4.4 降阶公式-高等代数考研解析

高等代数考研解析 （2)由于R=r,则存在可逆矩阵P使得PAP=MO）,RMD=r: 00 又： E RTM OE RT M MRT RE八OO八RERM M(E,R) (E R 令P=BRE ,则P可逆，且有PFAP= E, M(E,R) R 202 0) 17 1 > 例3（湖南师范大学，2020）设数域P上的矩阵A= 求A1。 20-2 0 16-1-6 20 显然A,A,是可逆矩 阵，对分块矩阵做初等变换，可得： (A,E)= AA E O E OAA A400E 则： 其中： 0 4.4降阶公式 例1（兰州大学，2019）设A,B,C,D都是阶方阵，其中A≠0，且AC=CA, 102 4矩阵 A运 证明：利用分块矩阵的广义初等变换，可得： E OA BE-ABA 0 、-C4 EC DO EO D-c4'B 两边取行列式，得： &8-日n-&xp-4-n-Acaw-网 例2（中国科技大学，2016）设P=C), 其中A,Da-a)p 若A可逆， 则P=AD-CAB:若D可逆，则P=|DA-CDB。 证明：利用分块矩阵的广义初等变换，有： 86 两边同时取行列式，得： 上8-6n8rap-c48 A BA a'c A 例3（华中科技大学，2019）已知a,B为n维列向量，则E+6=1+aB。 证明：构造分块矩阵并做初等变换，得： 1031 高等代数考研解析 〔6 对上面两式取行列式，有： B.=-1-d'B 安r9-E-a-s+0l 即E+a8T=1+ap。 1+4 1 1 例4计算P= 1 1+a2 Πa≠0。 y 1+4. 解：利用加边法化成箭形行列式。令： A B P-C D) A=(①，B=(1,1,,1) C=(-1,-1,,-1),D=diag(4,42,,n) 则： 时s =a4-a.0+∑a) 1=1 104 4矩阵 例5（陕西科技大学，2020）设Am,Bn为矩阵，则 E B A E. =E,-AB=E-BA 证明：构造分块矩阵并做广义初等变换，得： 式子两边取行列式，得： B 片E医怡Ew-上压-A网=E 片长。A-E4-E4 B E 2医-区-4 即 例6（北京工业大学，2020)(1)设Am,Bmn为矩阵，元≠0，则： |En-AB=入-AE-BA4 (2)设矩阵A= 11. 1 其申2.且41,4-1，令 B=ATA-E,求B的全部特征值及B的行列式B。 证明：(1)构造分块矩阵并做广义初等变换，有： B G25。)】 式子两边取行列式，得： 1051 高等代数考研解析 AE OE-BA AA AE-A E 25E。-B4=x迈。-B4 E EE BE B -A E.1A 2E. 0 E.-AB-E-IlE.-A-E.-AB 即元"|2En-AB=|2Em-BA。 （2)利用（1)的结论。 由E-B=E-AA+E=(几+1)E-ATA,可知： aE-B=(+1)E。-AA=(a+1)-2(a+1)E2-A4T =(+1)-2(+1)E2 =a+21-n-1 -1 +1- =(2+1)-2(-n+2)(2-) 从而B的全部特征值为=-1（n-2重)，元=n-2,元=n,B=(←1)2(n-2)。 例7（陕西师范大学、吉林工业大学，2020）设Am,Bn为矩阵，AB,BA的 特征多项式分别为f(),f(),当≥时，f()=元m-"∫4()。 证明：设R(A)=r,则存在可逆矩阵Pm,nm,使PAQ= 2BP= (BB, BB B,为阶方阵，则： PABP=PAQO BP= B B2 、0 QBAO=OBPPA0 8 于是有 106 4矩阵[ f()=E。-AB= fin()=E-AB|= 。E副 比较两式有： AE,-B=入-mf4B()=入"f4(2) 即f4B()=入m-"f4()。 4.5 试题解析 例1（上海交通大学，2020）设A是数域P上的阶矩阵，则(1)若A与所有 对角矩阵可交换，则A是对角矩阵；(2)若A与所有矩阵可交换，则A是数量矩阵。 证明：(1)设 41142 凸a (by 0… 0 421a22 0 0 A a 与B= b 0142… Xxmn 0 0. b. 可交换，则有ab=a,b,ij=1,2,,n,即4（他-b,)=0;当i≠j时，b≠b,则 4=0i≠)，从而A是对角矩阵。 (2)由A与所有矩阵可交换，可知A与特殊矩阵E,可交换，从而： AE=EA 即a=a6,j=1,2,,m,4,=06≠)，从而A是数量矩阵。 -20-1 例2（华东师范大学，2020）设A= 12 b 求所有a,b的值，使得A是 a子 0 幂零矩阵（矩阵A称为幂零矩阵是指存在正整数k使得A=0)。 1071