精品解析：云南省文山壮族苗族自治州文山市第一中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

文山市第一中学高二年级12月月考 数学试卷 本试卷共页，共题，全卷满分分，考试用时 分钟. 注意事项： 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、班级、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并将条形码准确粘贴在条形码区域内. 选择题的作答：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题：本题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在等差数列中， ，，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2. 记为等差数列的前项和，已知， ，则 （ ） A. B. C. D. 3. 若直线与直线平行，则（ ） A. 0 B. 或0 C. D. 1 4. 直线与圆相交于两点，则弦长（ ） A. B. C. D. 5. 已知为递增等比数列，其前项和为，若 ，，则（ ） A. B. 27 C. 81 D. 或81 6. 已知数列为等比数列，且，，设等差数列的前n项和为，若，则 （ ） A. －36或36 B. －36 C. 36 D. 18 7. 已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，点在抛物线 上运动，点在圆上运动，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、多项选择题：本题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 分. 9. 已知等比数列的公比为，前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知等差数列的前项和为， ，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 为递减数列 D. 的前5项和为 11. 将两个各棱长均为1的正三棱锥和的底面重合，得到如图所示的六面体，则（ ） A. 该几何体的表面积为 B. 该几何体的体积为 C. 过该多面体任意三个顶点的截面中存在两个平面互相垂直 D. 直线 平面 三、填空题：本题共小题，每小题分，共 分. 12. 若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________. 13. 已知数列的前项和为，且，则____________. 14. 已知数列的前n项和，若，数列 中 ，的最小值是______. 四、解答题：本题共小题，共分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列{an}满足：a4＝7，a10＝19，其前n项和为Sn． （1）求数列{an}的通项公式an及Sn； （2）若bn＝，求数列{bn}的前n项和为Tn． 16. 已知数列的首项，，， ，． （1）求证：数列为等比数列； （2）记，若 ，求最大正整数． 17. 已知数列是等差数列，它的前项和为，数列是等比数列，，，，，． （1）求数列和的通项公式； （2）若 ，设数列的前项和为，求． 18. 已知数列的前n项和为，，． （1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和为； （3）若 对任意恒成立．求实数的取值范围． 19. 已知点为椭圆的左焦点，长轴长为为椭圆上的点，当垂直轴时，. （1）求椭圆的方程； （2）是否存在直线，点到直线的距离为，使得为定值；若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. （3）为椭圆的下顶点，斜率不为0的直线与椭圆交于两点，求证： 的面积小于. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 文山市第一中学高二年级12月月考 数学试卷 本试卷共页，共题，全卷满分分，考试用时 分钟. 注意事项： 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、班级、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并将条形码准确粘贴在条形码区域内. 选择题的作答：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题：本题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在等差数列中， ，，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的中项求解. 【详解】解：由等差数列的性质可知， 所以． 故选：A． 2. 记为等差数列的前项和，已知， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由结合等差中项的性质可得，即可计算出公差，即可得的值. 【详解】由，则， 则等差数列的公差，故. 故选：B. 3. 若直线与直线平行，则（ ） A. 0 B. 或0 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行的条件列方程求得的值，然后检验，排除两直线重合的情况. 【详解】由题意得,即,解得或. 当时，两直线方程都为，两直线重合，不合题意，舍去； 当时，两直线方程分别为和，此时两直线平行，符合题意. 故选：C. 4. 直线与圆相交于两点，则弦长（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用几何法求圆的弦长即可. 【详解】由的圆心为，半径为， 而到的距离为， 所以. 故选：A 5. 已知为递增等比数列，其前项和为，若 ，，则（ ） A. B. 27 C. 81 D. 或81 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合等比数列的通项公式运算求解即可. 【详解】设等比数列的公比为， 由题意可得，解得或， 又数列为递增等比数列，所以，所以. 故选：C. 6. 已知数列为等比数列，且，，设等差数列的前n项和为，若，则 （ ） A. －36或36 B. －36 C. 36 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式求得，继而求得的值，利用等差数列前项和公式进行计算即可. 【详解】数列为等比数列，设公比为q，且，， 则，则， 则， 则， 故选：C. 7. 已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆的定义结合勾股定理，易得等式求出离心率. 【详解】由椭圆定义得：，又因为， 所以解得：， 再由于，，结合勾股定理可得： ，解得，所以椭圆的离心率为， 故选：C. 8. 已知点，点在抛物线 上运动，点在圆上运动，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先判断在抛物线 里面，然后的最小值为，过点作抛物线准线的垂线垂足为，的最小值等于求的最小值. 【详解】把代入 ，得， 所以点在抛物线 里面， 圆的圆心记为， 因为的最小值为，而正好是抛物线 的焦点， 过点作抛物线准线的垂线垂足为， 则根据抛物线的定义得， 所以的最小值等于求的最小值， 当三点共线时最小，最小值为， 故的最小值为， 故选：B 二、多项选择题：本题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 分. 9. 已知等比数列的公比为，前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用题设等式进行等比数列的基本量运算，求得，代入公式即可一一判断. 【详解】依题，，解得故A错误，B正确； 则，，故C错误，D正确. 故选：BD. 10. 已知等差数列的前项和为， ，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 为递减数列 D. 的前5项和为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质求出公差，再逐项求解判断即可. 【详解】等差数列中，，解得，而 ， 因此公差，通项， 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，为递减数列，C正确； 对于D，，所以的前5项和为 ，D错误. 故选：BC 11. 将两个各棱长均为1的正三棱锥和的底面重合，得到如图所示的六面体，则（ ） A. 该几何体的表面积为 B. 该几何体的体积为 C. 过该多面体任意三个顶点的截面中存在两个平面互相垂直 D. 直线 平面 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，首先求得其中一个正三角形的面积，进一步即可验算；对于B，首先求得，进一步即可验算；对于C，证明面 面即可判断；对于D，建立适当的空间直角坐标系，验算平面法向量与直线方向向量是否垂直即可. 【详解】对于A，，所以表面积为，故A对； 对于B，如图所示： 设点在平面内的投影为，为的中点，则由对称性可知为三角形的重心， 所以，又因为， 所以正三棱锥的高为， 所以题图所示几何体的体积为，故B错； 对于C，由B选项可知 面，由对称性可知三点共线， 所以 面，而 面 ， 所以面 面，故C正确； 对于D，建立如图所示的空间直角坐标系： 其中 轴平行，因为， 所以， 设平面 的法向量为，所以， 不妨取，解得，所以取， 又， 而，所以直线与平面 不平行，故D错. 故选：AC. 三、填空题：本题共小题，每小题分，共 分. 12. 若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据离心率得出，结合得出 关系，即可求出双曲线的渐近线方程. 【详解】解：由题可知，离心率 ，即， 又，即，则， 故此双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 13. 已知数列的前项和为，且，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据和的关系求解可得. 【详解】当时，； 当 时，. 所以. 故答案为： 14. 已知数列的前n项和，若，数列 中 ，的最小值是______. 【答案】5 【解析】 【分析】根据与的关系求出，进而得到，易得数列 单调递增，进而求解即可. 【详解】由，当 时，； 当时，满足上式，则， 由， 则对任意都成立，即， 则数列 单调递增，因此. 故答案为：5. 四、解答题：本题共小题，共分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列{an}满足：a4＝7，a10＝19，其前n项和为Sn． （1）求数列{an}的通项公式an及Sn； （2）若bn＝，求数列{bn}的前n项和为Tn． 【答案】（1）,；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出． （2）利用“裂项求和”方法即可得出． 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，则， 解得， ， ∴. （2）， ∴数列的前项和为 . 16. 已知数列的首项，，，，． （1）求证：数列为等比数列； （2）记，若 ，求最大正整数． 【答案】（1）证明：，， 可得 ，又 ， 数列 为等比数列，首项为，公比为． （2）99 【解析】 【分析】（1）根据题设可得 ，进而求证即可； （2）由（1）得 ，再利用分组求和法求出，进而求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， ， ， 由 ，则 ， 在定义域内单调递增， 且 时， ，时， ， 所以 ． 17. 已知数列是等差数列，它的前项和为，数列是等比数列，，，，，． （1）求数列和的通项公式； （2）若 ，设数列的前项和为，求． 【答案】（1）， （2） ． 【解析】 【分析】1由已知列出方程组，求得公差和公比，然后求的数列的通项公式； 2由已知得数列的前项和为，然后分组求和，利用等比数列求和公式以及裂项相消法求得结果． 【小问1详解】 设等差数列的公差为，等比数列的公比为 ， 则由,得 , 解得 或，因为，故舍去， 所以，． 【小问2详解】 由 ，得， 则 ,即 ; 故   ． 18. 已知数列的前n项和为，，． （1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和为； （3）若 对任意恒成立．求实数的取值范围． 【答案】（1）证明如下： 由，则，又， 所以数列是首项、公差均为的等差数列，则， 所以. （2） ； （3） . 【解析】 【分析】（1）根据题设递推关系有，结合等差数列定义判断证明，进而写出通项公式； （2）应用错位相减法及等比数列前n项和公式求； （3）将问题化为 恒成立，作差法判断右侧的最小值，即可得参数范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，则， 所以 ， 所以 . 【小问3详解】 由（1）（2），则 ，整理得 恒成立， 令 ，则 ， 当时，当 时，当时， 所以 ，即的最小值为 ， 综上， . 19. 已知点为椭圆的左焦点，长轴长为为椭圆上的点，当垂直轴时，. （1）求椭圆的方程； （2）是否存在直线，点到直线的距离为，使得为定值；若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. （3）为椭圆的下顶点，斜率不为0的直线与椭圆交于两点，求证： 的面积小于. 【答案】（1） （2）存在， （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由长轴长得，再根据得到求得即可得椭圆的方程. （2）设的坐标为，利用距离公式结合化简得到，根据为定值可得，进而求得即可得直线的方程； （3）设直线的方程为，将直线与椭圆联立并由根的判别式和韦达定理得到，利用弦长公式和点到直线的距离公式求得及，进而得 的面积，再分别在和时进行证明. 【小问1详解】 因为，得；又，所以 ， 所以椭圆的方程为 【小问2详解】 设的坐标为，所以， 因为，所以， 又点到直线的距离 所以 又因为为定值，所以，解得， 所以存在直线，使得. 【小问3详解】 设直线的方程为， 直线与椭圆联立可得：， 所以，得， 由韦达定理可：. 所以 点到直线的距离为， 所以 的面积 ①当时，在时取最大值， 所以 ②当时，在时取最大值， 即. 设， 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $