（温故知新-寒假专供）专题04 百分数（一）（知识回顾+十大重点难点题型讲练+拔尖训练 共35题）-人教版数学六年级上册培优讲义

专题04 百分数（一） （知识回顾+十大重点难点题型讲练+拔尖训练 共35题） 【解析版】 知识回顾 1 知识点01：百分数的意义和读写法 1 知识点02：百分数与分数、小数的互化 2 知识点03：“求一个数是另一个数的百分之几”的问题 2 知识点04：“求一个数的百分之几是多少”的问题 3 知识点05：“求一个数比另一个数多（或少）百分之几”的问题 3 知识点06：“已知一个数比另一个数多（或少）百分之几，求这个数”的问题 3 题型讲练 4 重点难点题型一：百分数、分数、小数和比的互化 4 重点难点题型二：含百分数的运算 5 重点难点题型三：整数、小数、分数、百分数的简便运算 8 重点难点题型四：求一个数是另一个数的百分之几（百分率问题） 11 重点难点题型五：求一个数比另一个数多/少百分之几 12 重点难点题型六：求一个数的百分之几是多少 14 重点难点题型七：比一个数多/少百分之几的数是多少 15 重点难点题型八：已知一个数的百分之几是多少，求这个数 17 重点难点题型九：已知比一个数多/少百分之几是多少，求这个数 18 重点难点题型十：已知一部分量占总量的百分之几及另一部分量，求总量 19 拔尖训练 21 知识点01：百分数的意义和读写法 1. 百分数的意义 （1）定义：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。百分数也叫做百分率或百分比。 （2）核心：百分数只表示两个数之间的倍比关系，不表示具体的数量，因此后面不能带单位。 例如：①“出勤率是95%”表示出勤人数占总人数的；②“今年粮食产量比去年增产20%”表示增产的产量是去年产量的。 2. 百分数的读写法 （1）写法：百分数通常不写成分数形式，而是在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。 例：①百分之三十五写作 35%；②百分之一百二十写作 120%；③百分之零点六写作 0.6%。 （注意：%的两个小圆圈要写小，避免与数字混淆。） （2）读法：读百分数时，先读“百分之”，再读百分号前面的数。 例：①35%读作“百分之三十五”；②120%读作“百分之一百二十”。 知识点02：百分数与分数、小数的互化 1. 百分数与小数的互化 （1）小数化百分数：把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号（%）。 例：①0.35 = 35%（小数点右移两位得35，添%）；②1.2 = 120%；③0.006 = 0.6%。 （2）百分数化小数：去掉百分号（%），同时把小数点向左移动两位（位数不足时用0补足）。 例：①65% = 0.65（去掉%，小数点左移两位得0.65）；②120% = 1.2；③0.8% = 0.008。 2. 百分数与分数的互化 （1）分数化百分数： 方法①：先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再化成百分数。 例：① = 0.75 = 75%；② ≈ 0.333 = 33.3%。 方法②：若分数的分母是100的因数，可先将分数化成分母是100的分数，再写成百分数。 例：① = = 20%；② = = 15%。 （2）百分数化分数：先把百分数改写成分母是100的分数，再约分成最简分数（分子是小数的，先化成整数）。 例：①60% = = ；12.5% = = = 。 知识点03：“求一个数是另一个数的百分之几”的问题 1.意义：这类问题与“求一个数是另一个数的几分之几”的意义相同，只是结果要用百分数表示。 2.解题方法：用“一个数”除以“另一个数”，再将结果化成百分数。 通用公式：比较量 ÷ 单位“1”的量 × 100% = 百分率（百分之几） 关键：找准单位“1”的量和与单位“1”相比的比较量（即“一个数”是比较量，“另一个数”是单位“1”的量）。 3.常见百分率： （1）出勤率 = × 100% （2）合格率 = × 100% （3）成活率 = × 100% （4）发芽率 = × 100% （所有百分率都≤100%） 知识点04：“求一个数的百分之几是多少”的问题 1.意义：与“求一个数的几分之几是多少”的意义相同，用乘法计算。 2.解题方法：单位“1”的量 × 所求量对应的百分数 = 所求量 关键：准确找到单位“1”的量，并确认给出的百分数是所求量占单位“1”的百分之几。 知识点05：“求一个数比另一个数多（或少）百分之几”的问题 1.意义：求一个数比另一个数多（或少）的部分是另一个数（单位“1”的量）的百分之几。 2.解题方法： （1）先求一个数比另一个数多（或少）的具体数量（相差量）。 （2）再用相差量 ÷ 单位“1”的量 × 100% 通用公式： ①求A比B多百分之几：(A - B) ÷ B × 100% ②求A比B少百分之几：(B - A) ÷ B × 100% ③关键：找准单位“1”的量（通常是“比”字后面的那个量），以及两个量的相差量。 知识点06：“已知一个数比另一个数多（或少）百分之几，求这个数”的问题 1.特征：单位“1”的量是已知的，求比单位“1”多（或少）百分之几的那个数。 2.解题方法： （1）方法一：单位“1”的量 ± 单位“1”的量 × 多（或少）的百分数 = 所求量 （2）方法二：单位“1”的量 × [1 ± 多（或少）的百分数] = 所求量 （3）关键：理解“比单位‘1’多百分之几”就是“单位‘1’的（1 + 百分之几）”，“比单位‘1’少百分之几”就是“单位‘1’的（1 - 百分之几）”。 重点难点题型一：百分数、分数、小数和比的互化 【例1】（24-25六年级上·江西萍乡·期末）（    ）（    ）（    ）（填小数） 【答案】9；40；37.5；0.375 【思路引导】分数的基本性质：分数的分子分母同时乘或除以一个不为0的数，分数的大小不变； 分数与比的关系：分子做比的前项，分母做比的后项； 比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个不为0的数，比值不变。 分数化小数的方法：用分子除以分母，得到的商就是小数； 小数化百分数的方法：小数点向右移动两位，再加上百分号即可。 【完整解答】＝3∶8 3∶8 ＝（3×3）∶（8×3） ＝9∶24 ＝ ＝ ＝3÷8＝0.375 0.375＝37.5% 9∶24＝＝37.5%＝＝0.375。 【变式】（24-25六年级上·山西长治·期末）“嫦娥”探月、火箭飞天、“神舟”遨游……中国航天人合力将中国太空梦化为现实，并不断取得突破性进展。2024年6月4日，国家航天局公布了嫦娥六号在月球表面的国旗展示影像，鲜艳的五星红旗再次闪耀月球。这是中国首次在月球背面独立动态展示国旗，这面国旗的长是300毫米，宽为200毫米。2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射成功，神舟十九号航天员乘组顺利进入中国空间站，与神舟十八号航天员乘组在太空会师。中国空间站的飞行轨道近似一个圆形，半径约为0.7万千米。 （1）写出嫦娥六号在月球表面的国旗长和宽的最简单的整数比。 最简单整数比（    ）∶（    ）＝＝12∶（    ）＝（    ）%＝（    ）（填小数） （2）中国空间站绕轨道飞行一圈约多少万千米？ 【答案】（1）3；2；18；8；150；1.5 （2）4.396万千米 【思路引导】（1）计算长与宽的比300∶200，两边同时除以100，得到最简整数比为3∶2，3∶2＝3÷2＝。根据分数的基本性质：的分子、分母同时乘6就是；根据比的基本性质：比的前、后项都乘4就是12∶8；计算3÷2＝1.5；小数转化为百分数的方法是“小数点右移两位＋百分号”：1.5的小数点右移两位是150，加上百分号就是150%。 （2）空间站轨道近似圆形，根据圆的周长公式：C＝2πr（π取3.14），代入半径数值即可求出中国空间站绕轨道飞行一圈的长度。 【完整解答】（1）300∶200 ＝（300÷100）∶（200÷100） ＝3∶2 根据分析：最简单整数比3∶2＝＝12∶8＝150%＝1.5。 （2）2×3.14×0.7 ＝6.28×0.7 ＝4.396（万千米） 答：中国空间站绕轨道飞行一圈约4.396万千米。 重点难点题型二：含百分数的运算 【例2】（24-25六年级上·江西萍乡·期末）下面各题怎样简便就怎样算。                          【答案】8；4.1； 【思路引导】（1）先将分数以及百分数80%都化成小数，再根据乘法分配律逆运算进行简便计算即可； （2）根据乘法分配律将算式转化成进而进行简便计算即可； （3）将124改写成（125－1），再根据乘法分配律进而简便计算即可。 【完整解答】            ＝10×0.8 ＝8                ＝4.1    【变式】（24-25六年级上·江西南昌·期末）下面各题，怎样简便怎样计算。                                               71× 【答案】1；12；； ；； 【思路引导】按从左往右的顺序计算； 先算小括号里面的加法，再算括号外面的除法； 先把除法转化成乘法，再把后面的乘法改写成（）的形式，然后应用乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c将算式变成：计算比较简便； 先把除法转化成乘法，把百分数和小数化成分数，然后应用乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c将算式变成：计算比较简便； 运用乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c将算式变成：计算比较简便； 把71写成（69＋2），运用乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c将算式变成：计算比较简便。 【完整解答】 ＝ ＝1 ＝ ＝ ＝12 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 重点难点题型三：整数、小数、分数、百分数的简便运算 【例3】．（24-25六年级上·湖南娄底·期末）计算下面各题，能简算的要简算。                    【答案】15；1；11 【思路引导】把150%化成小数是1.5，2÷转化成2×，即2×1.5，再根据乘法分配律变为1.5×（7.4＋0.6＋2）简算。 先把分数除法变为分数乘法，即，再根据乘法分配律变为1×4－×4－×4约分简算。 把2×9算出18后，根据乘法分配律变为，约分简算。 【完整解答】 ＝1.5×7.4＋0.6×1.5＋2×1.5 ＝1.5×（7.4＋0.6＋2） ＝1.5×10 ＝15    ＝1×4－×4－×4 ＝4－2－1 ＝1 ＝9＋2 ＝11 【变式】（24-25六年级上·浙江台州·期末）脱式计算，能简算的要简算。                                   【答案】；2；3 2；4； 【思路引导】，先算除法，再算加法，除以一个数等于乘这个数的倒数； ，先算乘法，再算减法，最后算除法； ，将除法改写成乘法，百分数化成小数，逆用乘法分配律，先算（5.8＋0.2＋1），再与相乘； ，从左往右算； ，根据乘法结合律，转化成，同时算出两边小括号里的乘法，再算括号外的乘法； ，将2024拆成（2025－1），根据乘法分配律，小括号里的数分别与相乘，再相减。 【完整解答】 重点难点题型四：求一个数是另一个数的百分之几（百分率问题） 【例4】（25-26六年级上·河北唐山·期中）天天在玻璃杯中倒入200克水，再放入一枚鸡蛋，鸡蛋沉入水底，然后他在水中加入50克盐，这时盐水的含盐率是多少？ 【答案】20% 【思路引导】含盐率是指盐的质量占盐水总质量的百分比。根据题意，初始倒入200克水，加入50克盐后，盐水总质量应为水的质量与盐的质量之和，即200克 ＋ 50克 ＝ 250克。鸡蛋沉入水底，但鸡蛋是固体，不溶解于水，因此不影响盐水总质量的计算。盐的质量为50克，代入含盐率公式计算即可。 【完整解答】200＋50＝250（克） 50÷250×100% ＝0.2×100% ＝20% 答：这时盐水的含盐率是20%。 【变式】（25-26六年级上·河北唐山·期中）某班男生人数占全班人数的，男生与女生的人数比( )，女生占男生的( )%。（百分号前保留一位小数） 【答案】 3∶2 66.7 【思路引导】已知男生人数占全班人数的，把全班人数看作单位“1”，则女生人数占全班人数的（1－）； 根据比的意义得出男生与女生的人数比，并化简比； 用女生人数除以男生人数，求出女生占男生的百分之几。 【完整解答】1－＝ ∶ ＝（×5）∶（×5） ＝3∶2 ÷×100% ＝0.4÷0.6×100% ≈0.667×100% ＝66.7% 男生与女生的人数比（3∶2），女生占男生的（66.7）%。 重点难点题型五：求一个数比另一个数多/少百分之几 【例5】（24-25六年级上·河南郑州·期末）崔老师要到南京参加一个小学数学培训会，打算早上从郑州出发，她搜索到的二等座车票信息如图：（D218复兴号为动车，G1801为高铁） （1）高铁的车票价格比动车多百分之几？（百分号前保留整数） （2）崔老师买了10月25日7：40从郑州东站出发到南京南站的高铁车票，但她在10月23日8：30收到了培训时间调整的通知后，马上申请了退票，按照车票退票说明，崔老师能退回多少元？ 退票说明： ①距开车时间8天（含）以上退票的，不收取退票费； ②距开车时间48小时（含）以上、不足8天的，按票价的5%收取退票费； ③距开车时间24小时（含）以上、不足48小时的，按票价的10%收取退票费； ④距开车时间不足24小时的，按票价的20%收取退票费。 【答案】（1）169%；（2）293.4元 【思路引导】（1）根据题意，把动车的票价看作单位“1”，根据“求一个数比另一个数多百分之几”先求出高铁的票价比动车的票价多的价钱，再除以动车的票价，结果按照“四舍五入”的方法，保留两位小数，最后乘100%即可； （2）根据题意，先计算出退票时间与开车时间的间隔，然后按照退票说明，选择合适的档次区间，根据对应的区间计算出退回金额即可。 【完整解答】（1）（326－121）÷121×100% ＝205÷121×100% ≈1.69×100% ≈169% 答：高铁的车票价格比动车多169%。 （2）10月25日7：40－10月23日7：40＝2日＝48小时 8：30－7：40＝50分钟 48小时－50分钟＝47小时10分钟 所以退票时间距开车时间还有47小时10分钟。 因此，选择“③距开车时间24小时（含）以上、不足48小时的，按票价10%收取退票费” 326×（1－10%） ＝326×90% ＝293.4（元） 答：崔老师能退回293.4元。 【变式】（24-25六年级上·重庆·期末）下表是中国代表团参加第32届夏季奥林匹克运动会获得的奖牌数。 金牌 银牌 铜牌 数量 38枚 32枚 19枚 第33届奥林匹克夏季运动会中国代表团取得了全面参加夏季奥运会以来境外参赛历史最好成绩。 (1)第32届奥运会获得的金牌数比第33届少5%，第33届获得( )枚金牌。 (2)第32届奥运会获得的银牌数比第33届多17%，第33届获得( )枚银牌。 (3)第33届奥运会获得24枚铜牌，第32届获得的铜牌比第33届约少( )%。 【答案】(1)40 (2)27 (3)20.8 【思路引导】（1）已知第32届奥运会获得金牌数比第33届少5%，即第32届金牌数是第33届的，单位“1”是“第33届奥运会获得金牌数”，单位“1”未知，用除法解答。 （2）第32届奥运会获得的银牌数比第33届多17%，即第32届银牌数是第33届的，单位“1”是“第33届奥运会获得银牌数”，单位“1”未知，用除法解答，结果保留整数。 （3）求一个数比另一个数少百分之几，用少的量除以单位“1”，除不尽保留三位小数，最后的结果写成百分数。 据此解答。 【完整解答】（1） （枚） 所以第33届获得40枚金牌。 （2） （枚） 所以第33届获得27枚银牌。 （3） 所以第32届获得的铜牌比第33届约少。 重点难点题型六：求一个数的百分之几是多少 【例6】（25-26六年级上·河北石家庄·期中）根据规定，每位用户从微信零钱提现享有1000元的终身免费额度，提现超过1000元的部分要收取0.1%的手续费。李叔叔从微信零钱中首次提现3000元，要缴纳（    ）元手续费。 A．3 B．2 C．1 【答案】B 【思路引导】由题意可知，李叔叔从微信零钱中提现的3000元，其中1000元免收手续费，剩下的（3000－1000）元按0.1%收取手续费，则要缴纳的手续费是（3000－1000）×0.1%元，据此解答。 【完整解答】（3000－1000）×0.1% ＝2000×0.1% ＝2（元） 所以，要缴纳2元手续费。 故答案为：B 【变式】（24-25六年级上·江西萍乡·期末）希望小学组织学生开展植树活动，四年级植树200棵，五年级植树数量是四年级的，又是六年级植树数量的，六年级植树多少棵？ 【答案】360棵 【思路引导】根据“求一个数的百分之几是多少，用乘法计算”用200乘150%计算出五年级的植树数量；再根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算”用五年级植树数量除以即可。 【完整解答】 ＝ ＝ ＝ ＝360（棵） 答：六年级植树360棵。 重点难点题型七：比一个数多/少百分之几的数是多少 【例7】（24-25六年级上·山西长治·期末）山西被称为“面食之乡”，主要原因在于其悠久的历史和丰富的面食种类。山西面食的历史可以追溯到两千多年前，早在战国时期，山西地区就开始探索各种面食的制作方法。经过长时间的发展，山西人民在面食的烹饪技艺上积累了丰富的经验，形成了独特的面食制作工艺。明明家经营了一家拉面馆，他们买来一些消毒液（见下图），每天对店里进行消毒，保证店里干净卫生。 名称：XXX消毒液1.6升。 主要成分：对氯间二甲苯酚5%。 功效：适用于衣物、桌椅、厨房消毒，保障您和家人健康。 稀释方法：衣物消毒：取60毫升消毒液，加入约1.8升的水进行稀释。桌椅、厨房消毒：取60毫升消毒液，加入约6升的水进行稀释。 （1）从上面信息可知，这瓶消毒液中所含的主要成分“对氯间二甲苯酚”的体积是（    ）升。 （2）根据规定的稀释方法，在进行桌椅消毒时，消毒液与水体积的最简单的整数比是（    ）∶（    ），比值是（    ）。 （3）明明家的拉面馆是按照高于成本价30%来定价的，刚开业时，为吸引顾客，每碗面的售价比定价优惠20%。刚开业时，明明家售出一碗拉面是（    ）的（填“盈利”“亏损”或“不盈不亏”），写出你的理由。 【答案】（1）0.08； （2）1；100；； （3）盈利；理由见详解 【思路引导】（1）把消毒液的总体积看作单位“1”，对氯间二甲苯酚的体积占总体积的5%，对氯间二甲苯酚的体积＝消毒液的总体积×5%； （2）由题意可知，在进行桌椅消毒时，消毒液的体积是60毫升，水的体积是6升，消毒液的体积∶水的体积＝60毫升∶6升，根据“1升＝1000毫升”把高级单位转化为低级单位，再根据比的基本性质化简求出消毒液与水体积的最简单的整数比，最后求出比的前项除以后项的商就是比值； （3）把成本价看作单位“1”，定价比成本价多30%，定价＝成本价×（1＋30%），售价比定价少20%，售价＝定价×（1－20%），则售价＝成本价×（1＋30%）×（1－20%），由此求出售价再和成本价比较大小，如果售价大于成本价，那么明明家售出一碗拉面是盈利的；如果售价小于成本价，那么明明家售出一碗拉面是亏损的；如果售价等于成本价，那么明明家售出一碗拉面是不盈不亏的，据此解答。 【完整解答】（1）1.6×5%＝0.08（升） 所以，这瓶消毒液中所含的主要成分“对氯间二甲苯酚”的体积是0.08升。 （2）消毒液的体积∶水的体积 ＝60毫升∶6升 ＝60毫升∶（6×1000）毫升 ＝60∶6000 ＝（60÷60）∶（6000÷60） ＝1∶100 ＝1÷100 ＝ 所以，根据规定的稀释方法，在进行桌椅消毒时，消毒液与水体积的最简单的整数比是1∶100，比值是。 （3）假设成本价为a（a＞0）元。 定价：a×（1＋30%） ＝a×1.3 ＝1.3a（元） 售价：1.3a×（1－20%） ＝1.3a×0.8 ＝1.04a（元） 因为1.04a＞a，所以刚开业时，明明家售出一碗拉面是盈利的。 答：因为售价大于成本价，所以刚开业时，明明家售出一碗拉面是盈利的。 【变式】（25-26六年级上·河南郑州·期中）创新小学去年的毕业生是400人，今年毕业生比去年的毕业生增加了15%，明年的毕业生将比今年的毕业生少20%，创新小学明年毕业生共有多少人？ 【答案】368人 【思路引导】将去年毕业生的人数看作单位“1”，今年毕业生的人数是去年的（1＋15%），去年毕业生的人数×今年对应百分率＝今年毕业生的人数；再将今年毕业生的人数看作单位“1”，明年毕业生的人数是今年的（1－20%），今年毕业生的人数×明年对应百分率＝明年毕业生的人数，据此列式解答。 【完整解答】400×（1＋15%）×（1－20%） ＝400×1.15×0.8 ＝368（人） 答：创新小学明年毕业生共有368人。 重点难点题型八：已知一个数的百分之几是多少，求这个数 【例8】（24-25六年级上·浙江杭州·期末）某公园要栽种一批树苗，已知这批树苗的成活率在80%～90%之间。如果要保证有1000棵树苗成活，至少需要种 棵树苗。 【答案】1250 【思路引导】已知这批树苗的成活率在80%～90%之间，如果至少保证栽活1000棵树苗，求应栽多少棵，也就是按照最低的成活率80%计算，利用栽种棵数＝成活棵数÷成活率，根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法解答。 【完整解答】1000÷80% ＝1000÷0.8 ＝1250（棵） 所以至少需要种1250棵树苗。 【变式】（24-25六年级上·重庆·期末）重庆某超市购进了一批火锅底料，决定以每袋12.5元的价格出售，第一个星期卖出60%，这时还差84元收回全部成本。又过了一个星期全部售完，共获得利润516元，这批火锅底料的进价是( )元。 【答案】984 【思路引导】又过了一个星期全部售出后，总共获得利润516元，在这之前是还差84元才可以收回全部成本，说明又卖出的这部分的总额为516＋84＝600（元）；根据“总价÷单价＝数量”卖出的这部分火锅底料的数量是600÷12.5＝48（袋），而这48袋相当于总数的1－60%＝40%，已知一个数的百分之几是多少，求这个数用除法，可求出总袋数为48÷40%＝120（袋）；然后求出每袋火锅底料盈利为516÷120＝4.3（元），再用每袋火锅底料的定价减去盈利的部分即为购进价，12.5－4.3＝8.2（元），再用每袋火锅底料的购进价×120袋，即可算出这批火锅底料的进价。 【完整解答】（516＋84）÷12.5÷（1－60%） ＝600÷12.5÷40% ＝48÷40% ＝120（袋） 12.5－516÷120 ＝12.5－4.3 ＝8.2（元） 8.2×120＝984（元） 所以这批火锅底料的进价是984元。 【考点再现】本题考查百分数的应用，解题关键在于理清售价，成本和利润之间的数量关系。 重点难点题型九：已知比一个数多/少百分之几是多少，求这个数 【例9】（24-25六年级上·辽宁鞍山·期末）一个工厂由于采用了新工艺，现在每件产品的成本是38.7元，比原来降低了14%。原来每件产品的成本是多少元？ 【答案】45元 【思路引导】原来的成本是单位“1”，现在的成本就是原来成本的（1－14%），求单位“1”用除法，即用现在的成本除以（1－14%）即可。 【完整解答】 ＝45（元） 答：原来每件产品的成本是45元。 【变式】（25-26六年级上·全国·单元测试）某厂甲车间有工人180人，乙车间有工人120人，从两个车间共调出50名工人支援新厂，余下的工人因工作量增加，每人每天增加工资20%，因工种不同，现在甲车间工人每人每天工资60元，乙车间工人每人每天工资48元，已知甲、乙两个车间每天所发工资总额与以前相同，求甲车间现有工人多少人？ 【答案】150人 【思路引导】设甲车间现有工人人，则乙车间现有工人：人，现在的工资总额为元；每人每天增加工资20%后，甲车间工人每人每天60元，乙车间工人每人每天48元，则之前甲车间每人每天为元，算得50元；乙车间每人每天为元，算得40元，之前工资总额为元。根据“工资总额不变”列方程：，求解即可算出甲车间现有工人多少人。 【完整解答】 （元） （元） 解：设甲车间现有工人人，则乙车间现有工人： 人 答：甲车间现有工人150人。 【考点再现】解题关键在于先通过“现在工资是原来的（1＋20%）”求出甲、乙车间原来的每人每天工资，再依据“工资总额不变”这一等量关系，设未知数、列方程求解。 重点难点题型十：已知一部分量占总量的百分之几及另一部分量，求总量 【例10】（24-25六年级上·内蒙古通辽·期末）一辆汽车从A地开往B地，已行驶了全程的40%，离B地还有120千米，这辆汽车已行驶了多少千米？（先画线段图分析，再解答） 【答案】80千米 【思路引导】汽车已行驶全程的40%，则剩余全程的60%，已知剩余距离为120千米，对应60%，根据对应量÷对应百分率＝单位“1”。因此可以求出全程距离。全程距离为120 ÷ 60% ＝ 200千米。已行驶距离为全程的40%，根据求一个数的百分之几是多少，用这个数×百分之几，即200 × 40% ＝ 80千米。画图时候可以先画一大段，表示全程，然后把一大段分成一个小段和一个偏长点小段，小段是40%走的路程，剩下的是120千米没走的。 【完整解答】 120 ÷ 60% ＝ 200（千米） 200 × 40% ＝ 80（千米） 答：这辆汽车已行驶了80千米。 【变式】（24-25六年级上·贵州铜仁·期末）植树造林，涵水源保水土，促经济美环境，护生物利身心且调气候。今年春天，某花木公司种植了300棵果树，成活率为92%，后来花木公司又补种了一些果树，全部成活，最终果树的总成活率为95%。 （1）这批果树有多少棵没有成活？ （2）花木公司后来补种了多少棵果树？ 【答案】（1）24棵 （2）180棵 【思路引导】（1）把果树的总棵数看作单位“1”，则没有成活的棵数占总棵数的（1－92%），再根据求一个数的百分之几是多少，用乘法计算，即用300×（1－92%）即可求出这批果树有多少棵没有成活； （2）用没有成活的棵数除以对应的分率（1－95%），求出后来种的与原来的总棵数，减去300棵就是补种的棵数。据此解答。 【完整解答】（1）300×（1－92%） ＝300×8% ＝24（棵） 答：这批果树有24棵没有成活。 （2）24÷（1－95%）－300 ＝24÷5%－300 ＝24÷0.05－300 ＝480－300 ＝180（棵） 答：花木公司后来补种了180棵果树。 1．（2025六年级上·福建福州·专题练习）下列说法正确的有（    ）个。 ①如图中的阴影部分可以表示公顷。 ②圆的半径扩大到原来的5倍，面积和周长也扩大到原来的5倍。 ③一种商品，先降价10%，再涨价10%，商品现在的价格比原价低。 ④一条水渠，甲队单独修需13天，乙队3天能修，丙队每天能修三个工程队工作效率最低的是乙队。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】逐项进行分析，判断正确说法的个数。 A．把4公顷平均分成5份，求阴影部分表示的公顷数，用总公顷数除以份数，即4÷5＝公顷； B．根据圆的面积公式，周长公式，当半径扩大到原来的5倍时，面积变为，是原来的25倍；周长变为，是原来的5倍； C．把原价看作单位“1”，先降价10%后的价格是1×（1－10%），再涨价10%后的价格是1×（1－10%）×（1＋10%），计算可得1×（1－10%）×（1＋10%）＝0.9×1.1＝0.99，0.99＜1，所以现价比原价低； D．把这件工程的工作量看作单位“1”，甲队单独修需13天，其工作效率是1÷13＝；乙队3天能修，其工作效率是÷3＝×＝；丙队每天能修，比较三个队的工作效率＞＞，可知乙队工作效率最低。 【完整解答】A．根据分析可知，阴影部分表示的公顷数为公顷，并非题目中的公顷，所以原说法错误； B．根据分析可知，圆的半径扩大到原来的5倍，面积扩大到原来的25倍，周长扩大到原来的5倍，与原说法不一致，所以原说法错误； C．根据分析可知，现价比原价低，原说法正确； D．根据分析可知，乙队工作效率最低，原说法正确。 因此，说法正确的有2个。 故答案为：B 【考点再现】本题综合考查了分数的意义、圆的周长和面积、价格变化、工程效率比较等知识点，需要对每个知识点准确理解和运用。 2．（24-25六年级上·河北保定·期末）下面说法错误的有（    ）个。 （1）在“成活率、出勤率、命中率、增长率”四种百分率中，只有增长率可能超过100%。 （2）一个比的前项是3，如果前项增加6，要使比值不变，那么后项应该乘2。 （3）0.4千克也可以写成40%千克。 （4）400米标准跑道，如果跑一圈，相邻起跑线相差：跑道宽×2×π米。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】需要逐个判断4个说法的对错，再统计错误的数量：   （1）针对“百分率能否超过100%”，需明确成活率、出勤率、命中率的计算逻辑（部分≤整体，故≤100%），增长率的计算逻辑（增长部分可＞原数，故可＞100%）。 （2）针对“比的基本性质”，需先计算前项变化后的倍数，再确定后项应有的变化。 （3）针对“百分数的意义”，需明确百分数是比率，不能带单位。 （4）针对“跑道起跑线差距”，需分析相邻跑道的周长差（由弯道部分的半径差导致，周长差＝跑道宽×2×π）。 【完整解答】（1）成活率、出勤率、命中率的计算均是“部分量÷总量”（部分≤总量），故最多为100%；增长率是“增长量÷原量”（增长量可＞原量），故可超过100%，该说法正确。 （2）前项由3增加6变为9，是原前项的 9÷3＝3 倍；根据比的基本性质，要使比值不变，后项应乘3，而非乘2，该说法错误。 （3）百分数表示“一个数是另一个数的百分之几”，是比率，不能带单位（如“千克”），该说法错误。 （4）400米跑道的直道部分长度相同，相邻跑道的周长差由弯道（合为一个圆）的半径差（跑道宽）导致，周长差为 2×π×（r＋跑道宽） - 2×π×r ＝ 跑道宽×2×π ，该说法正确。 综上，错误的说法有2个。 故答案为：B 【考点再现】本题涉及的核心知识点：    1. 百分率的实际意义（部分≤整体的百分率≤100%，增长率可＞100%）； 2. 比的基本性质（前项、后项需同时乘/除以相同的数，比值不变）； 3. 百分数的定义（是比率，无单位）； 4. 圆的周长公式在跑道问题中的应用。 3．（2025六年级上·广东广州·专题练习）下面说法错误的是（    ）。 A．已知a和b互为倒数，则 B．甲的价格比乙高30%，乙的价格比丙高30%，那么甲的价格比丙高69% C．400m标准跑道，如果跑一圈，相邻起跑线相差：跑道宽×π D．，这是乐乐计算“”的过程，他是运用了统一“分数单位”来计算的。先运用分数的基本性质把两个分数单位进行统一，然后用两个分数的分数单位的个数相除来计算结果 【答案】C 【思路引导】A．互为倒数的两个数乘积为1，根据比与除法的关系，可以将比转化为除法计算。 B．根据题意，把丙的价格看作单位“1”，乙的价格比丙高30%，则乙的价格是丙价格的（1＋30%），甲的价格比乙价格高30%，用乙价格乘（1＋30%），得到甲价格，求甲比丙价格高的百分数，用甲和丙的价格差除以丙的价格，求出甲的价格比丙高百分之几即可。 C．相邻跑道之间起跑线相差距离等于相邻跑道的半径差乘2乘π。跑道宽就是相邻跑道的半径差。 D．分数的基本性质：分子与分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。利用分数的基本性质把两个分数单位进行统一，然后用两个分数的分数单位的个数相除来计算。 【完整解答】A．已知a和b互为倒数，ab＝1，则 ＝ ＝ ＝ 把ab＝1代入可得，。原题正确。 B．[1×（1＋30%）×（1＋30%）－1]÷1 ＝[1×（1＋0.3）×（1＋0.3）－1]÷1 ＝[1×1.3×1.3－1]÷1 ＝[1.69－1]÷1 ＝0.69÷1 ＝0.69 ＝69% 甲的价格比乙高30%，乙的价格比丙高30%，那么甲的价格比丙高69%。原题正确。 C．400m标准跑道，如果跑一圈，相邻起跑线相差：跑道宽×2×π。原题错误。 D．乐乐先运用分数的基本性质把两个分数单位进行统一，然后用两个分数的分数单位的个数相除来计算结果。计算方法是正确的。 故答案为：C 【考点再现】本题考查分数的基本性质，分数除法以及比与分数、除法的关系。 4．（25-26六年级上·河北唐山·期中）把2米长的绳子剪成相同的小段，剪了4次，每段占这根绳子的( )%，每段长( )米。 【答案】 20 0.4/ 【思路引导】因为剪的次数比段数少1，剪了4次，所以剪成的段数为次数加1；把这根绳子的全长看作单位“1”，平均分成5段，每段占全长的1÷5，即，然后乘100%转化为百分数；绳子全长2米，平均分成5段，用长度除以段数即可计算出每段的长度。 【完整解答】1÷（4＋1）×100% ＝1÷5×100% ＝×100% ＝20% 2÷5＝0.4（米） 所以每段占这根绳子的20%，每段长0.4米。 5．（24-25六年级上·重庆秀山·期末）据统计，某地今年12月份房价为0.72万元/平方米，比11月份降了万元，比去年同期下降了10％，该地11月份的房价是每平方米( )万元，去年同期每平方米( )万元。 【答案】 0.845 0.8 【思路引导】（1）12月份房价比11月份降了万元，因此11月份房价等于12月份房价加上下降的金额，列式0.72＋计算； （2）12月份房价比去年同期下降了10%，是把去年同期（12月份）的房价看作单位“1”，表示今年12月份房价是去年同期的1－10%，根据“已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法”，列式0.72÷（1－10%）计算。 【完整解答】（1）0.72＋ ＝0.72＋0.125 ＝0.845（万元） （2）0.72÷（1－10%） ＝0.72÷90% ＝0.72÷0.9 ＝0.8（万元） 因此，据统计，某地今年12月份房价为0.72万元/平方米，比11月份降了万元，比去年同期下降了10％，该地11月份的房价是每平方米0.845万元，去年同期每平方米0.8万元。 6．（2025·重庆渝北·小升初真题）容积不同的A、B两容器中都装有酒精溶液，A中的酒精浓度为72%，B中的酒精浓度为63%。若将A与B两容器中的酒精混合，混合后的浓度为68%；若A容器中的酒精用去50毫升，B容器中的酒精用去13毫升，再将两容器的剩余酒精混合，混合后的浓度为67%。A容器中原有酒精溶液 毫升。 【答案】110 【思路引导】根据题意分析，假设A、B两容器中的酒精体积分别是VA和VB，那么VA×72%＋VB×63%＝VA×68%＋VB×68%＝VA×（72%－68%）＝VB×（68%－63%），可得VA∶VB＝（68%－63%）∶（72%－68%）＝5%∶4%＝5∶4；设A容器中有酒精溶液5x毫升，B容器中有酒精溶液4x毫升，可得（5x－50）×72%＋（4x－13）×63%＝（5x－50）×67%＋（4x－13）×67%，解方程后再乘5即可求出A容器中的原有的酒精溶液的体积。 【完整解答】根据题意分析，假设A、B两容器中的酒精体分别是VA和VB，那么VA×72%＋VB×63%＝VA×68%＋VB×68%＝VA×（72%－68%）＝VB×68%－63%），可得VA∶VB＝（68%－63%）∶（72%－68%）＝5%∶4%＝5∶4； 解：设A容器中有酒精溶液5x毫升，B容器中有酒精溶液4x毫升。 （5x－50）×72%＋（4x－13）×63%＝（5x－50）×67%＋（4x－13）×67% （5x－50）×（72%－67%）＝（4x－13）×（67%－63%） （5x－50）×5%＝（4x－13）×4% （5x－50）×5＝（4x－13）×4 25x－250＝16x－52 25x－16x＝250－52 9x＝198 x＝22 22×5＝110（毫升） 所以A容器中原有酒精溶液110毫升。 【考点再现】本题的关键是运用酒精溶液混合后酒精总质量不变从而求出两种溶液体积比，并结合使用后剩余溶液中酒精质量建立等量关系列方程解答。 7．（24-25六年级上·河北邯郸·期末）期末考试六（1）班的优秀率为45%，六（2）班的优秀率为40%，所以六（1）班的优秀学生比六（2）班多。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】优秀率表示优秀学生人数占全班人数的百分比。六（1）班优秀率为45%，六（2）班优秀率为40%，但优秀学生人数的多少取决于班级总人数。若总人数相同，则优秀率高的班级优秀学生人数多；若总人数不同，则不一定。 【完整解答】优秀率是相对数（百分比），表示部分与整体的关系，不能直接比较绝对数量。优秀学生人数＝总人数×优秀率，若总人数未知，则无法比较优秀学生人数的多少。因此，“六（1）班的优秀学生比六（2）班多”这一结论不一定成立。 故答案为：× 8．（25-26六年级上·河北邢台·月考）如果一本故事书比一本漫画书贵24%，那么一本漫画书就比一本故事书便宜24%。( )（判断对错） 【答案】 × 【思路引导】解答这道题应明确：求比一个数多或少百分之几，用乘法；求一个数比另一个数多或少百分之几要用“多的”或“少的”除以单位“1”。 “故事书比漫画书贵24%”中，单位“1”是漫画书的价格；“漫画书比故事书便宜24%”中，单位“1”是故事书的价格。两句话的单位“1”不同，对应的百分比结果必然不同。可以利用“一本故事书比一本漫画书贵24%”，将单位“1”一本漫画书的价格假设为具体数量，利用漫画书的价格计算出一本故事书的价格，最后求出一本漫画书就比一本故事书便宜的百分率进行验证即可，据此解答。 【完整解答】设一本漫画书的价格为100元。 求故事书的价格： （元） 求一本漫画书就比一本故事书便宜百分之几： 所以一本漫画书就比一本故事书便宜约。 故答案为：× 【考点再现】在百分数的“一个数比另一个数多或少百分之几”问题中，比字后面的量就是单位“1”，单位“1”不同，计算出的百分率结果也不同。 9．（24-25六年级上·四川遂宁·期末）用你喜欢的方法计算。               34×＋53×75%－7×0.75         ÷（＋） ×－÷          （＋×）÷             ×58 【答案】4.8；60；； ；；7 【思路引导】（1）利用乘法交换律，交换和1.6的位置，先算×，再乘1.6，简化计算。 （2）先把、75%统一转化为0.75，再利用乘法分配律的逆运算，提取相同因数0.75，先算括号内的加减，再算乘法，简化计算。 （3）有括号先算括号内的加法，再将除法转化为乘法（除以一个数等于乘它的倒数），约分后计算。 （4）先把除法÷转化为乘法×，再利用乘法分配律，提取相同因数，先算括号内的－，再乘，简化计算。 （5）先算括号里的乘法，再算括号内的加法，最后把除法转化为乘法，约分计算。 （6）把58拆成57＋1，利用乘法分配律，分别用乘57和1，再把结果相加，简化计算。 【完整解答】（1）×1.6× ＝××1.6 ＝3×1.6 ＝4.8 （2）34×＋53×75%－7×0.75 ＝34×0.75＋53×0.75－7×0.75 ＝（34＋53－7）×0.75 ＝80×0.75 ＝60 （3）÷（＋） ＝÷（＋） ＝÷ ＝× ＝ （4）×－÷ ＝×－× ＝×（－） ＝×1 ＝ （5）（＋×）÷ ＝（＋）÷ ＝（＋）÷ ＝÷ ＝× ＝ （6）×58 ＝×（57＋1） ＝×57＋×1 ＝7 10．（24-25六年级上·重庆秀山·期末）从“东方红一号”到“天绘六号”卫星成功发射，中国航天科技集团研制并成功发射了400颗航天器，统称为“四百星”。 第一个“百星” 第二个“百星” 第三个“百星” 第四个“百星” 用时（单位：年） 41 6 3 2 完成第四个“百星”的时间比完成第一个“百星”的时间缩短了百分之几？ 【答案】95.12% 【思路引导】把完成第一个“百星”的时间看作单位“1”，完成第四个“百星”的时间比完成第一个“百星”的时间缩短的百分率＝（完成第一个“百星”的时间－完成第四个“百星”的时间）÷完成第一个“百星”的时间×100%，据此解答。 【完整解答】（41－2）÷41×100% ＝39÷41×100% ≈0.9512×100% ＝95.12% 答：完成第四个“百星”的时间比完成第一个“百星”的时间缩短了95.12%。 11．（25-26六年级上·河北邢台·月考）在电商购物节期间，一款原价3600元的平板电脑，先降价10%，在此基础上，店铺又返还售价5%的现金。那么购买这款平板电脑实际需要花费多少钱？ 【答案】3078元 【思路引导】把这款平板电脑的原价看作单位“1”，先降价10%，即降价后的价格相当于原价的（1－10%），用原价乘（1－10%）即可得降价10%后的价格；在此基础上，店铺又返还售价5%的现金，即返还后的价格相当于降价10%后的价格的（1－5%），用降价10%后的价格乘（1－5%）即可得购买这款平板电脑实际需要花费多少钱。即实际购买这款平板电脑要花的钱数＝平板电脑的原价×（1－10%）×（1－5%）。代入数据计算即可。 【完整解答】3600×（1－10%）×（1－5%） ＝3600×90%×95% ＝3600×0.9×0.95 ＝3240×0.95 ＝3078（元） 答：购买这款平板电脑实际需要花费3078元钱。 12．（25-26六年级上·湖南邵阳·月考）紫金山，又称钟山，位于南京市玄武区，是江南四大名山之一，有“金陵毓秀”的美誉，拥有众多的文物古迹。今年春节共接待游客约45万人次，比去年增长约20%。去年紫金山春节约接待游客多少万人次？（列方程解答） 【答案】 37.5万人次 【思路引导】题目中“比去年增长约20%”是关键条件，这里的20%是增长率，表示今年接待游客数量比去年多的部分占去年数量的20%。 由此可得数量关系： 今年人数 ＝去年人数 ×（1 ＋ 20%） 【完整解答】解：设去年紫金山接待游客约有x万人次。 （1 ＋ 20%）x ＝ 45 1.2x ＝ 45 1.2x ÷1.2 ＝ 45÷1.2 x ＝ 37.5    答：去年登紫金山的约有37.5万人次。 13．（24-25六年级上·浙江杭州·期末）小李老师看一本数学专著，第一周看了全书的35%，他仔细一算，发现如果再看5页，那么已经看的和没有看的页数比正好是3∶5。 （1）请画线段图表示题中的数学信息。 （2）请你提出一个数学问题。（该问题的解答需要用到题中的所有数学信息） （3）列式解答你提出的数学问题。 【答案】（1）见详解 （2）这本书一共有多少页？（答案不唯一） （3）200页 【思路引导】（1）画一条线段表示全书的页数，从左到右先截取一段表示第一周看的35%，再向右截取一小段表示5页，此时已看的页数（35%的部分加上5页这部分）和没有看的页数比是3∶5，将全书平均分成8份，已看的占3份，未看的占5份，据此画出线段图； （2）要综合运用题中所有的信息（第一周看了全书的35%、再看5页、已看的和没有看的比是3∶5）。可以提出：这本书一共有多少页？（答案不唯一）； （3）如果再看5页，已经看的和没有看的页数比正好是3∶5，则已经看的占全书的，因为第一周看了全书的35%，所以5页对应的就是全书的（－35%），根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法”，列式计算即可。 【完整解答】 （1） （2）这本书一共有多少页？（答案不唯一） （3）5÷（－35%） ＝5÷（－） ＝5÷（－） ＝5÷（－） ＝5÷ ＝5×40 ＝200（页） 答：这本书一共有200页。 【考点再现】解答本题的关键是根据第一周看的占比以及再看5页之后的占比，明确5页对应的是全书的几分之几。 14．（24-25六年级上·湖南湘西·期末）小文热爱科学，喜欢创新。有一天，他在阅读科学实验书籍时遇到了一个陌生的概念——“饱和盐水”。在查阅资料后，他收集到了以下几条信息。请你阅读并理解信息，再解决问题。 资料一：盐水浓度的计算方法：。 资料二：饱和盐水是指在一定温度下盐水中所含盐量达到最大限度（不能再溶解），如：水温50℃时饱和盐水的浓度约为27%。 （1）把24克盐放入216克水中，充分搅拌，全部溶解。盐水的浓度是多少？ （2）如果把盐水加热到50℃，还能再放入多少克盐，这杯盐水就会变成饱和盐水？（得数保留整数） （3）小文把这杯饱和盐水与300克含盐率为10%的盐水混合，现在盐水的含盐率是多少？（百分号前保留一位小数） 【答案】（1）10% （2）56克 （3）18.5% 【思路引导】（1）已知24克盐放入216克水中，根据盐水浓度的计算方法：，代入数据计算，求出盐水的浓度。 （2）加盐让这杯盐水变成饱和盐水，则盐和盐水的质量会发生变化，但水的质量不变。已知水温50℃时饱和盐水的浓度约为27%，那么水的质量占此时盐水质量的（1－27%），把此时盐水的质量看作单位“1”，单位“1”未知，用水的质量除以（1－27%），求出此时盐水的质量，再减去原来盐水的质量，即是需加入盐的质量。 （3）小文把这杯饱和盐与300克含盐率为10%的盐水混合，先计算300克含盐率为10%的盐水中盐的质量，再加上原来盐的质量以及变成饱和盐水时加入盐的质量，求出混合后盐水中盐的质量；然后根据盐水浓度的计算方法：，求出现在盐水的含盐率。 【完整解答】（1） 答：盐水的浓度是10%。 （2） （克） （克） 答：还能再放入56克盐，这杯盐水就会变成饱和盐水。 （3） （克） （克） 答：现在盐水的含盐率是18.5%。 【考点再现】（1）运用盐水浓度的计算方法求出含盐率。 （2）理解加盐使浓度增加时，水的质量不变，把增加后的盐水质量看作单位“1”，找出水的质量占后来盐水质量的百分之几，然后根据百分数除法的意义求出增加后盐水质量是解题的关键。 （3）先根据百分数乘法的意义求出后加入的盐水中含盐的质量，再运用盐水浓度的计算方法求出含盐率。 15．（25-26六年级上·湖南邵阳·月考）在下面的方格图中按要求画图。（每个小方格的边长是1厘米。） （1）画一个周长为16厘米，长和宽的比是5∶3的长方形。 （2）将所画的长方形的面积按3∶2分成两部分，其中小部分的面积画上斜线。 （3）画一个面积是8平方厘米的平行四边形，高和底的比是1∶2。 （4）画一个面积是12平方厘米的梯形。这个梯形的面积比上面平行四边形的面积多（    ）%。 【答案】（1）图见详解； （2）图见详解； （3）图见详解； （4）图见详解；50 【思路引导】（1）长方形的周长＝（长＋宽）×2，则长方形长加宽的和＝周长÷2，据此计算出长方形长加宽的和＝16÷2＝8（厘米），又知“长和宽的比是5∶3”，按比分配，长方形的长＝长方形长加宽的和×，长方形的宽＝长方形长加宽的和×，分别计算出长方形的长和宽再作图即可。 （2）长×宽＝长方形的面积，先计算出长方形的面积，再除以（3＋2）求出1份是多少，再用1份的量分别乘3和2计算分成两部分的图形面积分别是多少，并将其中小部分的面积画上斜线。 （3）平行四边形的面积＝底×高，8＝1×8＝2×4，又知“高和底的比是1∶2”，所以可以画一个高是2厘米，底是4厘米的平行四边形。 （4）梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，据此选择适当的数据让梯形的面积是12平方厘米即可，如：上底2厘米，下底4厘米，高4厘米，据此作图（答案不唯一） 这个梯形的面积比上面平行四边形的面积多百分之几，用梯形的面积比平行四边形的面积多的部分÷平行四边形的面积×100%，据此代入数据计算即可。 【完整解答】（1）16÷2＝8（厘米） （厘米） ＝3（厘米） 所以作一个长是5厘米，宽是3厘米的长方形即可； （2）3×5＝15（平方厘米） 15÷（3＋2）×2 ＝15÷5×2 ＝3×2 ＝6（平方厘米） 15÷（3＋2）×3 ＝15÷5×3 ＝3×3 ＝9（平方厘米） 所以长方形的面积分成一部分是6平方厘米，另一部分是9平方厘米的图形即可。 （3）2×4＝8（平方厘米） 2∶4＝1∶2 如下图：画一个高是2厘米，底是4厘米的平行四边形。 （4）（2＋4）×4÷2 ＝6×4÷2 ＝24÷2 ＝12（平方厘米） 所以如下图所示：画一个上底2厘米，下底4厘米，高4厘米的梯形。（答案不唯一） （12－8）÷8×100% ＝4÷8×100% ＝0.5×100% ＝50% 所以这个梯形的面积比上面平行四边形的面积多50%。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 百分数（一） （知识回顾+十大重点难点题型讲练+拔尖训练 共35题） 【原卷版】 知识回顾 1 知识点01：百分数的意义和读写法 1 知识点02：百分数与分数、小数的互化 2 知识点03：“求一个数是另一个数的百分之几”的问题 2 知识点04：“求一个数的百分之几是多少”的问题 3 知识点05：“求一个数比另一个数多（或少）百分之几”的问题 3 知识点06：“已知一个数比另一个数多（或少）百分之几，求这个数”的问题 3 题型讲练 4 重点难点题型一：百分数、分数、小数和比的互化 4 重点难点题型二：含百分数的运算 4 重点难点题型三：整数、小数、分数、百分数的简便运算 5 重点难点题型四：求一个数是另一个数的百分之几（百分率问题） 5 重点难点题型五：求一个数比另一个数多/少百分之几 6 重点难点题型六：求一个数的百分之几是多少 7 重点难点题型七：比一个数多/少百分之几的数是多少 7 重点难点题型八：已知一个数的百分之几是多少，求这个数 8 重点难点题型九：已知比一个数多/少百分之几是多少，求这个数 8 重点难点题型十：已知一部分量占总量的百分之几及另一部分量，求总量 9 拔尖训练 9 知识点01：百分数的意义和读写法 1. 百分数的意义 （1）定义：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。百分数也叫做百分率或百分比。 （2）核心：百分数只表示两个数之间的倍比关系，不表示具体的数量，因此后面不能带单位。 例如：①“出勤率是95%”表示出勤人数占总人数的；②“今年粮食产量比去年增产20%”表示增产的产量是去年产量的。 2. 百分数的读写法 （1）写法：百分数通常不写成分数形式，而是在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。 例：①百分之三十五写作 35%；②百分之一百二十写作 120%；③百分之零点六写作 0.6%。 （注意：%的两个小圆圈要写小，避免与数字混淆。） （2）读法：读百分数时，先读“百分之”，再读百分号前面的数。 例：①35%读作“百分之三十五”；②120%读作“百分之一百二十”。 知识点02：百分数与分数、小数的互化 1. 百分数与小数的互化 （1）小数化百分数：把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号（%）。 例：①0.35 = 35%（小数点右移两位得35，添%）；②1.2 = 120%；③0.006 = 0.6%。 （2）百分数化小数：去掉百分号（%），同时把小数点向左移动两位（位数不足时用0补足）。 例：①65% = 0.65（去掉%，小数点左移两位得0.65）；②120% = 1.2；③0.8% = 0.008。 2. 百分数与分数的互化 （1）分数化百分数： 方法①：先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再化成百分数。 例：① = 0.75 = 75%；② ≈ 0.333 = 33.3%。 方法②：若分数的分母是100的因数，可先将分数化成分母是100的分数，再写成百分数。 例：① = = 20%；② = = 15%。 （2）百分数化分数：先把百分数改写成分母是100的分数，再约分成最简分数（分子是小数的，先化成整数）。 例：①60% = = ；12.5% = = = 。 知识点03：“求一个数是另一个数的百分之几”的问题 1.意义：这类问题与“求一个数是另一个数的几分之几”的意义相同，只是结果要用百分数表示。 2.解题方法：用“一个数”除以“另一个数”，再将结果化成百分数。 通用公式：比较量 ÷ 单位“1”的量 × 100% = 百分率（百分之几） 关键：找准单位“1”的量和与单位“1”相比的比较量（即“一个数”是比较量，“另一个数”是单位“1”的量）。 3.常见百分率： （1）出勤率 = × 100% （2）合格率 = × 100% （3）成活率 = × 100% （4）发芽率 = × 100% （所有百分率都≤100%） 知识点04：“求一个数的百分之几是多少”的问题 1.意义：与“求一个数的几分之几是多少”的意义相同，用乘法计算。 2.解题方法：单位“1”的量 × 所求量对应的百分数 = 所求量 关键：准确找到单位“1”的量，并确认给出的百分数是所求量占单位“1”的百分之几。 知识点05：“求一个数比另一个数多（或少）百分之几”的问题 1.意义：求一个数比另一个数多（或少）的部分是另一个数（单位“1”的量）的百分之几。 2.解题方法： （1）先求一个数比另一个数多（或少）的具体数量（相差量）。 （2）再用相差量 ÷ 单位“1”的量 × 100% 通用公式： ①求A比B多百分之几：(A - B) ÷ B × 100% ②求A比B少百分之几：(B - A) ÷ B × 100% ③关键：找准单位“1”的量（通常是“比”字后面的那个量），以及两个量的相差量。 知识点06：“已知一个数比另一个数多（或少）百分之几，求这个数”的问题 1.特征：单位“1”的量是已知的，求比单位“1”多（或少）百分之几的那个数。 2.解题方法： （1）方法一：单位“1”的量 ± 单位“1”的量 × 多（或少）的百分数 = 所求量 （2）方法二：单位“1”的量 × [1 ± 多（或少）的百分数] = 所求量 （3）关键：理解“比单位‘1’多百分之几”就是“单位‘1’的（1 + 百分之几）”，“比单位‘1’少百分之几”就是“单位‘1’的（1 - 百分之几）”。 重点难点题型一：百分数、分数、小数和比的互化 【例1】（24-25六年级上·江西萍乡·期末）（    ）（    ）（    ）（填小数） 【变式】（24-25六年级上·山西长治·期末）“嫦娥”探月、火箭飞天、“神舟”遨游……中国航天人合力将中国太空梦化为现实，并不断取得突破性进展。2024年6月4日，国家航天局公布了嫦娥六号在月球表面的国旗展示影像，鲜艳的五星红旗再次闪耀月球。这是中国首次在月球背面独立动态展示国旗，这面国旗的长是300毫米，宽为200毫米。2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射成功，神舟十九号航天员乘组顺利进入中国空间站，与神舟十八号航天员乘组在太空会师。中国空间站的飞行轨道近似一个圆形，半径约为0.7万千米。 （1）写出嫦娥六号在月球表面的国旗长和宽的最简单的整数比。 最简单整数比（    ）∶（    ）＝＝12∶（    ）＝（    ）%＝（    ）（填小数） （2）中国空间站绕轨道飞行一圈约多少万千米？ 重点难点题型二：含百分数的运算 【例2】（24-25六年级上·江西萍乡·期末）下面各题怎样简便就怎样算。                          【变式】（24-25六年级上·江西南昌·期末）下面各题，怎样简便怎样计算。                                               71× 重点难点题型三：整数、小数、分数、百分数的简便运算 【例3】．（24-25六年级上·湖南娄底·期末）计算下面各题，能简算的要简算。                    【变式】（24-25六年级上·浙江台州·期末）脱式计算，能简算的要简算。                                   重点难点题型四：求一个数是另一个数的百分之几（百分率问题） 【例4】（25-26六年级上·河北唐山·期中）天天在玻璃杯中倒入200克水，再放入一枚鸡蛋，鸡蛋沉入水底，然后他在水中加入50克盐，这时盐水的含盐率是多少？ 【变式】（25-26六年级上·河北唐山·期中）某班男生人数占全班人数的，男生与女生的人数比( )，女生占男生的( )%。（百分号前保留一位小数） 重点难点题型五：求一个数比另一个数多/少百分之几 【例5】（24-25六年级上·河南郑州·期末）崔老师要到南京参加一个小学数学培训会，打算早上从郑州出发，她搜索到的二等座车票信息如图：（D218复兴号为动车，G1801为高铁） （1）高铁的车票价格比动车多百分之几？（百分号前保留整数） （2）崔老师买了10月25日7：40从郑州东站出发到南京南站的高铁车票，但她在10月23日8：30收到了培训时间调整的通知后，马上申请了退票，按照车票退票说明，崔老师能退回多少元？ 退票说明： ①距开车时间8天（含）以上退票的，不收取退票费； ②距开车时间48小时（含）以上、不足8天的，按票价的5%收取退票费； ③距开车时间24小时（含）以上、不足48小时的，按票价的10%收取退票费； ④距开车时间不足24小时的，按票价的20%收取退票费。 【变式】（24-25六年级上·重庆·期末）下表是中国代表团参加第32届夏季奥林匹克运动会获得的奖牌数。 金牌 银牌 铜牌 数量 38枚 32枚 19枚 第33届奥林匹克夏季运动会中国代表团取得了全面参加夏季奥运会以来境外参赛历史最好成绩。 (1)第32届奥运会获得的金牌数比第33届少5%，第33届获得( )枚金牌。 (2)第32届奥运会获得的银牌数比第33届多17%，第33届获得( )枚银牌。 (3)第33届奥运会获得24枚铜牌，第32届获得的铜牌比第33届约少( )%。 重点难点题型六：求一个数的百分之几是多少 【例6】（25-26六年级上·河北石家庄·期中）根据规定，每位用户从微信零钱提现享有1000元的终身免费额度，提现超过1000元的部分要收取0.1%的手续费。李叔叔从微信零钱中首次提现3000元，要缴纳（    ）元手续费。 A．3 B．2 C．1 【变式】（24-25六年级上·江西萍乡·期末）希望小学组织学生开展植树活动，四年级植树200棵，五年级植树数量是四年级的，又是六年级植树数量的，六年级植树多少棵？ 重点难点题型七：比一个数多/少百分之几的数是多少 【例7】（24-25六年级上·山西长治·期末）山西被称为“面食之乡”，主要原因在于其悠久的历史和丰富的面食种类。山西面食的历史可以追溯到两千多年前，早在战国时期，山西地区就开始探索各种面食的制作方法。经过长时间的发展，山西人民在面食的烹饪技艺上积累了丰富的经验，形成了独特的面食制作工艺。明明家经营了一家拉面馆，他们买来一些消毒液（见下图），每天对店里进行消毒，保证店里干净卫生。 名称：XXX消毒液1.6升。 主要成分：对氯间二甲苯酚5%。 功效：适用于衣物、桌椅、厨房消毒，保障您和家人健康。 稀释方法：衣物消毒：取60毫升消毒液，加入约1.8升的水进行稀释。桌椅、厨房消毒：取60毫升消毒液，加入约6升的水进行稀释。 （1）从上面信息可知，这瓶消毒液中所含的主要成分“对氯间二甲苯酚”的体积是（    ）升。 （2）根据规定的稀释方法，在进行桌椅消毒时，消毒液与水体积的最简单的整数比是（    ）∶（    ），比值是（    ）。 （3）明明家的拉面馆是按照高于成本价30%来定价的，刚开业时，为吸引顾客，每碗面的售价比定价优惠20%。刚开业时，明明家售出一碗拉面是（    ）的（填“盈利”“亏损”或“不盈不亏”），写出你的理由。 【变式】（25-26六年级上·河南郑州·期中）创新小学去年的毕业生是400人，今年毕业生比去年的毕业生增加了15%，明年的毕业生将比今年的毕业生少20%，创新小学明年毕业生共有多少人？ 重点难点题型八：已知一个数的百分之几是多少，求这个数 【例8】（24-25六年级上·浙江杭州·期末）某公园要栽种一批树苗，已知这批树苗的成活率在80%～90%之间。如果要保证有1000棵树苗成活，至少需要种 棵树苗。 【变式】（24-25六年级上·重庆·期末）重庆某超市购进了一批火锅底料，决定以每袋12.5元的价格出售，第一个星期卖出60%，这时还差84元收回全部成本。又过了一个星期全部售完，共获得利润516元，这批火锅底料的进价是( )元。 重点难点题型九：已知比一个数多/少百分之几是多少，求这个数 【例9】（24-25六年级上·辽宁鞍山·期末）一个工厂由于采用了新工艺，现在每件产品的成本是38.7元，比原来降低了14%。原来每件产品的成本是多少元？ 【变式】（25-26六年级上·全国·单元测试）某厂甲车间有工人180人，乙车间有工人120人，从两个车间共调出50名工人支援新厂，余下的工人因工作量增加，每人每天增加工资20%，因工种不同，现在甲车间工人每人每天工资60元，乙车间工人每人每天工资48元，已知甲、乙两个车间每天所发工资总额与以前相同，求甲车间现有工人多少人？ 重点难点题型十：已知一部分量占总量的百分之几及另一部分量，求总量 【例10】（24-25六年级上·内蒙古通辽·期末）一辆汽车从A地开往B地，已行驶了全程的40%，离B地还有120千米，这辆汽车已行驶了多少千米？（先画线段图分析，再解答） 【变式】（24-25六年级上·贵州铜仁·期末）植树造林，涵水源保水土，促经济美环境，护生物利身心且调气候。今年春天，某花木公司种植了300棵果树，成活率为92%，后来花木公司又补种了一些果树，全部成活，最终果树的总成活率为95%。 （1）这批果树有多少棵没有成活？ （2）花木公司后来补种了多少棵果树？ 1．（2025六年级上·福建福州·专题练习）下列说法正确的有（    ）个。 ①如图中的阴影部分可以表示公顷。 ②圆的半径扩大到原来的5倍，面积和周长也扩大到原来的5倍。 ③一种商品，先降价10%，再涨价10%，商品现在的价格比原价低。 ④一条水渠，甲队单独修需13天，乙队3天能修，丙队每天能修三个工程队工作效率最低的是乙队。 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25六年级上·河北保定·期末）下面说法错误的有（    ）个。 （1）在“成活率、出勤率、命中率、增长率”四种百分率中，只有增长率可能超过100%。 （2）一个比的前项是3，如果前项增加6，要使比值不变，那么后项应该乘2。 （3）0.4千克也可以写成40%千克。 （4）400米标准跑道，如果跑一圈，相邻起跑线相差：跑道宽×2×π米。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2025六年级上·广东广州·专题练习）下面说法错误的是（    ）。 A．已知a和b互为倒数，则 B．甲的价格比乙高30%，乙的价格比丙高30%，那么甲的价格比丙高69% C．400m标准跑道，如果跑一圈，相邻起跑线相差：跑道宽×π D．，这是乐乐计算“”的过程，他是运用了统一“分数单位”来计算的。先运用分数的基本性质把两个分数单位进行统一，然后用两个分数的分数单位的个数相除来计算结果 4．（25-26六年级上·河北唐山·期中）把2米长的绳子剪成相同的小段，剪了4次，每段占这根绳子的( )%，每段长( )米。 5．（24-25六年级上·重庆秀山·期末）据统计，某地今年12月份房价为0.72万元/平方米，比11月份降了万元，比去年同期下降了10％，该地11月份的房价是每平方米( )万元，去年同期每平方米( )万元。 6．（2025·重庆渝北·小升初真题）容积不同的A、B两容器中都装有酒精溶液，A中的酒精浓度为72%，B中的酒精浓度为63%。若将A与B两容器中的酒精混合，混合后的浓度为68%；若A容器中的酒精用去50毫升，B容器中的酒精用去13毫升，再将两容器的剩余酒精混合，混合后的浓度为67%。A容器中原有酒精溶液 毫升。 7．（24-25六年级上·河北邯郸·期末）期末考试六（1）班的优秀率为45%，六（2）班的优秀率为40%，所以六（1）班的优秀学生比六（2）班多。( )（判断对错） 8．（25-26六年级上·河北邢台·月考）如果一本故事书比一本漫画书贵24%，那么一本漫画书就比一本故事书便宜24%。( )（判断对错） 9．（24-25六年级上·四川遂宁·期末）用你喜欢的方法计算。               34×＋53×75%－7×0.75         ÷（＋） ×－÷          （＋×）÷             ×58 10．（24-25六年级上·重庆秀山·期末）从“东方红一号”到“天绘六号”卫星成功发射，中国航天科技集团研制并成功发射了400颗航天器，统称为“四百星”。 第一个“百星” 第二个“百星” 第三个“百星” 第四个“百星” 用时（单位：年） 41 6 3 2 完成第四个“百星”的时间比完成第一个“百星”的时间缩短了百分之几？ 11．（25-26六年级上·河北邢台·月考）在电商购物节期间，一款原价3600元的平板电脑，先降价10%，在此基础上，店铺又返还售价5%的现金。那么购买这款平板电脑实际需要花费多少钱？ 12．（25-26六年级上·湖南邵阳·月考）紫金山，又称钟山，位于南京市玄武区，是江南四大名山之一，有“金陵毓秀”的美誉，拥有众多的文物古迹。今年春节共接待游客约45万人次，比去年增长约20%。去年紫金山春节约接待游客多少万人次？（列方程解答） 13．（24-25六年级上·浙江杭州·期末）小李老师看一本数学专著，第一周看了全书的35%，他仔细一算，发现如果再看5页，那么已经看的和没有看的页数比正好是3∶5。 （1）请画线段图表示题中的数学信息。 （2）请你提出一个数学问题。（该问题的解答需要用到题中的所有数学信息） （3）列式解答你提出的数学问题。 14．（24-25六年级上·湖南湘西·期末）小文热爱科学，喜欢创新。有一天，他在阅读科学实验书籍时遇到了一个陌生的概念——“饱和盐水”。在查阅资料后，他收集到了以下几条信息。请你阅读并理解信息，再解决问题。 资料一：盐水浓度的计算方法：。 资料二：饱和盐水是指在一定温度下盐水中所含盐量达到最大限度（不能再溶解），如：水温50℃时饱和盐水的浓度约为27%。 （1）把24克盐放入216克水中，充分搅拌，全部溶解。盐水的浓度是多少？ （2）如果把盐水加热到50℃，还能再放入多少克盐，这杯盐水就会变成饱和盐水？（得数保留整数） （3）小文把这杯饱和盐水与300克含盐率为10%的盐水混合，现在盐水的含盐率是多少？（百分号前保留一位小数） 15．（25-26六年级上·湖南邵阳·月考）在下面的方格图中按要求画图。（每个小方格的边长是1厘米。） （1）画一个周长为16厘米，长和宽的比是5∶3的长方形。 （2）将所画的长方形的面积按3∶2分成两部分，其中小部分的面积画上斜线。 （3）画一个面积是8平方厘米的平行四边形，高和底的比是1∶2。 （4）画一个面积是12平方厘米的梯形。这个梯形的面积比上面平行四边形的面积多（    ）%。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $