数学全真模拟卷（3）-2026年湖南省对口招生考试《全真模拟卷》（原卷版+解析版）

湖南省2026年普通高等学校对口招生考试 数学 全真模拟卷（3） 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量120分钟，满分120分。 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设集合，，若，则x等于（   ）． A．9 B． C．或 D．或2 【答案】C 【分析】根据得出，再由子集的概念列方程求解即可. 【详解】已知集合，， 由得出， 即或， 解得或， 故选：C. 2．已知函数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的定义，将代入对应的解析式，求解即可. 【详解】因为函数， 所以， 故选：B. 3．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解一元二次不等式结合充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】由，解得或， 由可推出，故充分性成立； 由，推出或，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：. 4．下列函数中，在其定义域内单调递减的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本初等函数和三角函数的单调性判断即可. 【详解】在定义域上单调递增，不符合题意， 在定义域上单调递减，符合题意， 是周期函数，在定义域上有增有减， 不是单调递减函数，不符合题意， 所以选项B正确. 故选：B. 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据诱导公式求解即可； 【详解】因为，则， 故选：C 6．函数的图像为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的性质即可得解. 【详解】函数是由基本指数函数向上平移 1 个单位得到的， 对于指数函数，底数，是单调递增的指数函数，过点； 所以函数单调递增，过点； 只有A选项符合题意. 故选：. 7．对甲、乙两名同学的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下表. 甲 乙 以下结论正确的是（   ） A．甲的平均成绩较好，甲的各门功课发展较平衡 B．甲的平均成绩较好，乙的各门功课发展较平衡 C．乙的平均成绩较好，甲的各门功课发展较平衡 D．乙的平均成绩较好，乙的各门功课发展较平衡 【答案】B 【分析】根据平均数的公式和方差公式分别求出甲、乙两名同学的平均数和方差比较即可. 【详解】， ， 解法一（对应高教版）： ， ， 解法二（对应人教版）： ， ， 因为，， 所以甲的平均成绩较好，乙的各门功课发展较平衡， 故选：B. 8．过点且与直线平行的直线为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行关系得所求直线的斜率，进而由点斜式方程求解. 【详解】直线的斜率为， 由题意得所求直线的斜率为2， 则所求直线的方程为，整理得. 故选：B. 9．已知函数，则不正确的是（ ） A．为偶函数 B．在单调递减 C．的最小正周期为 D．在有且仅有2个解 【答案】B 【分析】根据三角函数的诱导公式、周期公式及正弦函数图像及性质，逐项分析求解即可. 【详解】对于选项A：是偶函数，A正确； 对于选项C：的最小正周期，C正确； 对于选项B：∵，则， 对于，时，函数不是递增函数，B不正确； 对于选项D：∵，则， 对于，时，函数与轴有且仅有2个交点， 即有两个解，D正确. 故选：B. 10．如图，在四面体中，若是的中点，则下列结论正确的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面，且平面平面 D．平面平面，且平面平面 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质，线面垂直，面面垂直的判定即可求解. 【详解】对C，因为，又是的中点，所以， 因为，又是的中点，所以， 因为，平面，平面， 所以平面． 因为平面，所以平面平面； 因为平面，所以平面平面；故C正确. 对A，因为由已知条件不可得到平面， 又由选项C可得，平面平面，平面平面， 所以由两个平面垂直的性质可得，平面不一定垂直平面，故A错误. 对B，当长度趋近于时，点D趋近于中点，则三棱锥趋近于平面图形， 所以平面平面结论不一定正确，故B错误. 对D，因为，又是的中点，所以， 因为，又是的中点，所以，又因为平面平面， 平面，平面，所以为平面的二面角， 因为条件有限，所以不一定为，则平面平面结论不一定正确，故D错误. 故选：C. 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．某一中职学校有高一年级1200人，高二年级1600人，高三年级2000人，若采用分层抽样的办法从三个年级共抽取120人，则高一年级抽取 人． 【答案】30 【分析】利用分层抽样的抽样比求人数即可. 【详解】因为某一中职学校共有人，从中抽取抽取120人， 所以抽样比，则抽取高一年级人数人， 故答案为：. 12．已知，，则向量 . 【答案】4 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示求出的坐标，代入模长公式即可得解. 【详解】因为，， 则， 所以， 故答案为：. 13．从10名候选人中选取2人担任学生会正、副主席，不同的选法数是 ． 【答案】 【分析】根据排列的定义可求. 【详解】从名候选人中选取人担任学生会正、副主席，是排列问题， 所以不同的选法共有； 故答案为：90. 14．已知，则 . 【答案】 【分析】先根据已知条件求出的值，进而得到的值，最后利用两角和的正切公式计算出结果． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 15．已知等比数列满足，且，则 ． 【答案】3 【分析】根据题意，结合等比中项，即可求解. 【详解】因为等比数列满足，且， 所以. 故答案为：3. 三、解答题(本大题共7小题，其中第21,22小题为选做题．满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分) 已知公差不为0的等差数列，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式列方程求解即可. （2）根据裂项相消法求和即可. 【详解】（1）因为是等差数列， 且，， 所以， 即 解得，， 所以. （2）因为， 所以， 所以 . 17．(本小题满分10分) 某一射手射击所得环数的分布列见下表，求： 5 6 7 8 9 10 0.05 0.15 0.2 0.15 0.25 (1)实数的值； (2)此射手射击所得环数的期望值与方差. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分布列的性质求解即可. （2）根据离散随机变量的期望以及方差求解即可. 【详解】（1）由分布列的性质得. （2）， . 18．(本小题满分10分) 如图，是圆柱的一条母线，是圆柱的底面直径，点C在圆柱下底面圆周上，是线段的中点．已知，． (1)求圆柱的侧面积； (2)求与所成的角． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意在中，利用勾股定理可求，求得底面半径即可得解圆柱的侧面积． （2）由题意利用线面垂直的性质可知，利用线面垂直的判定可证平面，进而根据线面垂直的性质即可证明，从而得解． 【详解】（1）由题意可得，，， 所以在中，， 所以底面半径， 所以圆柱的侧面积． （2）由题意可得， 又因为是圆柱的一条母线，可得底面， 因为底面， 所以， 因为，且，平面， 所以平面， 又平面， 所以，所以与所成的角为． 19．(本小题满分10分) 设二次函数是定义在上的偶函数，求： (1)a和b的值； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据偶函数的定义求解即可. （2）先表示出函数的函数解析式，再根据指数函数的单调性结合一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）因为二次函数是定义在上的偶函数， 所以，解得， 所以. （2）由（1）知，，所以， 又，则有，即， 因为指数函数在其定义域内为增函数， 则有，即， 可得，解集为. 20．(本小题满分10分) 已知抛物线C：的图像经过点. (1)求抛物线C的标准方程； (2)若倾斜角为的直线l过抛物线C的焦点F，且与抛物线C相交于A，求弦长|AB|的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线过已知点求出抛物线方程. （2）首先求出直线方程，再结合直线与抛物线相交的性质求出弦长. 【详解】（1）∵抛物线C：的图像经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的标准方程为； （2）∵直线l的倾斜角为， ∴直线l的斜率：， ∵直线l过焦点， ∴直线l的方程：， 联立和可得， 设A，， ∴， ∴弦长. 选做题：请考生在第21,22题中选择一题作答．如果两题都做，则按所做的第21题计分．作答时，请写清题号． 21．(本小题满分10分) 如图所示，在中，，，，点为的中点．求：    (1)的长； (2)中线的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角函数关系式得到的值，再结合两角和的正弦公式得到，进而由正弦定理求解即可； （2）由正弦定理得到边长，再利用余弦定理求解即可； 【详解】（1）由得， 所以， 由正弦定理得. （2）由正弦定理得，， 所以在中，由余弦定理得， 所以 22．(本小题满分10分) 电视台应某企业之约播放两套连续剧．其中，连续剧甲每次播放时间为，其中广告时间为，收视观众为万； 连续剧乙每次播放时间为，其中广告时间为，收视观众为万．已知此企业与电视台达成协议，要求电视 台每周至少播放广告，而电视台每周只能为该企业提供不多于的节目时间，如果你是电视台的制片人， 电视台每周播映两套连续剧各多少次，才能获得最高的收视率？ 【答案】电视台每周应播放连续剧甲次，播放连续剧乙次，才能获得最高收视率. 【分析】设定自变量，根据题设信息，得到约束条件和目标函数，根据线性规划直线平移法，得到最优解. 【详解】整理题目中的信息，得到， 每次播放时间（min） 广告时间（min） 收视观众（万） 连续剧甲 80 1 60 连续剧乙 40 1 20 限制条件 播放最长时间320 最少广告时间6 设每周播放连续剧甲次，播放连续剧乙次，收视率为， 则目标函数， 约束条件为，作出可行域如图，   可化为, 由图可知，当直线过点时，纵截距最大. 解方程组，得到. 故点的坐标为，（万）. 所以，电视台每周应播放连续剧甲2次，播放连续剧乙4次，才能获得最高收视率. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省2026年普通高等学校对口招生考试 数学 全真模拟卷（3） 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量120分钟，满分120分。 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设集合，，若，则x等于（   ）． A．9 B． C．或 D．或2 2．已知函数，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．下列函数中，在其定义域内单调递减的是（ ） A． B． C． D． 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 6．函数的图像为（   ） A． B． C． D． 7．对甲、乙两名同学的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下表. 甲 乙 以下结论正确的是（   ） A．甲的平均成绩较好，甲的各门功课发展较平衡 B．甲的平均成绩较好，乙的各门功课发展较平衡 C．乙的平均成绩较好，甲的各门功课发展较平衡 D．乙的平均成绩较好，乙的各门功课发展较平衡 8．过点且与直线平行的直线为（   ） A． B． C． D． 9．已知函数，则不正确的是（ ） A．为偶函数 B．在单调递减 C．的最小正周期为 D．在有且仅有2个解 10．如图，在四面体中，若是的中点，则下列结论正确的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面，且平面平面 D．平面平面，且平面平面 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．某一中职学校有高一年级1200人，高二年级1600人，高三年级2000人，若采用分层抽样的办法从三个年级共抽取120人，则高一年级抽取 人． 12．已知，，则向量 . 13．从10名候选人中选取2人担任学生会正、副主席，不同的选法数是 ． 14．已知，则 . 15．已知等比数列满足，且，则 ． 三、解答题(本大题共7小题，其中第21,22小题为选做题．满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分) 已知公差不为0的等差数列，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 17．(本小题满分10分) 某一射手射击所得环数的分布列见下表，求： 5 6 7 8 9 10 0.05 0.15 0.2 0.15 0.25 (1)实数的值； (2)此射手射击所得环数的期望值与方差. 18．(本小题满分10分) 如图，是圆柱的一条母线，是圆柱的底面直径，点C在圆柱下底面圆周上，是线段的中点．已知，． (1)求圆柱的侧面积； (2)求与所成的角． 19．(本小题满分10分) 设二次函数是定义在上的偶函数，求： (1)a和b的值； (2)求不等式的解集． 20．(本小题满分10分) 已知抛物线C：的图像经过点. (1)求抛物线C的标准方程； (2)若倾斜角为的直线l过抛物线C的焦点F，且与抛物线C相交于A，求弦长|AB|的值. 选做题：请考生在第21,22题中选择一题作答．如果两题都做，则按所做的第21题计分．作答时，请写清题号． 21．(本小题满分10分) 如图所示，在中，，，，点为的中点．求：    (1)的长； (2)中线的长． 22．(本小题满分10分) 电视台应某企业之约播放两套连续剧．其中，连续剧甲每次播放时间为，其中广告时间为，收视观众为万； 连续剧乙每次播放时间为，其中广告时间为，收视观众为万．已知此企业与电视台达成协议，要求电视 台每周至少播放广告，而电视台每周只能为该企业提供不多于的节目时间，如果你是电视台的制片人， 电视台每周播映两套连续剧各多少次，才能获得最高的收视率？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $