数学全真模拟卷（2）-2026年湖南省对口招生考试《全真模拟卷》（原卷版+解析版）

湖南省2026年普通高等学校对口招生考试 数学 全真模拟卷（2） 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量120分钟，满分120分。 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知，集合，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知点，则线段的中点坐标是（    ） A． B． C． D． 4．若，且是第二象限角，则（     ） A． B． C． D． 5．正方形的边长为1，则为（   ） A．1 B． C．3 D． 6．函数在上的值域为（   ） A． B． C． D． 7．已知圆的方程是，则圆心到直线的距离为（   ） A． B．5 C．2 D． 8．已知在数列中，，则数列的前9项和为_________.（   ） A．27 B． C．45 D． 9．下列结论中正确的是（    ） A．和都是偶函数 B．和都是周期函数 C．和在都是增函数 D．和在时有最大值1 10．已知函数为上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．已知函数，则 . 12．已知一个圆柱的底面半径为3，高为5，则该圆柱的体积 . 13．已知角的终边经过点，则 ． 14．已知向量的夹角是，且，则 ． 15．过点与圆相切的直线方程为 ． 三、解答题(本大题共7小题，其中第21,22小题为选做题．满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分) 已知等差数列的前n项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和． 17．(本小题满分10分) 盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球. 规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分 . 现从盒内任取3个球 (1)求取出的3个球中至少有一个红球的概率； (2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率； (3)设为取出的3个球中白色球的个数，求的分布列和数学期望. 18．(本小题满分10分) 如图所示，四棱锥的底面是矩形，平面，是的中点，二面角的大小为，，.求：    (1)四棱锥的体积； (2)点到平面的距离. 19．(本小题满分10分) 已知定义在上的函数对于任意实数，都有，且时，． (1)判断的单调性； (2)若，解不等式． 20．(本小题满分10分) 已知双曲线的右焦点为，且渐近线方程为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若倾斜角为的直线过点，且与双曲线交于两点，求的面积（为坐标原点）． 选做题：请考生在第21,22题中选择一题作答．如果两题都做，则按所做的第21题计分．作答时，请写清题号． 21．(本小题满分10分) 如图所示，在中，已知，是边上一点，，，，求：    (1)的值； (2)的长． 22．(本小题满分10分) 某企业生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润6万元，每吨乙产品可获得利润4万元.该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨.该企业生产甲、乙产品各多少吨时可获得最大利润，最大利润是多少? 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省2026年普通高等学校对口招生考试 数学 全真模拟卷（2） 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量120分钟，满分120分。 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知，集合，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合，集合与集合的关系，即可判定求解. 【详解】因为，集合， 所以a是元素，M是集合，故，故选项A和B错误； 所以集合，故选项C正确，选项D错误. 故选：C. 2．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先解含绝对值的不等式，结合充分性及必要性的定义，即可得解. 【详解】， 所以当时，不一定成立，故充分性不成立； 当时，成立，故必要性成立， 所以“”是“”必要不充分条件， 故选：. 3．已知点，则线段的中点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中点坐标公式求解即可. 【详解】因为点，则线段的中点坐标是，即. 故选：A. 4．若，且是第二象限角，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据诱导公式求出的值，结合同角三角函数基本关系式即可得解. 【详解】由，得， 又因为为第二象限角，所以． 故选：. 5．正方形的边长为1，则为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】利用向量加法运算及向量的摸的定义，结合勾股定理即可求解. 【详解】在正方形中， 如图所示，根据向量加法的平行四边形法则， ，又因为正方形的边长为1， 所以， 故选：B. 6．函数在上的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次函数的性质可求. 【详解】函数的对称轴为，二次函数的开口向上， 故函数在处取到最小值， ，，故所求值域为． 故选：D. 7．已知圆的方程是，则圆心到直线的距离为（   ） A． B．5 C．2 D． 【答案】A 【分析】由圆的方程确定圆心，再由点到直线的距离求值即可. 【详解】已知圆的方程是， 则圆心为， 圆心到直线的距离， 故选：A. 8．已知在数列中，，则数列的前9项和为_________.（   ） A．27 B． C．45 D． 【答案】A 【分析】由等差数列的定义和前项和公式即可得解. 【详解】由题知（常数），又， 所以数列是以为首项，公差的等差数列， 则， 故. 故选：A. 9．下列结论中正确的是（    ） A．和都是偶函数 B．和都是周期函数 C．和在都是增函数 D．和在时有最大值1 【答案】B 【分析】根据正弦函数以及余弦函数的性质求解即可. 【详解】选项A：是奇函数，故A选项错误. 选项B：和的周期都是，故B选项正确. 选项C：在都是减函数，故C选项错误. 选项D：在时有最大值1，故D选项错误. 故选：B. 10．已知函数为上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义及性质，分析求解即可. 【详解】因为函数为上的偶函数，当时，， 所以，在单调递增函数，在单调递减函数， 所以不等式等价为或， 解得：或，即不等式的解集为. 故选：D. 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．已知函数，则 . 【答案】0 【分析】将代入函数解析式中即可得解. 【详解】 故答案为：0. 12．已知一个圆柱的底面半径为3，高为5，则该圆柱的体积 . 【答案】 【分析】根据题意，结合圆柱的体积公式，即可求解. 【详解】因为圆柱的底面半径为3，高为5， 所以体积. 故答案为：. 13．已知角的终边经过点，则 ． 【答案】/ 【分析】根据任意角的三角函数的定义求解即可. 【详解】因为角的终边经过点，所以. 则. 故答案为：. 14．已知向量的夹角是，且，则 ． 【答案】6 【分析】由向量的内积运算即可得解. 【详解】∵向量的夹角是，且 ∴ . 故答案为：6. 15．过点与圆相切的直线方程为 ． 【答案】或 【分析】将圆的方程化为标准方程，然后分类讨论直线斜率存在和斜率不存在两种情况，由圆心到直线距离等于圆的半径，即可求解. 【详解】因为圆，化为标准方程是， 所以圆心坐标为，半径， 过点，斜率不存在的直线方程为， 又圆心到直线的距离为2，该直线为圆的切线； 过点的直线斜率存在时， 设直线方程为，即， 又当直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，即， 解得， 此时切线方程为，即. 故答案为：或. 三、解答题(本大题共7小题，其中第21,22小题为选做题．满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分) 已知等差数列的前n项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等差数列的性质和通项公式即可得解； （2）由（1）可得，再利用裂项相消法即可得数列的前n项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 根据等差中项的性质可得，即， 因为，所以， 又因为，所以， 故数列的通项公式为． （2）由题得， 则 ． 17．(本小题满分10分) 盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球. 规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分 . 现从盒内任取3个球 (1)求取出的3个球中至少有一个红球的概率； (2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率； (3)设为取出的3个球中白色球的个数，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析，期望为1 【分析】（1）可以求其反面，一个红球都没有，求出其概率，然后求取出的3个球中至少有一个红球的概率，从而求解； （2）可以记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C，求出事件B和C的概率，从而求出3个球得分之和恰为1分的概率； （3）ξ可能的取值为0，1，2，3，分别求出其概率，然后再根据期望的公式进行求解； 【详解】（1）一个红球都没有的概率为. 所以取出的3个球中至少有一个红球的概率 （2）记 “取出1个红色球，2个白色球”为事件， “取出2个红色球， 1个黑色球”为事件，则 . （3）可能的取值为. ， ， ， . 的分布列为: 0 1 2 3 的数学期望 . 18．(本小题满分10分) 如图所示，四棱锥的底面是矩形，平面，是的中点，二面角的大小为，，.求：    (1)四棱锥的体积； (2)点到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用线面垂直的性质得，再证明平面，进而证明，找出二面角的平面角，在直角三角形中，求出的长度，然后求梯形的面积，再计算四棱锥的体积； （2）先利用勾股定理的长度，然后利用的面积公式和等体积法求点到平面的距离. 【详解】（1）因为平面，， 所以，        又因为矩形中，， 因为，，，平面， 所以平面， 又平面， 所以，        所以是二面角的平面角，且，      所以在中，. 又因为矩形中，，， 所以 因为是的中点，所以， 所以， 所以.        （2）连接，如图所示    设点到平面的距离为. 由，得， 整理得， 又在中，，， 所以， 即点到平面的距离为. 19．(本小题满分10分) 已知定义在上的函数对于任意实数，都有，且时，． (1)判断的单调性； (2)若，解不等式． 【答案】(1)在上为增函数 (2) 【分析】（1）先证明为奇函数，然后利用函数单调性的定义求解； （2）不等式等价转化为，利用函数单调性的定义求解即可. 【详解】（1）的定义域为，定义域关于原点对称， ，令，可得， 令，则，即， ∴为奇函数． 在上任取，且， ∵为奇函数，∴， ∵， ∴，即， ∴在上为增函数． （2）∵，且， ∴， ∴不等式等价转化为， ∵在上为增函数， ∴，解得， ∴不等式的解集为． 20．(本小题满分10分) 已知双曲线的右焦点为，且渐近线方程为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若倾斜角为的直线过点，且与双曲线交于两点，求的面积（为坐标原点）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦点坐标，双曲线的渐近线结合的关系，即可求出双曲线的方程. （2）联立方程组结合韦达定理求得弦长，再根据点到直线距离，即可求解双曲线中的三角形面积. 【详解】（1）已知双曲线的右焦点为，焦点在轴上， 即，又由渐近线方程为， 可得，即，解得， 所以双曲线的标准方程为. （2）已知直线的倾斜角为，则， 又过点，所以直线的方程为，即, 联立方程组得，整理得， 其中， 设，则， 所以， 又点到直线的距离为， 所以的高为， 则的面积为. 选做题：请考生在第21,22题中选择一题作答．如果两题都做，则按所做的第21题计分．作答时，请写清题号． 21．(本小题满分10分) 如图所示，在中，已知，是边上一点，，，，求：    (1)的值； (2)的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理直接计算； （2）由（1）可知，得到，进一步可知，然后利用三角函数知识求解即可. 【详解】（1）在中，. （2）由（1）可知，，所以，则， 又，所以，所以，则. 22．(本小题满分10分) 某企业生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润6万元，每吨乙产品可获得利润4万元.该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨.该企业生产甲、乙产品各多少吨时可获得最大利润，最大利润是多少? 【答案】该企业生产甲、乙产品分别为3吨、4吨时可获得最大利润，最大利润是34万元 【分析】由题意，列出x，y所满足的不等式组，画出二元一次不等式所表示的平面区域；由于目标函数为，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，据此可求解. 【详解】设该企业生产甲、乙产品分别为吨、吨，利润为万元，则. 由题可知，， 不等式组表示的可行域如图所示： 考虑，变形为，是斜率为，随z变化的一组平行直线，为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值最大， 又因为x，y满足约束条件，由图可知，当直线经过可行域上的点D时，截距最大，即z最大. 解方程组，解得. 此时（万元）. 即该企业生产甲、乙产品分别为3吨、4吨时可获得最大利润，最大利润是34万元. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $