专题11：圆锥（导学案）六年级数学寒假自习课（人教版）

六年级数学下册第三单元寒假自习课（人教版） 专题11：圆锥 知识点精讲 知识点01：圆锥的认识 内容 定义 以直角三角形的一条直角边为轴，将直角三角形旋转一周得到的立体图形就是圆锥；生活中常见的圆锥如沙堆、漏斗、圣诞帽等。 核心特征 （1）有一个圆形的底面（只有1个底面）； （2）有一个曲面，叫做侧面，侧面展开后是一个扇形； （3）有一个顶点，从顶点到底面圆心的距离叫做高（h），圆锥只有1条高（高是唯一的，且垂直于底面）。 【典型例题1】如图，将直角三角形以一条直角边所在的直线为轴旋转一周，可以得到一个圆锥，圆锥的底面直径是（ ）cm，高是（ ）cm。 【答案】 4 4 【分析】看图可知，圆锥的底面半径是2cm，根据半径与直径的关系确定直径；圆锥的高是4cm，据此填空。 【详解】（cm） 将直角三角形以一条直角边所在的直线为轴旋转一周，可以得到一个圆锥，圆锥的底面直径是4cm，高是4cm。 【典型例题2】把一个圆锥过顶点垂直于底面直径截开，截面是一个三角形（如图）。这个三角形的顶角是42°，它的一个底角是（ ），它的面积是（ ）。 【答案】 69°/69度 24 【分析】圆锥沿高截开后截面是一个等腰三角形，等腰三角形的两个底角相等，根据三角形的内角和是180°求出等腰三角形的一个底角；再根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据解答即可。 【详解】（180°－42°）÷2 ＝138°÷2 ＝69° 8×6÷2 ＝48÷2 ＝24（cm2） 它的一个底角是69°，它的面积是24。 【变式训练1】如图所示是一块带有圆形和三角形空洞的木板。下面物体中，既能堵住圆形空洞，又能堵住三角形空洞的是（     ）。 A． B． C． 【答案】B 【分析】圆锥的俯视图是圆，正视图是三角形，满足条件的空间几何体的三视图中含有圆和三角形就是圆锥，据此解答。 【详解】根据分析可知，如图所示是一块带有圆形和三角形空洞的木板。下面物体中，既能堵住圆形空洞，又能堵住三角形空洞的是。 故答案为：B 【变式训练2】量得一个圆锥从顶点到底面圆周的距离是13cm，从顶点到底面圆心的距离是12cm，底面的直径是10cm，这个圆锥的高是（ ）cm。 【答案】12 【分析】圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的最短距离叫做圆锥的高，据此分析。 【详解】因为从顶点到底面圆心的距离是12cm，所以这个圆锥的高是12cm。 知识点02：圆锥的体积 内容 计算公式 圆锥体积=×底面积×高 V=Sh=πr²h。 圆柱与圆锥体积的关系 圆锥的体积是与它等底、等高的圆柱体积的。 【典型例题1】一个近似于圆锥形的野营帐篷，底面周长是18.84米，高是30分米。 （1）帐篷的占地面积是多少？            （2）帐篷里的空间有多大？ 【答案】（1）28.26平方米 （2）28.26立方米 【分析】（1）占地面积指的是底面积，圆锥底面半径＝底面周长÷圆周率÷2，圆锥底面积＝圆周率×半径的平方，据此列式解答； （2）根据圆锥体积＝底面积×高÷3，列式解答即可，注意统一单位。 【详解】（1）3.14×（18.84÷3.14÷2）2 ＝3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 答：帐篷的占地面积是28.26平方米。 （2）30分米＝3米 28.26×3÷3＝28.26（立方米） 答：帐篷里的空间有28.26立方米。 【典型例题2】一个圆柱和一个圆锥等底等高，已知圆柱体积比圆锥体积多32立方厘米，圆柱的体积是（ ）立方厘米。 【答案】48 【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，把圆锥的体积看作1倍数，则圆柱的体积是3倍数，圆柱的体积比圆锥的体积多（3－1）倍数，对应的是32立方厘米，用32除以（3－1）求出1倍数，也就是圆锥的体积，再用圆锥的体积乘3即可求出圆柱的体积。 【详解】32÷（3－1）×3 ＝32÷2×3 ＝16×3 ＝48（立方厘米） 所以圆柱的体积是48立方厘米。 【变式训练1】把一个底面积为15平方分米、高为6分米的长方体铁块，熔铸成一个底面半径为5分米的圆锥形铁块。这个圆锥形铁块的高约是多少厘米？ 【答案】34.4厘米 【分析】“长方体体积＝底面积×高”，已知长方体铁块底面积是15平方分米，高是6分米，所以长方体体积是15×6＝90立方分米；把长方体铁块熔铸成圆锥形铁块，只是形状改变，体积不变，即圆锥体积为15×6＝90立方分米；圆锥的底面是圆，圆的面积公式“S＝πr2”，已知圆锥底面半径为5分米，则圆锥底面积为（3.14×52）平方分米；圆锥体积＝×底面积×高，变形可得“高＝圆锥体积×3÷底面积” ；最后题目问的是高约是多少厘米，因为1分米＝10厘米，所以还要进行单位换算，分米换算为厘米是大单位换算为小单位要乘进率10。 【详解】15×6×3÷（3.14×52）×10 ＝15×6×3÷（3.14×25）×10 ＝15×6×3÷78.5×10 ＝90×3÷78.5×10 ＝270÷78.5×10 ≈3.44×10 ＝34.4（厘米） 答：这个圆锥形铁块的高约是34.4厘米。 【变式训练2】一个圆锥形铅锤，底面半径是3厘米，高10厘米。每立方厘米铅锤重7.8克，这个铅锤重多少克？ 【答案】3.14×32×10÷3×7.8 【分析】根据圆锥体积＝底面积×高÷3，求出铅锤体积，铅锤体积乘每立方厘米铅锤的质量即可解答。 【详解】3.14×32×10÷3×7.8 ＝3.14×9×10÷3×7.8 ＝28.26×10÷3×7.8 ＝282.6÷3×7.8 ＝94.2×7.8 ＝734.76（克） 答：这个铅锤重734.76克。 课后强化 一、选择题 1．一个直角三角形，两条直角边分别是3厘米和4厘米。以较短直角边为轴旋转一周形成一个立体图形。这个立体图形的体积是（     ）立方厘米。 A．12π B．16π C．48π 【答案】B 【分析】以短直角边为轴旋转一周得到的立体图形是圆锥，底面半径是4厘米，高是3厘米。根据圆锥的体积V＝r2h即可求出体积。 【详解】×42×3× ＝×16×（3×） ＝×16×1 ＝16 即这个立体图形的体积是16。 故答案为：B 2．一个圆锥形沙堆，测得底面周长是12.56米，高1.5米。这个沙堆的体积是（     ）。 A．12.56立方米 B．18.84立方米 C．6.28立方米 【答案】C 【分析】根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，半径＝周长÷π÷2，代入数据，求出圆锥形沙堆底面的半径，再根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，即可解答。 【详解】12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（米） 3.14×22×1.5× ＝3.14×4×1.5× ＝12.56×1.5× ＝18.84× ＝6.28（立方米） 一个圆锥形沙堆，测得底面周长是12.56米，高1.5米。这个沙堆的体积是6.28立方米。 故答案为：C 3．一个圆锥的体积是135cm3，（     ）是它等底等高的圆柱体体积。 A．45cm3 B．405cm3 C．270cm3 【答案】B 【分析】根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，用圆锥的体积乘3，即是与它等底等高的圆柱的体积。 【详解】135×3＝405（cm3） 一个圆锥的体积是135cm3，（405cm3）是它等底等高的圆柱体体积。 故答案为：B 4．如图，将圆锥形容器中装满水后倒入圆柱形容器中，圆柱形容器的水面将有（     ）高。 A．9cm B．3cm C．6.25cm 【答案】C 【分析】将圆锥形的容器的水倒入圆柱形容器中，体积不变，即根据圆锥的体积，得出水的体积，再根据圆柱的体积，得出水面的高度。 【详解】水的体积： （立方厘米） 水面高度： ＝6.25（厘米） 则圆柱形容器的水面将有6.25cm高。 故答案为：C 5．一个圆柱削成一个最大的圆锥，削去部分的体积与圆锥体积比是（     ）。 A．3∶1 B．2∶1 C．1∶2 【答案】B 【分析】把一个圆柱削成一个最大的圆锥，那么圆锥与原来的圆柱等底等高，此时圆锥的体积是圆柱体积的，则削去的部分是圆柱体积的，据此解答。 【详解】 故答案为：B 6．如下图，与圆锥体积相等的圆柱是（     ）。 A．③ B．② C．① 【答案】A 【分析】先根据圆锥的体积公式：圆锥的体积＝×底面积×高，计算出圆锥的体积，再根据圆柱的体积公式：圆柱的体积＝底面积×高，计算出各个圆柱的体积，最后进行大小比较即可解答。 【详解】圆锥的体积： ×π×（6÷2）2×9 ＝×π×32×9 ＝×π×9×9 ＝27π（cm3） A．圆柱③的体积： π×（6÷2）2×3 ＝π×32×3 ＝π×9×3 ＝27π（cm3） B．圆柱②的体积： π×（2÷2）2×9 ＝π×12×9 ＝π×1×9 ＝9π（cm3） C．圆柱①的体积： π×（6÷2）2×9 ＝π×32×9 ＝π×9×9 ＝81π（cm3） 故答案为：A 二、填空题 7．小悦用一块体积为216立方厘米的橡皮泥，捏塑成等底等高的一个圆柱和一个圆锥，圆锥的体积是（ ）立方厘米。 【答案】54 【分析】根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，把圆锥的体积看作1份，则圆柱的体积是3份，一共是（3＋1）份； 已知把体积为216立方厘米的橡皮泥捏塑成等底等高的一个圆柱和一个圆锥，即圆柱和圆锥的体积之和是216立方厘米，用体积之和除以（3＋1）份，求出一份数，也就是圆锥的体积，据此解答。 【详解】216÷（3＋1） ＝216÷4 ＝54（立方厘米） 圆锥的体积是54立方厘米。 8．一个圆柱的底面半径是2厘米，高是12厘米，它的表面积是（ ）平方厘米；把它削成最大的圆锥，则圆锥的体积是（ ）立方厘米。 【答案】 175.84 50.24 【分析】圆柱的表面积＝底面积×2＋侧面积；圆柱的体积＝底面积×高；其中，侧面积＝底面周长×高，底面积＝πr2；这个圆锥的体积＝圆柱的体积÷3。将数据代入即可解答. 【详解】3.14×22×2＋3.14×（2×2）×12 ＝3.14×4×2＋3.14×4×12 ＝12.56×2＋12.56×12 ＝25.12＋150.72 ＝175.84（平方厘米） 3.14×22×12÷3 ＝3.14×4×12÷3 ＝12.56×12÷3 ＝150.72÷3 ＝50.24（立方厘米） 一个圆柱的底面半径是2厘米，高是12厘米，它的表面积是175.84平方厘米；把它削成最大的圆锥，则圆锥的体积是50.24立方厘米。 9．一个圆柱的体积是36dm3，和它等底等高的圆锥的体积是（ ）dm3，如果把这个圆锥铸成一个高是4dm的长方体，那么长方体的底面积是（ ）dm2。 【答案】 12 3 【分析】等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，据此求出圆锥的体积；把这个圆锥铸成一个高是4dm的长方体，长方体的体积和圆锥体积相等，再根据长方体体积＝底面积×高，求出长方体的底面积，据此解答即可。 【详解】圆锥体积：（dm3） 长方体底面积：（dm2） 10．一个正方体密封盒的棱长是6厘米，它的表面积是（ ）平方厘米；在盒内放入一个最大的圆柱，圆柱的侧面积是（ ）平方厘米；如果放入一个最大的圆锥，圆锥的体积是（ ）立方厘米。 【答案】 216 113.04 56.52 【分析】根据正方体表面积公式：表面积＝棱长×棱长×6，代入数据，求出这个正方体密封盒的表面积；盒内放入一个最大的圆柱，圆柱的底面直径等于正方体密封盒的棱长，圆柱的高等于正方体密封盒的棱长，根据圆柱的侧面积公式：侧面积＝底面周长×高，代入数据，求出圆柱的侧面积；放入最大的圆锥，圆锥的底面直径等于正方体密封盒的棱长，圆锥的高等于正方体密封盒的棱长，再根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，即可解答。 【详解】6×6×6 ＝36×6 ＝216（平方厘米） 3.14×6×6 ＝18.84×6 ＝113.04（平方厘米） 3.14×（6÷2）2×6× ＝3.14×32×6× ＝3.14×9×6× ＝28.26×6× ＝169.56× ＝56.52（立方厘米） 一个正方体密封盒的棱长是6厘米，它的表面积是216平方厘米；在盒内放入一个最大的圆柱，圆柱的侧面积是113.04平方厘米；如果放入一个最大的圆锥，圆锥的体积是56.52立方厘米。 11．把一个底面直径是4分米，高是3分米的圆柱削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是（ ），削去部分的体积是（ ）。 【答案】 12.56立方分米 25.12立方分米 【分析】把圆柱削成圆锥，当圆锥与圆柱等底等高时，体积最大。等底等高的圆柱和圆锥，圆锥的体积是圆柱体积的。所以本题中的圆锥体积是圆柱体积的，削去部分是圆柱体积的。据此解答。 【详解】3.14×（4÷2）2×3 ＝3.14×4×3 ＝37.68（立方分米） 37.68×＝12.56（立方分米） 37.68×＝25.12（立方分米） 所以，把一个底面直径是4分米，高是3分米的圆柱削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是12.56立方分米，削去部分的体积是25.12立方分米。 12．一个圆锥的体积是4.2立方分米，底面积是6平方分米，它的高是（ ）分米。 【答案】2.1 【分析】根据圆锥的体积＝底面积×高÷3，所以，圆锥的高＝体积×3÷底面积，列式计算即可。 【详解】4.2×3÷6＝2.1（分米） 它的高是2.1分米。 13．实验室里有圆锥形和圆柱形容器各一个，它们的底面直径都是8cm，高都是15cm，这个圆锥的容积是（ ）cm3。把圆锥形容器注满水倒入圆柱形容器中，水深（ ）cm。 【答案】 251.2 5 【分析】容积的求法和体积一样，根据圆锥的体积，即圆锥的容积为，计算出结果即可；根据等底等体积的圆柱和圆锥，圆锥的高是圆柱的3倍，即水深为（）；据此解答。 【详解】由分析可知： （） （） 所以这个圆锥的容积是251.2cm3。把圆锥形容器注满水倒入圆柱形容器中，水深5cm。 14．先将一个圆锥形容器装满水，然后把水倒入一个与其等底等高的圆柱形容器中，此时水深2厘米，那么圆锥形容器的高是（ ）厘米。 【答案】6 【分析】圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝×底面积×高。题中，水的体积不变，那么圆锥形水的高度是圆柱形水的高度的3倍，据此解题。 【详解】2×3＝6（厘米） 所以，圆锥形容器的高是6厘米。 15．把一个高3分米的圆柱形钢材熔成与它底面积相等的圆锥体，这个圆锥体的高是（ ）厘米。 【答案】90 【分析】圆锥的体积＝×底面积×高，圆柱的体积＝底面积×高，这块钢材的体积是不变的，即圆锥的体积等于圆柱的体积，圆柱的高已知，且底面积相等，代入公式即可求出圆锥体的高。 【详解】解：设圆锥体的高为h，底面积为S，则圆柱的底面积也为S，则： 3S＝×S×h 3S÷S＝×S×h÷S 3＝h 3÷＝h÷ 3×3＝h h＝9 9分米＝90厘米 这个圆锥的高是90厘米。 16．将下图的直角三角形长的直角边为轴旋转一周可以得到一个（ ），这个立体图形的底面周长是（ ）cm，体积是（ ）。 【答案】 圆锥 37.68 188.4 【分析】图中的三角形以5cm长的直角边为轴旋转一周得到一个圆锥，可知圆锥的底面半径是6cm，直径是6×2＝12（cm），高是5cm，代入圆的周长公式求出底面周长，代入圆锥的体积公式中求出 圆锥的体积。 【详解】2×3.14×6＝37.68（cm） ＝188.4（cm³） 所以，将上图的直角三角形以长的直角边为轴旋转一周可以得到一个圆锥，这个立体图形的底面周长是37.68cm，体积是188.4。 17．把一个棱长为6分米的正方体木块，削成一个最大的圆柱，圆柱的体积是（ ）立方分米，把这个圆柱削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是（ ）立方分米。 【答案】 169.56 113.04 【分析】根据题意可知，把这个正方体木块削成一个最大的圆柱，这个圆柱的底面直径和高都等于正方体的棱长，如果把这个圆柱再削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是圆柱体积的，那么削去部分的体积相当于圆柱体积的（1－），根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。 【详解】3.14×（6÷2）2×6 ＝3.14×9×6 ＝28.26×6 ＝169.56（立方分米） 169.56×（1－） ＝169.56× ＝113.04（立方分米） 这个圆柱的体积是169.56立方分米，削去部分的体积是113.04立方分米。 18．一个圆锥形的沙堆，高3米，底面周长是18.84米。这堆沙子的体积是（ ）立方米，如果每立方米沙子约重1.5吨，这堆沙子重（ ）吨。 【答案】 28.26 42.39 【分析】底面周长已知，用周长除以3.14再除以2，得底面半径；再根据圆锥的体积公式，将数值代入求得这堆沙子的体积，体积乘1.5，就是这堆沙子的重量。 【详解】 ＝ ＝3（米） ＝ ＝28.26（立方米） （吨） 一个圆锥形的沙堆，高3米，底面周长是18.84米。这堆沙子的体积是（28.26）立方米，如果每立方米沙子约重1.5吨，这堆沙子重（42.39）吨。 三、解答题 19．农场晒谷场上堆了一堆晒好的小麦（如图）。要将这堆小麦收储到一个空的圆柱形粮仓里，粮仓的底面直径为4米，收储后，粮仓里的小麦高多少？（计算提示：314×128＝40192；40192÷1256＝32） 【答案】3.2米 【分析】根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据求出圆锥的体积，也是圆柱形粮仓里小麦的体积；再根据圆柱的体积V＝Sh，可知圆柱的高h＝V÷S，求出粮仓里的小麦的高。 【详解】8÷2＝4（米） 4÷2＝2（米） ×3.14×42×2.4 ＝×3.14×16×2.4 ＝40.192（立方米） 40.192÷（3.14×22） ＝40.192÷（3.14×4） ＝40.192÷12.56 ＝3.2（米） 答：粮仓里的小麦高3.2米。 20．从古代到近代，匠人们打铁时，用火将铁烧红变软，然后用锤子击打成想要的形状，最后放到凉水里迅速冷却，以增加铁的硬度，这就是“淬火”。一铁匠将底面半径为10厘米的圆柱形铁块烧红，击打成与它底面大小相同的圆锥形，然后完全没入一底面积为31.4平方分米的长方体容器里粹火，水面上升了1.5厘米。请你计算这个圆锥的高是多少厘米。（损耗忽略不计） 【答案】45厘米 【分析】圆锥的体积就是上升部分水的体积，这部分水可看作底面积是31.4平方分米（换算为3140平方厘米），高是1.5厘米的长方体，用底面积乘高即可算出体积。又因为圆锥的底面大小与圆柱铁块底面大小相同，即底面半径相同，所以可求出底面积，最后用体积乘3再除以底面积即可求出圆锥的高。据此解答。 【详解】31.4平方分米＝3140平方厘米 3140×1.5×3÷（3.14×102） ＝3140×1.5×3÷（3.14×100） ＝3140×1.5×3÷314 ＝14130÷314 ＝45（厘米） 答：这个圆锥的高是45厘米。 21．一个圆锥形麦堆的底面半径是2米，高是15米，这个麦堆的体积是多少立方米？与它等底等高的圆柱体积是多少立方米？ 【答案】62.8立方米；188.4立方米 【分析】根据圆锥体积＝底面积×高÷3，求出麦堆的体积；等底等高的圆柱和圆锥，圆柱体积是圆锥体积的3倍，圆锥体积×3＝圆柱体积，据此列式解答。 【详解】3.14×22×15÷3 ＝3.14×4×15÷3 ＝12.56×15÷3 ＝62.8（立方米） 62.8×3＝188.4（立方米） 答：这个麦堆的体积是62.8立方米，与它等底等高的圆柱体积是188.4立方米。 22．一个圆锥形沙堆，底面积是28.26平方米，高是2.5米。用这堆沙在10米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米？ 【答案】117.75米 【分析】根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出圆锥形沙堆的体积；把这堆沙铺在长方形的路面上就相当于一个长方体，只是形状改变了，但是沙的体积没有变化；根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，长＝体积÷（宽×高），代入数据，即可解答，注意单位名数的统一。 【详解】2厘米＝0.02米 28.26×2.5×÷（10×0.02） ＝70.65×÷0.2 ＝23.55÷0.2 ＝117.75（米） 答：能铺117.75米。 23．张大妈佳今年收获的玉米粒堆成一个圆锥形，它的底面半径是2.5米，高是1.2米。如果每立方米玉米重750千克，这堆玉米重多少千克？ 【答案】5887.5千克 【分析】根据圆锥体积＝底面积×高÷3，求出玉米体积，玉米体积×每立方米质量＝这堆玉米的质量，据此列式解答。 【详解】3.14×2.52×1.2÷3×750 ＝3.14×6.25×1.2÷3×750 ＝7.85×750 ＝5887.5（千克） 答：这堆玉米重5887.5千克。 24．一堆玉米堆成圆锥形，底面周长是12.56米，高是1.8米。 （1）这些玉米的体积是多少？ （2）如果每立方米玉米重750千克，这些玉米有多少吨？ 【答案】（1）7.536立方米 （2）5.652吨 【分析】（1）根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，已知底面周长是12.56米，根据底面周长＝，可计算出底面圆半径，再把数据代入公式解答。 （2）用玉米的体积乘每立方米玉米的质量即可，据此列式解答。 【详解】（1）×3.14×（12.56÷3.14÷2）2×1.8 ＝×3.14×22×1.8 ＝×3.14×4×1.8 ＝7.536（立方米） 答：这些玉米的体积是7.536立方米。 （2）7.536×750＝5652（千克）＝5.652（吨） 答：这些玉米有5.652吨。 25．沙漏又称沙钟，是一种计量时间的装置。如图是一个沙漏记录时间时的示意图。 （1）沙漏上部分的沙子近似于一个圆锥，根据示意图，求出沙漏上部分沙子的体积。 （2）沙漏下部分沙子的体积是185.26立方厘米，如果再过1分钟，沙漏上部分的沙子就可以全部漏到下部，那么现在已经计量了多少分钟？ 【答案】（1）3.14立方厘米 （2）59分钟 【分析】（1）根据圆锥体积＝底面积×高÷3，列式解答即可； （2）再过1分钟，沙漏上部分的沙子就可以全部漏到下部，说明1分钟漏下的体积是上部分的沙子体积，下部分沙子的体积÷1分钟漏下的体积＝下部分沙子的计时长度，即现在已经计量的时间。 【详解】（1） （立方厘米） 答：沙漏上部分沙子的体积是3.14立方厘米。 （2）（分钟） 答：现在已经计量了59分钟。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 六年级数学下册第三单元寒假自习课（人教版） 专题11：圆锥 知识点精讲 知识点01：圆锥的认识 内容 定义 以直角三角形的一条直角边为轴，将直角三角形旋转一周得到的立体图形就是圆锥；生活中常见的圆锥如沙堆、漏斗、圣诞帽等。 核心特征 （1）有一个圆形的底面（只有1个底面）； （2）有一个曲面，叫做侧面，侧面展开后是一个扇形； （3）有一个顶点，从顶点到底面圆心的距离叫做高（h），圆锥只有1条高（高是唯一的，且垂直于底面）。 【典型例题1】如图，将直角三角形以一条直角边所在的直线为轴旋转一周，可以得到一个圆锥，圆锥的底面直径是（ ）cm，高是（ ）cm。 【典型例题2】把一个圆锥过顶点垂直于底面直径截开，截面是一个三角形（如图）。这个三角形的顶角是42°，它的一个底角是（ ），它的面积是（ ）。 【变式训练1】如图所示是一块带有圆形和三角形空洞的木板。下面物体中，既能堵住圆形空洞，又能堵住三角形空洞的是（     ）。 A． B． C． 【变式训练2】量得一个圆锥从顶点到底面圆周的距离是13cm，从顶点到底面圆心的距离是12cm，底面的直径是10cm，这个圆锥的高是（ ）cm。 知识点02：圆锥的体积 内容 计算公式 圆锥体积=×底面积×高 V=Sh=πr²h。 圆柱与圆锥体积的关系 圆锥的体积是与它等底、等高的圆柱体积的。 【典型例题1】一个近似于圆锥形的野营帐篷，底面周长是18.84米，高是30分米。 （1）帐篷的占地面积是多少？            （2）帐篷里的空间有多大？ 【典型例题2】一个圆柱和一个圆锥等底等高，已知圆柱体积比圆锥体积多32立方厘米，圆柱的体积是（ ）立方厘米。 【变式训练1】把一个底面积为15平方分米、高为6分米的长方体铁块，熔铸成一个底面半径为5分米的圆锥形铁块。这个圆锥形铁块的高约是多少厘米？ 【变式训练2】一个圆锥形铅锤，底面半径是3厘米，高10厘米。每立方厘米铅锤重7.8克，这个铅锤重多少克？ 课后强化 一、选择题 1．一个直角三角形，两条直角边分别是3厘米和4厘米。以较短直角边为轴旋转一周形成一个立体图形。这个立体图形的体积是（     ）立方厘米。 A．12π B．16π C．48π 2．一个圆锥形沙堆，测得底面周长是12.56米，高1.5米。这个沙堆的体积是（     ）。 A．12.56立方米 B．18.84立方米 C．6.28立方米 3．一个圆锥的体积是135cm3，（     ）是它等底等高的圆柱体体积。 A．45cm3 B．405cm3 C．270cm3 4．如图，将圆锥形容器中装满水后倒入圆柱形容器中，圆柱形容器的水面将有（     ）高。 A．9cm B．3cm C．6.25cm 5．一个圆柱削成一个最大的圆锥，削去部分的体积与圆锥体积比是（     ）。 A．3∶1 B．2∶1 C．1∶2 6．如下图，与圆锥体积相等的圆柱是（     ）。 A．③ B．② C．① 二、填空题 7．小悦用一块体积为216立方厘米的橡皮泥，捏塑成等底等高的一个圆柱和一个圆锥，圆锥的体积是（ ）立方厘米。 8．一个圆柱的底面半径是2厘米，高是12厘米，它的表面积是（ ）平方厘米；把它削成最大的圆锥，则圆锥的体积是（ ）立方厘米。 9．一个圆柱的体积是36dm3，和它等底等高的圆锥的体积是（ ）dm3，如果把这个圆锥铸成一个高是4dm的长方体，那么长方体的底面积是（ ）dm2。 10．一个正方体密封盒的棱长是6厘米，它的表面积是（ ）平方厘米；在盒内放入一个最大的圆柱，圆柱的侧面积是（ ）平方厘米；如果放入一个最大的圆锥，圆锥的体积是（ ）立方厘米。 11．把一个底面直径是4分米，高是3分米的圆柱削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是（ ），削去部分的体积是（ ）。 12．一个圆锥的体积是4.2立方分米，底面积是6平方分米，它的高是（ ）分米。 13．实验室里有圆锥形和圆柱形容器各一个，它们的底面直径都是8cm，高都是15cm，这个圆锥的容积是（ ）cm3。把圆锥形容器注满水倒入圆柱形容器中，水深（ ）cm。 14．先将一个圆锥形容器装满水，然后把水倒入一个与其等底等高的圆柱形容器中，此时水深2厘米，那么圆锥形容器的高是（ ）厘米。 15．把一个高3分米的圆柱形钢材熔成与它底面积相等的圆锥体，这个圆锥体的高是（ ）厘米。 16．将下图的直角三角形长的直角边为轴旋转一周可以得到一个（ ），这个立体图形的底面周长是（ ）cm，体积是（ ）。 17．把一个棱长为6分米的正方体木块，削成一个最大的圆柱，圆柱的体积是（ ）立方分米，把这个圆柱削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是（ ）立方分米。 18．一个圆锥形的沙堆，高3米，底面周长是18.84米。这堆沙子的体积是（ ）立方米，如果每立方米沙子约重1.5吨，这堆沙子重（ ）吨。 三、解答题 19．农场晒谷场上堆了一堆晒好的小麦（如图）。要将这堆小麦收储到一个空的圆柱形粮仓里，粮仓的底面直径为4米，收储后，粮仓里的小麦高多少？（计算提示：314×128＝40192；40192÷1256＝32） 20．从古代到近代，匠人们打铁时，用火将铁烧红变软，然后用锤子击打成想要的形状，最后放到凉水里迅速冷却，以增加铁的硬度，这就是“淬火”。一铁匠将底面半径为10厘米的圆柱形铁块烧红，击打成与它底面大小相同的圆锥形，然后完全没入一底面积为31.4平方分米的长方体容器里粹火，水面上升了1.5厘米。请你计算这个圆锥的高是多少厘米。（损耗忽略不计） 21．一个圆锥形麦堆的底面半径是2米，高是15米，这个麦堆的体积是多少立方米？与它等底等高的圆柱体积是多少立方米？ 22．一个圆锥形沙堆，底面积是28.26平方米，高是2.5米。用这堆沙在10米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米？ 23．张大妈佳今年收获的玉米粒堆成一个圆锥形，它的底面半径是2.5米，高是1.2米。如果每立方米玉米重750千克，这堆玉米重多少千克？ 24．一堆玉米堆成圆锥形，底面周长是12.56米，高是1.8米。 （1）这些玉米的体积是多少？ （2）如果每立方米玉米重750千克，这些玉米有多少吨？ 25．沙漏又称沙钟，是一种计量时间的装置。如图是一个沙漏记录时间时的示意图。 （1）沙漏上部分的沙子近似于一个圆锥，根据示意图，求出沙漏上部分沙子的体积。 （2）沙漏下部分沙子的体积是185.26立方厘米，如果再过1分钟，沙漏上部分的沙子就可以全部漏到下部，那么现在已经计量了多少分钟？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $