数学全真模拟卷（1）-2026年湖南省对口招生考试《全真模拟卷》（原卷版+解析版）

湖南省2026年普通高等学校对口招生考试 数学 全真模拟卷（1） 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量120分钟，满分120分。 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．若函数在上是增函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知角的终边过点，则的值是（   ） A． B． C．1 D． 5．已知，则“”是“”的_________.（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知圆与直线相切于点，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 7．同时掷两枚质地均匀的骰子，则恰有1枚骰子出现6点的概率是（   ） A． B． C． D． 8．若是两个不共线的向量，已知，若三点共线，则（    ） A． B．1 C． D．2 9．函数在上的递增区间为（ ） A． B． C． D． 10．如图，已知正方体的棱长为2，则下列四个结论不正确的是（　　） A．直线与为异面直线 B．平面 C． D．三棱锥的体积为 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．五名高中生报考三所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法有 种． 12．某职业学校为了解在校学生参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校三个年级的学生中抽取一个容量为的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级的学生人数之比为，则应从一年级学生中抽取的人数为 . 13．圆锥形灯罩底面直径为 10，高为 12，这个灯罩的侧面积是 .（π 取 3.14） 14．在中，已知，则 . 15．在等差数列中，，则的值为 . 三、解答题(本大题共7小题，其中第21,22小题为选做题．满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分) 已知数列的前n项和为，．且． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 17．(本小题满分10分) 某中学学生会由8名同学组成，其中一年级有2人，二年级有3人，三年级有3人，现从这8人中任意选取2人参加一项活动. (1)求这2人来自两个不同年级的概率； (2)设表示选到三年级学生的人数，求的分布列和数学期望. 18．(本小题满分10分) 如图，正三棱柱的底面边长为4，且. (1)求正三棱柱的体积； (2)若、分别为、的中点，求与底面所成角的正切值. 19．(本小题满分10分) 已知定义在上的函数是奇函数． (1)求的值； (2)求的单调性； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 20．(本小题满分10分) 已知椭圆的一条准线方程为，离心率 (1)求椭圆E的标准方程； (2)若点M是椭圆E的上顶点，过点M分别作直线、交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为，且，问直线是否过定点，若过定点，则求出该定点；若不过定点，请说明理由． 选做题：请考生在第21,22题中选择一题作答．如果两题都做，则按所做的第21题计分．作答时，请写清题号． 21．(本小题满分10分) 如图，四边形 中，，，设 ． (1)若 面积是 面积的 倍，求 ； (2)若，求 ． 22．(本小题满分10分) 近几年，电商行业的蓬勃发展也带动了快递业的高速发展.某快递配送站每天至少要完成件包裹的配送任务，该配送站有8名新快递员和4名老快递员，但每天最多安排10人进行配送.已知每个新快递员每天可配送件包惠，日工资元：每个老快递员每天可配送件包裹，日工资元，如何分配新老快递员，该配送站每天支付快递员的总工资最少？最少总工资为多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省2026年普通高等学校对口招生考试 数学 全真模拟卷（1） 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量120分钟，满分120分。 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据并集的概念运算即可. 【详解】已知集合， ， 则， 故选：D. 2．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】因为， 解得：或， 所以不等式的解集为， 故选：C. 3．若函数在上是增函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的单调性求解即可. 【详解】函数开口向上，对称轴为. 因为函数在上是增函数，所以，解得，则的取值范围是. 故选：C. 4．已知角的终边过点，则的值是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据任意角的正弦函数和余弦函数的定义求值即可. 【详解】已知角的终边过点， 则， 则，， ， 故选：B. 5．已知，则“”是“”的_________.（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由充要条件和对数函数的单调性即可判断. 【详解】当时，，故充分性成立； 当时，，故必要性不成立； 因此，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6．已知圆与直线相切于点，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出圆心与切点连线的斜率，再根据切线与该连线垂直的性质求出切线的斜率，最后利用点斜式方程求出切线方程． 【详解】圆可化为，则圆心， 直线的斜率为， ∵，则直线的斜率为， ∴直线的点斜式方程为，即. 故选：D. 7．同时掷两枚质地均匀的骰子，则恰有1枚骰子出现6点的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据古典概型的概率公式求值即可. 【详解】同时抛掷两枚骰子，基本事件总数， 事件{恰有1枚骰子出现6点}包含的基本事件有 ，，，，，，，，，， 即基本事件的个数， 因此， 故选：A. 8．若是两个不共线的向量，已知，若三点共线，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】由题意，结合向量的运算求解. 【详解】由题意知，， 因为三点共线，故，即， 可得 且，解得. 故选：B. 9．函数在上的递增区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数单调区间即可解答. 【详解】的递增区间就是的递增区间， 当时， 在上递减，在上递增，在上递减， 所以函数在上的递增区间为. 故选：B． 10．如图，已知正方体的棱长为2，则下列四个结论不正确的是（　　） A．直线与为异面直线 B．平面 C． D．三棱锥的体积为 【答案】D 【分析】由正方体中的直线关系和三棱锥的体积公式，逐个选项判断得到答案. 【详解】对于选项A，直线平面，平面，直线， 则易得直线与为异面直线，故A正确； 对于选项B，因为，平面，平面， 所以平面，故B正确； 对于选项C，连接， 因为正方体中，，，， 所以平面，所以，故C正确； 对于选项D，三棱锥的体积，故D错误． 故选：D. 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．五名高中生报考三所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法有 种． 【答案】243 【分析】根据题意，结合分步乘法计数原理直接运算即可. 【详解】每名高中生均有种报名方法， 不同的报名方法有种. 故答案为：243. 12．某职业学校为了解在校学生参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校三个年级的学生中抽取一个容量为的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级的学生人数之比为，则应从一年级学生中抽取的人数为 . 【答案】 【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论． 【详解】已知样本容量为， 由一年级、二年级、三年级的学生人数之比为， 可得应从一年级学生中抽取的人数为人， 故答案为：. 13．圆锥形灯罩底面直径为 10，高为 12，这个灯罩的侧面积是 .（π 取 3.14） 【答案】204.1 【分析】先求底面半径，由勾股定理求出母线长，代入圆锥侧面积公式即可． 【详解】∵底面直径为 10，∴底面半径， 又圆锥的高为 12，∴圆锥的母线长． ∴灯罩的侧面积是． 故答案为：204.1． 14．在中，已知，则 . 【答案】 【分析】根据同角三角函数的基本关系结合已知条件求出的值，再利用正弦的二倍角公式即可求解. 【详解】在中，因为，所以，则， 由同角三角函数关系式易得，解得， 所以. 故答案为：. 15．在等差数列中，，则的值为 . 【答案】 【分析】根据等差数列的前项和列方程求解，再由等差数列的性质求值即可. 【详解】已知为等差数列， 则 解得，所以， 故答案为：. 三、解答题(本大题共7小题，其中第21,22小题为选做题．满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分) 已知数列的前n项和为，．且． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据与的关系得出数列的递推关系，判断其为等差数列，再结合的值求出首项，进而得到通项公式； （2）利用分组求和法求. 【详解】（1），，即， 是公差的等差数列， 又，即，即， ， . （2）因为,即, 所以为的等比数列，令前n项和为， ， . 17．(本小题满分10分) 某中学学生会由8名同学组成，其中一年级有2人，二年级有3人，三年级有3人，现从这8人中任意选取2人参加一项活动. (1)求这2人来自两个不同年级的概率； (2)设表示选到三年级学生的人数，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为 【分析】（1）先求这2人来自同一年级的概率，再用1减去这个概率，即为这2人来自两个不同年级的概率； （2）先求X的所有可能的取值为0，1，2，再分别求 时对应的概率P，进而得到分布列，利用 计算可得数学期望． 【详解】（1）设事件表示“这2人来自同一年级”， ∴， ∴这2人来自两个不同年级的概率为. （2）随机变量的可能取值为0，1，2， ，，， 所以的分布列为 0 1 2 . 18．(本小题满分10分) 如图，正三棱柱的底面边长为4，且. (1)求正三棱柱的体积； (2)若、分别为、的中点，求与底面所成角的正切值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出底面正三角形的面积，再由体积公式计算即可. （2）取的中点为，连接，先证为所求线面角的平面角，再在中求解即可. 【详解】（1）因为是正三棱柱，所以为正三角形，为正三棱柱的高， 又正三棱柱的底面边长为4，且， 所以， 所以正三棱柱的体积为. （2）如图，取的中点为，连接， 因为、分别为、的中点，又是正三棱柱， 所以平面，平面平面 所以是与底面所成角的平面角， 因为平面，所以， , 所以在中， ， 故与底面所成角的正切值为. 19．(本小题满分10分) 已知定义在上的函数是奇函数． (1)求的值； (2)求的单调性； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据定义在上的奇函数，列式求值即可. （2）根据函数的单调性的定义和指数函数的单调性分析即可. （3）首先由函数的奇偶性和单调性列不等式，再由一元二次不等式恒成立则列不等式求解即可. 【详解】（1）已知定义在上的函数是奇函数， 所以，即， 解得. （2）由（1）可知，， 定义域为，则任取，且， 则，， ， 因为且该函数在定义域内为增函数， 所以，即， 则， 因此，所以在定义域内为减函数. （3）已知为奇函数，则由， 得， 则， 由在定义域内为减函数， 所以，即， 因为不等式恒成立，即恒成立， 所以， 即，解得. 所以实数的取值范围为. 20．(本小题满分10分) 已知椭圆的一条准线方程为，离心率 (1)求椭圆E的标准方程； (2)若点M是椭圆E的上顶点，过点M分别作直线、交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为，且，问直线是否过定点，若过定点，则求出该定点；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2)是， 【分析】（1）根据椭圆的性质求出，可得椭圆方程； （2）设出直线方程，与椭圆方程联立，整理得直线的表达式，结合已知条件判断直线是否过定点． 【详解】（1）由题意知准线方程为，离心率， 所以， 则， 所以椭圆E的标准方程为． （2）由（1）知点M为， ①当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由得， 由，得． 设，则， 则， 即， 得，化简得， 所以直线的方程为， 所以直线过定点． ②当直线的斜率不存在时，设直线的方程为， 此时设，则， 由，得， 所以直线的方程为，过点． 综上所述，直线过定点． 选做题：请考生在第21,22题中选择一题作答．如果两题都做，则按所做的第21题计分．作答时，请写清题号． 21．(本小题满分10分) 如图，四边形 中，，，设 ． (1)若 面积是 面积的 倍，求 ； (2)若，求 ． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）根据三角形面积公式和二倍角的正弦公式求解即可. （2）根据正弦定理以及正切函数的定义求解即可. 【详解】（1） 设 ，则 ，， 由题意得， 则， 所以 ． （2） 由正弦定理，在 中，， 即, 在 中，， 即, 所以， 化简得，所以 ． 22．(本小题满分10分) 近几年，电商行业的蓬勃发展也带动了快递业的高速发展.某快递配送站每天至少要完成件包裹的配送任务，该配送站有8名新快递员和4名老快递员，但每天最多安排10人进行配送.已知每个新快递员每天可配送件包惠，日工资元：每个老快递员每天可配送件包裹，日工资元，如何分配新老快递员，该配送站每天支付快递员的总工资最少？最少总工资为多少？ 【答案】该配送站分配名新快递员，不安排老快递员，每天需支付快递员的总工资最小，最少总工资为2560元 【分析】根据二元一次方程的实际应用，结合不等式，即可求解. 【详解】依题意，安排新手快递员人，老快递员人， 由题意得，即， 该配送站每天需支付快递员总工资为. 作出不等式组表示的可行域如图所示. 作直线，平移直线可得到一组与之平行的直线. 由题设是可行域内的整点的横、纵坐标. 在可行域内的整点中，点使取得最小值， 即当过点时，取得最小值，且(元). 所以该配送站分配名新快递员，不安排老快递员， 每天需支付快递员的总工资最小，最少总工资为2560元. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $