4.2 矩阵的秩-高等代数考研解析

4矩阵 4.1.3.2利用判定定理 n级矩车A可递的充要条件4：0且4八有式。 4.1.3.3初等变换法 (4,E)行(E,A'), E 4.2 矩阵的秩 矩阵的秩是矩阵的一个数量特征，在初等变换下保持不变。 矩阵A的行秩和列秩称为矩阵的秩；矩阵A的最高阶非零子式阶数为r, 则矩阵Axn的秩为r。 注意：矩阵的秩的两个定义中，对于具体矩阵的秩的确定多采用第二个定义， 特别是含字母的矩阵的相关问题的求解，可以简化计算（矩阵通过初等变换得到的 阶梯形矩阵，可以判断矩阵的秩，其实就是找到一个最高阶非零子式)；第一个定 义主要从向量组出发来判定矩阵的相关性质。 矩阵的秩的性质如下。 （1)矩阵Amw的秩为0≤R(A)≤(A); 当R(A)=0时，则A=0; 当R(A)=nin{,,则称Am为满秩矩阵。 (2)设Axm,Bnxn为数域P上的矩阵，则R(AB)≤nin(R(A),R(B),即乘积的 秩不超过各因子的秩。 事实上，R(AB)≤R(A),R(AB)≤R(B), R(A)+R(B)-n≤R(AB)≤nin(R(A),R(B) n为A的列数，R(A)-R(B)≤R(A士B)≤R(A)+R(B)。 （3)设A=AAA,则R(A)≤min[R(A),R(A),,R(An]。 0851 高等代数考研解析 (4)初等变换不改变矩阵的秩；可逆矩阵是满秩矩阵。 (5)R(A)=R(AT),R(kA)=R(A),。 (6)对于矩阵Anma,存在可逆矩阵Pm,O,使得： R(PA)=R(AQ)=R(A) (7)对于矩阵Au,则R(A)=r的充分必要条件为存在可逆矩阵Pmm,Om, 使得： E. 0 00 0 (8)设A,B为n阶方阵，且AB=0,则R(A)+R(B)≤n。 设A为阶方阵，且A2=A(幂等矩阵)，则R(A)+R(A-E)≤n。 设A为n阶方阵，且A=E（对合矩阵)，则R(A+E)+R(A-E)≤n。 (9)分块矩阵的秩 A O R R(+Rmax(().R(B B ≤R(A)+R(B) A max(R(A),R(B)≤R R()+Rm()() ≤R(A+R(B) B A C ≥R(A)+R(B) O B （10)若Amn为实矩阵，则R(ATA)=R(AAT), n R(A)=n R(A)=1R(A)=n-1 0R(A)<n-1 证明：当R(A)=n时，则A可逆；又A=AA,则A可逆，即R(A)=n。 当R(A)=n-1时，则A中至少有一个n-1阶子式不为零，即A中至少有一个 元素不为零，则R(A)≥1；同时由R(A)=n-1知4A=0,由AA=AE=0,故R 086 4矩阵 (A)+R(A)≤n,即R(A)≤1，则R(A)=1。 当R(A)<n-1时，则A的所有n-1阶子式都为零，即A=0,则R(A)=0。 4.3分块矩阵的应用 分块矩阵对于矩阵命题的证明起到事半功倍的效果，如方阵的行列式、矩阵的 秩的等式与不等式等。 4.3.1矩阵秩的不等式 例1（矩阵秩的降阶定理)设M= A B 若A是可逆矩阵，则： C D R(M)=R(A)+R(D-CAB) 若D是可逆矩阵，则R(M)=R(D)+R(A-BDC)。 证明：由A为可逆矩阵，分块矩阵的乘法有： 故有： RA B) A B R C DO D-CA-B =R(A)+R(D-CAB) 例2（西北师范大学，2024）设A,B为矩阵，则R(AB)≥R(A)+R(B)-,其 中n为A的列数或B的行数。 证明：（方法一）由例1有 R(AB)=R(O+AEB)=R EB-R(E (-A0 =R8f)-R国=R小+R- 0871