专题15 排列组合、概率统计与实际应用10大题型（专题专练）（上海专用） 2026年高考数学二轮复习讲练测

专题15 排列组合、概率统计与实际应用 目录 第一部分 考向速递 洞察考向，感知前沿 第二部分 题型归纳 梳理题型，突破重难 题型01排列组合 题型02二项式定理 题型03概率初步 题型04统计估计 题型05条件概率与相关公式 题型06 随机变量的分布与特征 题型07 常用分布 题型08 成对数据的相关分析 题型09 一元线性规划分析 题型10 2×2列联表 第三部分 分层突破 固本培优，精准提分 A组·基础保分练 B组·重难提升练 1．“”是“的二项展开式中存在常数项”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 2.小何同学喜欢踢足球，已知他踢点球进门的概率是，一次点球训练中，他连续2次都没有踢进门，则他第3次踢进门的概率为（    ） A． B． C．1 D．介于和1之间的某个实数 3．在桌面上有一个质地均匀的正四面体D—ABC．从该正四面体与桌面贴合的面上的三条棱中等可能地选取一条棱，沿其翻转正四面体至正四面体的另一个面与桌面贴合，如此翻转称为一次操作．如图，开始时，正四面体与桌面贴合的面为，操作次后，正四面体与桌面贴合的面是的概率记为. 现有下列两个结论：①；②. 则下列说法正确的是（    ）    A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①、②都正确 D．①、②都错误 4.标志重捕法是指的是在一定范围内，对活动能力强、活动范围较大的动物种群进行粗略估算的一种生物统计方法，是根据自由活动的生物在一定区域内被调查与自然个体数的比例关系对自然个体总数进行数学推断.在被调查种群的生存环境中，捕获一部分个体，将这些个体进行标志后再放回原来的环境，经过一段时间后进行重捕，根据重捕中标志个体占总捕获数的比例来估计该种群的数量.标志重捕法估算种群密度是基于以下几种假设：①标记个体与未标记个体在重捕时被捕获的概率相等；②在调查期内标记的个体没有死亡，没有迁出，标记物没有脱落；③标记个体在种群中均匀分布.若应用标志重捕法调查鱼的种群密度，则下列捕鱼过程会导致估算结果与实际情况误差较大的是（    ）. A．第一次用小网眼的渔网捕鱼，第二次用小网眼的渔网捕鱼 B．第一次用小网眼的渔网捕鱼，第二次用大网眼的渔网捕鱼 C．第一次用大网眼的渔网捕鱼，第二次用小网眼点渔网捕鱼 D．第一次用大网眼的渔网捕鱼，第二次用大网眼的渔网捕鱼 5．某城市交通系统采用数智技术记录城市道路口的信号灯状态，每个时段的信号灯状态对应一个数字（见下表）. 信号灯状态 正常绿波协调 非正常绿波协调 道路施工临时黄灯 突发事故临时红灯 对应数字 0 1 现需要按顺序记录某个道路口5个时段的信号灯状态，例如，记号表示5个时段中有3个时段是“非正常绿波协调”状态，分别发生在第1、3、5时段.问：该路口5个时段所有可能的记录中，“非正常绿波协调”的时段数不少于1个且不多于3个的记录共有 种. 6.北斗七星是夜空中的七颗亮星，它们组成的图形象我国古代舀酒的斗，故命名为北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象，也是古人判断季节的依据之一.如图，用点，，，，，，表示某季节的北斗七星，其中，，，看作共线，其他任何三点均不共线.若过这七个点中任意三点作三角形，则所作的不同三角形的个数为 . 7.若三个正整数a，b，c的位数之和为8，且组成a，b，c的8个数码能排列为2，0，2，5，0，6，0，7，则称（a，b，c）为“幸运数组”，例如（7，6，202500）是一个幸运数组.则满足的幸运数组（a，b，c）的个数为 . 01排列组合 1．现有5名学生站成一排，若学生甲不站两端，则不同站法共有 种（用数字作答）. 2．上海国际电影节影片展映期间，某影院准备在周日的某放映厅安排放映4部电影，两部纪录片和两部悬疑片，当天白天有5个时段可供放映（5个连续的场次），则两部悬疑片不相邻（中间隔空场也叫不相邻），且当天最先放映的一定是悬疑片的排片方法有 种（结果用数字表示）． 3．已知关于正整数的方程，则该方程的解为 . 4．用黑白两种颜色（都要使用）给正方体的6个面涂色，每个面只涂一种颜色。如果 一种涂色方案可以通过重新摆放正方体，变为另一种涂色方案，则这两种方案认为是相同的。（例如：a.前面涂黑色，另外五个面涂白色; b.上面涂黑色，另外五个面涂白色是同一种方案）则涂色方案一共有 种。 5．有件商品的编号分别为，它们的售价（元），且满足，则这件商品售价的所有可能情况有 种. 02二项式定理 6．的二项展开式中常数项为 ． 7．在的二项展开式中，项的系数为 . 8．已知的展开式中所有项的二项式系数的和为64，则展开式中的系数为 . 9．已知，则 ． 10．已知的二项展开式中常数项为1，则实数的值为 . 03概率初步 11．已知随机事件，表示事件的对立事件，，则下面结论正确的是（   ） A．事件与一定是对立事件 B． C． D．若事件A，B互相独立，则 12．莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大、内容最丰富的佛教艺术圣地，每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游．已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中有3个被誉为最值得参观的洞窟．现游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，则至少选中2个最值得参观洞窟的概率是 ． 13．盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒面已知某盲盒产品共有3种玩偶，小明购买4个盲盒，则他能集齐3种玩偶的概率是 .（结果用数值表示） 14．一项过关游戏的规则规定：在第n关要投掷骰子n次，如果这n次投掷所得的点数之和大于，则算过关，问一个人连过第一、二关的概率为 ． 15．设，同时抛掷两枚质地均匀的骰子一次，事件表示“第一枚骰子向上的点数为奇数”，事件表示“两枚骰子向上的点数之和为”，若事件与事件相互独立，则的一个可取值为 . 04统计估计 16．从放有两个红球、一个白球的袋子中一次任意取出两个球，两个红球分别标记为、，白球标记为，则它的一个样本空间可以是（    ） A． B． C． D． 17．某班一次数学小测验（百分制）后，老师为了奖励同学们平时认真学习，决定给每位同学的成绩加上5分作为过程性评价奖励.加分后，与原始分数相比，不会发生改变的是（    ） A．平均数 B．中位数 C．第80百分位数 D．方差 18．现从编号为的50支水笔中抽取10支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第9个数字开始由左向右读取，则抽取的第4支水笔的编号为 （以下摘自随机数表第7行）． 39832776    39918535    32591131     40469235     04982212    20671263 19．某校数学组老师的年龄分布茎叶图如图所示，则该校数学组老师年龄的中位数与极差之和为 ． 20．在某市的三次数学测试中，为了解学生的测试情况，从中随机抽取100名学生的测试成绩，被抽取成绩全部介于40分到100分之间（满分100分），将统计结果按如下方式分成六组：第一组．第二组，……第六组，画出频率分布直方图如图所示， (1)估计该市学生这次测试成绩的第25百分位数； (2)估计该市学生这次测试成绩的平均值（回一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (3)从两组中按分层抽样抽取5名学生，再随机抽取3名同学进行问卷测试，问3名同学中恰好只有1名同学成绩在之间的概率． 05条件概率与相关公式 21．已知事件与相互独立，且，则下列选项不一定成立的是（    ） A．； B．； C．； D．. 22．假设生产某产品的一个部件来自三个供应商，供货占比分别是、、，而它们的良品率分别是、、，则该部件的总体良品率是 ． 23．已知随机事件满足，，，则 24．某高中开发了三个不同的“美育”课程和两个不同的“劳动教育”课程，甲同学从五门课程中任选了两门，已知有一门是“美育”课程，则另一门也是“美育”课程的概率为 25．某工厂生产的产品以100个为一批．在进行抽样检查时，只从每批中抽取10个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的．假定每一批产品中的次品最多不超过2个，并且其中恰有（0，1，2）个次品的概率如下： 一批产品中有次品的个数 0 1 2 概率 0.3 0.5 0.2 则各批产品通过检查的概率为 ．（精确到0.01） 06随机变量的分布与特征 26．已知随机变量的分布是，则其方差 ． 27．已知随机变量的分布列为：，若，且，则 . 28．马老师从课本上抄录的一个随机变量的分布列如表： 1 2 3 尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此， ． 29．以下命题中正确的有 （填序号） ①若是常数，则； ②若，则是常数； ③如果是随机变量，，那么； ④若分别是两个独立的随机试验所对应的随机变量，则． 07 常用分布 30．设随机变量服从二项分布，则 . 31．已知随机变量，，且，，则 ． 32．已知随机变量，且等式对恒成立，则. .(结果保留四位小数)(参考数据:，， 33．已知某次数学的测试成绩X服从的正态分布，若小明的成绩不低于91分，那么他的成绩大约超过了 %的学生（精确到0.1%）．（参考数据：） 34．某医院派出16名护士､4名内科医生组成支援队伍，现在需要从这20人中任意选取3人去A城市支援，设表示其中内科医生的人数，则的期望为 . 08成对数据的相关分析 35．在下列4组样本数据的散点图中，样本相关系数最小的是（   ）    A． B． C． D． 36．如题图所示，有组数据的散点图，去掉 组数据后，剩下的4组数据的相关程度可能最高． 37．通过随机抽样，获得某种商品消费者年需求量与该商品每千克价格之间的一组数据调查，如下表所示: 价格（百元） 4 4 4.6 5 5.2 5.6 6 6.6 7 10 需求量（千克） 3.5 3 2.7 2.4 2.5 2 1.5 1.2 1.2 1 那么线性相关系数 ．（精确到）线性相关系数公式 09一元线性规划分析 38．某公司为了解用电量（单位：千瓦时）与气温（单位：摄氏度）之间的关系，随机统计了4天的用电量与当天气温，绘制了如右表格，由表中数据可得回归方程，则实数 39．已知两个线性相关变量的统计数据如表所示，则其回归方程是 . 1 2 3 4 5 3 0 -2 -4 -5 40．某产品的广告费投入与销售额的统计数据如下表所示: 广告费万元万元 4 2 3 5 销售额万元万元 49 26 39 54 根据上表建立线性回归方程，预测当广告费投入6万元时，销售额约为 万元. 41．某书店为了分析书籍销量与宣传投入之间的关系，对宣传投入x（千元）和书籍销量y（百本）的情况进行了调研，并统计得到表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为，则下列说法不正确的是（   ） x 3 4 5 6 y 5 6.2 7.4 m A．变量x、y之间呈正相关 B．预测当宣传投入2千元时，书籍销量约为400本 C． D．拟合误差 42．根据相关研究报告显示，预计年电商交易额突破亿元，网购用户规模接近亿．下表为某网店统计的近个月的利润（单位：万元），其中为月份代号． 月份 2024年12月 2025年1月 2025年2月 2025年3月 2025年4月 月份代号 1 2 3 4 5 利润／万元 8 6.3 5.1 3.2 2.4 (1)依据表中的统计数据，计算样本相关系数（精确到），判断是否可以用线性回归模型拟合与的关系；若可用，求出关于的经验回归方程，并估计年月该网店利润；若不可用，请说明理由； (2)该专营店为了吸引顾客，推出两种抽奖方案．方案一：一次性购物金额超过元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打折，中奖两次打折，中奖三次打折，其余情况不打折．方案二：从装有个形状大小、完全相同的小球（其中红球个，白球个，黑球个）的抽奖盒中，一次性摸出个球，其中奖规则为：若摸出个红球和一个白球打六折，摸出个黑球打八折，其余情况不打折．某顾客计划在此网店购买元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠． 参考：，， 10 2×2列联表 43．为了研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，某疾病预防中心对相关调查数据进行了研究，假设：患慢性气管炎与吸烟没有关系，并通过计算得到统计量，则可推断 原假设．（填“拒绝”或“接受”，规定显著性水平．） 44．如下是一个列联表，则 . y1 y2 总计 x1 a 35 45 x2 7 b n 总计 m 73 s 45．某地同城闪送为了提高服务质量，进行了服务改进，并对服务进行评分.已知服务改进前某天共有1000个订单，其好评率为85%；服务改进后某天共有1500个订单，其中好评订单为1350个. (1)已知某100个好评订单评分的极差为2，数据如下（其中，是正整数） 服务评分 8.5 9 9.5 10 订单数量 32 13 11 4 求这100个好评订单的第40百分位数. (2)根据服务改进前后的这两天的订单数据完成下列列联表，并依据的独立性检验，判断订单获得好评与服务改进是否有关. 好评订单 非好评订单 合计 服务改进前 1000 服务改进后 1350 1500 合计 附：，. 46．在2025年春节档电影中，由饺子导演的《哪吒之魔童闹海》电影在国内外受到一致好评，票房也一路飙升到国内第一，也是国内首部百亿票房，其中有不少观众对角色喜欢都有自己的见解.刘同学为了了解学生喜欢哪吒角色是否与性别有关，他对50位同学进行了问卷调查，得到如下2x2列联表： 喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计 女生 10 男生 5 总计 50 已知从50位同学中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6. (1)请将上面的列联表补充完整，并且判断是否有的把握认为喜欢哪吒角色与性别有关； (2)从喜欢哪吒角色的同学中，按分层抽样的分式，随机抽取6人做进一步的问卷调查，再从这6人中随机选出3人采访发言.设这3人中男生人数为，求的分布及期望值. 附：. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 1．掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上面的点数．设事件：点数是奇数，事件：点数是偶数，事件：点数是3的倍数，事件：点数是4．下列每对事件中，不是互斥事件的为（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．2025年春节档上映的动画电影《哪吒之魔童闹海》引发全民观影热潮．某数据平台实时统计了该片上映前10天的全国单日票房（单位：亿元），并生成如图所示的折线图．假设横轴为上映时间（日期），纵轴为单日票房（亿），则下列说法正确的是（   ） A．前十日之后，随着上映时间的增加，单日票房一定会呈现下降趋势 B．上映前十天的票房极差为4.76（亿） C．上映前十天的票房中位数为6.34（亿） D．上映前十天的票房第70百分位数为7.30（亿） 3．已知、分别为随机事件A、的对立事件，，，则下列等式错误的是（   ） A． B． C．若A、独立，则 D．若A、互斥，则 4．下列选项中，正确的是（   ） A．数据1、3、5、7、9、11、13的第80百分位数为12 B．用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到概率都是 C．若事件、满足，且，则与相互独立 D．若样本数据、、…、的平均数为2，则、、…、的平均数为8 5．在的二项展开式中，的幂指数是正数的项一共有 个． 6．已知随机变量服从正态分布，且，则 . 7．设随机变量服从正态分布，则的最小值为 ． 8．已知随机变量，若，则 . 9．已知，则 10．某公司有200名员工，其中有一般人员120人，管理人员32人，专业技术人员48人，现用分层抽样的方法抽取25人，以调查大家对职业培训的意愿，则应抽取的专业技术人员的人数是 11．已知事件与事件相互独立，若，则 . 12．已知校运动会米比赛，某队派出甲、乙、丙、丁4名运动员参加，其中甲不跑第一和第三棒，则不同的交接棒安排顺序有 种. 13．已知x，y是两个具有线性相关的两个变量，其取值如下表： x 1 2 3 4 5 y 4 a 9 b 11 其回归方程为，则 . 14．已知随机变量，其密度函数为，则 . 15．已知两个随机事件，若，，，则 . 16．某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设事件：该家庭中有男孩、又有女孩，事件：该家庭中最多有一个女孩．有以下两个命题：①若该家庭中有两个小孩，则与互斥；②若该家庭中有三个小孩，则与相互独立．则：（   ） A．①②均为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①②均为假命题 17．某学校数学学习兴趣小组利用信息技术手段探究两个数值变量之间的线性关系，随机抽取8个样本点，由于操作过程的疏忽，在用最小二乘法求经验回归方程时只输入了前6组数据，得到的线性回归方程为，其样本中心为.后来检查发现后，输入8组数据得到的新的线性回归方程为，新的样本中心为，已知，则以下结论中正确的个数是（    ） ①新的样本中心仍为； ②新的样本中心为； ③两个数值变量具有正相关关系； ④. A．0 B．1 C．2 D．3 18．抛掷两颗骰子，观察掷得的点数．用表示事件“两个点数不同”，表示事件“至少出现一个点”，则 ．（结果用最简分数表示） 19．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有 人 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 参考数据及公式如下：参考公式：，其中. 20．假设小明的数学成绩X符合正态分布，查询资料后得知，，，那么小明数学成绩在120至130分之间的概率是 ．（精确到0.0001） 21．若随机变量，且，，则的最小值为 22．的展开式中含项的系数是 ． 23．“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为 ．    24．已知高中学生的数学成绩，物理成绩，化学成绩两两成正相关关系，随机抽取10名同学，数学成绩和物理成绩的样本线性相关系数为，物理成绩与化学成绩的样本线性相关系数为，求的样本线性相关系数的最大值为 . (附:相关系数 25．班主任小明为了解本班每位学生每周平均手机使用时长(单位：小时)，在某一学期每周对全班名学生进行问卷调查，收集了全部数据并计算出每位学生每周平均手机使用时长，绘制了相应的统计图表，全班用时最长的为小时.其中，男生每周平均手机使用时长的茎叶图如图所示，女生每周平均手机使用时长的频率分布直方图如图所示.       (1)求该班男生每周平均手机使用时长的第百分位数； (2)小明老师想从本班每周平均手机使用时长小于小时的学生中任选人在班会课上做经验分享．设事件表示 “人中至多名男生”，事件表示 “人中恰有名学生的每周平均手机使用时长位于区间”．试判断事件和事件是否独立，并说明理由； (3)小明老师发现本班有位学生的每周平均手机使用时长超过小时，这位学生的数据平均数为小时．当去掉这位学生中用时最长和用时最短的数据后，平均数变为小时，且这位学生中女生的数据从小到大依次排序成等差数列．那么这位学生每周平均手机使用时长的方差是否超过？请说明理由． 26．核桃有很多品种．小何购买了其中4种品类的核桃：类核桃100个，类核桃120个，类核桃80个和类核桃200个． (1)小何决定采用分层抽样的方法，从所有核桃中抽出25个核桃，请问应抽取类核桃多少个？ (2)小何以随机抽样的方式，从类核桃中抽取20个进行克重测量，以下是这些核桃的克重数据：（单位：克） 14.4 14.7 15.2 16.3 17.3 17.6 17.9 18.2 19.0 19.3 19.8 20.1 20.2 20.4 20.7 20.9 21.3 21.7 22.4 22.6 ①从该20个核桃中任取2个，则所取2个核桃的克重均大于20克的概率为多少？ ②记为该20个核桃的平均克重，为该20个核桃克重的标准差，则该20个核桃中有多少个核桃的克重位于与之间？ 27．某科研活动共进行了5次试验，其数据如表所示： 特征量 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 (1)求成对数据的相关系数； (2)求特征量关于的回归方程，并据此估算特征量时的值； (3)设特征量作为随机变量服从正态分布，其中为5次试验中的平均数，为5次试验中的方差．求．（本题所有答数精确到0.01．） 28．某中学为探究“周末使用手机时长是否影响学业成绩”，随机调查100名学生，得到部分统计数据如下表： 学业成绩 使用手机小时 使用手机小时 良好 20 不良好 40 记事件“学业成绩良好且使用手机小时”，事件“学业成绩不良好且使用手机小时”，已知事件的频率是事件的频率的3倍. (1)求表中的，的值； (2)记使用手机小时的学生中学业成绩良好的概率为，求的估计值； (3)根据上述数据，请画出列联表，并判断是否有95%的把握认为“周末使用手机时长”与“学业成绩”有关？请说明理由. 参考数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 29．某疾病预防中心随机调查了340名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如表所示． 不吸烟者 吸烟者 总计 不患慢性气管炎者 120 160 280 患慢性气管炎者 15 45 60 总　计 135 205 340 (1)是否有95%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关？ (2)常用表示在事件A发生的条件下事件B发生的优势，在统计中称为似然比．现从340人中任选一人，A表示“选到的人是吸烟者”，B表示“选到的人患慢性气管炎者”请利用样本数据，估计的值； (3)现从不患慢性气管炎者的样本中，按分层抽样的方法选出7人，从这7人里再随机选取3人，求这3人中，不吸烟者的人数X的数学期望． 附：，． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 排列组合、概率统计与实际应用 目录 第一部分 考向速递 洞察考向，感知前沿 第二部分 题型归纳 梳理题型，突破重难 题型01排列组合 题型02二项式定理 题型03概率初步 题型04统计估计 题型05条件概率与相关公式 题型06 随机变量的分布与特征 题型07 常用分布 题型08 成对数据的相关分析 题型09 一元线性规划分析 题型10 2×2列联表 第三部分 分层突破 固本培优，精准提分 A组·基础保分练 B组·重难提升练 1．“”是“的二项展开式中存在常数项”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】展开式的通项为：； 当时，取，则，故充分性成立； 当时，展开式中存在常数项，如，故必要性不成立； 所以“”是“的二项展开式中存在常数项”的充分非必要条件. 故选：A. 2.小何同学喜欢踢足球，已知他踢点球进门的概率是，一次点球训练中，他连续2次都没有踢进门，则他第3次踢进门的概率为（    ） A． B． C．1 D．介于和1之间的某个实数 【答案】A 【解析】他踢点球进门的概率是，所以他第3次踢进门的概率为. 故选：A 3．在桌面上有一个质地均匀的正四面体D—ABC．从该正四面体与桌面贴合的面上的三条棱中等可能地选取一条棱，沿其翻转正四面体至正四面体的另一个面与桌面贴合，如此翻转称为一次操作．如图，开始时，正四面体与桌面贴合的面为，操作次后，正四面体与桌面贴合的面是的概率记为. 现有下列两个结论：①；②. 则下列说法正确的是（    ）    A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①、②都正确 D．①、②都错误 【答案】C 【解析】开始时正四面体与桌面贴合的面为，进行一次操作后，正四面体与桌面贴合的面不可能再是，所以. 要得到操作2次后正四面体与桌面贴合的面是，那么第一次操作后正四面体与桌面贴合的面不是，且第二次操作能回到. 第一次操作后正四面体与桌面贴合的面不是，有3种情况（正四面体共4个面，除去ABC面），从这3个面中的任意一个面进行第二次操作回到面的概率为, 根据分步乘法计数原理，，因为，所以，故①正确, 当时，操作次后正四面体与桌面贴合的面是，则操作次后正四面体与桌面贴合的面不是，且第次操作能回到, 操作次后正四面体与桌面贴合的面不是的概率为， 从不是的面进行一次操作回到面的概率为， 所以可得递推关系 将上式变形为, 所以数列是以为首项,为公比的等比数列, ,即， ，显然，故②正确. 故选：C 4.标志重捕法是指的是在一定范围内，对活动能力强、活动范围较大的动物种群进行粗略估算的一种生物统计方法，是根据自由活动的生物在一定区域内被调查与自然个体数的比例关系对自然个体总数进行数学推断.在被调查种群的生存环境中，捕获一部分个体，将这些个体进行标志后再放回原来的环境，经过一段时间后进行重捕，根据重捕中标志个体占总捕获数的比例来估计该种群的数量.标志重捕法估算种群密度是基于以下几种假设：①标记个体与未标记个体在重捕时被捕获的概率相等；②在调查期内标记的个体没有死亡，没有迁出，标记物没有脱落；③标记个体在种群中均匀分布.若应用标志重捕法调查鱼的种群密度，则下列捕鱼过程会导致估算结果与实际情况误差较大的是（    ）. A．第一次用小网眼的渔网捕鱼，第二次用小网眼的渔网捕鱼 B．第一次用小网眼的渔网捕鱼，第二次用大网眼的渔网捕鱼 C．第一次用大网眼的渔网捕鱼，第二次用小网眼点渔网捕鱼 D．第一次用大网眼的渔网捕鱼，第二次用大网眼的渔网捕鱼 【答案】D 【解析】理论计算公式为，其中为估算的种群数值，为第一次捕获并标记的个体， 为一段时间后，在原来的捕获点再次捕获的个体数，为二次捕获的个体中有标记的数量， 转换后得， 假设池塘中的鱼分为大鱼和小鱼，大鱼是指用大网和小网均能捕获的鱼，小鱼指仅能用小网能捕获的鱼， A选项，第一次用小网眼的渔网捕鱼，第二次用小网眼的渔网捕鱼， 第一次用小网眼的渔网捕鱼，，其中为捕获并标记的大鱼，为捕获并标记的小鱼， 设为池塘中实际的大鱼数，为池塘中实际的小鱼数，为池塘中实际的鱼条数， 则， 标记后全部放回池塘后，池塘中被标记的大鱼占全部大鱼比例为，被标记的小鱼占全部小鱼比例为， 假设每条鱼被捕获的概率相等，故， 第二次捕获的大鱼条中，理论上含标记的大鱼有， 第二次捕获的小鱼条中，理论中含标记的小鱼有， 故， 故总的标记条数为， 所以，又，故， 结论：若两次捕鱼都用小网眼的渔网捕鱼， 采用标志重捕法估算出的种群数量与实际种群数量大致相等； B选项，第一次用小网眼的渔网捕鱼，第二次用大网眼的渔网捕鱼， 第一次用小网眼的渔网捕鱼，，其中为捕获并标记的大鱼，为捕获并标记的小鱼， 设为池塘中实际的大鱼数，为池塘中实际的小鱼数， 标记后全部放回池塘后，池塘中被标记的大鱼占全部大鱼比例为，被标记的小鱼占全部小鱼比例为， 假设每条鱼被捕获的概率相等，故，其中为池塘中实际的鱼条数， 第二次用大网眼渔网捕鱼，捕获的全部是大鱼，即， 理论上，，故，又，故， 结论：第一次用小网眼的渔网捕鱼，第二次用大网眼的渔网捕鱼， 采用标志重捕法估算出的种群数量与实际种群数量大致相等； C选项，第一次用大网眼的渔网捕鱼，第二次用小网眼点渔网捕鱼， 第一次用大网眼的渔网捕鱼，，标记后将鱼全部放回到池塘后， 池塘中被标记的大鱼占全部大鱼比例为， 第二次用小网眼渔网捕鱼，捕获的鱼中既有大鱼也有小鱼，， 由于第一次用大网眼渔网捕鱼，标记的均为大鱼，故第二次捕获的鱼中，只有大鱼也有可能被标记， 理论上，， 其中， 因为每条鱼捕获的概率相等，所以第二次用小网眼渔网捕获的鱼中， 大鱼和小鱼的比例与池塘中的大鱼和小鱼的比例相等，即， 所以， 结论：第一次用大网眼的渔网捕鱼，第二次用小网眼点渔网捕鱼， 采用标志重捕法估算出的种群数量与实际种群数量大致相等； D选项，第一次用大网眼的渔网捕鱼，第二次用大网眼的渔网捕鱼， 第一次用大网眼的渔网捕鱼，，标记后将鱼全部放回到池塘后， 池塘中被标记的大鱼占全部大鱼比例为， 第二次用大网眼渔网捕鱼，捕获的全部是大鱼，即， 理论上，，故，又，故， 结论：第一次用大网眼的渔网捕鱼，第二次用大网眼的渔网捕鱼， 采用标志重捕法估算出的种群数量约等于种群中大鱼数量，与实际种群数量相比小，误差大； 故选：D 5．某城市交通系统采用数智技术记录城市道路口的信号灯状态，每个时段的信号灯状态对应一个数字（见下表）. 信号灯状态 正常绿波协调 非正常绿波协调 道路施工临时黄灯 突发事故临时红灯 对应数字 0 1 现需要按顺序记录某个道路口5个时段的信号灯状态，例如，记号表示5个时段中有3个时段是“非正常绿波协调”状态，分别发生在第1、3、5时段.问：该路口5个时段所有可能的记录中，“非正常绿波协调”的时段数不少于1个且不多于3个的记录共有 种. 【答案】130 【解析】按照“非正常绿波协调”的时段个数进行分类， 每类情况均先从个时段中选取“非正常绿波协调”的时段个数，且因 “非正常绿波协调”有两种情况， 则“非正常绿波协调”的时段数1个的记录有种； “非正常绿波协调”的时段数2个的记录有种； “非正常绿波协调”的时段数3个的记录有种； 故 “非正常绿波协调”的时段数不少于1个且不多于3个的记录共有：种； 故答案为： 6.北斗七星是夜空中的七颗亮星，它们组成的图形象我国古代舀酒的斗，故命名为北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象，也是古人判断季节的依据之一.如图，用点，，，，，，表示某季节的北斗七星，其中，，，看作共线，其他任何三点均不共线.若过这七个点中任意三点作三角形，则所作的不同三角形的个数为 . 【答案】31 【解析】由题设，7个点任选3个减去从4个共线的点任选3个的情况，即为构成三角形的情况， 所以不同三角形的个数为个. 故答案为： 7.若三个正整数a，b，c的位数之和为8，且组成a，b，c的8个数码能排列为2，0，2，5，0，6，0，7，则称（a，b，c）为“幸运数组”，例如（7，6，202500）是一个幸运数组.则满足的幸运数组（a，b，c）的个数为 . 【答案】591 【解析】因为，所以有两类不同情形： （1）a是两位数，b，c都是三位数. 先不考虑b，c的大小，由于a，b，c的首位均不能排0，所以三个0可在五个位置中选择有种排法，两个2有种排法，其余三个数5，6，7有种的排法， 共有种不同的排法，又因为不可能有，可知与的排法各占一半，所以，有300个满足条件的幸运数组； （2）a，b是两位数，c是四位数. 先不考虑b，c的大小，由于a，b，c的首位均不能排0，所以三个0可在五个位置中选择有种排法，两个2有种排法，其余三个数5，6，7有种的排法，共有种不同的排法. 如果，则只有，c的四个位置上的数字为0，5，6，7，共有种排法， 此外，与的排法各占一半，即，所以，有291个满足条件的幸运数组； 综上，所求幸运数组的个数为591. 故答案为：591. 01排列组合 1．现有5名学生站成一排，若学生甲不站两端，则不同站法共有 种（用数字作答）. 【答案】72 【解析】根据题意，可分两步完成：第一步，先在中间三个位置上安排学生甲，有3种方法； 第二步，在留下的四个位置上安排另外4名学生，有种方法. 由分步乘法计数原理，不同站法数为种. 故答案为：72. 2．上海国际电影节影片展映期间，某影院准备在周日的某放映厅安排放映4部电影，两部纪录片和两部悬疑片，当天白天有5个时段可供放映（5个连续的场次），则两部悬疑片不相邻（中间隔空场也叫不相邻），且当天最先放映的一定是悬疑片的排片方法有 种（结果用数字表示）． 【答案】 【解析】由题意当天最先放映的一定是悬疑片，若第一场是悬疑片， 从2个悬疑片中选1个安排到第一场有种排法，由两部悬疑片不相邻（中间隔空场也叫不相邻），可以从个场次中的后3场选1场安排另一部悬疑片有种排法， 所以排悬疑片有种排法，两部纪录片排在剩下的3个位置，有种排法， 共有种； 若第一场为空场，则第二场从2个悬疑片中选1个安排有种排法， 从后2场选1场安排另一部悬疑片有种排法， 所以排悬疑片有种排法，两部纪录片排在剩下的2个位置，有种排法， 共有种； 所以符合题意的排法一共有种排法. 故答案为：44 3．已知关于正整数的方程，则该方程的解为 . 【答案】或 【解析】根据组合数的性质，由 可知：或， 即或，所以和均满足题意， 所以该方程的解为：或. 故答案为：或 4．用黑白两种颜色（都要使用）给正方体的6个面涂色，每个面只涂一种颜色。如果 一种涂色方案可以通过重新摆放正方体，变为另一种涂色方案，则这两种方案认为是相同的。（例如：a.前面涂黑色，另外五个面涂白色; b.上面涂黑色，另外五个面涂白色是同一种方案）则涂色方案一共有 种。 【答案】8 【解析】两种颜色类型的，有种； 类型的，有种（两个面相邻、相对） 类型的，有2种（三个面有公共顶点或者没有公共顶点） 因此共有8种. 故答案为：8. 5．有件商品的编号分别为，它们的售价（元），且满足，则这件商品售价的所有可能情况有 种. 【答案】 【解析】分四类讨论： ①当时，有6种情况； ②当时， 若，有5种选法； 若，有4种选法； 若，有3种选法； 若，有2种选法； 若，有1种选法； 由加法原理可得共有15种； ③当时， 若，选择有5种选法； 若，选择有4种选法； 若，选择有3种选法； 若，选择有2种选法； 若，选择有1种选法； 由加法原理可得共有15种； ④当时，有种， 综上，共有种. 故答案为：56. 02二项式定理 6．的二项展开式中常数项为 ． 【答案】 【解析】展开式的通项为， 令，解得， 所以的二项展开式中常数项为. 故答案为：. 7．在的二项展开式中，项的系数为 . 【答案】 【解析】二项式的通项公式为， 令，可得，所以项的系数为. 故答案为：. 8．已知的展开式中所有项的二项式系数的和为64，则展开式中的系数为 . 【答案】 【解析】因为所有项的二项式系数的和为64， 所以，解得， 所以展开式的通项公式为， 令，可得， 故答案为： 9．已知，则 ． 【答案】 【解析】二项式展开式的通项公式为：， 由于， 则当时，； 故答案为： 10．已知的二项展开式中常数项为1，则实数的值为 . 【答案】/ 【解析】， ， 解得， 则，即， 因此实数的值为. 故答案为： 03概率初步 11．已知随机事件，表示事件的对立事件，，则下面结论正确的是（   ） A．事件与一定是对立事件 B． C． D．若事件A，B互相独立，则 【答案】D 【解析】对于A和B，假设从一个装有标号为1，2，3，4，5的5个小球的密封盒子中任取1球， 记事件：从中取出球的标号为1或2，事件：从中取出球的标号为1或2或3， 则，满足，但不是对立事件，故A错误； 由上例可知，故B错误； 对于C，只有事件A、B相互独立时,才有成立， 由题设不知道事件A、B的关系，故不能确定的值，故C错误； 对于D，若事件A、B相互独立，则事件A、也相互独立， 所以，故D正确. 故选：D. 12．莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大、内容最丰富的佛教艺术圣地，每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游．已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中有3个被誉为最值得参观的洞窟．现游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，则至少选中2个最值得参观洞窟的概率是 ． 【答案】/ 【解析】从8个洞窟中选出4个洞窟，共有种不同的选法， 其中至少选中2个最值得参观的洞窟，有种选法， 由古典概型的概率计算公式，可得至少选中2个最值得参观洞窟的概率. 故答案为：. 13．盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒面已知某盲盒产品共有3种玩偶，小明购买4个盲盒，则他能集齐3种玩偶的概率是 .（结果用数值表示） 【答案】 【解析】小明购买4个盲盒的试验有个基本事件，它们等可能，能集齐3种玩偶的事件含有的基本事件数为：， 所以能集齐3种玩偶的概率是. 故答案为：. 14．一项过关游戏的规则规定：在第n关要投掷骰子n次，如果这n次投掷所得的点数之和大于，则算过关，问一个人连过第一、二关的概率为 ． 【答案】 【解析】由题设，在第一关投1次骰子，点数大于3，即掷得点数为， 则过第一关的概率为， 第二关投2次骰子，点数之和大于6，则两次掷得点数分别为： ， 故过第二关系的概率为， 故一个人连过第一、二关的概率为， 故答案为：. 15．设，同时抛掷两枚质地均匀的骰子一次，事件表示“第一枚骰子向上的点数为奇数”，事件表示“两枚骰子向上的点数之和为”，若事件与事件相互独立，则的一个可取值为 . 【答案】3（或5、7、9、11其中之一） 【解析】设第一次的点数为，第二次的点数为， 则两次抛掷两枚质地均匀的骰子的结果记为，其中，共种基本事件， 故由题知，， 当时，的基本事件为，的基本事件为，故，， ，事件与事件不独立； 当时，的基本事件为，的基本事件为，故，， ，事件与事件相互独立； 当时，的基本事件为，的基本事件为， 故，，事件与事件不独立； 当时，的基本事件为，的基本事件为， 故，，事件与事件相互独立； 当时，的基本事件为，的基本事件为， 故，，事件与事件不独立； 当时，的基本事件为，的基本事件为， 故，，事件与事件相互独立； 当时，的基本事件为，的基本事件为， 故，，事件与事件不独立； 当时，的基本事件为，的基本事件为， 故，，，事件与事件相互独立； 当时，的基本事件为，的基本事件为， 故，，，事件与事件不独立； 当时，的基本事件为，的基本事件为， 故，，，事件与事件相互独立； 当时，的基本事件为，的基本事件为， 故，，，事件与事件不独立； 综上，的可能取值为 故答案为：3（或5、7、9、11其中之一） 04统计估计 16．从放有两个红球、一个白球的袋子中一次任意取出两个球，两个红球分别标记为、，白球标记为，则它的一个样本空间可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】从放有两个红球、一个白球的袋子中一次任意取出两个球的所有可能结果为， 所以它的一个样本空间为. 故选：B. 17．某班一次数学小测验（百分制）后，老师为了奖励同学们平时认真学习，决定给每位同学的成绩加上5分作为过程性评价奖励.加分后，与原始分数相比，不会发生改变的是（    ） A．平均数 B．中位数 C．第80百分位数 D．方差 【答案】D 【解析】加分后，与原始分数相比，平均值，中位数，第80百分位数的数值都会发生改变， 但根据方差的性质，一组数据同时加上相同的数后，方差大小不变. 故选：D. 18．现从编号为的50支水笔中抽取10支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第9个数字开始由左向右读取，则抽取的第4支水笔的编号为 （以下摘自随机数表第7行）． 39832776    39918535    32591131     40469235     04982212    20671263 【答案】11 【解析】从随机数表第9个数字开始向右读，，（舍去），（舍去），，，（舍去），11……， 则第4支水笔的编号为． 故答案为：11． 19．某校数学组老师的年龄分布茎叶图如图所示，则该校数学组老师年龄的中位数与极差之和为 ． 【答案】68 【解析】老师的年龄分别为27，28，32，33，36，36，38，40，45，52，54，58， 故中位数为，极差为， 故， 故答案为：68 20．在某市的三次数学测试中，为了解学生的测试情况，从中随机抽取100名学生的测试成绩，被抽取成绩全部介于40分到100分之间（满分100分），将统计结果按如下方式分成六组：第一组．第二组，……第六组，画出频率分布直方图如图所示， (1)估计该市学生这次测试成绩的第25百分位数； (2)估计该市学生这次测试成绩的平均值（回一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (3)从两组中按分层抽样抽取5名学生，再随机抽取3名同学进行问卷测试，问3名同学中恰好只有1名同学成绩在之间的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）因为， ， 所以第百分位数为. （2）平均值； （3）因为的频率为，的频率为， 则中抽取名学生，分别记作、， 中抽取名学生，分别记作、、， 从这5名学生，随机抽取3名同学进行问卷测试，则可能结果有：，，，，，，，，，共个； 其中3名同学中恰好只有1名同学成绩在之间有，，共个， 所以3名同学中恰好只有1名同学成绩在之间的概率； 05条件概率与相关公式 21．已知事件与相互独立，且，则下列选项不一定成立的是（    ） A．； B．； C．； D．. 【答案】B 【解析】因为与相互独立，所以与、与、与也相互独立， A选项，，故A一定成立； B选项，， 而，所以，故B不成立； C选项，， 故C一定成立； D选项，， 故D一定成立. 故选：B. 22．假设生产某产品的一个部件来自三个供应商，供货占比分别是、、，而它们的良品率分别是、、，则该部件的总体良品率是 ． 【答案】 【解析】由题意可知该部件的总体良品率是： ， 故答案为： 23．已知随机事件满足，，，则 【答案】/ 【解析】因为，所以， 因为，所以， 所以. 故答案为：. 24．某高中开发了三个不同的“美育”课程和两个不同的“劳动教育”课程，甲同学从五门课程中任选了两门，已知有一门是“美育”课程，则另一门也是“美育”课程的概率为 【答案】 【解析】设事件A：至少有一门是“美育”课程，事件AB：两门都是“美育”课程， 从五门课程中任选两门的选法数为种， “至少有一门是‘美育’课程”的对立事件是“两门都是‘劳动教育’课程”， 两门都是“劳动教育”课程的选法数为种， 所以至少有一门是“美育”课程的选法数为种，则. 从三个不同的“美育”课程中选两门的选法数为种，所以. 则已知有一门是“美育”课程，则另一门也是“美育”课程的概率为. 故答案为：. 25．某工厂生产的产品以100个为一批．在进行抽样检查时，只从每批中抽取10个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的．假定每一批产品中的次品最多不超过2个，并且其中恰有（0，1，2）个次品的概率如下： 一批产品中有次品的个数 0 1 2 概率 0.3 0.5 0.2 则各批产品通过检查的概率为 ．（精确到0.01） 【答案】0.91 【解析】设事件表示一批产品中有个次品，1，， 则，，， 设事件表示这批产品通过检查，即抽样检查的10个产品都是合格品， 则，，， 所以． 故答案为：0.91． 06随机变量的分布与特征 26．已知随机变量的分布是，则其方差 ． 【答案】/ 【解析】的期望为， 故， 故答案为： 27．已知随机变量的分布列为：，若，且，则 . 【答案】5 【解析】由随机变量分布列的性质，得，解得， ，， ， ，. 故答案为：5 28．马老师从课本上抄录的一个随机变量的分布列如表： 1 2 3 尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此， ． 【答案】2 【解析】由题意，设“？”对应的概率为a，则“！”处对应的概率为， 则． 故答案为：2 29．以下命题中正确的有 （填序号） ①若是常数，则； ②若，则是常数； ③如果是随机变量，，那么； ④若分别是两个独立的随机试验所对应的随机变量，则． 【答案】①②④ 【解析】①若是常数，则，则，①正确； ②，即无变化，是常数，②正确； ③如果是随机变量，，那么，③错误； ④设的期望值分别为， 则，故 ， 其中为两个独立的随机试验所对应的随机变量，故， 所以，④正确． 故答案为：①②④ 07 常用分布 30．设随机变量服从二项分布，则 . 【答案】 【解析】因为，所以， 所以. 故答案为： 31．已知随机变量，，且，，则 ． 【答案】 【解析】因为，, 所以. 又因为， 所以， 则，解得：. 故答案为： 32．已知随机变量，且等式对恒成立，则. .(结果保留四位小数)(参考数据:，， 【答案】 【解析】因为随机变量，且等式 对恒成立， ， 则，则， 所以 ，则， 又. 故答案为：0.9772. 33．已知某次数学的测试成绩X服从的正态分布，若小明的成绩不低于91分，那么他的成绩大约超过了 %的学生（精确到0.1%）．（参考数据：） 【答案】 【解析】因为， 所以， 故答案为： 34．某医院派出16名护士､4名内科医生组成支援队伍，现在需要从这20人中任意选取3人去A城市支援，设表示其中内科医生的人数，则的期望为 . 【答案】/0.6 【解析】由题意得，的取值为， ，， ，， . 故答案为：. 08成对数据的相关分析 35．在下列4组样本数据的散点图中，样本相关系数最小的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图可知：， 由于图2的相关性比图4的相关性更强，故， 故选：B 36．如题图所示，有组数据的散点图，去掉 组数据后，剩下的4组数据的相关程度可能最高． 【答案】 【解析】、、、四点分布在一条直线附近且贴近某一直线，点离得远． 去掉点剩下的4组数据的线性相关性最大，所以应该去掉． 故答案为： 37．通过随机抽样，获得某种商品消费者年需求量与该商品每千克价格之间的一组数据调查，如下表所示: 价格（百元） 4 4 4.6 5 5.2 5.6 6 6.6 7 10 需求量（千克） 3.5 3 2.7 2.4 2.5 2 1.5 1.2 1.2 1 那么线性相关系数 ．（精确到）线性相关系数公式 【答案】 【解析】由题意可得， ， 所以 ， , 所以. 故答案为：. 09一元线性规划分析 38．某公司为了解用电量（单位：千瓦时）与气温（单位：摄氏度）之间的关系，随机统计了4天的用电量与当天气温，绘制了如右表格，由表中数据可得回归方程，则实数 【答案】 【解析】由表格中的数据可知，，， 所以，样本中心点的坐标为， 将样本中心点的坐标代入回归直线方程可得，解得. 故答案为：. 39．已知两个线性相关变量的统计数据如表所示，则其回归方程是 . 1 2 3 4 5 3 0 -2 -4 -5 【答案】 【解析】由表可知， 根据， ， 所以线性回归方程为：. 故答案为： 40．某产品的广告费投入与销售额的统计数据如下表所示: 广告费万元万元 4 2 3 5 销售额万元万元 49 26 39 54 根据上表建立线性回归方程，预测当广告费投入6万元时，销售额约为 万元. 【答案】 【解析】因为，， ， ， 所以， 因为数据的样本中心点在线性回归直线上， 所以， 所以线性回归方程为，当时，， 所以广告费投入6万元时，销售额为万元. 故答案为：. 41．某书店为了分析书籍销量与宣传投入之间的关系，对宣传投入x（千元）和书籍销量y（百本）的情况进行了调研，并统计得到表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为，则下列说法不正确的是（   ） x 3 4 5 6 y 5 6.2 7.4 m A．变量x、y之间呈正相关 B．预测当宣传投入2千元时，书籍销量约为400本 C． D．拟合误差 【答案】C 【解析】因为线性回归方程为，， 所以变量x、y之间呈正相关，故正确； 当时，（百本），所以书籍销量约为400本，故正确； 由表中数据可得，， 所以，解得，故错误； 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 所以，故正确. 故选：. 42．根据相关研究报告显示，预计年电商交易额突破亿元，网购用户规模接近亿．下表为某网店统计的近个月的利润（单位：万元），其中为月份代号． 月份 2024年12月 2025年1月 2025年2月 2025年3月 2025年4月 月份代号 1 2 3 4 5 利润／万元 8 6.3 5.1 3.2 2.4 (1)依据表中的统计数据，计算样本相关系数（精确到），判断是否可以用线性回归模型拟合与的关系；若可用，求出关于的经验回归方程，并估计年月该网店利润；若不可用，请说明理由； (2)该专营店为了吸引顾客，推出两种抽奖方案．方案一：一次性购物金额超过元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打折，中奖两次打折，中奖三次打折，其余情况不打折．方案二：从装有个形状大小、完全相同的小球（其中红球个，白球个，黑球个）的抽奖盒中，一次性摸出个球，其中奖规则为：若摸出个红球和一个白球打六折，摸出个黑球打八折，其余情况不打折．某顾客计划在此网店购买元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠． 参考：，， 【答案】(1)可以，万元 (2)选择方案二 【解析】（1）由题意可得，， ， ， ， 所以，， 因为接近于，所以可以用线性回归模型拟合与的关系， ，则， 所以，关于的经验回归方程为， 将代入经验回归方程为， 故估计年月该网点利润估计知为万元. （2）设方案一的中奖次数为，由题意可知，实际付款金额为万元， 则的可能取值有、、、， 则，， ，， 故， 设方案二实际付款金额为万元，由题意可知，的可能取值有、、， ，，， 故 因为，所以，从实际付款金额的数学期望的角度分析，选择方案二更优惠. 10 2×2列联表 43．为了研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，某疾病预防中心对相关调查数据进行了研究，假设：患慢性气管炎与吸烟没有关系，并通过计算得到统计量，则可推断 原假设．（填“拒绝”或“接受”，规定显著性水平．） 【答案】拒绝 【解析】已知显著性水平，，即临界值为， 因为，所以可推断拒绝原假设. 故答案为：拒绝. 44．如下是一个列联表，则 . y1 y2 总计 x1 a 35 45 x2 7 b n 总计 m 73 s 【答案】90 【解析】由表格有， 故答案为：. 45．某地同城闪送为了提高服务质量，进行了服务改进，并对服务进行评分.已知服务改进前某天共有1000个订单，其好评率为85%；服务改进后某天共有1500个订单，其中好评订单为1350个. (1)已知某100个好评订单评分的极差为2，数据如下（其中，是正整数） 服务评分 8.5 9 9.5 10 订单数量 32 13 11 4 求这100个好评订单的第40百分位数. (2)根据服务改进前后的这两天的订单数据完成下列列联表，并依据的独立性检验，判断订单获得好评与服务改进是否有关. 好评订单 非好评订单 合计 服务改进前 1000 服务改进后 1350 1500 合计 附：，. 【答案】(1)8.25 (2)列联表见解析，订单获得好评与服务改进有关，该推断犯错误的概率不超过0.05. 【难度】0.65 【解析】（1）根据题意，这100个好评订单评分的极差为2， 因此，解得， 又有，解得， 因为， 所以这100个好评订单的第40百分位数为服务评分按从小到大的顺序排列后的第40个订单和第41个订单服务评分的平均数，即. 故这100个好评订单的第40百分位数为8.25. （2）根据题意，服务改进前好评订单的数量为，由此可得列联表如下： 好评订单 非好评订单 合计 服务改进前 850 150 1000 服务改进后 1350 150 1500 合计 2200 300 2500 零假设：订单获得好评与服务改进无关， ， 所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即订单获得好评与服务改进有关，该推断犯错误的概率不超过0.05. 46．在2025年春节档电影中，由饺子导演的《哪吒之魔童闹海》电影在国内外受到一致好评，票房也一路飙升到国内第一，也是国内首部百亿票房，其中有不少观众对角色喜欢都有自己的见解.刘同学为了了解学生喜欢哪吒角色是否与性别有关，他对50位同学进行了问卷调查，得到如下2x2列联表： 喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计 女生 10 男生 5 总计 50 已知从50位同学中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6. (1)请将上面的列联表补充完整，并且判断是否有的把握认为喜欢哪吒角色与性别有关； (2)从喜欢哪吒角色的同学中，按分层抽样的分式，随机抽取6人做进一步的问卷调查，再从这6人中随机选出3人采访发言.设这3人中男生人数为，求的分布及期望值. 附：. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)列联表见解析，有的把握认为喜欢哪吒角色与性别有关，理由见解析 (2)分布列见解析，期望值为2. 【解析】（1）因为从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6， 所以喜欢哪吒角色的学生人数为，其中女生10人，则男生20人. 不喜欢哪吒角色的人数为，其中男生5人，则女生15人. 列联表补充如下， 喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计 女生 10 15 25 男生 20 5 25 总计 30 20 50 根据列联表中的数据，计算可得， 故有的把握认为喜欢哪吒角色与性别有关. （2）由题意，按分层抽样抽取的6人中，男生人数为，女生人数为 表示从这6人中随机选出3人中男生的人数，所以的所有可能取值为. 则， ， . 所以的分布列为 1 2 3 数学期望. 1．掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上面的点数．设事件：点数是奇数，事件：点数是偶数，事件：点数是3的倍数，事件：点数是4．下列每对事件中，不是互斥事件的为（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【解析】对于选项A，因为事件和事件不能同时发生，所以与互斥，故选项A错误， 对于选项B，当朝上面的点数为时，与同时发生，即与不是互斥事件，所以选项B正确， 对于选项C，因为事件和事件不能同时发生，所以与互斥，故选项C错误， 对于选项D，因为事件和事件不能同时发生，所以与互斥，故选项D错误， 故选：B. 2．2025年春节档上映的动画电影《哪吒之魔童闹海》引发全民观影热潮．某数据平台实时统计了该片上映前10天的全国单日票房（单位：亿元），并生成如图所示的折线图．假设横轴为上映时间（日期），纵轴为单日票房（亿），则下列说法正确的是（   ） A．前十日之后，随着上映时间的增加，单日票房一定会呈现下降趋势 B．上映前十天的票房极差为4.76（亿） C．上映前十天的票房中位数为6.34（亿） D．上映前十天的票房第70百分位数为7.30（亿） 【答案】C 【解析】对于A：根据折线统计图，无法预测前十日之后，随着上映时间的增加，单日票房一定会呈现下降趋势，故A错误； 对于B：上映前十天的票房极差为（亿），故B错误； 对于C：上映前十天的票房从小到大排列为、、、、、、、、、， 所以上映前十天的票房中位数为（亿），故C正确； 对于D：因为，所以上映前十天的票房第70百分位数为（亿），故D错误. 故选：C 3．已知、分别为随机事件A、的对立事件，，，则下列等式错误的是（   ） A． B． C．若A、独立，则 D．若A、互斥，则 【答案】A 【解析】由，故选项A错误，选项B正确； 若A、独立，则，，故选项C正确； 若A、互斥，则，，故选项D正确. 故选：A. 4．下列选项中，正确的是（   ） A．数据1、3、5、7、9、11、13的第80百分位数为12 B．用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到概率都是 C．若事件、满足，且，则与相互独立 D．若样本数据、、…、的平均数为2，则、、…、的平均数为8 【答案】C 【解析】对于A，数据1、3、5、7、9、11、13已经是从小打到排列的，因为， 所以数据1、3、5、7、9、11、13的第80百分位数为11，故A错误； 对于B，用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到概率都是，故B错误； 对于C，因为，且， 所以，即与相互独立，故C正确； 对于D，若样本数据、、…、的平均数为2，则、、…、的平均数为，故D错误. 故选：C. 5．在的二项展开式中，的幂指数是正数的项一共有 个． 【答案】 【解析】的展开式通项为， 令，解得，因为，故， 所以的幂指数是正数的项一共有个. 故答案为：. 6．已知随机变量服从正态分布，且，则 . 【答案】/ 【解析】，， . 故答案为：. 7．设随机变量服从正态分布，则的最小值为 ． 【答案】/0.125 【解析】由题意可知，正态曲线关于对称，所以， 又，所以， 因为，得， 得，等号成立时，， 所以的最小值为. 故答案为： 8．已知随机变量，若，则 . 【答案】 【解析】因为随机变量，则，故， 由二项分布的方差公式可得. 故答案为：. 9．已知，则 【答案】/ 【解析】由题设，易知，解得． 故答案为： 10．某公司有200名员工，其中有一般人员120人，管理人员32人，专业技术人员48人，现用分层抽样的方法抽取25人，以调查大家对职业培训的意愿，则应抽取的专业技术人员的人数是 【答案】 【解析】根据题意，可得抽取的专业技术人员的人数是人. 故答案为：. 11．已知事件与事件相互独立，若，则 . 【答案】/ 【解析】由独立事件性质， ， , 故答案为： 12．已知校运动会米比赛，某队派出甲、乙、丙、丁4名运动员参加，其中甲不跑第一和第三棒，则不同的交接棒安排顺序有 种. 【答案】 【解析】甲、乙、丙、丁4名运动员参加，其中甲不跑第一和第三棒， 则首先安排甲跑第二或第四棒，共有2种方法； 再安排剩下三棒，共有种方法； 所以不同的交接棒安排顺序有种方法， 故答案为：. 13．已知x，y是两个具有线性相关的两个变量，其取值如下表： x 1 2 3 4 5 y 4 a 9 b 11 其回归方程为，则 . 【答案】11 【解析】依题意，，， 由在回归直线上，得，所以. 故答案为：11 14．已知随机变量，其密度函数为，则 . 【答案】 【解析】因为随机变量，其密度函数为， 所以，. 故答案为： 15．已知两个随机事件，若，，，则 . 【答案】 【解析】由题意， 所以， 所以. 故答案为：. 16．某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设事件：该家庭中有男孩、又有女孩，事件：该家庭中最多有一个女孩．有以下两个命题：①若该家庭中有两个小孩，则与互斥；②若该家庭中有三个小孩，则与相互独立．则：（   ） A．①②均为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①②均为假命题 【答案】C 【解析】若该家庭中有两个小孩， 样本空间为(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)， (男，女)，(女，男)(男，男)，(男，女)，(女，男)(男，女)，(女，男)， 则M与N不互斥，故命题①错误； 若该家庭中有三个小孩， 样本空间为(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)， (男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)， (男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)， (男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)， 则，于是， 所以M与N相互独立，故命题②正确． 故选：C． 17．某学校数学学习兴趣小组利用信息技术手段探究两个数值变量之间的线性关系，随机抽取8个样本点，由于操作过程的疏忽，在用最小二乘法求经验回归方程时只输入了前6组数据，得到的线性回归方程为，其样本中心为.后来检查发现后，输入8组数据得到的新的线性回归方程为，新的样本中心为，已知，则以下结论中正确的个数是（    ） ①新的样本中心仍为； ②新的样本中心为； ③两个数值变量具有正相关关系； ④. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】对于①②，由题意可得，，则新的样本中为，故①错误，②正确； 对于③，将代入回归直线，可得，解得，故③正确； 对于④，根据样本估计总体及最小乘法原理，利用组数据所得经验回归程是与样本点“距离”平方和最小的直线方程，故④错误. 故选：C. 18．抛掷两颗骰子，观察掷得的点数．用表示事件“两个点数不同”，表示事件“至少出现一个点”，则 ．（结果用最简分数表示） 【答案】 【解析】没有一个3点的情况有种， 所以至少出现1个3点的情况有种，排除后有10种， 所以，， . 故答案为：. 19．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有 人 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 参考数据及公式如下：参考公式：，其中. 【答案】48 【解析】设男生人数为，依题意可得列联表为 喜欢追星 不喜欢追星 总计 男生 女生 总计 根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关， 则， 由，解得. 由题意知，应为6的整数倍， 所以若根据小概率值的独立性检验， 判断中学生追星与性别有关，则男生至少有48人. 故答案为：48. 20．假设小明的数学成绩X符合正态分布，查询资料后得知，，，那么小明数学成绩在120至130分之间的概率是 ．（精确到0.0001） 【答案】0.4772 【解析】小明的数学成绩 服从正态分布 ，即均值 ，标准差 . 需要求成绩在 120 分至 130 分之间的概率 . 由于正态分布的性质，将 标准化为标准正态分布变量 ： 当 时，,当 时，, 因此，，其中 服从标准正态分布. 给定标准正态分布的累积分布函数值：，，,需要计算 . 由于标准正态分布关于均值对称，,代入已知值： 结果精确到 0.0001，因此概率为 0.4772, 故答案为：0.4772. 21．若随机变量，且，，则的最小值为 【答案】 【解析】由题意知正态分布曲线关于对称，， 则，又，故， 则 , 当且仅当，即取等号. 故答案为：. 22．的展开式中含项的系数是 ． 【答案】 【解析】因为的展开式的通项公式为， 所以的展开式中含的项为， 因此的展开式中含项的系数为. 故答案为： 23．“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为 ．    【答案】 【解析】设从出发最终从1号口出的概率为，所以，解得. 故答案为：. 24．已知高中学生的数学成绩，物理成绩，化学成绩两两成正相关关系，随机抽取10名同学，数学成绩和物理成绩的样本线性相关系数为，物理成绩与化学成绩的样本线性相关系数为，求的样本线性相关系数的最大值为 . (附:相关系数 【答案】 【解析】设， 则有， 由相关系数公式得， 设与夹角为与夹角为， 由的样本相关系数为，的样本相关系数为，所以， 由这两个夹角均为锐角且，所以与夹角的可能性是， 则与夹角余弦值的最大值为，此时与样本相关系数最大， 即， 所以的样本线性相关系数的最大值为. 故答案为：. 25．班主任小明为了解本班每位学生每周平均手机使用时长(单位：小时)，在某一学期每周对全班名学生进行问卷调查，收集了全部数据并计算出每位学生每周平均手机使用时长，绘制了相应的统计图表，全班用时最长的为小时.其中，男生每周平均手机使用时长的茎叶图如图所示，女生每周平均手机使用时长的频率分布直方图如图所示.       (1)求该班男生每周平均手机使用时长的第百分位数； (2)小明老师想从本班每周平均手机使用时长小于小时的学生中任选人在班会课上做经验分享．设事件表示 “人中至多名男生”，事件表示 “人中恰有名学生的每周平均手机使用时长位于区间”．试判断事件和事件是否独立，并说明理由； (3)小明老师发现本班有位学生的每周平均手机使用时长超过小时，这位学生的数据平均数为小时．当去掉这位学生中用时最长和用时最短的数据后，平均数变为小时，且这位学生中女生的数据从小到大依次排序成等差数列．那么这位学生每周平均手机使用时长的方差是否超过？请说明理由． 【答案】(1) (2)不相互独立，理由见解析 (3)不超过，理由见解析 【解析】（1）由茎叶图可知男生总人数为，所以， 将男生每周平均手机使用时长从小到大排列，第位的数据分别为， 所以第百分位数为； （2）事件和事件不相互独立，理由如下： 由，解得， 所以女生中每周平均手机使用时长小于小时的人数为， 且女生中每周平均手机使用时长位于区间有人，位于区间有人， 由茎叶图可知，男生中每周平均手机使用时长小于小时的人数为， 且男生中每周平均手机使用时长位于区间有人， 抽取的人中，每周平均手机使用时长位于区间的共有人， 所以，， 若抽取的是名男生和名女生且恰好有人的每周平均手机使用时长位于区间，其概率为， 若抽取的是名女生且恰好有人的每周平均手机使用时长位于区间，其概率为， 所以， 显然，所以事件和事件不相互独立； （3）由茎叶图和频率分布直方图可知，， 个数据中，男生数据为，设女生数据为且， 由题意可知，，解得， 又因为成等差数列，所以， 所以这个数据分别为：， 所以方差为， 所以这位学生每周平均手机使用时长的方差不超过. 26．核桃有很多品种．小何购买了其中4种品类的核桃：类核桃100个，类核桃120个，类核桃80个和类核桃200个． (1)小何决定采用分层抽样的方法，从所有核桃中抽出25个核桃，请问应抽取类核桃多少个？ (2)小何以随机抽样的方式，从类核桃中抽取20个进行克重测量，以下是这些核桃的克重数据：（单位：克） 14.4 14.7 15.2 16.3 17.3 17.6 17.9 18.2 19.0 19.3 19.8 20.1 20.2 20.4 20.7 20.9 21.3 21.7 22.4 22.6 ①从该20个核桃中任取2个，则所取2个核桃的克重均大于20克的概率为多少？ ②记为该20个核桃的平均克重，为该20个核桃克重的标准差，则该20个核桃中有多少个核桃的克重位于与之间？ 【答案】(1)4； (2)①；②13个. 【解析】（1）个 则应抽取类核桃4个. （2）①因为克重大于20克的核桃共9个， 则所取2个核桃的克重均大于20克的概率为. ②， 则标准差， ， . 对照表格可知则该20个核桃中有13个核桃的克重位于与之间. 27．某科研活动共进行了5次试验，其数据如表所示： 特征量 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 (1)求成对数据的相关系数； (2)求特征量关于的回归方程，并据此估算特征量时的值； (3)设特征量作为随机变量服从正态分布，其中为5次试验中的平均数，为5次试验中的方差．求．（本题所有答数精确到0.01．） 【答案】(1) (2)答案见解析， (3) 【解析】（1）由条件可知，，， ， ， ， 所以； （2）， ， 所以， 当时，； （3），所以,， ，， 所以. 28．某中学为探究“周末使用手机时长是否影响学业成绩”，随机调查100名学生，得到部分统计数据如下表： 学业成绩 使用手机小时 使用手机小时 良好 20 不良好 40 记事件“学业成绩良好且使用手机小时”，事件“学业成绩不良好且使用手机小时”，已知事件的频率是事件的频率的3倍. (1)求表中的，的值； (2)记使用手机小时的学生中学业成绩良好的概率为，求的估计值； (3)根据上述数据，请画出列联表，并判断是否有95%的把握认为“周末使用手机时长”与“学业成绩”有关？请说明理由. 参考数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)，. (2) (3)有，理由见解析 【解析】（1）由样本容量为，得，即. 又事件A的频率是事件B的频率的3倍，所以，即. 故，. （2）因为在样本中用手机小时的学生中学业成绩良好的频率为， 根据用样本频率估计总体频率，估计总体中用手机小时的学生中学业成绩良好的频率为， 再由频率估计概率，故用手机小时的学生中学业成绩良好的概率为. 故的估计值为. （3）设假设：周末使用手机时长与学业成绩相互独立.由题得列联表： 学业成绩 使用手机小时 使用手机小时 合计 良好 30 20 50 不良好 10 40 50 合计 40 60 100 可知，，，，，. 所以 故假设不成立，有95%的把握认为“周末使用手机时长”与“学业成绩”有关 29．某疾病预防中心随机调查了340名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如表所示． 不吸烟者 吸烟者 总计 不患慢性气管炎者 120 160 280 患慢性气管炎者 15 45 60 总　计 135 205 340 (1)是否有95%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关？ (2)常用表示在事件A发生的条件下事件B发生的优势，在统计中称为似然比．现从340人中任选一人，A表示“选到的人是吸烟者”，B表示“选到的人患慢性气管炎者”请利用样本数据，估计的值； (3)现从不患慢性气管炎者的样本中，按分层抽样的方法选出7人，从这7人里再随机选取3人，求这3人中，不吸烟者的人数X的数学期望． 附：，． 【答案】(1)有95%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关 (2) (3) 【解析】（1）假设：患慢性气管炎与吸烟无关， 根据的列联表中的数据，可得，从而否定原假设， 所以有95%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关. （2）根据表格中的数据，可得： . （3）根题意，按分层抽样，得到不吸烟者人，吸烟者人， 这7人里再随机选取3人，可得随机变量的可能值为0，1，2，3， 则， ， 则随机变量的分布列为： 所以，随机变量的数学期望为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $