2.2 倍角公式（教学设计）--北师大版《数学 拓展模块一上册》《上好课》

北师大版《数学拓展模块一 上册》 第二章 三角计算 2.2 倍角公式 一、教材 北京师范大学出版社《数学》（拓展模块一上册） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 本节“倍角公式”是三角计算章节的核心公式内容，核心知识点是三角函数的二倍角公式，以及公式的推导与灵活应用。教材先通过和角公式推导倍角公式，再结合实例展示公式在角度计算、三角恒等变换中的作用，既衔接了和角公式的前置知识，又为后续三角式化简、求值奠定基础，帮助学生建立“和角”到“倍角”的思维链条，培养逻辑推导与公式迁移的能力。 五、学情分析 多数学生已掌握和角公式的基本内容，但从和角公式过渡到倍角公式的公式迁移能力可能存在不足，因此在本节课的学习中容易出现对公式的推导逻辑与变通应用存在一定困难。此外，中职学生对纯代数推导兴趣较低，但对生活中的角度计算、测量等应用场景关注度较高，易出现懂公式但不会用的问题，需结合具象案例强化公式与实际场景的关联，同步提升其“公式迁移、场景转化”的能力。 六、教学目标 1.理解并掌握三角函数的二倍角公式； 2.能区分余弦倍角公式的不同形式，会利用倍角公式进行简单三角式的化简与求值； 3.能运用倍角公式计算生活中相关的三角函数值，解决简单的实际问题。 七、教学重点 两角和的正弦、余弦和正切公式。 八、教学难点 区分公式结构与符号规则。 九、教学方法 讲授法：对两角和的正弦、余弦、正切公式进行系统讲解，使学生准确理解和掌握。 探究法：引导学生自主探究绘制两角和的正弦、余弦、正切公式，培养学生的类比推理能力。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 知识回顾 同学们，在上一节内容中，我们学习了两角和的余弦、正弦和正切公式，接下来，我们进行简单的回顾： 两角和与差的余弦公式： 两角和与差的正弦公式： 两角和与差的正切公式： ； 思考： 计算三角函数值时，比如，已知的三角函数值，我们要求它的二倍角的三角函数值应该怎么求呢？ 通过回忆两角和的余弦、正弦和正切公式来推导三角函数的二倍角公式。 教学引入 分析： 在两角和的正弦、余弦和正切公式中，取，我们可以得到二倍角的正弦、余弦和正切公式。 。 。 因为，所以上式可以变形为 ，。 。 通过推导得出新知识点—三角函数的二倍角公式。 导入新知 由此得到三角函数的二倍角公式： ； ； 。 三角函数的二倍角公式。 经变形可得： ，。 特别提示 二倍角是一种相对的数量关系. 例如，是的二倍角，是的二倍角. 总结三角函数的二倍角公式。 案例分析 【例题】求值. （1）； （2）； （3）； 【解析】（1） ； （2） ； （3） ； 【例题】已知 ，且 ，求 ，， 的值. 【解析】因为 ，且 ，所以 . 因此，； ； ； 通过案例来帮助学生更好地理解三角函数的二倍角公式。 学以致用 【练习】化简： (1)；； (2). 【解析】（1）由余弦的二倍角公式， . （2） 【练习】计算下列各式的值. (1) (2) 【解析】（1）； （2）， ， 则. 通过及时练习进一步加强学生对三角函数的二倍角公式的记忆。 深入理解 想一想： 在学习完三角函数的二倍角公式后，我们应该如何去应用？接下来，我们将通过案例来进行讲解。 通过提问来引出三角函数的二倍角公式的应用。 案例分析 【例题】已知，求的值. 【解析】. 解得，所以. 【例题】已知，，，求的值. 【解析】因为，所以，. 又因为，， 所以， . 因此， . 通过案例来帮助学生更好地理解三角函数的二倍角公式的应用。 学以致用 【练习】已知，且为第二象限角． (1)求：的值； (2)求：的值． 【解析】（1）， ， 又为第二象限角，得， . （2） ． 【练习】已知，且是第二象限角，求的值． 【解析】因为，且是第二象限角， 所以． 则， ， 则． 通过及时练习进一步加强学生对三角函数的二倍角公式的应用。 课堂练习 【练习1】已知，则的值为（ ） A．1 B． C． D．2 【解析】因为，， ， 故选：. 【练习2】已知，则（ ） A． B． C． D． 【解析】因为， 则， 故选：. 【练习3】下列各式中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【解析】对于A，因为，选项A错误； 对于B，因为，选项B错误； 对于C，因为，选项C错误； 对于D，因为，选项D正确. 故选：D. 【练习4】已知，则（ ） A． B． C． D． 【解析】， ， 又， ， . 故选：D. 【练习5】已知，求（ ） A． B． C． D． 【解析】因为，即， 解得， 所以 . 故选：A. 屋顶的斜面与水平面成15°角，假设两倍这个角度的余弦值对应屋顶的支撑角，已知， 问题： ①用倍角公式计算的数值； ②为什么计算支撑角度要用到倍角公式？ 答案： ①用倍角公式： ②屋顶支撑结构的角度是斜面角度的两倍，用倍角公式能通过已知的15°值，直接算出支撑角度的余弦值，不用额外测量，节省施工时间。 通过练习及时掌握学生情况查漏补缺 知识梳理 三角函数的二倍角公式： ； ； 。 经变形可得： ，。 培养学生总结学习过程能力. 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 学而时习，夯实所学. 板书设计 三角函数的二倍角公式： ； ； 。 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注. 11、 教学反思 在本节课的教学中，通过和角公式推导引入，多数学生能记住倍角公式的形式，完成基础的公式代入计算。但在课堂检测中也发现：少数学生对余弦倍角公式的不同形式掌握不牢。在课后练习中，需补充倍角公式的专项练习题，帮助学生厘清不同形式公式间的逻辑关联，逐步提升公式应用的准确性与灵活性。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $