫的距离，等量关系式：小明家与少年宫的距离－小英家与少年宫的距离＝小明比小英多行的路程，列方程求出他们的步行时间，最后分别求出他们家与少年宫的距离，据此解答。 【完整解答】解：设小明从家到少年宫和小英从家到少年宫分别步行了x分钟。 60x－50x＝90 10x＝90 10x÷10＝90÷10 x＝9 小明家与少年宫的距离：60×9＝540（米） 小英家与少年宫的距离：50×9＝450（米） 所以，小明家距少年宫540米，小英家距少年宫450米。 6．（24-25五年级上·浙江嘉兴·期末）箱子里装有一定数量的乒乓球和羽毛球，乒乓球的数量是羽毛球的2倍。每次取出6个乒乓球和2个羽毛球，取了几次后，乒乓球取完了，羽毛球还剩8个。一共取了( )次，羽毛球原来有( )个。 【答案】 8 24 【思路引导】根据题意，设一共取了x次，则取了6x个乒乓球，2x个羽毛球，用羽毛球取的个数加上还剩的个数，即可求出羽毛球的总个数为（2x＋8）个；乒乓球的个数是羽毛球的2倍，用羽毛球的总个数乘2，即可求出乒乓球的个数，而乒乓球的个数等于6x，据等量关系式：羽毛球的个数×2＝乒乓球的个数，列出方程为：（2x＋8）×2＝6x。 根据等式的性质，解方程即可求出取的次数，进而代入2x＋8中，求出羽毛球原来的个数。 【完整解答】解：设一共取了x次，则取了6x个乒乓球，2x个羽毛球。 （2x＋8）×2＝6x 4x＋16＝6x 4x＋16－4x＝6x－4x 16＝2x 2x÷2＝16÷2 x＝8 2×8＋8 ＝16＋8 ＝24（个） 因此，箱子里装有一定数量的乒乓球和羽毛球，乒乓球的数量是羽毛球的2倍。每次取出6个乒乓球和2个羽毛球，取了几次后，乒乓球取完了，羽毛球还剩8个。一共取了8次，羽毛球原来有24个。 【考点再现】本题的解题关键在于正确表示羽毛球的原始数量和取出次数的关系，将实际问题转化为数学问题求解。 7．（25-26五年级上·河北邢台·期中）若a÷b＝0.3，则a×3＝b。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】由 可得 。则 ，而 。由于 （除数不能为零），，故结论不成立。 【完整解答】因为 ，所以 。 则 。 由于 ，。 因此， 不成立。 故答案为：× 8．（25-26五年级上·山东济宁·期中）今年景区接待游客a万人，去年比今年少50万人，再过x年，去年与今年的游客人数差仍然是50万人。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】分析题目，根据去年的游客人数＝今年的游客人数－50可知：去年游客人数为（a－50）万人，今年为a万人，两者的差是固定不变的；所以无论经过多少年，去年的游客人数和今年的游客人数都是确定的数值，据此解答。 【完整解答】去年游客人数：（a－50）万人 今年游客人数为a万人，两者的差为：a－（a － 50） ＝a－a＋50＝ 50（万人） 所以无论经过多少年后，去年的游客人数和今年的游客人数均不会改变，因此它们的差始终是50万人。 故答案为：√ 9．（24-25五年级上·江西赣州·期末）解方程。 3x－2×1.5＝4.2　　　        0.7÷2x＝3.5        5x＋1.2x＝31 【答案】x＝2.4；x＝0.1；x＝5 【思路引导】3x－2×1.5＝4.2先计算出2×1.5的结果是3，再根据等式的性质1，在方程两边同时加上3，最后根据等式的性质2，在方程两边同时除以3即可求解。 0.7÷2x＝3.5先根据等式的性质2，在方程两边同时乘2x，然后把3.5×2x化简成7x。最后根据等式性质2，在方程两边同时除以7即可求解。        5x＋1.2x＝31先把5x＋1.2x化简成6.2x。再根据等式的性质2，在方程两边同时除以6.2即可求解。 【完整解答】3x－2×1.5＝4.2 解：3x－3＝4.2 3x－3＋3＝4.2＋3 3x＝7.2 3x÷3＝7.2÷3 x＝2.4　　　        0.7÷2x＝3.5   解：0.7÷2x×2x＝3.5×2x 3.5×2x＝0.7 7x＝0.7 7x÷7＝0.7÷7 x＝0.1      5x＋1.2x＝31 解：6.2x＝31 6.2x÷6.2＝31÷6.2 x＝5 10．（24-25五年级上·江西赣州·期末）如图，学校在李莹家和张亮家之间。每天放学回家，李莹要12分钟，张亮要16分钟。已知李莹每分钟行85米，张亮每分钟行多少米？（列方程解答） 【答案】 80米 【思路引导】根据“速度×时间＝路程”求出李莹从家到学校的路程；设张亮每分钟行x米，根据李莹从家到学校的路程＋张亮从家到学校的路程＝2300米，据此列方程解答。 【完整解答】解：设张亮每分钟行x米。 答：张亮每分钟行80米。 11．（24-25五年级上·河北保定·期末）甲、乙两列火车从相距950千米的两地同时相向开出。甲车每小时行105千米，乙车每小时行85千米。经过几小时两车相遇？（用方程解答） 【答案】5小时 【思路引导】设经过x小时两车相遇；根据路程＝速度×时间；甲车每小时行105千米，x小时行驶105x千米；乙车每小时行驶85千米，x小时行驶85x千米；得出等量关系：甲车行驶的路程＋乙车行驶的路程＝两地的距离，据此列出方程，并求解。 【完整解答】解：设经过x小时两车相遇。 105x＋85x＝950 190x＝950 190x÷190＝950÷190 x＝5 答：经过5小时两车相遇。 12．（25-26五年级上·河北沧州·期中）把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分4本，则剩余17本；如果每人分5本，则还缺28本，这批图书共有多少本？ 【答案】197本 【思路引导】设这个班有x名学生。根据两种分书方式表示图书总数：每人分4本，剩余17本，那么图书总数可表示为（4x＋17）本。每人分5本，还缺28本，那么图书总数可表示为（5x－28）本。列方程求解：因为图书总数是固定不变的，所以可列方程4x＋17＝5x－28。解答出x的值，即为学生人数后，再根据第一种分配方式算出图书的总本数，即用每人分4本乘学生人数加17本即可。 【完整解答】解：设这个班有x名学生。 4x＋17＝5x－28 4x＋17＋28＝5x－28＋28 4x＋（17＋28）＝5x 4x＋45＝5x 4x＋45－4x＝5x－4x 45＝x x＝45 45×4＋17 ＝180＋17 ＝197（本） 答：这批图书共有197本。 【考点再现】用方程解本题，关键有二：一是抓住图书总数不变这一核心等量关系；二是合理设学生人数为未知数，基于此列出方程求解。 13．（24-25五年级上·河北沧州·期中）张阿姨去布店买了20米白布和花布，其中白布3.5元/米，花布4元/米。算账时，营业员把白布和花布的单价算反了，结果张阿姨付了74元。请问是张阿姨多付了，还是布店亏了？张阿姨多付了或者布店亏了多少钱？ 【答案】布店亏了；亏了2元 【思路引导】我们需要先设白布或花布的长度，根据已知条件列出方程求出白布和花布实际的米数，再分别计算出正确价格和错误价格，通过比较两者得出是张阿姨多付还是布店亏了，以及具体的差价。设未知数并列出方程：设张阿姨买了米白布，则买了（20－）米花布。算错单价时，白布的米数×花布每米的价钱＋花布的米数×白布每米的价钱＝74元，可列方程，解出，即张阿姨买了8米白布，花布买了20－8＝12（米）。再用3.5×8＋4×12算出正确价格，然后与74元比较、相减即可得解。 【完整解答】解：设张阿姨买了米白布，则买了（20－）米花布。 20－8＝12（米） （元） 74元＜76元 76－74＝2（元） 答：布店亏了，亏了2元。 【考点再现】本题围绕单价、数量和总价的知识点展开，通过设未知数、列方程求出白布和花布的实际数量，进而算出正确价格和错误价格进行比较。关键在于理解三者关系，准确列出方程求解。 14．（22-23五年级上·福建莆田·期末）甲、乙两列火车分别从A、B两地同时出发，相向而行，经过1.5小时在离中点18千米处相遇。已知甲车速度是乙车的1.2倍，相遇时，两车各行了多少千米？（用方程解答）    【答案】甲车216千米；乙车180千米 【思路引导】根据“甲车速度是乙车的1.2倍”，可以设乙车的速度是千米/时，则甲车的速度是1.2千米/时； 根据线段图以及“经过1.5小时在离中点18千米处相遇”，可知相遇时甲车比乙车多行了（18×2）千米； 根据“路程＝速度×时间”可得出等量关系：甲车的速度×相遇时间－乙车的速度×相遇时间＝相遇时甲车比乙车多行的路程，据此列出方程，并求解，进而求出两车各行的路程。 【完整解答】解：设乙车的速度是千米/时，则甲车的速度是1.2千米/时。 1.5×1.2－1.5＝18×2 1.8－1.5＝36 0.3＝36 0.3÷0.3＝36÷0.3 ＝120 乙车行了：120×1.5＝180（千米） 甲车行了：120×1.2×1.5＝216（千米） 答：相遇时，甲车行了216千米，乙车行了180千米。 【考点再现】本题有两个未知数且有倍数关系，要设“是”后面的量为，找到另一个未知数与的关系，根据速度、时间、路程之间的关系得出等量关系，按等量关系列出方程。 15．（24-25五年级上·重庆渝中·期末）小威于早晨6点出发爬山，晚上6点到达山顶。第二天，他于早晨6点开始从山顶由原路下山，最后回到了原出发地。小威说：在上山和下山的途中经过P地时，他的手表显示出同样的时刻。你同意小威的说法吗？请说明理由。 【答案】同意；理由见详解 【思路引导】将小威上山过程看作从起点（山脚）向终点（山顶）行走，下山过程看作从终点（山顶）向起点（山脚）行走，且两个过程均从早晨6点同时出发，可以将其看作两人同时从两端出发相向而行。由于两个过程沿同一条路径相向而行，根据相向运动的规律，必然会在途中相遇。相遇时，两人处于同一位置（即P地），且此时手表显示的时刻相同。因此，小威在上山和下山途中经过P地时，手表显示出同样的时刻。 【完整解答】同意小威的说法。理由：把上山和下山过程看作两人同时从两端出发相向而行，必然会在途中相遇，相遇时手表显示时刻相同。 【考点再现】将“分两天的上山、下山行程”等效转换为“同一天内两人从山脚、山顶同时相向出发”的场景，利用“相向而行必然相遇”的逻辑，推导出途中存在同一地点P，经过时手表显示相同时刻。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 简易方程 （知识回顾+十四大重点难点题型讲练+拔尖训练 共43题） 【原卷版】 知识回顾 2 知识点01：用字母表示数量关系 2 知识点02：用字母表示运算定律和计算公式 2 知识点03：解决形如a±bx的实际问题 2 知识点04：解决形如ax±bx的实际问题 2 知识点05：方程的意义 2 知识点06：等式的性质 3 知识点07：方程的解 3 知识点08：解简单的方程 3 知识点09：解稍复杂的方程 3 知识点10：列方程解决实际问题 4 知识点11：x±bx=c的应用 4 知识点12：ɑx±bx=c的应用 4 题型讲练 4 重点难点题型一：用字母表示数、数量关系 4 重点难点题型二：用字母表示运算定律及计算公式 5 重点难点题型三：三用字母表示稍复杂的数量关系 5 重点难点题型四：含有字母式子的化简与求值 6 重点难点题型五：等式的认识及列等量关系式 7 重点难点题型六：方程的认识 7 重点难点题型七：列简易方程 7 重点难点题型八：应用等式的性质1和2解方程 8 重点难点题型九：解含括号的方程 8 重点难点题型十：解等号两边都有未知数的方程 9 重点难点题型十一：方程的检验 9 重点难点题型十二：列方程解含一个未知数的问题 10 重点难点题型十三：列方程解含两个未知数的问题 10 重点难点题型十四：列方程解决稍复杂的实际问题 11 拔尖训练 12 知识点01：用字母表示数量关系 1. 像a，x，n，m……这样的字母或□、△……这样的符号都可以用来表示数。 2. 用字母a，x，n，m……表示数时，应注意字母的取值范围。 3. 将字母用其所取的值代替，可以求含有字母式子的值。 知识点02：用字母表示运算定律和计算公式 运算定律： 加法交换律 α+b=b+α 加法结合律 α+b+c=α+(b+c) 乘法交换律 αb=bα 乘法结合律 (αb)c=α(bc) 乘法分配律 (α+b)c=αc+bc 计算公式： S=αb S=α2 C=2(α+b) C=4α 知识点03：解决形如a±bx的实际问题 实际问题中的数量关系，如速度×时间=路程，单价×数量=总价等，用字母表示时，认真理解题意，明确字母表示的量，正确地列出式子。 将已知数据代入计算公式求值，应注意还原省去的运算符号。 知识点04：解决形如ax±bx的实际问题 ac+bc=(a+b)c 在利用乘法分配律对含字母的式子进行化简时，要先判断字母是否相同，若相同，再将字母前面的数进行加减。 知识点05：方程的意义 含有未知数的等式叫做方程，如x+8=92，6y=400。 方程都是等式，但等式不一定都是方程。 知识点06：等式的性质 等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 知识点07：方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 形如x±ɑ=b 的方程的解法: 知识点08：解简单的方程 形如ɑx=b的方程的解法: 解：ɑx÷ɑ=b÷ɑ x=b÷ɑ 形如ɑ−x=b的方程的解法: 解：ɑ−x+x=b+x b+x =ɑ x =ɑ−b 知识点09：解稍复杂的方程 形如ɑx±b=c的方程的解法： 如解形如b（x±ɑ）=c的方程，可以把（x±ɑ）看作一个整体，先求出这个整体是多少，再求x是多少；或利用乘法分配律将其化为bx±ɑb=c的形式，再解方程。 解稍复杂的方程时，要灵活运用等式的基本性质求解。 知识点10：列方程解决实际问题 列方程解决实际问题的步骤: （1）找出未知数，用字母x表示； （2）分析实际问题中的数量关系，找出等量关系，列方程； （3）解方程并检验作答。 解形如ɑx±b=c的方程，可以把ɑx看作一个整体，先求出这个整体是多少，再求x是多少。 知识点11：x±bx=c的应用 1. 用方程解含有两个未知数的实际问题，可设其中的1倍数（标准量）为x，另一个未知数则用含有x的式子表示出来。 2. 形如ɑx±bx=c的方程的解法： 知识点12：ɑx±bx=c的应用 通过画线段图可以清楚地分析数量之间的相等关系，结合常用的数量关系式能帮助我们快速列出方程。 行程问题：根据速度、时间和路程三者之间的数量关系列方程解答。 重点难点题型一：用字母表示数、数量关系 【例1】（25-26五年级上·河北邢台·月考）林业人员在某地种了m行柏树，每行柏树有20棵，种的松树的行数比柏树多6行，每行松树有18棵。 （1）用含有字母的式子表示柏树和松树一共种的棵数。 （2）当m＝8时，求柏树和松树一共种了多少棵。 【变式】（25-26五年级上·河南新乡·月考）搭房子，如下图，第6幅图中有( )根小棒，第20幅图中有( )根小棒。          重点难点题型二：用字母表示运算定律及计算公式 【例2】（25-26五年级上·河北邢台·月考）根据运算律在（      ）里填上适当的数或字母。 5a＋5a＝[( )＋( )]×( )  8（x－6）＝( )×( )－( )×( ) 15·a·b＝15·[( )·( )]   125＋x＋75＝x＋[( )＋( )] 【变式】（25-26五年级上·全国·单元测试）证明与应用：这个公式叫作平方差公式。如何验证这个公式是否正确，小聪想到了学习运算律的时候利用“举例论证”的方法来验证，小慧想到了利用“数形结合”的方法来验证。 （1）将小聪笔记的计算过程补充完整，并画图表示小慧的转化方法。 （2）运用平方差公式，简便计算： 重点难点题型三：三用字母表示稍复杂的数量关系 【例3】24-25五年级上·西藏林芝·期末）厦门山海健康步道云海线总长约23千米，起于邮轮码头，止于观音山梦幻沙滩，央宗从邮轮码头出发，扎西从观音山梦幻沙滩出发，同时相向而行，4小时后相遇，________，扎西平均每小时行几千米？若算式是23÷4－a，横线上应补充的信息是（    ）。 A．央宗步行的平均速度是a千米/时 B．央宗走了a小时 C．扎西步行的平均速度是a千米/时 D．扎西走了a小时 【变式】（23-24六年级下·全国·课后作业）某运输公司规定：办理托运，当一件物品称重后不超过16千克时，需付基础费30元和保险费b元；当一件物品称重后超过16千克时，除了付以上基础费和保险费外，超过部分每千克还需付c元超重费。（为限制过重物品的托运） （1）用含有字母的式子表示托运物品的质量a（a＞18）千克与支付费用y元之间的关系。 （2）甲、乙、丙三人各托运了一件物品，物品的质量与支付费用如下表： 物品质量/千克 12 18 25 支付费用/元 33 39 60 请根据上面提供的信息可以确定b＝（    ），c＝（    ）。 （3）在物品可拆分的情况下，用不超过105元的费用能否托运50千克物品？若能，请你设计出一种托运方案，并求出支付费用；若不能，请说明理由。 重点难点题型四：含有字母式子的化简与求值 【例4】（25-26五年级上·河北邢台·月考）为准备班级联欢会，五（1）班班委决定购买水果和饮料。苹果每千克8元，计划买a千克。橙子每千克6元，计划买b千克。饮料每瓶4元，计划买c瓶。已知购买的橙子重量是苹果的1.5倍，购买的饮料瓶数比苹果和橙子的总千克数多5.用含有字母a的式子分别表示各种费用。 苹果： 元    橙子： 元 饮料： 元    总花费： 元 【变式】（25-26五年级上·全国·单元测试）阅读理解：线段上的一点把线段分成相等的两部分，这个点叫作线段的中点。如图①，P点是线段MN的中点，则如图②，B点是线段AD上的一个动点，从A点到D点以2厘米/秒的速度运动，C点是线段BD的中点，厘米。 （1）当B点的运动时间是x秒时，（    ）厘米，BD＝（    ）厘米。 （2）B点的运动时间是x秒，当时，（    ）厘米。 （3）如图③，在运动过程中，E点是线段AB的中点。下面小凯的说法正确吗？说一说你的想法。 重点难点题型五：等式的认识及列等量关系式 【例5】（24-25五年级上·河南新乡·期末）宏宏今年身高154厘米，他比去年长高了8厘米，宏宏去年身高多少厘米？设宏宏去年身高x厘米，在解决这个问题时，明明列出的方程是“x＋8＝154”，明明用的等量关系式是( )；亮亮列出的方程是“154－x＝8”，亮亮用的等量关系式是( )。 【变式】（24-25五年级上·天津蓟州·期末）根据下面的线段图列式，正确的是（    ）。 A． B． C． D． 重点难点题型六：方程的认识 【例6】（25-26五年级上·河北唐山·期中）下面的说法中，正确的是（    ）。 A．一个大于0的数乘0.88，积一定小于这个数 B．含有未知数的式子就是方程 C．一个小数不是有限小数，就是循环小数 D．0.58÷0.5的商为1.1，余数为3 【变式】（24-25五年级上·河北保定·期末）下列说法中，错误的是（    ）。 ①既是一个等式，也是一个方程。 ②两个小数相除，商一定大于1。 ③a÷0.9＞a（a≠0） ④三角形的底越长，它的面积就越大。 ⑤因为2×2=4，22=4，所以2a＝a2。 A．①②④ B．③④⑤ C．②④⑤ D．①②⑤ 重点难点题型七：列简易方程 【例7】（25-26五年级上·全国·单元测试）将连续的奇数1、3、5、7、9…排成如下数表，用十字框框五个数。 （1）如果中间的数是x，那么左边的数是（    ），右边的数是（    ），上面的数是（    ），下面的数是（    ）。 （2）任意框几次，看看每次框出的5个数的和与中间的数有什么关系？ （3）如果中间的数是x，并且5个数之和是225。请用方程表示出中间的数x和5个数之和之间的关系。 【变式】（2025五年级上·广东广州·专题练习）故宫博物院面积是72万平方米，比天安门广场面积的2倍少16万平方米。天安门广场的面积是多少万平方米？解：设天安门广场的面积是x万平方米。根据等量关系( )可以列出方程“2x－72＝16”。 重点难点题型八：应用等式的性质1和2解方程 【例8】（25-26五年级上·重庆九龙坡·月考）解方程。          【变式】（25-26五年级上·河北邢台·月考）解方程。 4（x－3）＝20    3x－4＝11    1.2x＋0.6＝8.1 5（x＋1.5）＝27.5    （2x－1）×3＝15    0.4x－1.6＝8 重点难点题型九：解含括号的方程 【例9】（24-25五年级上·天津津南·期末）用等式性质解下列方程。                     【变式】（25-26五年级上·福建漳州·期中）解方程（带※的要检验）。 ※3.6÷                             重点难点题型十：解等号两边都有未知数的方程 【例10】（24-25五年级上·浙江杭州·期末）解方程。 ①x÷12＝2.4       ②5x＝3x＋6       ③2（8.5＋x）＝30 【变式】（23-24五年级上·江西赣州·期末）当x＝（    ）时，3x－8与2x＋4相等。 A．12 B．10 C．8 重点难点题型十一：方程的检验 【例11】（24-25五年级上·河北邢台·期末）填序号。 ①    ②    ③ ④    ⑤ (1)等式有( )，方程有( )。 (2)方程( )解是。 【变式】（24-25五年级上·内蒙古赤峰·期末）①列竖式计算，并用乘法进行验算；②解方程，并进行检验。 ①11.7÷0.18＝               ②2×（x－3）＝5.8 重点难点题型十二：列方程解含一个未知数的问题 【例12】（24-25五年级上·云南昭通·期末）那拉高速公路是世界上海拔最高的高速公路，全长295千米。甲车每小时行92千米，乙车每小时行88千米，甲、乙两车分别从这条公路的两端相向开出，甲车出发0.8小时后，乙车才开出。乙车开出几小时后与甲车相遇？（列方程解决） 【变式】（24-25五年级上·湖南郴州·期末）根据《国家学生体质健康标准》，五年级女生“一分钟跳绳”的满分标准为158下，满分标准比合格标准的3倍少16下。五年级女生“一分钟跳绳”的合格标准是多少下？（列方程解答） 重点难点题型十三：列方程解含两个未知数的问题 【例13】（24-25五年级上·重庆长寿·期末）长寿柚是具有悠久历史和独特风味的水果。汁多味浓、醇甜化渣，素有“天然罐头”的美誉。妈妈买A、B两种长寿柚共用460元，已知两种长寿柚共买了50个。 ？ （1）在横线上提出一个两步及以上解决的数学问题。 规格（质量） 单价 A．1kg以上 10元/个 B．0.8kg～1kg 8元/个 （2）解答提出的问题。 【变式】（25-26五年级上·河北邢台·月考）王老师带200元去文具店为班级购买奖品。她计划买单价8元的毛笔和单价15元的钢笔。已知钢笔比毛笔少买4支，并且买完这两种奖品后，她还剩下30元。王老师买了多少支钢笔？ 重点难点题型十四：列方程解决稍复杂的实际问题 【例14】（25-26五年级上·全国·课后作业）《九章算术》的内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题。周老师利用暑假研究其中的问题，前30天每天研究了4个问题，剩下的问题准备每天研究3个，研究完所有问题还要多少天？ 【变式】（2023五年级上·全国·专题练习）“水是生命之源”，某市自来水供水公司为鼓励企业节约用水，按表规定收取水费： 用水量 单价（元/吨） 不超过40吨的部分 1.8 超过40吨的部分 2.2 另：每吨用水加收0.2元的城市污水处理费 某企业一月份共缴水费128元，则一月份用水多少吨？ 1．（24-25五年级上·湖南湘西·期末）下面方程中，的值最大的是（    ）。 A． B． C． D． 2．（24-25五年级上·河南商丘·期末）已知＋10＝，经过变换后两个式子依然相等的是（    ）。 A．＋10×3和×3 B．＋10－和－ C．（＋10）÷10和÷10 D．＋10÷5和÷5 3．（24-25五年级上·湖北黄石·期末）下面各题中的数量关系能用方程3x－x＝24表示的是（    ）。 A．合唱队共有24人，男生x人，女生的人数是男生的3倍 B．鸡兔同笼，兔有x只，鸡的只数是兔的3倍，鸡的脚的只数比兔多24 C．今年丫丫x岁，妈妈的年龄是丫丫的3倍，2年前妈妈比丫丫大24岁 D．一个数的3倍等于24减去它本身 4．（25-26五年级上·河北邢台·月考）一款游戏，玩家初始等级为1级，每升1级需要的经验值比前一级多20点。若想升到第n级需要经验值为180点，则n＝( )。 5．（25-26五年级上·重庆九龙坡·月考）星期天上午，小明和小英同时从自己的家出发步行到少年宫。已知小明的速度是60米/分，小英的速度是50米/分。两人同时到达少年宫，小明比小英多行90米。小明家距少年宫( )米，小英家距少年宫( )米。 6．（24-25五年级上·浙江嘉兴·期末）箱子里装有一定数量的乒乓球和羽毛球，乒乓球的数量是羽毛球的2倍。每次取出6个乒乓球和2个羽毛球，取了几次后，乒乓球取完了，羽毛球还剩8个。一共取了( )次，羽毛球原来有( )个。 7．（25-26五年级上·河北邢台·期中）若a÷b＝0.3，则a×3＝b。( )（判断对错） 8．（25-26五年级上·山东济宁·期中）今年景区接待游客a万人，去年比今年少50万人，再过x年，去年与今年的游客人数差仍然是50万人。( )（判断对错） 9．（24-25五年级上·江西赣州·期末）解方程。 3x－2×1.5＝4.2　　　        0.7÷2x＝3.5        5x＋1.2x＝31 10．（24-25五年级上·江西赣州·期末）如图，学校在李莹家和张亮家之间。每天放学回家，李莹要12分钟，张亮要16分钟。已知李莹每分钟行85米，张亮每分钟行多少米？（列方程解答） 11．（24-25五年级上·河北保定·期末）甲、乙两列火车从相距950千米的两地同时相向开出。甲车每小时行105千米，乙车每小时行85千米。经过几小时两车相遇？（用方程解答） 12．（25-26五年级上·河北沧州·期中）把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分4本，则剩余17本；如果每人分5本，则还缺28本，这批图书共有多少本？ 13．（24-25五年级上·河北沧州·期中）张阿姨去布店买了20米白布和花布，其中白布3.5元/米，花布4元/米。算账时，营业员把白布和花布的单价算反了，结果张阿姨付了74元。请问是张阿姨多付了，还是布店亏了？张阿姨多付了或者布店亏了多少钱？ 14．（22-23五年级上·福建莆田·期末）甲、乙两列火车分别从A、B两地同时出发，相向而行，经过1.5小时在离中点18千米处相遇。已知甲车速度是乙车的1.2倍，相遇时，两车各行了多少千米？（用方程解答）    15．（24-25五年级上·重庆渝中·期末）小威于早晨6点出发爬山，晚上6点到达山顶。第二天，他于早晨6点开始从山顶由原路下山，最后回到了原出发地。小威说：在上山和下山的途中经过P地时，他的手表显示出同样的时刻。你同意小威的说法吗？请说明理由。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $