第五章 复数（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》（《数学 拓展模块一上册》高教版2023修订版）

编写说明：本套【湖北专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第五章复数的单元测试卷，主要梳理和考查了复数的概念和复数的运算等常见考点。 第五章 复数 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.复数的虚部是（ ） A. 3 B. -2 C. D. 2.下列复数中，属于纯虚数的是（ ） A. B. C. D. 3.若复数（），则的值为（ ） A. -1 B. 1 C. 5 D. -5 4.复数在复平面内对应的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5.复数的模等于（ ） A. B. C. 13 D. 5 6.复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 7.计算的结果是（ ） A. B. C. D. 8.计算的结果是（ ） A. B. C. D. 9.计算的结果是（ ） A. B. C. D. 10.实系数一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 无实数解 二、多项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分.在每小题给出四个备选项中，有多项符合题目要求，请将其选出。全部选对的得 3 分，有选错的或未选的得 0 分) 1.下列复数中，属于实数的有（ ） A. B. C. D. 2.若复数（）与复数相等，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 实部为3 D. 虚部为-2 3.关于复数（）及其共轭复数，下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 4.复数在复平面内对应的向量可以表示为（ ） A. 起点在原点，终点为的向量 B. 向量 C. 起点在，终点为的向量 D. 向量 5.关于实系数一元二次方程（），下列说法正确的有（ ） A. 若，则方程有两个不相等的实数解 B. 若，则方程有两个相等的实数解 C. 若，则方程有一对共轭复数解 D. 方程的解一定是实数 三、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 1.复数的虚部是_________。 2.若复数（）是纯虚数，则_________。 3.已知（），则_________。 4.复数的模_________。 5.若，则_________。 四、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤). 1.计算下列复数运算： （1） （2） （3） 2.已知复数（），求实数和的值。 3.已知复数，求： （1）在复平面内对应的点的坐标，并说明该点所在象限； （2）的模。 4.解实系数一元二次方程。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套【湖北专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第五章复数的单元测试卷，主要梳理和考查了复数的概念和复数的运算等常见考点。 第五章 复数 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.复数的虚部是（ ） A. 3 B. -2 C. D. 【答案】B 【分析】本题考查复数的实部与虚部的概念，需明确复数标准形式中虚部的定义。 【详解】复数的标准形式为（），其中称为实部，称为虚部（虚部是实数，不包含虚数单位）。对于，对应，，故虚部为，选项B正确。 2.下列复数中，属于纯虚数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查复数的分类，需掌握纯虚数的定义。 【详解】复数分为实数、纯虚数和非纯虚数： - 实数：虚部为0（即），如选项A； - 纯虚数：实部为0且虚部不为0（即，），选项C中，，符合纯虚数定义； - 非纯虚数：实部和虚部均不为0，如选项B、D。故答案为C。 3.若复数（），则的值为（ ） A. -1 B. 1 C. 5 D. -5 【答案】A 【分析】本题考查复数相等的条件，需牢记两个复数相等的充要条件。 【详解】两个复数与（）相等的充要条件是“实部相等且虚部相等”，即且。 由可得：（实部相等），（虚部相等），解得。 因此，选项A正确。 4.复数在复平面内对应的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查复数的点表示，需理解复平面与复数的对应关系。 【详解】复平面中，横轴为实轴，纵轴为虚轴，复数（）对应的点的坐标为。 对于，，，故对应点坐标为，选项A正确。 5.复数的模等于（ ） A. B. C. 13 D. 5 【答案】B 【分析】本题考查复数的模的计算，需掌握模长公式。 【详解】复数（）的模长公式为。 对于，，，代入公式得：，选项B正确。 6.复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查共轭复数的定义，需明确共轭复数的构造方法。 【详解】共轭复数的定义：对于复数（），其共轭复数（实部不变，虚部变为相反数）。 对于，实部不变，虚部变为，故，选项A正确。 7.计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查复数的加法运算，需掌握复数加法的运算法则。 【详解】复数加法法则：（实部相加，虚部分别相加）。 代入计算：，选项A正确。 8.计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查复数的减法运算，需掌握复数减法的运算法则。 【详解】复数减法法则：（实部相减，虚部分别相减）。 代入计算：，选项A正确。 9.计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查复数的乘法运算，需掌握多项式乘法法则及的应用。 【详解】复数乘法法则：按多项式乘法展开，再将替换为，即。 展开计算：，选项A正确。 10.实系数一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 无实数解 【答案】C 【分析】本题考查实系数一元二次方程的解法，需掌握判别式小于0时的复数解形式。 【详解】对于实系数一元二次方程（），判别式： - 当时，方程无实数解，但有一对共轭复数解：。 对于方程，，，，。 代入公式得：，选项C正确。 二、多项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分.在每小题给出四个备选项中，有多项符合题目要求，请将其选出。全部选对的得 3 分，有选错的或未选的得 0 分) 1.下列复数中，属于实数的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【分析】本题考查复数的分类，需明确实数的定义。 【详解】实数的定义是“虚部为0的复数”（即，）： - 选项A：，虚部为0，是实数； - 选项B：，虚部为0，是实数； - 选项C：，实部为0、虚部不为0，是纯虚数，非实数； - 选项D：，虚部为0，是实数。故答案为ABD。 2.若复数（）与复数相等，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 实部为3 D. 虚部为-2 【答案】ACD 【分析】本题考查复数相等的条件及复数的基本概念。 【详解】根据复数相等的条件，实部相等且虚部相等： - 实部相等：，解得； - 虚部相等：，解得（与实部求解结果一致）。 此时复数为，实部为3，虚部为-2。故选项A、C、D正确，B错误。 3.关于复数（）及其共轭复数，下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABCD 【分析】本题考查共轭复数的性质，需结合共轭复数定义及模长公式推导。 【详解】由得： - 选项A：，，故，正确； - 选项B：，正确； - 选项C：，正确； - 选项D：，正确。故答案为ABCD。 4.复数在复平面内对应的向量可以表示为（ ） A. 起点在原点，终点为的向量 B. 向量 C. 起点在，终点为的向量 D. 向量 【答案】ABC 【分析】本题考查复数的向量表示，需理解复数与向量的对应关系。 【详解】复数与复平面内“以原点为起点、终点为的向量”一一对应，该向量可表示为；同时，所有与该向量相等（方向相同、长度相等）的向量都可以表示该复数： - 选项A：起点在原点，终点，向量为，对应，正确； - 选项B：向量直接对应该复数，正确； - 选项C：起点、终点的向量为，与对应向量相等，正确； - 选项D：向量对应复数，与不符，错误。故答案为ABC。 5.关于实系数一元二次方程（），下列说法正确的有（ ） A. 若，则方程有两个不相等的实数解 B. 若，则方程有两个相等的实数解 C. 若，则方程有一对共轭复数解 D. 方程的解一定是实数 【答案】ABC 【分析】本题考查实系数一元二次方程的解的性质，需掌握判别式对解的影响。 【详解】实系数一元二次方程的解由判别式决定： - 选项A：时，有两个不相等的实数解，正确； - 选项B：时，有两个相等的实数解，正确； - 选项C：时，无实数解，但有一对共轭复数解，正确； - 选项D：当时，方程的解是复数而非实数，错误。故答案为ABC。 三、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 1.复数的虚部是_________。 【答案】4 【分析】考查复数虚部的定义。 【详解】复数（）的虚部是，与虚数单位无关，故的虚部是4。 2.若复数（）是纯虚数，则_________。 【答案】1 【分析】考查纯虚数的定义，需同时满足实部为0、虚部不为0。 【详解】纯虚数的条件：，即。 解得（时虚部为0，舍去）。 3.已知（），则_________。 【答案】5 【分析】考查复数相等的条件。 【详解】由复数相等得，，故。 4.复数的模_________。 【答案】13 【分析】考查复数模长的计算。 【详解】由模长公式，代入，，得。 5.若，则_________。 【答案】4 【分析】考查共轭复数的性质及复数加法。 【详解】的共轭复数，故。 四、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤). 1.计算下列复数运算： （1） （2） （3） 【答案】 （1） （2） （3） 【分析】考查复数的加、减、乘运算，需严格遵循运算法则。 【详解】 （1）复数加法：实部相加，虚部分别相加 （2）复数减法：实部相减，虚部分别相减 （3）复数乘法：按多项式乘法展开，替换 2.已知复数（），求实数和的值。 【答案】， 【分析】考查复数相等的条件，利用“实部相等、虚部相等”列方程求解。 【详解】根据复数相等的充要条件，两个复数的实部和虚部分别相等，因此可列方程组： 解第一个方程：，得； 解第二个方程：。 综上，，。 3.已知复数，求： （1）在复平面内对应的点的坐标，并说明该点所在象限； （2）的模。 【答案】 （1）坐标为，在第二象限； （2） 【分析】考查复数的点表示、象限判断及模长计算，需结合复平面的性质。 【详解】 （1）复数对应的点坐标为，对于，，，故对应点坐标为。 复平面内象限判断：横坐标，纵坐标，因此该点在第二象限。 （2）由复数模长公式，代入，，得： 。 4.解实系数一元二次方程。 【答案】 【分析】考查实系数一元二次方程的复数解，需掌握判别式小于0时的求解方法。 【详解】对于一元二次方程（），先计算判别式： ，其中，，。 步骤1：计算判别式 ，方程无实数解，有一对共轭复数解。 步骤2：代入复数解公式 当时，解为，代入数据： 。 综上，方程的解为和。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $