专题6.3数列之求和 讲义——2026届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习资料聚焦数列求和核心考点，涵盖公式法、裂项、错位相减、分组求和四大题型，按“知识点梳理-典型例题精讲-随堂演练巩固”逻辑架构，通过考点系统梳理构建知识网络，典型例题提炼解题通法，随堂演练强化应用能力，助力学生突破求和难点。 资料以分层突破与素养培养为特色，如裂项求和中引导学生从通项公式抽象裂项模型，培养抽象能力，错位相减通过规范“乘公比-错位减-化简”步骤强化推理意识。设置基础到综合的梯度练习，配合即时反馈，帮助学生高效掌握高考高频题型，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用指导。

专题6.3数列之求和 6.3.1公式法求和 知迟点梳理 1.等差数列的前n项和公式：若已知首项0，和末项0，则S,=na+a,或等差数列 2 a 的首项是a,公差是d,则其前n项和公式为S。=na,+(m-d. 2 na,q=1 2.等比数列的前n项和公式：Sn= a1(1-q)_a-an9,q≠1 1-q1-q 3.一些常见的数列的前n项和： @12+2+32++n=2nln+1）(2n+1. 6 ②13+2+33+…+n3= n(n+1)12 2 典型例题 例1.设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=7,S3=15. (1)求{an}的通项公式； (2)求Sn,并求Sn的最大值及此时的n值. 例2.已知数列{an}中，a1=1,an+1=2an+1(nEN). (1)求证：数列{a+1}是等比数列； (2)求数列{am}的前n项和. 1 随堂演练 1.记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3+a4=7,3a2+a5=5,则S1o= 2.记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3=6,S5=-5,则S6=() A.-20 B.-15 C.-10 D.-5 3.记Sn为等比数列{am}的前n项和，若S4=-5,S6=21S2,则Sg=() A.120 B.85 C.-85 D.-120 4.已知正项等比数列{am}的前n项和为Sm.若a6-4a4-3a4a6+2a6-8a4=0,S4=15, 则S2023=（) A.22023-1 B.22022-1 C.22023 D.22022 5.已知在等差数列{an}中，a5=3,ag=-5. (1)求数列{an}的通项公式： (2)求数列{an}的前n项和Sm, 6.在等比数列{an}中， (1)S2=30,S3=155,求Sm: ②）a+s=10,a4+ad求S3 (3)am>0,Sn=80,S2m=6560,前n项中最大的一项为54，求a1,q 2 7.记Sn是公差不为0的等差数列{am}的前n项和，若a3=S5,a2a4=S4. (1)求数列{an}的通项公式an (2)求使Sn>an成立的n的最小值. 8.记Sn为数列{anm}的前n项和.已 2Sm+n=2a+1. n (1)证明：{an}是等差数列； (2)若a4,a7,ag成等比数列，求Sn的最小值. 3 6.3.2裂项求和 知迟点梳理 1.裂项求和之等差型 (1) 1=1-1 n(n+1)nn+1 2=1.1】 n(n+k)k nn+k and1引6 (4) aine1n22nne1 (eD(m2 1-1[1 -a-K n 1 5) 1 3n+1 c7)(n+1)n+2]+3(n+1n+2n+3) n+2n+3 (8)nln+1)=号nn+1n+2)-(n-1nln+1: (9)nn+i0n+2)=nn+1(n+2n+3)-n-1nn+1n+2 4 (10) 1 -1[1 1 n(n+1)(n+2)(n+3)3n(n+1)(n+2)(n+1)(n+2)(n+3) (11) 2n+1 nii 2) n+1 2.裂项求和之根式型 (1)n+1+n =Vn+1-Vn: 2》n+4而n+f-a, 1 (3)92n-1+2n+1 2n1-2n-i 1 11 (4)1++元 1 n+1-n-1 (5》m+2n+1+n-1+m-2n*1 2 (6) (n+1)n-nn+1 (n+1)n+nn+1 ( 3.裂项求和之指数型 (1) (21-1)-(2”-1)=1-1 (21-10(2-1)(21-10(2°-1）2”-12*1-1 名w (3)2。=2(n+1)少n=2111-1 n(n+1)2”n(n+1)2”nn+12n2(n+1)2m 非7 5 5)2n+1)1Y--1_1)" n(n+1) nn+1 (6)a,=n-3,设a,-(an+b)3”-a(n-1+b1-3,易得a=2b=} 则a,子2n-103”-子2n-3)-3 (7) a222a9223a-gy2a n2(n+1)21n(n+1)21 n(n+1)2n+1 al(ay (n+1)2n 典型例题 例1.已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a2+a4=14,且a1,a2,a成等比数列。 (1)求{an}的通项公式。 (2)设b,=1 anan+ 一，求数列{bn}的前n项和Sm。 例2.已知数列an}的前n项和为Sn,a1=1,S,=25,且3Sn+1-an=2Sn+S+2 (1)求数列an}的通项公式； 6 (2)设b.-2n-1+只2n+1 1 求数列bn}的前n项和Tn 随堂演练 3 已知数列a中，a专Q2。中neN,则aa的前n项和S 2.记Sn是公差不为零的等差数列{an}的前n项和，若S3=6,a1是a1和ag的等比中项. (I)求数列{an}的通项公式： 2)i记b,-。—1 anan+lan+2 求数列{bm}的前20项和. 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2+a4=10,S3=9. 7 (1)求{an}的通项公式： (2》设数列之的前n项和为7，求o anan+1 4.Sn为数列{an}的前n项和，已知am>0,a+2an=4Sn+3。 (1)求{an}的通项公式。 (2)设b,=1 一，求数列{bm}的前n项和。 anan+ 5.己知函数f(x)=x2-2x+4,数列{an}是公差为d的等差数列，a1=f(d-1), 8 a3=f(d+1)。 (1)求数列{an}的通项公式。 1,1 (2)若S,为数列{an的前n项和。求证：SS 1、1 十 十…+ 6.已知数列a,的前n项和为Sn且a,=8,S.=01-n-1 2 (1)求数列{an}的通项公式. 2×3” (2)求数列 的前n项和Tm anan+1 9 7.已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=an-4an-1,a1=-1. (1)证明：数列{2am+1-an}为等比数列； (2)设b.=nm+1' Qn+4_ 求数列{bm}的前n项和： 8.设数列{an}的前n项和为Sn,a1=8,S+l-4Sm=8. (1)求{an}的通项公式： 1 (2)l0g2dn'log2am1 ,求数列{bm的前n项和. 6.3.3错位相减法求和 10 专题6.3 数列之求和 6.3.1 公式法求和 知识点梳理 1.等差数列的前n项和公式：若已知首项和末项，则，或等差数列 的首项是，公差是d，则其前n项和公式为. 2.等比数列的前n项和公式：. 3.一些常见的数列的前n项和： ①. ②. 典型例题 例1.设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝7，S3＝15． （1）求{an}的通项公式； （2）求Sn，并求Sn的最大值及此时的n值． 解：（1）设等差数列{an}的公差为d，因为a1＝7，S3＝15． 所以3a1+3d＝15，解得d＝﹣2，所以an＝7﹣2（n﹣1）＝﹣2n+9； （2）由（1）可得Sn（a1+an）（7﹣2n+9）＝﹣n2+8n， 所以，当且仅当n＝4时，Sn的最大值为16． 例2.已知数列{an}中，a1＝1，an+1＝2an+1（n∈N*）． （1）求证：数列{an+1}是等比数列； （2）求数列{an}的前n项和． 解：（1）∵an+1＝2an+1，（n∈N*），∴an+1+1＝2（an+1），∴2， ∴数列{an+1}是以2为公比的等比数列. （2）由（1）知，数列{an+1}是等比数列，且q＝2，首项为a1+1＝2， ∴an+1＝2•2n﹣1＝2n，∴an＝2n﹣1， ∴数列{an}的前n项和sn＝（2+22+…+2n）﹣nn＝2n+1﹣n﹣2. 随堂演练 1.记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3+a4＝7，3a2+a5＝5，则S10＝　95　． 解：等差数列{an}中，a3+a4＝2a1+5d＝7，3a2+a5＝4a1+7d＝5， 解得，d＝3，a1＝﹣4， 则S10＝10×（﹣4）95． 故答案为：95． 2.记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝6，S5＝﹣5，则S6＝（　　） A．﹣20 B．﹣15 C．﹣10 D．﹣5 解：设等差数列{an}的公差为d， 因为S3＝6，S5＝﹣5， 所以，解得， 所以S6＝6a1+15d＝6×5﹣15×3＝﹣15． 故选：B． 3.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝﹣5，S6＝21S2，则S8＝（　　） A．120 B．85 C．﹣85 D．﹣120 解：等比数列{an}中，S4＝5，S6＝21S2，显然公比q≠1， 设首项为a1，则5①，②， 化简②得q4+q2﹣20＝0，解得q2＝4或q2＝﹣5（不合题意，舍去）， 代入①得， 所以S8（1﹣q4）（1+q4）（﹣15）×（1+16）＝﹣85． 故选：C． 4.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn．若，S4＝15，则S2023＝（　　） A．22023﹣1 B．22022﹣1 C．22023 D．22022 解：由题意，设正项等比数列{an}的公比为q（q＞0）， ∵，∴（a6﹣4a4）（a6+a4+2）＝0． ∵an＞0，∴a6+a4+2≠0，∴a6﹣4a4＝0，∴，解得q＝2（负值舍去）， ∴，∴a1＝1，∴． 故选：A． 5.已知在等差数列{an}中，a5＝3，a9＝﹣5． （1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列{an}的前n项和Sn． 解：（1）在等差数列{an}中，a5＝3，a9＝﹣5， 设等差数列{an}的公差为d，则4d＝a9﹣a5＝﹣5﹣3＝﹣8，解得d＝﹣2， ∴an＝a5+（n﹣5）d＝3﹣2（n﹣5）＝13﹣2n； （2）∵a1＝11，∴． 6.在等比数列{an}中， （1）S2＝30，S3＝155，求Sn； （2）a1+a3＝10，a4+a6，求S5； （3）an＞0，Sn＝80，S2n＝6560，前n项中最大的一项为54，求a1，q． 解：（1）S2＝30，S3＝155， ∴公比q≠1，， 解得a1＝q＝5，或，a1＝180． ∴Sn或Sn． （2）∵a1+a3＝10，a4+a6， ∴，解得， ∴S5． （3）an＞0，Sn＝80，S2n＝6560，设公比为q≠1．则80，6560， 可得qn＝81，a1＝q﹣1． （q﹣1）＝8154，可得q≤3． ∵an＞0，∴1＜q≤3．解得a1＝2，q＝3，n＝4，满足前n项中最大的一项为54． 7.记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若，． （1）求数列{an}的通项公式an； （2）求使成立的n的最小值． 解：(1)由等差数列的性质可得: ，则 ， 。设等差数列的公差为 ，从而有:. .从而: . 由于公差不为零，故 。数列的通项公式为:. (2)由数列的通项公式可得: ，则:. 则不等式 即:. 整理可得:.解得: 或 .又 为正整数，故 的最小值为 7. 8.记Sn为数列{an}的前n项和．已知． (1)证明：{an}是等差数列； (2)若，，成等比数列，求Sn的最小值． 解：(1) 因为 ，即 ① 当 时，② ①-②得，. 即 即 所以 且 所以 是以 为公差的等差数列. （2）方法一：由 (1) 可得 又 成等比数列, 所以 即 解得 所以 所以 所以, 当 或 时, 方法二：由 (1) 可得 又 成等比数列, 所以 即 解得 所以 即有 则当 或 时, 6.3.2 裂项求和 知识点梳理 1.裂项求和之等差型 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10） （11）； （12）. 2.裂项求和之根式型 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 3.裂项求和之指数型 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6），设，易得， 则； （7） . 典型例题 例1.已知数列{an}是公差不为零的等差数列，，且成等比数列。 （1）求{an}的通项公式。 （2）设，求数列{bn}的前n项和Sn。 解：(1)等差数列{an}中，，解得。 因成等比数列，即。 设{an}的公差为d，于是得。 整理得：，而d≠0，解得d=3。 ∴。 (2)由（1）知，。 ∴。 例2.已知数列的前 项和为 , , ，且. （1）求数列的通项公式; （2）设 , 求数列的前项和. 解：(1) 由 得： . 即 ，所以数列 为等差数列。 由 得 . 设公差为 ，，得 . 所以 . 故数列 的通项公式为 . (2)， 所以 . 随堂演练 1.已知数列{an}中，，，n∈N*，则{anan+1}的前n项和Sn＝ ． 解：因为， 所以，， 所以， 所以Sn（） 所以． 故答案为：． 2.记Sn是公差不为零的等差数列{an}的前n项和，若S3=6，a1是a1和a9的等比中项. (1)求数列{an}的通项公式； (2)记，求数列{bn}的前20项和. 解：(1)由题意知。 设等差数列{an}的公差为d，则。 ∵d≠0，解得。 又，。 ∴数列{an}是以1为首项和公差为1的等差数列， ∴。 (2)由（1）可知。 设数列{bn}的前n和为，则： 。 ∴，所以数列{bn}的前20和为。 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2+a4＝10，S3＝9． （1）求{an}的通项公式； （2）设数列的前n项和为Tn，求T1011． 解：（1）因为{an}是等差数列，可设首项为a1，公差为d， 由题意得：a2+a4＝（a1+d）+（a1+3d）＝2a1+4d＝10， S3＝a1+a2+a3＝3a1+3d＝9， 联立解得：d＝2，a1＝1， 所以{an}是首项为1，公差为2的等差数列， 所以an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1． （2）由上问可知，数列{an}是公差为2的等差数列，通项公式an＝2n﹣1． 所以， 从而可得， 从而可得， ． 4.Sn为数列{an}的前n项和，已知an>0，。 （1）求{an}的通项公式。 （2）设，求数列{bn}的前n项和。 解：（1）∵an2+2an＝4Sn+3。 ∴an+12+2an+1＝4Sn+1+3。 两式相减得：an+12﹣an2+2an+1﹣2an＝4an+1，整理得：an+12﹣an2＝2（an+1+an）。 又∵an＞0，∴an+1﹣an＝2。 又∵a12+2a1＝4a1+3，∴a1＝3或a1＝﹣1（舍）。 ∴数列{an}是以3为首项、2为公差的等差数列，∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1。 （Ⅱ）由（I）可知an＝2n+1。 ∴bn（）。 ∴数列{bn}的前n项和为：（(•。 5.已知函数，数列{an}是公差为d的等差数列，，。 （1）求数列{an}的通项公式。 （2）若Sn为数列{an}的前n项和。求证：。 解：（1）由题意可得：a1＝f（d﹣1）＝d2﹣4d+7，a3＝f（d+1）＝d2+3。 又由a3＝a1+2d，可得d＝2，所以a1＝3，an＝2n+1。 （2）证明：由题意，Sn。 ∴。 ∴。 6.已知数列 的前 项和为 , 且 , . （1）求数列 的通项公式. （2）求数列 的前 项和 . 解:(1)因为 , , 所以 . 当 时, , 即 . 又 . , , 所以 . 所以数列 是等比数列, 且首项为 , 公比为 . 所以 , 所以 . (2)因为 . 的前 项和 . 7.已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝an﹣4an+1，a1＝﹣1． （1）证明：数列{2an+1﹣an}为等比数列； （2）设，求数列{bn}的前n项和； 解：（1）证明：由Sn＝an﹣4an+1，a1＝﹣1， 可得n＝1时，a1＝S1＝a1﹣4a2，解得a2＝0， 当n≥2时，由Sn＝an﹣4an+1，可得Sn﹣1＝an﹣1﹣4an， 两式相减可得an＝Sn﹣Sn﹣1＝an﹣4an+1﹣an﹣1+4an， 化为4an+1＝4an﹣an﹣1， 即有2（2an+1﹣an）＝2an﹣an﹣1， 则数列{2an+1﹣an}首项为2a2﹣a1＝1，公比为的等比数列； （2）由（1）可得2an+1﹣an＝（）n﹣1， 即为2nan+1﹣2n﹣1an＝1， 则数列{2n﹣1an}是首项为﹣1，公差为1的等差数列，即有2n﹣1an＝﹣1+n﹣1＝n﹣2， 则an，， 可得数列{bn}的前n项和为...； 8.设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝8，Sn+1﹣4Sn＝8． （1）求{an}的通项公式； （2）若，求数列{bn}的前n项和． 解：（1）由Sn+1﹣4Sn＝8，a1＝8，可得（a1+a2）﹣4a1＝8，得a2＝32； 当n≥2时，由Sn+1﹣4Sn＝8，可得Sn﹣4Sn﹣1＝8， 两式相减可得an+1＝4an，对n＝1也成立， 所以{an}是首项为8，公比为4的等比数列，，n∈N*． （2）因为， 所以， 所以． 故数列{bn}的前n项和为，n∈N*． 6.3.3 错位相减法求和 知识点梳理 1.错位相减法：一般地，若数列{cn}的通项公式为，其中{an}是公差为d等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，我们可以用错位相减法求{cn}的前n项和. 2.求{cn}的前n项和具体过程： ① ①式两边同乘等比数列的公比q，得: ② ①－②，得：,化简求出. 典型例题 例1.已知数列{an}是首项为正数的等差数列，数列的前n项和为。 (1)求数列{an}的通项公式； (2)设，求数列{bn}的前n项和。 解：(1)设等差数列{an}的公差为d。 由数列的前n项和为，可得：。 化为：①，②。 ∵，由①②式可得:。 ∴。 (2)∵。 ∴数列{bn}的前n项和①。 ①×2得：②。 ①-②得：。 ∴。 例2.在前n项和为Sn的等比数列{an}中，3a2＝2a1+a3，S4＝30，S2＝38﹣a5． （1）求数列{an}的通项公式； （2）令bn＝an•log2an，求数列{bn}的前n项和Tn． 解：（1）设等比数列{an}的公比为q， 由3a2＝2a1+a3，得3a1q＝2a1+a1q2，即q2﹣3q+2＝0，解得q＝2或q＝1， 当q＝1时，由S4＝30，得4a1＝30，解得a1，此时S2＝2a1＝15≠38﹣a5＝38，故舍去q＝1， 当q＝2时，由S430，解得a1＝2， 所以an＝2×2n﹣1＝2n； （2）由（1）可知bn＝an•log2an＝2n•n， 所以Tn＝1×21+2×22+3×23+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n， 则2Tn＝1×22+2×23+3×24+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1， 两式相减得﹣Tn＝2+22+23+…+2n﹣1+2n﹣n•2n+1n•2n+1＝2n+1（1﹣n）﹣2， 所以Tn＝（n﹣1）•2n+1+2． 随堂演练 1.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n﹣an． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设数列{bn}的前n项和为Tn，且2bn＝（n﹣2）（an﹣1），若Tn≥λbn对于n∈N*恒成立，求λ的取值范围． 解：（1）∵Sn＝n﹣an， ∴Sn﹣1＝（n﹣1）﹣an﹣1（n≥2）， 两式作差得2an＝an﹣1+1，∴2（an﹣1）＝an﹣1﹣1， 当n＝1时，S1＝1﹣a1，∴， 所以{an﹣1}是首项为，公比为的等比数列， 故． （2）∵2bn＝（n﹣2）（an﹣1），∴， ∴，① ，② 两式作差得， 化简得， ∵Tn≥λbn恒成立，∴，n≥λ（2﹣n）， 当n＝1时，λ≤1； 当n＝2时，λ∈R； 当n≥3时，，，所以λ≥﹣1， 综上所述，﹣1≤λ≤1，即λ的取值范围是[﹣1，1]． 2.已知数列{an}中，a2＝1，设Sn为{an}前n项和，2Sn＝nan． （1）求{an}的通项公式； （2）求数列的前n项和Tn． 解：（1）当n＝1时，2S1＝a1，解得a1＝0， 当n≥2时，2Sn﹣1＝（n﹣1）an﹣1， ∴2an＝nan﹣（n﹣1）an﹣1，∴（n﹣1）an﹣1＝（n﹣2）an， 当n≥3时，可得， ∴an⋯a2＝n﹣1， 当n＝2或n＝1时，a1＝0，a2＝1适合上式， ∴{an}的通项公式为an＝n﹣1； （2）由（1）可得， ∴Tn⋯，∴Tn⋯， ∴Tn⋯1， ∴Tn＝2． 3.记Sn为数列{an}的前n项和，已知na1+（n﹣1）a2+…+an＝2Sn﹣1． （1）证明：数列{Sn}是等比数列； （2）求最小的正整数m，使得对一切n∈N*都成立． 解：（1）证明：na1+（n﹣1）a2+⋯+an＝2Sn﹣1． 则（n+1）a1+na2+⋯+an+1＝2Sn+1﹣1． 两式作差，可得a1+a2+⋯+an+an+1＝Sn+1＝2Sn+1﹣2Sn，即Sn+1＝2Sn． 由1×a1＝2S1﹣1，可得S1＝1≠0． 所以数列{Sn}是以1为首项，2为公比的等比数列． （2）解：由（1）得， n＝1时，a1＝S1＝1， 当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣1﹣2n﹣2＝2n﹣2， a1＝1不适合上式， 所以an 设，则T1＝1， 当n≥2时，， 故． 两式作差，得． 整理可得7， 又，因此满足条件的最小正整数m的值为7． 4.已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若，求数列{bn}的前n项和Tn． 解：（1）正项数列{an}的前n项和为Sn，且， 可得n＝1时，4a1＝4S1＝（a1+1）2，解得a1＝1， 当n≥2时，由，可得4Sn﹣1＝（an﹣1+1）2， 两式相减可得4an＝（an+1）2﹣（an﹣1+1）2， 化为（an﹣1）2﹣（an﹣1+1）2＝0，即为（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）＝0， 由an＞0，可得an﹣an﹣1＝2， 可得数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，即有an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1； （2）由（2n﹣1）（2n+1﹣1）＝（2n﹣1）•2n+1﹣（2n﹣1）， 设Mn＝1•22+3•23+...+（2n﹣1）•2n+1， 则2Mn＝1•23+3•24+...+（2n﹣1）•2n+2， 两式相减可得﹣Mn＝4+2（23+...+2n+1）﹣（2n﹣1）•2n+2＝4+2•（2n﹣1）•2n+2 ＝﹣12+（3﹣2n）•2n+2， 则Mn＝12+（2n﹣3）•2n+2； 设Un＝1+3+...+2n﹣1n（1+2n﹣1）＝n2． 可得数列{bn}的前n项和Tn＝Mn﹣Un＝12+（2n﹣3）•2n+2﹣n2． 5.已知数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn＝3an+4． （1）求{an}的通项公式； （2）设，求数列{bn}的前n项和为Tn． 解：（1）因为4Sn＝3an+4， 所以4Sn+1＝3an+1+4， 两式相减可得4an+1＝3an+1﹣3an， 即an+1＝﹣3an，又因为4S1＝3a1+4， 所以a1＝4，故数列{an}是首项为4，公比为﹣3的等比数列， 所以； （2）， 所以， 3•33+⋯+n•3n）， 两式相减可得： 4n）3n﹣2， 所以． 6.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2n+1，Sn，a成等差数列（n∈N*）． （1）求a的值及数列{an}的通项公式； （2）若bn＝﹣（an+1）an，求数列{bn}的前n项和Tn． 解：（1）等比数列{an}的前n项和为Sn，且2n+1，Sn，a成等差数列， 则：2Sn＝2n+1+a， ①当n＝1时，， ②当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣1， 由于数列是等比数列，则：． 解得：a＝﹣2． 所以： （2）若bn＝﹣（an+1）an， 则：， 则：3•21+…+（2n﹣1）•2n﹣1① 23•22+…+（2n﹣1）•2n②， ①﹣②得：2n﹣1）﹣1﹣（2n﹣1）•2n， 解得：． 7.已知数列的前项和为, ,且. （1）求数列的通项; （2）设数列满足, 记的前项和为,若 对任意 恒成立,求实数的取值范围. 解：(1) 当 时, . , . 当 时, 由 ①, 得 ②. ①-②得 . , , . 又 , 是首项为 , 公比为 的等比数列. . （2）由，得. 所以. . 两式相减得： 所以，由得： 恒成立，即恒成立. 当时，不等式恒成立； 当时， 当时， 所以. 6.3.2 分组求和 知识点梳理 一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． 典型例题 例1.已知数列满足，则其前n和 . 解：由等差数列与等比数列求和公式，可得：. 例2.已知公差不为零的等差数列{an}中，a1＝2，且a3，a5，a8成等比数列． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若，求数列{bn}的前n项和Tn． 解：（1）设{an}公差为d，由题意得（2+4d）2＝（2+2d）（2+7d）， 解得d＝1，或者d＝0（舍去）， ∴an＝n+1． （2）． 随堂演练 1.已知数列{an}满足a1＝2，an+1． （1）记bn＝a2n﹣1，证明：数列{bn}为等比数列，并求出数列{bn}的通项公式； （2）求数列{an}的前2n项和S2n． 解：（1）证明：因为bn＝a2n﹣1， 所以bn+1＝a2n+1＝2a2n+2＝2（a2n﹣1﹣1）+2＝2a2n﹣1＝2bn，又b1＝a1＝2， 所以数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，所以bn＝2n． （2）解：S2n＝（a1+a3+…+a2n﹣1）+（a2+a4+…+a2n） ＝（a1+a3+…+a2n﹣1）+[（a1﹣1）+（a3﹣1）+…+（a2n﹣1）] ＝2（a1+a3+…+a2n﹣1）﹣n ＝2•n＝2n+2﹣n﹣4． 2.在数列{an}中，a1＝﹣1，． （1）求证：数列{an+3n}为等比数列，并求数列{an}的通项公式； （2）设bn＝an+n，求数列{bn}的前n项和Tn． 解：（1）证明：∵， ∴当n≥2时，， ∴数列{an+3n}是首项为a1+3＝2，公比为2的等比数列， ∴，即； （2）由（1）得，则bn＝an+n＝2n﹣2n， ∴数列{bn}的前n项和． 3.已知数列{an}的前n项和为Sn，且． （1）求{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足bn，求{bn}的前2n项和T2n． 解：（1）由，可得a1＝S1＝1， n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1n（n+1）n（n﹣1）＝n，对n＝1也成立， 则an＝n，n∈N*； （2）bn， 则{bn}的前2n项和T2n＝（b1+b3+...b2n﹣1）+（b2+b4+...+b2n）（1...）+（4+16+...+4n） （1）． 4.在等比数列中, . （1）求的通项公式; （2）求数列的前项和. 解：（1）由题设 , , 则的公比 ，所以. （2）由 (1) 知：， 所以 . 5.等比数列的公比为，且成等差数列. （1）求数列的通项公式; （2）若，求数列的前项和. 解：（1）已知等比数列 的公比为 ，且 成等差数列， 。 。 解得 。 , . （2）。 。 根据等差数列和等比数列求和公式，得： . 综上，. 6.设是等差数列,是等比数列. 已知. （1）求和的通项公式; （2）设数列 满足,，其中 （i）求数列的通项公式; （ii）求. 解：（1）, 则 , 故 , 易知 , 又 , 则 , 又有 , 得公比 ( 舍去), 所以数列 的通项公式为 , 所以 , 故数列 的通项公式为 . （2）（i）由 (1) 知, , 所以 ; （ii）因为 ; 当 时, , 而. 则 , 所以当 时, . 综上对任意 恒有 , 故 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $