精品解析：内蒙古包头市第九中学外国语学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

包九中外国语学校高一年级数学学科 （2024年11月） 一､单选题：本大题共8小题，共40.0分. 1. 已知集合，则集合中的元素个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】 解分式不等式化简集合，即可得答案. 【详解】∵. 故选：C. 【点睛】本题考查集合的描述法和列举法表示，考查运算求解能力，属于基础题. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据特称命题的否定即可得结论. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 故选：B. 3. 命题为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出命题为真命题时a的值，再结合充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】若命题“”为真命题， 则，恒成立. 令，则函数在上单调递增，所以在当时，取得最大值4， 可得， 所以各选项中只有是的真子集， 即是“”为真命题的一个充分不必要条件. 故选：B 4. 若，则下列不等式不能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用不等式的基本性质即可得出. 【详解】因为，所以，，，则A，B，C正确 又,所以，故 D错误. 故选：D. 【点睛】本题考查不等式的基本性质，考查学生的简单推理能力与计算能力，属于基础题. 5. 已知，则函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】整理函数解析式，得到函数对称轴，即可求得函数最大值. 【详解】函数， 二次函数开口向下，且函数对称轴为， ∵， ∴函数的最大值为. 故选：A. 6. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，当时需，解得即可； 【详解】解：由题意，当，解得， 当时，原不等式即为对一切都成立，符合题意； 当时，原不等式即，不符合题意； 当时，要使不等式的解集为， 则成立，解得， 综上可得. 故选：D 7. 正数满足，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式求出的最小值，将问题转化为对任意实数x恒有求解. 【详解】正数满足，， 故， 当且仅当，即时等号成立， 不等式对任意实数x恒成立， 则对任意实数x恒有， 对任意实数x恒成立， 对任意实数x恒成立， 又， ，即实数的取值范围是， 故选：A 8. 若在函数定义域的某个区间上定义运算 则函数 的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据新运算法则求解的解析式和的范围，根分段函数的性质求解值域． 【详解】， 由新运算法则可得， 即当或时，， 当时，， 若，则，其值域为，即值域为； 若，则，其值域为，即值域为； 综上可得函数值域为， 故选：D． 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列各组函数中是同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】AD 【解析】 【分析】利用相同函数的定义，逐项判断即可得解. 【详解】对于A，函数、的定义域均为R，且，A是； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为，B不是； 对于C，函数的定义域为，函数的定义域为，C不是； 对于D，函数、定义域均为，对应法则相同，D是. 故选：AD 10. 已知不等式的解集为或，则（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集，先求得的关系式，然后对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】因为不等式的解集为或， 则，且关于的方程的两根分别为， 由根与系数的关系可得，所以. 对于A，，A错误； 对于B，不在不等式的解集内，令，则有，B正确；对于C，， 该不等式的解集为，C正确； 对于D，不等式即为， 化简可得，解得， 因此，不等式的解集为，D正确. 故选：BCD 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则的最大值为； B. 若，则函数的最大值为； C. 若，，，则的最小值为 D 已知，则函数. 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项利用基本不等式，可求得最小值为，BD选项都可以利用凑定法，改变形式，利用基本不等式可求得最值，判断答案，C选项利用和的不等关系，得到关于的不等式可解答案. 【详解】当，，，，当且仅当时，取等号，故选项A不正确. 当时，， 当且仅当时等号成立，所以选项B正确. 当，，，故即， 整理得 ，当且仅当时，取等号，所以选项C不正确. , ,， 当且仅当时等号成立，所以D正确. 故选：BD 三､填空题：本大题共3小题，共15.0分. 12. 若函数的定义域是，则函数的定义域是________. 【答案】 【解析】 【分析】应用求解抽象函数的定义域的方法求出的定义域，和的解集，即可求解. 【详解】由题意得函数的定义域是， 令，所以，即，解得， 由，解得或， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 13. 已知，且，，，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据集合间的运算结果推出，并画出韦恩图验证，得到答案. 【详解】由题意得， 又，故， 又，故，且，， 因为，故，， 因为，故，， 综上：，画出韦恩图如下： 故答案为： 14. 已知函数，则 ，的最小值是 ． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：如图根据所给函数解析式结合其单调性作出其图像如图所示，易知. 考点：分段函数的图像与性质 四､解答题：本题共小题，共分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合， （1）当时，求和； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】 （1）求出集合后. （2）根据是的真子集可得关于的不等式，其解即为实数的取值范围． 【详解】（1）， ， . （2）因为是的充分不必要条件，故是的真子集. 当时，，此时符合题意； 当时，， 只要 (无解)，或， 解得， 综上所述，实数的取值范围． 【点睛】结论点睛： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含． 16. 求下列不等式的解集： （1）； （2）； （3） 【答案】（1） （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式即可得答案； （2）将分式不等式转化为整式不等式求解，即得答案； （3）不等式可化为，分类讨论a的取值，即可求得答案. 【小问1详解】 由得， 即，解得， 故不等式的解集为. 【小问2详解】 由得， 即，也即为， 故，解得， 故不等式的解集为. 【小问3详解】 不等式可化为， 当时，解得； 当时，原不等式即为， 当时，，. 当时，，此时不等式解集为； 当时，， 当时，原不等式即为， 因为，所以，所以或. 综上所述，原不等式的解集为： 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 17. 已知函数． （1）判断在区间上的单调性，并用定义进行证明； （2）求在区间上的最大值与最小值． 【答案】（1）函数在区间上单调递增，证明见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）由单调性定义证明即可； （2）借助（1）中结论，根据单调性得最值. 【小问1详解】 函数在区间上单调递增，证明如下： 任取，，且，则 因为，所以，且， 即， 所以 故在区间上单调递增． 【小问2详解】 由（1）知在上递增， 所以，. 18. 求下列函数的解析式： （1）已知二次函数满足，且； （2）已知函数满足：； （3）已知函数满足：. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）设，由可求得的值，由可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出函数的解析式； （2）设，代入化简可得函数的解析式； （3）由已知可得出关于、的方程组，即可解得函数的解析式. 【详解】（1）设， ，因为， 所以，，解得，因此，； （2）令，则，， 代入有， 因此，； （3）由可得，解得. 19. 中国“一带一路”倡议提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设各，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产台，需另投入成本（万元），当年产量不足80台时，（万元）；当年产量不小于80台时，（万元），若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完． （1）求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式； （2）年产量为多少台时，该企业在这一电子设备生产中所获利润最大？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）考虑和两种情况，根据计算得到答案. （2）利用二次函数性质和均值不等式依次计算分段函数的最值，比较得到答案. 小问1详解】 当，时， ； 当，时， ， 故， 【小问2详解】 当，时，， 当时，最大值为； 当，时，， 当且仅当，即时，等号成立. 综上所述：当时，有最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 包九中外国语学校高一年级数学学科 （2024年11月） 一､单选题：本大题共8小题，共40.0分. 1. 已知集合，则集合中的元素个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 命题“，”的否定是（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 3. 命题为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C D. 4. 若，则下列不等式不能成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是　　 A. B. C. D. 7. 正数满足，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 8. 若在函数定义域的某个区间上定义运算 则函数 的值域是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列各组函数中是同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 已知不等式的解集为或，则（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则的最大值为； B. 若，则函数的最大值为； C. 若，，，则的最小值为 D. 已知，则函数. 三､填空题：本大题共3小题，共15.0分. 12. 若函数的定义域是，则函数的定义域是________. 13. 已知，且，，，则_____________. 14. 已知函数，则 ，的最小值是 ． 四､解答题：本题共小题，共分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合， （1）当时，求和； （2）若是充分不必要条件，求实数的取值范围． 16. 求下列不等式的解集： （1）； （2）； （3） 17. 已知函数． （1）判断在区间上的单调性，并用定义进行证明； （2）求在区间上的最大值与最小值． 18. 求下列函数解析式： （1）已知二次函数满足，且； （2）已知函数满足：； （3）已知函数满足：. 19. 中国“一带一路”倡议提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设各，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产台，需另投入成本（万元），当年产量不足80台时，（万元）；当年产量不小于80台时，（万元），若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完． （1）求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式； （2）年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $