2.1 和角公式（教学设计）--北师大版《数学 拓展模块一上册》《上好课》

北师大版《数学拓展模块一 上册》 第二章 三角计算 2.1 和角公式 一、教材 北京师范大学出版社《数学》（拓展模块一上册） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 本节“和角公式”是三角计算章节的基础内容，核心知识点包括两角和的正弦、余弦、正切公式，以及公式的推导逻辑与简单应用。教材以“已知单角三角函数值求三角函数值”为需求主线，先通过单位圆推导和角公式，再结合实例展示公式在角度计算、数值求解中的作用，既衔接了任意角三角函数的前置知识，又为后续倍角公式、三角恒等变换奠定基础，帮助学生建立单角到复角计算的思维链条，培养逻辑推导与公式应用的能力。 五、学情分析 多数学生已掌握任意角三角函数的定义与基本计算，但在和角公式的推导与灵活应用方面可能存在不足：因此在本节课教学中，学生容易对和角公式的几何推导过程理解不深，易机械记忆公式而忽略其逻辑。此外，中职学生对纯代数推导的兴趣较低，但对测量测距等生活应用场景关注度较高，需通过具象案例强化公式的实用性，同时弥补其“逻辑推导、场景转化”的思维薄弱点。 六、教学目标 1.理解并掌握两角和的正弦、余弦和正切公式； 2.能区分公式结构与符号规则，会利用已知单角三角函数值计算复角的三角函数值； 3.通过几何图形推导和角公式，提升逻辑推理与 “从具象到抽象” 的数学思维能力，提升直观想象素养. 七、教学重点 两角和的正弦、余弦和正切公式。 八、教学难点 区分公式结构与符号规则。 九、教学方法 讲授法：对两角和的正弦、余弦、正切公式进行系统讲解，使学生准确理解和掌握。 探究法：引导学生自主探究绘制两角和的正弦、余弦、正切公式，培养学生的类比推理能力。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学引入 思考： 在初中我们学过，，而。大家猜想一下，等于多少呢？是不是等于呢？ 分析： 因为， 所以。 那么等于多少呢？接下来，我们将借助单位圆来进行分析。 如图，在单位圆中，设，，则有。在平面直角坐标系内作单位圆，并作出任意角，，，它们的终边分别交单位圆于点，，，单位圆与x轴交于点，则，，，。 因为，且， 所以，， ， 由此可得， ，同理得。 通过举例分析和讲解引出新知识点—两角和与差的余弦公式。 导入新知 两角和与差的余弦 由此得到两角和与差的余弦公式： 总结两角和与差的余弦公式。 案例分析 【例题】求的值. 【解析】 = = = 【例题】计算. （1） ； （2） . 【解析】 通过案例来帮助学生更好地理解两角和与差的余弦公式。 学以致用 【练习】计算的值. 【解析】 ． 故. 【练习】化简下列各式. (1)； (2). 【解析】（1） ； （2） . 通过及时练习进一步加强学生对两角和与差的余弦公式的记忆。 教学引入 上一节我们得到了两角和与差的余弦公式，我们知道，用诱导公式可以实现正弦与余弦的互化， 问题提出: 你能根据两角和与差的余弦公式及诱导公式，推导出，的公式吗？ 分析： 由上一节的诱导公式知 通过推导过程来引出新知识点点—两角和与差的正弦公式。 导入新知 两角和与差的正弦 由此得到两角和与差的正弦公式： 总结两角和与差的正弦公式。 案例分析 【例题】求的值. 【解析】 . 【例题】计算：. 【解析】. 通过案例来帮助学生更好地理解两角和与差的正弦公式。 学以致用 【练习】求的值. 【解析】 . 【练习】求下列各式的值． (1)； (2)． 【解析】（1）； （2）． 通过及时练习进一步加强学生对两角和与差的正弦公式的记忆。 教学引入 想一想： 前面我们学习了两角和与差的余弦和正弦公式，利用 ，我们能否推导出两角和与差的正切公式？ 分析： 由同角三角函数关系，知 当 时，得 用代替，得 通过推导过程来引出新知识点点—两角和与差的正切公式。 导入新知 两角和与差的正切 由此得到两角和与差的正切公式： ； 通过案例来帮助学生更好地理解两角和与差的正切公式。 案例分析 【例题】求的值. 【解析】 . 【例题】求下列各式的值. （1） ； （2） . 【解析】（1） . （2） . 通过案例来帮助学生更好地理解两角和与差的正切公式。 学以致用 【练习】计算. 【解析】 . 【练习】求下列各式的值. (1)； (2). 【解析】（1）. （2）. 通过及时练习进一步加强学生对两角和与差的正切公式的记忆。 深入理解 想一想： 在学习完两角和与差的余弦、正弦和正切公式后，我们应该如何去应用？接下来，我们将通过案例来进行讲解。 通过提问来引出两角和与差的余弦、正弦和正切公式的应用。 案例分析 【例题】已知，且，求的值. 【解析】 因为， 所以. 又因为，所以，因此 通过案例来帮助学生更好地理解两角和与差的余弦、正弦和正切公式的应用。 学以致用 【练习】已知是第三象限角，求： (1)和； (2). 【解析】（1）因为是第三象限角， 所以 ， . （2） . 通过及时练习进一步加强学生对两角和与差的余弦、正弦和正切公式的应用。 课堂练习 【练习1】已知，且，则（ ） A． B． C． D． 【解析】因为，， 所以， 则 . 故选：D． 【练习2】的值为（ ）） A． B． C． D． 【解析】原式， 故选：. 【练习3】已知点在直线上，则（ ） A． B． C． D．2 【解析】由题意，把点代入直线方程， 得，解得， 所以. 故选：C. 同学们，我们刚学了和角公式，生活里常遇到“两个角度加起来”的情况，所以请大家思考： “装修时要装一个‘L形’的置物架，其中一段和墙面成30°角，另一段和第一段成45°角——要算置物架第二段和墙面的夹角，为啥要用和角公式？直接30°+45°不行吗？” 答案: 直接相加是“两段的夹角和”，但实际要算的是“第二段相对于墙面的角度”，是两个角的“合成角”，得用和角公式结合三角函数计算；否则直接相加会算错实际角度，导致置物架装歪。 通过练习及时掌握学生情况查漏补缺 知识梳理 两角和与差的余弦公式： 两角和与差的正弦公式： 两角和与差的正切公式： ； 培养学生总结学习过程能力. 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 学而时习，夯实所学. 板书设计 两角和与差的余弦公式： 两角和与差的正弦公式： 两角和与差的正切公式： ； 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注. 11、 教学反思 在本节课的教学中，通过几何推导引入，多数学生能记住和角公式的形式，完成基础的公式代入计算。但在课堂检测中也发现：部分学生对和角公式的推导逻辑掌握不牢，同时易混淆正弦、余弦和角公式的符号。因此在课后练习中，可补充和角公式的推导思路拓展题与公式符号辨析题，帮助学生强化对公式逻辑的认知，逐步提升公式应用的准确性与灵活性 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $