4.3 分块矩阵的应用-高等代数考研解析

4矩阵 (A)+R(A)≤n,即R(A)≤1，则R(A)=1。 当R(A)<n-1时，则A的所有n-1阶子式都为零，即A=0,则R(A)=0。 4.3分块矩阵的应用 分块矩阵对于矩阵命题的证明起到事半功倍的效果，如方阵的行列式、矩阵的 秩的等式与不等式等。 4.3.1矩阵秩的不等式 例1（矩阵秩的降阶定理)设M= A B 若A是可逆矩阵，则： C D R(M)=R(A)+R(D-CAB) 若D是可逆矩阵，则R(M)=R(D)+R(A-BDC)。 证明：由A为可逆矩阵，分块矩阵的乘法有： 故有： RA B) A B R C DO D-CA-B =R(A)+R(D-CAB) 例2（西北师范大学，2024）设A,B为矩阵，则R(AB)≥R(A)+R(B)-,其 中n为A的列数或B的行数。 证明：（方法一）由例1有 R(AB)=R(O+AEB)=R EB-R(E (-A0 =R8f)-R国=R小+R- 0871 高等代数考研解析 (方法二)命题实际转化为+R(AB)≥R(A)+R(B)。 令n+R(AB)=R E。0,又： O AB 8-ǖ8-6a)6 则： B E =R ≥R(B)+R(A) (方法三)只要证明+R(AB)≥R(A)+R(B),构造分块矩阵并做广义初等变 换。事实上，由： E 医6m680周 0= (-B E ≥R(A)+R(A) (方法四)设R(A)=T,R(B)=S,R(AB)=t,则存在可逆矩阵Pxm,Qxn,使 0, PA0=0 E 则： PAB-PAQQQ） C) 放R《O》-RM剧=R4到=：又 088 4矩阵[ em-cj小o)c） 故： 國-R但mR刃小RcO》 从而R(AB)≥R(A)+R(B)-n。 该命题为希尔维斯特不等式，事实上它是费罗贝纽斯不等式的一种特殊情况。 例3（兰州大学，2020)设A,B,C分别为×n,m×S,s×t矩阵，则： R(ABC)R(AB)+R(BC)-R(B) 证明：（方法一）只要证R(ABC)+R(B)≥R(AB)+R(BC)。 事实上，构造分块矩阵并做广义初等变换，得： 8g→-c-c (ABC OAB 则R(ABC)+R(B)=R =R 0 OB厂(B-BC ≥R(AB)+R(BC) (方法二)构造分块矩阵并做广义初等变换，得： &Ee6E0e6-6 则： R(ABC)+R(B)=R ≥R(AB)+R(BC) 分块矩阵对于矩阵秩的等式与不等式是非常有效的工具，其难点在于分块矩阵 0891 高等代数考研解析 的构造，特别对于不等式，先将不等式的不等号两边化为秩的求和形式，再将不等 号一边出现的矩阵（放在主对角线上）构造成一个对角型或三角型分块矩阵，并对 其进行初等变换，化成三角型或对角型矩阵，且对角线上的矩阵刚好是不等号另一 边出现的矩阵，最后两边取秩即可。（此法希望大家都能掌握） 例4（苏州大学、陕西师范大学，2021）设A,B为m×n矩阵，则R(A+B)≤R (A)+R(B)。 证明：构造分块矩阵并做广义初等变换，有： 则有： RA)+RB)=RAO）=R1A+B O BO B ≥R(A+B) 例5设A,B为阶矩阵，则R(AB+A+B)≥R(A)+R(B)。 证明：构造分块矩阵并做广义初等变换，有： 6+〕dg6 则： R4 AB+A+B A O =R BO B 即R(AB+A+B)≥R(A)+R(B)。 例6（南京大学，2019）设A为数域P上n阶可逆矩阵，，V为n×m矩阵，E为 阶单位矩阵，则R(VTAU+Em)<的充要条件为R(A+UVT)<n。 证明：构造分块矩阵并做广义初等变换，有： (e F090 4矩阵 则R(WTAU+E)<m的充要条件为： 进一步充要条件为A+UWT=0,即R(A+UwT)<n。 例7（兰州大学，2019）设A,B为数域P上阶可交换矩阵，则： R(A+B)<R(A)+R(B)-R(AB) 证明：命题可转换为证R(A+B)+R(AB)≤R(A)+R(B)。 构造分块矩阵并做广义初等变换： 10→1B,+BB→A+BB） E A+BB B-B4A+BB B-A-B B B0-AB 则R(A+B)≤R(A)+R(B)-R(AB)。 4.3.2矩阵秩的等式 例1（西北大学，2023）设A为阶矩阵，为A的伴随矩阵，且A?=E,则R (A+E)+R(A-E)=n,R(A+E)+R(A-E)=no 证明：由A2=E,则(A)=E,即(A)2=E,所以只证明第一种情况即可。 (方法一)构造分块矩阵 A+E0并做广义初等变换，得： 、0A-E 从而有R(A+E)+R(A-E)=R(E-A)+,则R(A+E)+R(A-E)=(A-E)=n 0911 高等代数考研解析 的充分必要条件为R(E-A)=0,即A=E。 (方法二)矩阵A是对合矩阵的充要条件为A2=E,进一步的充要条件为R (A2-E)=0,构造分块矩阵并做广义初等变换，可得： (A+EO）、A+E0）、A+E-A-E 0A-E→A+EA-E>4+E-2E (4+E)-(A+E)20）(E-A)0 A+E -2E→02 则： 4g。 即R(A+E)+R(A-E)=R((E-A)+R(2E)=R(E-A)+n,由此可得A是对合 矩阵的充要条件为R(A-E)=0,即R(A+E)+R(A-E)=。 例2（中山大学，2023)设A为阶矩阵，则A2=A的充要条件为： R(A)+R(A-E)=n 证明：构造分块矩阵并做广义初等变换，可得： 66 6A公4，】 则R(A)+R(A-E)=R(A-A)+,从而R(A)+R(A-E)=n的充要条件为： R(A-A)=0 例3（北京师范大学，2006）（北京师范大学，2006）设A,B为数域P上阶矩 阵，则 (1)R(A-ABA)=R(A)+R(E,-BA)-n; 092 4矩阵 (2)若A+B=E,且R(A)+R(B)=n,则A2=A,B2=B,且AB=0=BA。 证明：(1）只要证R(A-ABA)+n=R(A)+R(E。-BA)。 构造分块矩阵并做广义初等变换，可得： A 0）A0）、AA E,-BA→BAE,-BA>BMEJ BA 即结论成立。 (2)由A+B=E,则： B0B-B20B-B → 又R(A)+R(B)=n,则n=R(A)+R(B)=n-R(B-B),即B2=B;同理可 得A2=A。 构造分块矩阵并做广义初等变换，可得： A OA+B B 0B>B BB BA+BB+AB BEB） E O 公g+4B今04B。 则n=R(A)+R(B)=n+R(AB),即AB=0;同理可得BA=0。 例4（复旦大学、四川大学，2023)设A为P上的s×矩阵，则R(En-AA) R(E、-AA)=n-s。 证明：要证明上述命题，只需证明R(E,-AA)+S=R(E。-AA)+。 构造分块矩阵并做广义初等变换，可得： 0931 高等代数考研解析 。。“传 即结论成立。 例5设A,B,C,D均为n阶方阵，D可逆，是否 A B 的秩一定 相等？若是，请证明；若不是，请给出反例。 解：不一定。由D可逆可知 R(AB)+R(C)≥R A 心 ≥R(B)+R(C) R(AB)+R(C)=R(ADBD)+R(C) (AD BD ≥R R(BD)+R(C)=R(B)+R(C) 当R(AB)=R(B)时，有： A B AD BD R =R 0 =R(B)+RA 当R(AB)>R(B)时，有： A B R =R(C) 0 令A=C,B=O,则有： R 0-RA R C O R8）R)aR8 094 4矩阵 4.3.3计算行列式 例1（电子科技大学、重庆理工大学、武汉大学，2019）设A,B为阶矩阵，则 A =A+BA-B。 B A 证明：对分块矩阵做广义初等变换，有： 6EA84a】 两边取行列式，得： 0 A B 4+B B AB A-B =A+B4-B 也可以做广义初等变换，得： A+B O AB A-B 例2（西安电子科技大学，2016）设Axn,Bxm为矩阵，则Em-AB=E。-BA。 命题也可叙述为设Am,Bn为矩阵，则AB与BA有相同的特征多项式。 证明：见4.4降阶公式例5。 例3设Am,Bn为矩阵，则AB=AB。 证明：构造分块矩阵并做广义初等变换，得： 〔g→ 式子两边取行列式，即： 2 4 0951 高等代数考研解析 人 -AB(←Dr+A-4Bl(-Itw=4B B 即AB=AB。 例4（特征多项式的降阶定理）设矩阵Amx,Bm,≥n,则： E-AB=A""E-BA 证明：见4.4降阶公式例6。 例5设A,B为n阶矩阵，则 4 -4=2 BB 证明：对分块矩阵做广义初等变换，得： 即： 两边取行列式可得： (4-4 BB =2 例6设矩阵A,B,C,D均为n阶方阵， 证明：构造分块矩阵并做广义初等变换，可得： 88g6-aA 两边取行列式： 096