精品解析：湖南省常德市临澧县第一中学2025-2026学年高一上学期12月阶段性检测数学试题

2025届临澧一中12月阶段性检测试卷 高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1 （ ） A. B. C. D. 2. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 5. 设函数，则函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 6 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 定义在上的奇函数，且，且对任意不等的正实数都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C 若，则 D. 若，则 10. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. B. “”是“”的充要条件 C. 图象的对称轴方程为 D. “”是“为偶函数”充要条件 11. 已知函数，若函数有四个零点，，，且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 函数的值域为_____. 13. 函数的定义域为_____________ ． 14. 设是定义在R上的奇函数，当时，．若对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 求下列各式的值： （1）； （2）． 16. 已知集合，集合 （1）若，求和. （2）若，求实数a的取值范围. 17. 已知函数，函数 （1）若函数为奇函数，求的值． （2）若，且，求不等式的解集． 18 已知函数． （1）求的单调递减区间； （2）求在上的值域； （3）若函数在上恰有3个零点，求的取值范围． 19. 设A，B是非空实数集，如果对于集合A中的任意两个实数x，y，按照某种确定的关系f，在B中都有唯一确定的数z和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个二元函数，记作，，，其中A称为二元函数f的定义域． （1）已知，若，，，求． （2）设二元函数f的定义域为I，如果存在实数M满足①，都有，②，，使得，那么我们称M是二元函数的下确界．若，，且，判断函数是否存在下确界．若存在，求出此函数的下确界；若不存在，说明理由． （3）设的定义域为R，若，，．，则称f在D上关于m单调递增．已知在上关于单调递增，求实数k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届临澧一中12月阶段性检测试卷 高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用诱导公式可求出的值. 【详解】由题意可得. 故选：A. 【点睛】本题考查利用诱导公式求值，考查计算能力，属于基础题. 2. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先把全集和集合中的元素用列举法表示出来，再根据集合的补集的概念，即可求解. 【详解】由题意，， ，所以. 故选：B. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解出不等式，利用集合包含关系可判断充要关系. 【详解】由，解得：或， 所以“”是“”的充分不必要条件； 故选：A 4. 已知，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将所求式变形后利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，则可得， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值是 故选：B. 5. 设函数，则函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据零点存在性定理分析可得结果. 【详解】因为函数的图象连续不断， 且，, ,，， 所以函数的零点所在区间是. 故选：C 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数函数，，指数函数的单调性即可得出答案. 【详解】根据对数函数在上单调递减，则， 根据对数函数在上单调递增，则，根据指数函数在上单调递减，则，则，故， 故选：A. 7. 定义在上的奇函数，且，且对任意不等的正实数都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断在上单调递增，结合奇函数，判断在上也单调递增，然后化简不等式变成，然后分情况讨论，根据函数的单调性和零点求出解集即可. 【详解】因为对不等的正实数满足， 设，则，所以， 即，所以在上单调递增， 因为是在上的奇函数，所以在上也单调递增， 又，所以. 不等式， 即. 当时，，因为在上单调递增，， 所以，解得. 当时，，因为在上单调递增，， 所以，解得. 综上，不等式的解集为. 故选：C. 8. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据“函数”的定义确定的值域为，结合每段上的函数的取值范围列出相应不等式，即可求得答案. 【分析】由题意可知的定义域为，又因为函数是“函数”， 故其值域为，而，则值域为； 当时，， 当时，，对称轴且开口向上， 则在上单调递增，则， 故由函数是“函数”可得， 解得，即实数取值范围是， 故选：C. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A举反例即可判断；对B利用作差法即可判断；对CD根据不等式性质即可判断. 【详解】对于A，当，时，，故A错误; 对于B，因为，所以，， 则，所以，故B正确; 对于C，因为，则，，所以，故C正确; 对于D，由，故，同除以ab得，故D正确. 故选：BCD 10. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. B. “”是“”的充要条件 C. 图象的对称轴方程为 D. “”是“为偶函数”的充要条件 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据诱导公式化简判断A；根据正弦函数的周期性及充要条件的定义判断B；利用正弦函数的对称性求解对称轴判断C；举例法结合充要条件的定义判断D. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，时，，反之时，，B正确； 对于C，由，得，C正确； 对于D，， 时，是偶函数， 但时，也有为偶函数，D错误. 故选：ABC. 11. 已知函数，若函数有四个零点，，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由已知可得函数与有四个不同的交点，作出两函数的图象，逐项判断即可. 【详解】函数的图象如图所示， 对于A，设，则，故A正确； 则直线与函数图象的4个交点横坐标分别为，，，． 对于B，函数的图象关于直线对称，则，因，故，故B错误； 对于C，由图象可知，且，所以，即，所以，因，故，故C错误； 对于D，由图象可知，则，， 因为函数在上单调递增，故可得， 则的取值范围为，故D正确． 故选：AD． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 函数的值域为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法转化为指数函数和二次函数的值域问题求解即可. 【详解】令， 则原函数值域等价于函数的值域， 由指数函数性质可知，故函数的值域为. 故答案为： 13. 函数的定义域为_____________ ． 【答案】 【解析】 【分析】对数函数要求真数大于0，解正弦不等式，求出定义域. 【详解】由题意得：，故，则 故答案为： 14. 设是定义在R上的奇函数，当时，．若对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性求得函数的解析式，然后根据函数的单调性列出不等式，转化为最值问题，即可求得结果. 【详解】设，则，因为当时，，则， 且函数是定义在R上的奇函数，则 所以，则． 因此，原不等式等价于． 由解析式知在R上是增函数，所以，即． 又，所以当时，取得最大值． 因此，，解得． 故a的取值范围是． 故答案: 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂的运算法则求值. （2）根据对数的运算法则求值. 【小问1详解】 原式 . 【小问2详解】 原式 . 16. 已知集合，集合 （1）若，求和. （2）若，求实数a的取值范围. 【答案】（1），或 （2）. 【解析】 【分析】（1）直接解出集合，再根据集合交并补即可得到答案； （2）根据交集结果得，分和讨论即可. 【小问1详解】 因为，，所以， 所以，所以 ①若，则， ， 因为或，所以或 【小问2详解】 若，则， ①当时，，解得， ②当时，，解得， 综上，实数a的取值范围为. 17. 已知函数，函数 （1）若函数为奇函数，求的值． （2）若，且，求不等式的解集． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义列方程求解即可； （2）求得，令，可判断其为奇函数，且在上单调递增，则，从而将转化为，再利用其单调性可求得结果. 【小问1详解】 因为函数为奇函数，定义域为 则 所以有，所以 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在定义域上单调递增， 令， 因为 ， 所以为奇函数， 则， ，则． 所以不等式可以化为， 则，所以． 原不等式的解集为. 18. 已知函数． （1）求的单调递减区间； （2）求在上的值域； （3）若函数在上恰有3个零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用整体思想，根据正弦函数的单调性，建立不等式，可得答案； （2）利用整体思想，根据正弦函数的图象与性质，可得答案； （3）由题意建立方程，求得的值，由小到大写出个零点，建立不等式，可得答案. 小问1详解】 由，得， 所以的单调递减区间为． 【小问2详解】 由，得． 由正弦函数的图象可得，， 所以在上的值域为． 小问3详解】 由，得， 得或， 解得或， 则在上的3个零点为，，， 所以， 得，即的取值范围为． 19. 设A，B是非空实数集，如果对于集合A中的任意两个实数x，y，按照某种确定的关系f，在B中都有唯一确定的数z和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个二元函数，记作，，，其中A称为二元函数f的定义域． （1）已知，若，，，求． （2）设二元函数f的定义域为I，如果存在实数M满足①，都有，②，，使得，那么我们称M是二元函数的下确界．若，，且，判断函数是否存在下确界．若存在，求出此函数的下确界；若不存在，说明理由． （3）设的定义域为R，若，，．，则称f在D上关于m单调递增．已知在上关于单调递增，求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）由二元函数的定义求解即可； （2）根据基本不等式即二次函数的性质判断即可； （3）根据二元函数在定义域上单调递增的定义求解即可； 【小问1详解】 由可得，， 由可得，， 由 又， 所以； 【小问2详解】 由可得，， 由可得，，所以， ， 当且仅当，即，时取等号. 【小问3详解】 因为在上是关于单调递增， 所以， 即存在，对于任意的，，都有， 化简可得，即， 下面求函数的最小值， 设，， ， 当时，若时，； 若，此时，可得， 令， 因为，由可知，在递增， ， 当时，， 当时，； 同理，当时，在上单调递增且函数值为负， 在上单调递增，函数值为正， 所以， 综上，当时，， 即存在，使得， 设，， ①当时，， ②当时，， 设，， 所以， 综上，， 所以取值范围是. 【点睛】关键点点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $