15.3.2　等边三角形课件 2025-2026学年 人教版八年级数学上册

该初中数学课件围绕等边三角形的性质与判定、含30°角直角三角形的性质展开，通过关联等腰三角形旧知、三角尺情境问题导入，搭建新旧知识脉络，以学习支架形式帮助学生逐步深入。 其亮点在于通过操作探究（如测量、拼图、折叠）培养几何直观，逻辑证明（如内角60°证明）发展推理意识，变式应用（如例1及变式题）提升应用意识。采用表格对比小结知识，学生能深化理解，教师可高效开展教学。

15.3.2　等边三角形 第1课时　等边三角形的性质与判定 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 知识关联 1.什么是等边三角形 ? 它与之前学过的等腰三角形有何关系? 三条边都相等的三角形叫作等边三角形，它是一种特殊的等腰三角形. 2.等腰三角形的性质和判定分别是什么? 性质：两腰相等 、等边对等角、 三线合一、轴对称图形 判定：两边相等、等角对等边 【探究1】等边三角形的性质 【概括新知】 探究与应用 等边三角形的性质 几何语言： ∵△ABC是等边三角形 ∴AB=BC=AC A B C 由定义可知:等边三角形三条边都相等. 【探究1】等边三角形的性质 【尝试交流】 探究与应用 A B C A B C 问题1 等边三角形的三个内角之间有什么关系？ 等腰三角形 AB=AC ∠B=∠C 等边三角形 AB=AC=BC AB=AC ∠B=∠C AC=BC ∠A=∠B ∠A=∠B=∠C 内角和为180° =60° 【探究1】等边三角形的性质 【验证证明】 探究与应用 等边三角形的三个内角都相等，并且每一 个角都等于60°. 已知：AB=AC=BC ， 求证：∠A= ∠ B=∠C= 60°. 证明： ∵AB=AC. ∴∠B=∠C .(等边对等角) 同理 ∠A=∠C . ∴∠A=∠B=∠C. ∵ ∠A+∠B+∠C=180°, ∴ ∠A= ∠B= ∠C=60 °. 【探究1】等边三角形的性质 【概括新知】 探究与应用 A B C 2. 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°. 几何语言： 在△ABC中 ∵AB＝AC＝BC ∴∠A＝∠B＝∠C＝60° 【探究1】等边三角形的性质 【尝试交流】 探究与应用 A B C A B C 问题2 等边三角形有“三线合一”的性质吗?等边三角形有几条对称轴？ 4.等边三角形每条边上的中线,高和所对角的平分线都“三线合一”. 顶角的平分线、底边的高 底边的中线 三线合一 一条对称轴 三条对称轴 3.等边三角形有三条对称轴 【探究1】等边三角形的性质 【归纳总结】 探究与应用 图形 等腰三角形 　性 质 每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合 三个角都相等， 对称轴（3条） 等边三角形 对称轴（1条） 两个底角相等 底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合 且都是60º 两条边相等 三条边都相等 【探究1】等边三角形的性质 【尝试交流】 探究与应用 A B C D E F 利用等边三角形三线合一填空： ∵ AB＝AC，BD＝DC ∴∠ ＝∠ , ⊥ ； ∵ AB＝BC，AE＝EC ∴∠ ＝∠ , ⊥ ； ∵ AC＝BC，AF＝FB ∴∠ ＝∠ , ⊥ . BAD CAD AD BC ABE CBE BE AC ACF BCF CF AB 【理解应用】 探究与应用 例1 如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长 线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE， 求:∠CED的度数． 解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°. ∵∠ABE＝40°， ∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°. ∵BE＝DE， ∴∠D＝∠EBC＝20°， ∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°. 【理解应用】 【变式 】 如图，等边三角形ABC的周长为12，BD⊥AC,垂足为D，延长BC至点E，使CE=CD。若BD=a，则△DBE的周长是 ( ) A.8+2a　　　　　B.8+a　　　　　C.6+a　　　　　D.6+2a D 探究与应用 【探究2】等边三角形的判定 【思考交流】 探究与应用 1.在△ABC中，∠A=∠B=∠C，你能得到AB=BC=CA吗？为什么? A B C 【探究2】等边三角形的判定 【概括新知】 探究与应用 等边三角形的判定方法： 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. A B C 几何语言： 在△ABC中 ∵AB＝AC，∠A＝60° ∴AB＝BC＝AC 【探究2】等边三角形的判定 【验证证明】 探究与应用 已知：AB＝AC，∠B＝60°. 求证：AB＝BC＝BC. 证明：∵AB＝AC ∴∠B＝∠C＝60° ∵∠A＝180°－∠B－∠C ∴∠A＝180°－60°－60°＝60° ∴∠A＝∠B＝∠C ∴AB＝BC＝AC A B C 【概况归纳】 归纳等边三角形的判定方法: (1)三个角都相等的三角形是等边三角形. (2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 探究与应用 【探究2】等边三角形的判定 探究与应用 【理解应用】 例2 如图，在等边三角形ABC中，DE∥BC, 求证：△ADE是等边三角形. A C B D E 证明： ∵ △ABC是等边三角形， ∴ ∠A= ∠B= ∠C. ∵ DE//BC, ∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C. ∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED. ∴ △ADE是等边三角形. 想一想：本题还有其他证法吗？ 探究与应用 【理解应用】 　证明：∵　△ABC 是等边三角形， ∴　∠A =∠ABC =∠ACB =60°． ∵　DE∥BC， ∴　∠ABC =∠ADE， ∠ACB =∠AED. ∴　∠A =∠ADE =∠AED. ∴　△ADE 是等边三角形. 变式1　若点D、E 在边AB、AC 的延长线上，且 DE∥BC，结论还成立吗？ A D E B C 探究与应用 【理解应用】 变式2　若点D、E 在边AB、AC 的反向延长线上，且DE∥BC，结论依然成立吗？ 　　证明： ∵　△ABC 是等边三角形， ∴　∠BAC =∠B =∠C =60°． ∵　DE∥BC， ∴　∠B =∠D，∠C =∠E． ∴　∠EAD =∠D =∠E． ∴　△ADE 是等边三角形． A D E B C 【小结】 课堂小结与检测 等边 三角形 定义 底=腰 特殊性 性质 特殊性 边 三边相等 角 三个角都等于60 ° 轴对称性 轴对称图形，每条边上都具有“三线合一”性质 判定 特殊性 三边法 三角法 等腰三角形法 【检测】 课堂小结与检测 D 1．下列关于“等边三角形”的说法不正确的是(　　) A．等边三角形的三条边都相等 B．等边三角形的三个内角都相等且都等于60° C．等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴 D．等边三角形与等腰三角形具有相同的性质 【检测】 课堂小结与检测 2．给出下列几种三角形：①三个角都相等的三角形；②有两个角等于60°的三角形；③有一个角是60°的等腰三角形；④有两个角相等的等腰三角形．其中一定是等边三角形的有(　　) A．0种 B．1种 C．2种 D．3种 D 【检测】 课堂小结与检测 3 . 如图，在等边三角形ABC中，D是边BC的中点,则∠BAD=　 　.  30° 【检测】 课堂小结与检测 4 . 如图在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD=　 30° 【检测】 课堂小结与检测 5．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠B＝60°，则∠A＝________°. 60 15.3.2　等边三角形 第2课时　含30°角的直角三角形的性质 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 【情境问题】 我们经常使用的三角尺是两个特殊的直角三角形，其中一个是等腰直角三角形，它有两个45°的锐角，两条直角边相等；那么另一个三角尺的锐角是多少度？它的哪两条边存在特殊数量关系呢? 探究与应用 【探究1】 含30°角的直角三角形的性质 【操作尝试】 如图，在△ABC中,∠C=90°，∠A=30°，测量∠A所对的直角边BC与斜边AB的长度，你能得到什么结论？ 探究与应用 再画几个满足条件的三角形，你得到的结论还成立吗? 【探究1】 含30°角的直角三角形的性质 【尝试交流】 1.拼图法 探究与应用 将两个含30°角的三角尺按如图所示摆放在一起，观察并回答下面的问题: (1)判断△ABD的形状，依据是什么? (2)线段BC与CD的大小有什么关系？为什么? (3)线段BC与AB的大小有什么关系？为什么? 【探究1】含30°角的直角三角形的性质 【尝试交流】 2.折叠法 探究与应用 将一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示，你有什么发现？ 【探究1】含30°角的直角三角形的性质 3.几何证明法 探究与应用 已知 : 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°. 求证 : BC=AB. 【探究1】含30°角的直角三角形的性质 3.几何证明法 探究与应用 ①倍长法 A B C D ∴BC = BD．　　 ∴BC = AB．　　 证明：在△ABC 中，∵　∠C =90°，∠A =30°, ∴　∠B =60°． 延长BC 到D，使BD =AB，连接AD， 则△ABD 是等边三角形． 又∵AC⊥BD, 【探究1】含30°角的直角三角形的性质 3.几何证明法 探究与应用 ②截半法 E A B C 证明： 在BA上截取BE=BC，连接EC. ∵ ∠B= 60° ，BE=BC. ∴ △BCE是等边三角形， ∴ ∠BEC= 60°，BE=EC. ∵ ∠A= 30°， ∴ ∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30° = 30°. ∴ AE=EC， ∴ AE=BE=BC， ∴ AB=AE+BE=2BC. ∴　BC = AB．　　 【探究1】含30°角的直角三角形的性质 【概括新知】 探究与应用 含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 应用格式： ∵　在Rt△ABC 中， 　　∠C =90°，∠A =30°，　　 A B C ∴　BC = AB．　　 ） 30° 事实上，定理的逆命题也是真命题: 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的角等于30°. 【理解应用】 探究与应用 思考：图中BC、DE 分别是哪个直角三角形的直角边？它们所对的锐角分别是多少度？ 例1 如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC，DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，∠A =30°，立柱BC、DE 要多长. A B C D E 【理解应用】 探究与应用 A B C D E 解：∵DE⊥AC,BC ⊥AC, ∠A=30 °， ∴BC= AB, DE= AD. ∴BC= AB= ×7.4=3.7(m). 又AD= AB, ∴DE= AD= ×3.7=1.85 (m). 答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m. 探究与应用 【理解应用】 例 2 在 △ABC中 ，AB=AC，∠BAC=120° ，D是BC的中点，DE⊥AB于E点，求证：BE=3EA. 证明：∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠B=∠C=30°. ∵ D是BC的中点，∴AD⊥BC ∴∠ADC=90°，∠BAD=∠DAC=60°. ∴AB=2AD. ∵DE⊥AB，∴∠AED=90°， ∴∠ADE=30°，∴AD=2AE. ∴AB=4AE，∴BE=3AE. 【小结】 课堂小结与检测 内容 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 使用要点 含30°角的直角三角形的性质 找准30 °的角所对的直角边，点明斜边 注意 前提条件：直角三角形中 【检测】 课堂小结与检测 1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是(　　 ) A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm D 【检测】 课堂小结与检测 2. 如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于(　　) A．3 B．2 C.1.5 D．1 E C 【检测】 课堂小结与检测 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB+BC=12 cm，则AB=　 　cm.  8 【 检测】 课堂小结与检测 4. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB,交BC于点D，若CD=1，则BD= . 2 $