专题02 受力分析与物体的平衡（寒假复习讲义）高一物理人教版

专题02 受力分析与物体的平衡 内容导航 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 核心考点聚焦 1、力的合成与分解、正交分解法对物体进行受力分析 2、整体法和隔离法解决物体的受力问题 3、共点力的静态平衡和动态平衡问题 高考考点聚焦 常考考点 真题举例 利用力的平衡求力的大小和方向 2025·海南高考 正交分解法解决共点力的平衡问题 2025·重庆高考 分析物体的受力个数问题 2025·北京高考 动态平衡问题 2025·河北高考 考点1：受力分析 1．受力分析的步骤 (1)明确研究对象(如一个点、一个物体或一个系统)，并将其隔离，分析周围物体对它施加的力。 (2)按以下顺序分析受力 说明：分析弹力和摩擦力时，要对研究对象与周围的每处接触面都考虑。 2．受力分析的技巧 整体法与隔离法 若分析系统内部物体之间的作用力，只能将受力物体隔离出来分析；若不涉及系统内部物体间的相互作用力，只分析系统外部的物体对系统的作用力，整体法往往比隔离法更方便一些 转换研究对象法 有时要分析物体A对B的作用力，以B为研究对象较麻烦时，可先分析B对A的作用力，再依据牛顿第三定律得出A对B的作用力 假设法 分析弹力或摩擦力时可先假设该力存在或不存在，看物体的运动状态是否符合题意 动力学分析法 根据物体运动状态需要的受力条件分析未知力 注意：对研究对象所受力的大小、方向，哪些已知、哪些未知要明确。 考点2：整体法和隔离法 整体法 隔离法 概念 将相互关联的问题视为一个整体 将某个物体从整体中分割出来单独研究的方法 选用原则 研究外界物体与系统整体的相互作用力 研究系统内物体之间的相互作用 注意问题 不需要考虑系统内部物体间的相互作用 一般隔离受力较少的物体进行分析 考点3：静态平衡 1．物体处于平衡状态的运动学特点：静止或做匀速直线运动。 2．物体的平衡条件：物体所受力的合力为零（即加速度为0）。 3．处理静态平衡问题的基本思路 4．静态平衡问题的四种求解方法 合成法 物体在多个力的作用下平衡时，任意一个力与其他力的合力等大反向 效果分解法 物体受三个共点力的作用而平衡时，将某一个力按作用效果分解，则分力与其他两个力分别平衡 正交分解法 物体受到三个或三个以上力的作用时，将所有力分解为相互垂直的两组，每组力都满足平衡条件 矢量三角形法 对受三力作用而平衡的物体，将力的矢量图平移使三力组成一个首尾依次相接的矢量三角形，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解未知力 考点4：动态平衡 1.动态平衡的概念：物体在变力作用下处于平衡状态。 物体在缓慢移动过程中，可以认为物体时刻处于平衡状态，其所受合力为零。 2．三力作用下动态平衡的分析方法 题型1：物体受力个数的判断 【典例1】（23-24高一上·广东东莞·期末）如图所示，滑块A和B叠放在传送带上，B被细线连于墙上。如果传送带逆时针转动，滑块A和B都相对地面静止，则下列说法正确的是（　　） A．B共受到4个力的作用 B．A受到的静摩擦力方向水平向右 C．增大传送带的速度，细线的拉力变大 D．增大A的质量，B受到的摩擦力增大 【变式1-1】（24-25高一上·四川凉山·期末）如图所示，物体A靠在竖直墙面上，在竖直向上的力F作用下，A、B共同向上匀速运动，下列关于A、B的受力个数正确的是（　　） A．3，4 B．5，4 C．4，4 D．3，5 【变式1-2】（24-25高一上·江西萍乡·期末）如图，A、B两个物块叠加后静止在竖直的轻弹簧上，A与竖直墙面接触，弹簧在弹性限度内，下列说法正确的是（    ） A．物块A、B接触面可能光滑 B．物块A最多可能受5个力 C．物块A对物块B的作用力一定竖直向下 D．弹簧对物块B的作用力可能大于物块A、B的总重力 题型2：等大力模型 【典例2】（多选）（23-24高一上·广东中山·期末）如图所示，重力为的休闲吊椅，质量分布均匀，用两竖直链条悬挂在天花板上，竖直链条的下部各自固定另一链条对称的连接到吊椅上，底部链条两侧夹角为，吊椅呈水平状态，不计链条重力，则（    ）    A．任一竖直链条中的拉力大小为 B．任一竖直链条中的拉力大小为 C．任一底部链条中的拉力大小为 D．任一底部链条中的拉力大小为 【变式2-1】（23-24高三上·广东广州·开学考试）耙在中国已有1500年以上的历史，北魏贾思勰著《齐民要术》称之为“铁齿楱”，将使用此农具的作业称作耙。如图甲所示，牛通过两根耙索拉耙沿水平方向匀速耙地。两根耙索等长且对称，延长线的交点为，夹角，拉力大小均为F，平面与水平面的夹角为（为AB的中点），如图乙所示。忽略耙索质量，下列说法正确的是（　　） A．两根耙索的合力大小为F B．两根耙索的合力大小为 C．地对耙的水平阻力大小为 D．地对耙的水平阻力大小为 【变式2-2】（23-24高一上·宁夏银川·期末）两个大小相等的共点力、，当它们间的夹角为时合力大小为10N；则当它们间夹角为时，合力的大小为（　　） A．20N B． C． D． 题型3：力的分解过程中的多解和极值问题 【典例3】如图所示，力F作用于物体的O点，现要使作用在物体上的合力沿OO′方向，需再施加一个力F1，则 F1的最小值的大小是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】如图所示，将一个的力分解为两个分力，如果已知其中一个不为零的分力的方向与F成30°角，则下列说法正确的是（    ） A．另一分力的方向可能与F平行 B．另一分力的大小可能小于10N C．的大小不可能小于5N D．另一分力的方向与的方向垂直时，最小 【变式3-2】力，将其分解为两个分力，已知一个分力的方向与的方向之间的夹角为，则另一个分力的最小值为（    ）（） A． B． C． D． 题型4：直接合成法解决三力平衡问题 【典例4】如图所示，放在粗糙水平面上的物块A和悬挂的物块B均处于静止状态，绳AC水平，劲度系数k＝300 N/m的轻弹簧中轴线CD与水平方向的夹角α＝37°，弹簧伸长量为x＝5cm。求：（sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8） (1)物块A受到的摩擦力大小； (2)物块B的重力大小。 【变式4-1】（24-25高一上·河北保定·期末）为了喜迎2025年元旦，营造喜庆氛围，小朋友将两个完全相同的灯笼通过轻质光滑细线连在一起，并悬挂在水平钉子上，如图所示，钉子两边细线之间夹角为60°，两细线等长且在竖直平面内，灯笼质量0.2kg，g取，则下列说法正确的是（　　） A．两个灯笼之间的弹力大小为2N B．细线的拉力大小为 C．钉子所受细线的作用力方向向上，大小为4N D．如果细线变短一些，依然能够悬挂在钉子上，则拉力变小 【变式4-2】（24-25高一上·河北石家庄·期末）如图所示，截面为等腰三角形ABC、∠A=74°、质量不计的光滑物块甲置于开孔的竖直墙壁处。现将质量m=3kg的物块乙通过细线悬挂在O点，水平细线OA与物块甲连接于A点，细线OD与水平方向夹角为37°。已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g取10m/s2。求： (1)细线OA、OD的拉力大小； (2)物块甲的AB面对墙面的弹力大小。 题型5：整体法和隔离法解决共点力的平衡问题 【典例5】（25-26高一上·全国·期末）随着我国新农村建设不断深入，越来越多的农民住进了楼房，大家在喜迁新居的时候遇到了搬运大件家具的困难。如图所示，一农户正在用自己设计的方案搬运家具到二楼，他用一悬挂于房檐A点的小电机通过轻绳1拉动家具缓慢上升，为避免家具与墙壁碰撞，需要一人站在地面上用轻绳2向外侧拖拽，绳1与绳2始终在同一竖直面内。某时刻绳1与竖直方向夹角为，绳2与竖直方向夹角为，已知家具质量为50kg，人的质量为80kg（g取）求此时： (1)绳1与绳2的拉力大小； (2)该人受到地面的支持力和摩擦力大小。 【变式5-1】（24-25高一下·贵州遵义·期末）在科技节的物理展区，两盏特制小灯笼“甲”、“乙”用两根轻质尼龙绳“1”、“2”串联悬挂在固定竖直杆顶端。为模拟大气水平气流对物体的作用，实验员启动鼓风机，稳定的水平风力持续作用在灯笼表面。经过短暂晃动，两个灯笼保持静止，此时绳“1”与竖直方向的夹角为，绳“2”与竖直方向的夹角为，如图所示。已知两灯笼受到的水平风力大小相等，，则甲、乙两个小灯笼质量的比值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-2】（24-25高一下·河南许昌·期末）如图所示，绝缘斜面体ABC静置于水平桌面上，可视为点电荷的光滑带电小球P、Q分别静止在斜面AB和AC上，且两小球的连线水平。已知斜面AB与水平桌面的夹角，，小球P和斜面体ABC的质量均为m，两小球带的电荷量大小均为q，静电力常量为k，重力加速度大小为g。求： (1)小球P对斜面AB的压力大小。 (2)两小球间的距离d； (3)水平桌面对斜面体的支持力大小F。 题型6：正交分解法解决共点力的平衡问题 【典例6】（24-25高一上·贵州毕节·期末）如图所示，质量为的砝码悬挂在轻绳和的结点上并处于静止状态，与竖直方向的夹角为，沿水平方向，质量为的木块与相连，静止于倾角为的斜面上取，，。求： (1)绳对结点的拉力的大小； (2)木块对斜面的摩擦力和木块对斜面的弹力的大小及方向。 【变式6-1】（24-25高一下·河北保定·期末）如图所示，某人用轻绳牵住一只质量的氢气球，因受水平风力的作用，氢气球的轻绳与水平方向成角。已知空气对气球的浮力为，人的质量，且人受的浮力忽略。（，重力加速度g取）求： (1)水平风力的大小和绳子拉力T的大小； (2)人对地面的压力大小和摩擦力大小。 【变式6-2】（24-25高一下·浙江绍兴·期末）如图所示，质量的物体A用细绳绕过光滑的滑轮与质量为的物体B相连，连接A的细绳与水平方向的夹角为，此时系统处于静止状态。已知A与水平面的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，，。求： (1)绳子拉力T的大小； (2)A物体所受摩擦力的大小； (3)A物体所受桌面支持力的大小； (4)仅改变物体B的质量，欲使系统始终保持静止，物体B的质量不能超过多少？ 题型7：图解法解决共点力的平衡问题 【典例7】（多选）（24-25高一上·云南昆明·期末）如图所示，一端装有定滑轮的粗糙斜面体放在地面上，两物体用不可伸长的经绳跨过定滑轮连接，整个装置处于静止状态。现在用水平力作用于物体a上，将物体a缓慢拉开一个小角度，此过程中斜面体与物体b仍然保持静止。不计绳与定滑轮之间的摩擦。下列说法可能正确的是（　　） A．物体b受到的支持力逐渐增大 B．物体b受到的摩擦力逐渐增大 C．地面对斜面体的支持力逐渐变大 D．地面对斜面体的摩擦力逐渐变大 【变式7-1】（多选）（24-25高一下·陕西安康·期末）水平地面上固定着倾角为45°的足够长的斜面，一足够长的直挡板通过O处铰链与斜面相连接，将一个质量为4kg的铅球放在挡板与斜面之间，铅球处于静止状态，如图所示。挡板与斜面间的夹角为θ，挡板对铅球的弹力和斜面对铅球的弹力分别用F1和F2表示，不考虑铅球受到的摩擦力，重力加速度g=10m/s²，下列说法正确的是（　　） A．当θ=45°时， B．当θ=90°时，F1=20N C．θ由30°缓慢增大至135°的过程中，F1先减小后增大 D．θ由30°缓慢增大至135°的过程中，F2先增大后减小 【变式7-2】（多选）（24-25高一下·云南昭通·期末）如图所示，一定质量的物体通过轻绳悬挂，结点为O。人沿水平方向拉着OB绳，物体和人均处于静止状态。若人的拉力方向不变，缓慢向左移动一小段距离，下列说法正确的是（　　） A．OA绳中的拉力不变 B．OB绳中的拉力逐渐增大 C．地面给人的摩擦力逐渐增大 D．若OA绳、OB绳所能承受的最大拉力相同，则OB绳会先断 题型8：相似三角形法则解决共点力的平衡问题 【典例8】（24-25高一下·河南洛阳·期末）如图所示为某建筑工地的简易起吊装置的示意图，AC是质量不计的轻杆，A端与竖直墙用光滑铰链连接，一光滑小滑轮固定在A 点正上方，C端吊一重物P，BC绳绕过滑轮与C 端连接。现施加一拉力 F缓慢将重物P 向上拉，在AC杆从图中位置达到接近竖直位置的过程中，下列说法正确的是（　　） A．BC绳中的拉力越来越大 B．BC绳中的拉力先增大后减小 C．AC杆中的支撑力 FN越来越大 D．AC杆中的支撑力 FN大小不变 【变式8-1】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示，圆心为O、半径为的四分之一圆形光滑轨道竖直固定在水平地面上，在O点正上方有一光滑的小定滑轮C，小定滑轮到轨道最高点B的距离为1.5m，轻绳的一端系一质量为1kg的小球（小球和小定滑轮均可视为质点），靠放在光滑圆形轨道上的A点，A点到小定滑轮的距离为2m，另一端绕过小定滑轮后用力拉住。重力加速度大小为，则下列说法正确的是（　　） A．小球静止在A点时，圆形轨道对小球的支持力大小 B．缓慢地拉轻绳使小球由A运动到B，该过程中小球所受支持力大小不变 C．小球静止在A点时，绳对小球的拉力大小 D．缓慢地拉轻绳使小球由A运动到B，该过程中绳子拉力先变小后变大 【变式8-2】（24-25高一上·河南三门峡·期末）如图所示，一个小球套在竖直放置的半径为R的光滑圆环上，一根自然长度为R劲度系数为k的轻质弹簧一端与小球相连，另一端固定在圆环的最高点A处，小球在B点处于平衡状态时，弹簧与竖直方向的夹角。已知，，重力加速度为g，下列说法正确的是（    ） A．小球所受弹簧弹力大小为 B．圆环对小球的作用力大小为 C．小球的质量为 D．小球的质量为 题型9：正弦定理定理(或拉米定律)解决共点力的平衡问题 【典例9】（24-25高一上·江西上饶·期末）如图所示，一定质量的实心光滑大球，放置在固定斜面上，被一竖直挡板挡住。挡板可绕P点在竖直平面内转动，将另一光滑小球放置于大球与挡板之间，整体处于静止状态，现将竖直挡板沿顺时针方向缓慢放平（此过程中大球、小球与挡板始终紧密接触），关于该过程大球对小球的弹力，下列说法正确的是（　　） A．保持不变 B．一直变大 C．一直变小 D．先变小后变大 【变式9-1】（多选）（24-25高一上·山东·期中）如图所示为家庭常用的手拉车，手拉车的底板和支架相互垂直。初始时手拉车支架与水平地面垂直，运送货物时先将手拉车绕点逆时针缓慢转动，然后推动手拉车车沿水平地面运动。在手拉车绕点逆时针缓慢转动的过程中，支架对货物的弹力为，底板对货物的弹力为，不计货物与小推车间的摩擦，下列说法正确的是（　　） A．逐渐增大 B．先减小后增大 C．逐渐减小 D．先减小后增大 【变式9-2】（多选）一轻弹簧上端套在固定的光滑水平轴O上，下端拴接一小球P，小球P在水平轻绳PA的作用下静止在图示位置。现将轻绳的A端向右上方缓慢提升，使∠OPA保持不变，弹簧沿逆时针方向旋转一小角度，则在该过程中（　　） A．弹簧的长度增大 B．弹簧的长度减小 C．轻绳的拉力增大 D．轻绳的拉力减小 题型10：辅助圆法解决共点力的平衡问题 【典例10】（24-25高二下·吉林长春·期末）如图所示，一物块放置在粗糙水平面上，其上固定一“L”型轻杆，轻绳的一端固定在杆上，中间某点拴一小球，用手拉住绳的另一端。初始时，竖直且被拉直，与之间的夹角为（），现将小球向右上方缓慢拉起，并保持夹角不变，在由竖直被拉到水平的过程，物块始终保持静止，则（　　） A．上的弹力一直增大 B．上的弹力先减小后增大 C．水平面对物块的支持力一直减小 D．水平面对物块的摩擦力先增大后减小 【变式10-1】如图所示，半球形容器固定在地面上，容器内壁光滑，开始时，质量均分布均匀的光滑球A和光滑球B放在容器内处于平衡状态，位置关系如图中所示，已知容器、A、B半径之比为6：2：1。一水平恒力F作用在A球上，且力F的延长线过A球球心，缓慢推动A直到B的球心与容器的球心O等高，则下列判断正确的是（    ） A．B球受到A球的弹力先增大后减小 B．B球受到A球的弹力逐渐减小 C．容器对B球的支持力先增大后减小 D．容器对B球的支持力逐渐减小 【变式10-2】（多选）如图所示装置，两根细绳拴住一球，保持两细绳间的夹角θ=120°不变，若把整个装置在竖直平面内顺时针缓慢转过90°，则在转动过程中，CA绳的拉力FT1大小和CB绳的拉力FT2的大小变化情况是（　　） A．FT1一直增大 B．FT1先增大后减小 C．FT2一直减小 D．FT2最终变为零 题型11：轻绳中的临界问题 【典例11】（2025·河北·高考真题）如图，内壁截面为半圆形的光滑凹槽固定在水平面上，左右边沿等高。该截面内，一根不可伸长的细绳穿过带有光滑孔的小球，一端固定于凹槽左边沿，另一端过右边沿并沿绳方向对其施加拉力F。小球半径远小于凹槽半径，所受重力大小为G。若小球始终位于内壁最低点，则F的最大值为（　　） A． B． C．G D． 【变式11-1】（多选）如图所示，一个竖直放置的圆环上有三根轻绳联结于圆心O点处，AO、BO相互垂直，CO上挂着个重为的物体，若绳AO、BO在设计上能承受的最大拉力为1N，则为了测试绳子的质量是否达标，应将圆盘旋转多少以达到检验的目的（　　） A．5° B．10° C．15° D．20° 【变式11-2】（24-25高一上·安徽·期末）由半圆形和矩形组成的艺术门框如图所示，A、B为半圆形与矩形的衔接点。一根不可伸长的轻绳一端固定在A点，另一端可沿着门框在最高点P与右侧门框的中点Q之间缓慢移动。轻质滑轮连接一重物，滑轮与绳的接触点为O，AO与竖直方向的夹角为α，BO与竖直方向的夹角为β，不计滑轮与绳间的摩擦。若绳的另一端从B点开始移动，下列说法正确的是（　　）    A．若从B点沿着门框向上缓慢移动，α与β均减小，且α>β B．若从B点沿着门框向上缓慢移动，绳上的拉力先减小后增大 C．若从B点沿着门框向下缓慢移动，α与β均增大，且α=β D．若从B点沿着门框向下缓慢移动，绳中的拉力大小保持不变 题型12：“定杆”、“动杆”问题 【典例12】（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）图示为生活中两种悬挂物体方式的简化示意图，甲图中轻杆DB一端用铰链固定在竖直墙壁上，另一端B通过水平轻绳 AB固定在竖直墙壁上，∠DBA=30°，轻杆的B端用轻绳 BC拉住一个质量为M的物体；图乙中轻绳 EQ 跨过固定在竖直墙壁的轻杆HP右端的光滑定滑轮拉住一个质量也为M的物体，EP 水平，∠HPE=30°，重力加速度为g。求： (1)轻杆DB对B点的支持力大小； (2)轻绳AB段与轻绳EP段的拉力大小之比。 【变式12-1】（多选）（24-25高一上·广东阳江·期末）如图所示，轻杆AC和轻杆BC 的一端用光滑铰链连接在C点，另一端分别用光滑铰链固定在竖直墙壁上，将一质量为m 的物块通过细线连接在C点并保持静止状态。已知重力加速度大小为g，AB=BC=AC，下列说法正确的是（　　） A．轻杆AC上的弹力大小为mg B．轻杆 BC上的弹力大小为 C．若将轻杆AC换成相同长度的细线，物块仍能静止在原来位置 D．若将轻杆BC换成相同长度的细线，物块仍能静止在原来位置 【变式12-2】（多选）图甲中轻杆的A端固定在竖直墙壁上，另一端O光滑，一端固定在竖直墙壁B点的细线跨过O端系一质量为m的重物，水平；图乙中轻杆可绕点自由转动，另一端光滑；一端固定在竖直墙壁点的细线跨过端系一质量也为m的重物。已知图甲中，以下说法正确的是（    ） A．图甲轻杆中弹力大小为 B．图乙轻杆中弹力大小为 C．图甲中轻杆中弹力与细线中拉力的合力方向一定沿竖直方向 D．图乙中不可能等于 题型13：恰好发生滑动的临界问题 【典例13】（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）居民楼改造需要把建材吊运到楼顶。如图，建材的质量，人的质量，缓慢吊运过程中，某时刻轻绳OA、OB分别与竖直方向的夹角为、、。求该时刻： (1)轻绳OA和OB上的拉力大小； (2)人对地面的压力？ (3)为使人保持静止，人与地面间的动摩擦因数的最小值（设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等）。 【变式13-1】（24-25高一上·安徽芜湖·月考）如图所示，质量为m的物体甲通过3段轻绳悬挂，3段轻绳的结点为O，轻绳OB水平且B端与站在水平面上的质量为M的人相连，轻绳OA与竖直方向的夹角，物体甲及人均处于静止状态。求：（已知，，取。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力） (1)轻绳OA、OB受到的拉力是多大？ (2)人受到的摩擦力是多大？方向如何？ (3)若人的质量，人与水平面之间的动摩擦因数为，则欲使人在水平面上不滑动，物体甲的质量m最大不能超过多少？ 【变式13-2】（24-25高一上·甘肃·月考）如图所示，质量为、倾角为的斜面体A静置于水平地面上，物块C（质量未知且大小可调节）悬挂在轻绳OP、OQ的结点O处，OP水平，OQ与竖直方向的夹角为，且跨过轻质光滑定滑轮与斜面体上质量为的物块B相连（BQ段绳与斜面平行）。A与B之间、A与地面之间的动摩擦因数均为。现改变物块C的质量，使整个系统在图示位置能始终保持静止，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度。 (1)当A与B之间的摩擦力恰好为零时，求物块C的质量； (2)当C的质量时，求物块B受到摩擦力的大小和方向； (3)求物块C的质量大小应满足的条件。 题型14：平衡问题中的极值问题 【典例14】（24-25高一上·江苏盐城·期末）如图所示，放在粗糙固定斜面上的物块A和悬挂的物块B均处于静止状态，已知A、B质量分别为2kg和0.8kg，轻绳绕过光滑的定滑轮与水平轻绳OP右端及轻绳BO上端连接于O点，轻绳OC段与竖直方向的夹角，斜面倾角，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，求： (1)OP、OC绳的弹力大小； (2)物块A受到的摩擦力； (3)若A物体质量不变，物体A与斜面间动摩擦因数，为了使A和B始终在图示位置处于静止状态，B物体质量要满足什么条件？ 【变式14-1】（24-25高一上·四川南充·期末）如图所示，质量分别为的A、B两物块静止，轻绳OA沿竖直方向，轻绳OB平行于倾角为的斜面，伸长量为4cm的轻弹簧与水平方向成夹角，B物块在斜面上恰好不下滑，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取，，，求 (1)轻弹簧的劲度系数； (2)物块B受到的摩擦力： (3)物块B与斜面间的动摩擦因数。 【变式14-2】（24-25高一上·四川眉山·期末）质量为m=0.8kg的砝码悬挂在轻绳PA和PB的结点上并处于静止状态，PA与竖直方向的夹角为37°，PB沿水平方向。质量为M=2.2kg的木块与PB相连，M在平行于斜面向上的力F作用下，静止于倾角为37°的斜面上，物体与斜面的动摩擦因数μ=0.8，如图所示。（sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s2）求： (1)轻绳PA和轻绳PB各自产生拉力的大小； (2)拉力F应满足什么条件。 真题感知 1．（2025·福建·高考真题）“风动石”是福建省著名的自然景观，如图所示。无风时，“风动石”在重力和底部巨石作用力F1的作用下静止不动。若“风动石”受到一水平方向的风力作用时仍保持静止，此时底部巨石对其作用力为F2，则（　　） A．F1的大小比F2的小 B．F1的大小比F2的大 C．F1与F2大小相等 D．F1与F2方向相同 2．（2025·陕晋青宁卷·高考真题）如图，质量为m的均匀钢管，一端支在粗糙水平地面上，另一端被竖直绳悬挂，处于静止状态，钢管与水平地面之间的动摩擦因数为、夹角为，重力加速度大小为g。则地面对钢管左端的摩擦力大小为（　　） A． B． C． D．0 3．（2025·北京·高考真题）如图所示，长方体物块叠放在斜面上，B受到一个沿斜面方向的拉力F，两物块保持静止。B受力的个数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（2025·重庆·高考真题）现代生产生活中常用无人机运送物品，如图所示，无人机携带质量为m的匀质钢管在无风的空中悬停，轻绳M端和N端系住钢管，轻绳中点O通过缆绳与无人机连接。MO、NO与竖直方向的夹角均为60°，钢管水平。则MO的弹力大小为（　　）（重力加速度为g） A．2mg B．mg C． D． 5．（2025·海南·高考真题）如图所示，光滑圆弧竖直固定，用轻绳连接两个小球P、Q，两小球套在圆环上且均处于平衡状态，两小球与圆弧的圆心连线夹角分别为和，则两球质量之比为（    ） A． B． C． D． 提升专练 1．（25-26高一上·江苏苏州·期中）悬链线（Catenary）指的是一种曲线，指两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀、柔软（不能伸长）的链条在重力的作用下所具有的曲线形状，例如悬索桥等，如图（a）所示。现搭建如图（b）所示的一条悬链线，链的质量为m，经测量得两悬点A、B处切线与竖直方向夹角分别为30°和60°，两切线的交点为C，E是C点正上方链条上的点，F为悬链线的最低点，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．A、B两悬点处弹力大小相等 B．整个链条最低点F处弹力最大 C．可以求出链条AF和链条BF长度之比 D．该悬链线的重心不一定在直线CE上 2．（24-25高二下·河南安阳·期末）随着家居自动化不断发展，自动炒菜机也逐渐走进了大众的生活。图甲为某品牌的自动炒菜机，使用时，光滑的半球形铁锅静置在灶台上，菜品被倒入自动炒菜机后由于重力作用而集中在锅底，为保证菜品受热均匀，电动锅铲既可推动炒菜也可翻动炒菜。如图乙所示，推动炒菜时，锅铲推动菜品缓慢向右移动，在推动过程中锅铲始终保持竖直，使菜品到达点，菜品可视为质点，则推动炒菜时，下列说法中正确的是（　　） A．菜品对锅铲的压力不断增大 B．铁锅内壁对菜品的弹力不断减小 C．菜品对锅铲的压力先增大后减小 D．铁锅内壁对菜品的弹力先增大后减小 3．（24-25高二下·辽宁·期末）如图甲，警用钢叉是一种常见的防爆利器，前端为半圆形的叉头，后端为直握柄。如图乙，现将该钢叉竖直固定，一小球套在半圆叉头上，轻质弹簧一端连接小球，另一端固定在握柄的b点。已知小球质量，圆心O点和b点的距离为0.4m，弹簧原长，劲度系数，叉头半径，不计一切摩擦，小球恰能静止在a点，重力加速度g大小取。此时弹簧弹力F的大小及叉头对小球支持力的大小为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·山西大同·期末）石墩路障在生活中很常见，对于保障行车安全和管制交通秩序发挥重要作用。如图甲所示，工人用叉车将一球形石墩路障运送至目的地，拉动装置的结构简易图如图乙所示，，两叉车臂相互平行且间距等于石墩半径。在水平匀速拉动叉车的过程中，叉车臂与水平方向夹角维持为。不计球形石墩表面摩擦，则单个叉车臂受到石墩的压力大小为（石墩重力为）（　　） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·山东日照·期末）如图所示，在墙角有一均匀柔软细绳，一端悬于天花板上的点，另一端悬于竖直墙壁上的点，平衡后最低点为点，测得段长度是段长度的两倍。细绳在端附近的切线与竖直墙壁的夹角为，在端附近的切线与水平天花板的夹角为。若，则的值为（　　） A．2.0 B．3.6 C．4.0 D．5.4 6．（2025·湖南·三模）如图所示，一个重力为mg的小环套在竖直的半径为R的光滑大圆环上，一劲度系数为，自然长度为的轻质弹簧的一端固定在小环上，另一端固定在大圆环的最高点A，当小环静止时，弹簧与竖直方向之间的夹角为，已知，，则下列选项正确的是（　　） A． B．弹簧的长度为 C．小环受到大环的支持力为 D．弹簧弹力大小是 7．（24-25高二下·山东泰安·期末）如图所示，把倾角为的粗糙斜面体置于粗糙水平地面上，物块通过跨过光滑轻质定滑轮的轻绳与质量为的小球连接，点为轻绳与定滑轮的接触点，初始时，小球在水平向右的拉力作用下，使轻绳段与水平拉力的夹角为，、均保持静止状态。现改变拉力，并保持夹角大小不变，将小球向右上方缓慢拉起至水平，物块和斜面体始终保持静止状态。重力加速度为，下列关于该过程的说法正确的是（　　） A．拉力先变大后变小 B．拉力最大值为 C．地面对斜面体的支持力先变大后变小 D．斜面体所受地面摩擦力先变大后变小 8．（24-25高三上·湖北·期末）课堂上打瞌睡时头部下倾，其受力可以简化为如图的三力模型：头部重力 mg、颈椎对头部的支持力N、肩颈肌肉对头部的拉力F，设头部倾角（N与竖直方向的夹角）为，颈部肌肉拉力角（F与竖直方向夹角）为，其中，，，若是个定值。下列说法正确的是（  ） A． B． C．越大，则F越小 D．越大，则N越小 9．（多选）（24-25高二下·河北廊坊·期末）如图甲所示，轻绳AD一端固定在竖直墙上的A点，另一端跨过固定水平横梁BC右端的定滑轮系着一个质量为m1的物体，∠ACB=30°；图乙所示的轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，∠EGH=30°，轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为m2的物体，m2=2m1，则下列说法正确的是（　　） A．BC杆上的弹力大小与HG杆上的弹力大小比值为1:2 B．BC杆上的弹力大小与HG杆上的弹力大小比值为 C．细绳AC段的拉力FAC与细绳EG段的拉力FEG之比为1:4 D．细绳AC段的拉力FAC与细绳EG段的拉力FEG之比为1:2 10．（多选）（24-25高二下·山东滨州·期末）图甲为一直角斜槽，斜槽的棱与水平面的夹角为，两槽面关于竖直面对称。图乙是斜槽的截面图，一个质量的正方体物块恰能沿此斜槽匀速下滑。物块与两槽面的动摩擦因数相同，，，。下列说法正确的是（　　） A．每个槽面对物块的摩擦力大小为 B．每个槽面对物块的支持力大小为 C．物块与槽面之间的动摩擦因数为 D．若施加沿向上的拉力使物块沿斜槽匀速向上运动，则拉力大小为 11．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）在竖直墙壁的左侧水平地面上，放置一个边长为，质量为的正方体，在墙壁和正方体之间放置一半径为，质量为的光滑球，正方体和球均保持静止，如图所示。球的球心为、与竖直方向的夹角为，正方体的边长，正方体与水平地面的动摩擦因数为。（已知重力加速度，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，结果可保留根号） (1)若、，求立方体对球的弹力和竖直墙壁对球的弹力； (2)若，保持球的半径不变，只增大球的质量，为了不让正方体出现滑动，求球质量的最大值； (3)改变正方体到墙壁之间的距离，当正方体右侧面到墙壁之间距离小于某个值时，无论球质量为多大（保持球的半径不变），球和正方体始终处于静止状态，且球未落到地面，求值。 12．（24-25高一上·江西赣州·期末）如图所示，固定在水平地面上的斜面倾角为30°，物块A与斜面间的动摩擦因数为，轻绳一端通过两个滑轮与物块A相连，另一端固定于天花板上，不计轻绳与滑轮的摩擦及滑轮的质量。已知物块A的质量为m，连接物块A的轻绳与斜面平行，挂上物块B后，滑轮两边轻绳的夹角为90°，物块A、B可以保持静止，重力加速度为g，假定最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知，，，。 (1)若挂上物块B后，物块A恰好不受摩擦力作用，求物块A对轻绳的拉力大小； (2)若用另一质量的物块C（图中未画出）替换物块B后，滑轮两边轻绳的夹角仍为，物块A恰好不下滑，求斜面对物块A的摩擦力； (3)求出第（2）问情形下物块C的质量。 13．（24-25高一上·河南·月考）某同学找来一根轻质弹簧，通过一系列规范操作描绘出该弹簧的弹力大小与弹簧长度的关系如图甲所示．然后他将此弹簧连接在A、B两物块间，将A套在固定在平台的竖直杆上（杆足够长），将B叠放在物块C上，A、B等高，弹簧水平，此时A、B间距离（即弹簧长度）为，整个装置始终处于静止状态，如图乙所示．已知三个物块质量均为，物块均可视为质点、B与C间、C与地面间的动摩擦因数相等，最大静摩擦力等于滑动摩擦力、弹簧始终处在弹性限度内、重力加速度． (1)求弹簧的劲度系数k； (2)求C与地面间的摩擦力大小及动摩擦因数的大小满足的条件； (3)现将B、C均锁定在地面上，对A施加竖直向上的力F，使A沿杆缓慢上升，力F大小随A上升高度h的变化如图丙所示，已知物块A与杆间动摩擦因数，求： ①使A物块刚离开地面时的力F的大小； ②图丙中a、b的大小。（结果可保留根号） 14．（2024·江西抚州·模拟预测）如图所示，倾角为30°的斜面体固定在水平面上，一横截面半径为R的半圆柱体丙放在水平面上，可视为质点的光滑小球乙质量，用轻绳拴接置于半圆柱体上；物块甲用轻绳拴接放在斜面体上且轻绳与斜面平行，拴接小球乙与拴接物块甲的轻绳与竖直的轻绳系于O点，且O点位于半圆柱体圆心的正上方。已知O点到水平面的高度为2R，拴接小球乙的轻绳长度为，物块甲与斜面间的动摩擦因数，整个装置始终处于静止状态。取重力加速度，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求：（结果可用分式、根式表示） (1)拴接小球乙的轻绳拉力的大小； (2)半圆柱体丙受到水平地面摩擦力的大小； (3)物块甲质量的取值范围。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 受力分析与物体的平衡 内容导航 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 核心考点聚焦 1、力的合成与分解、正交分解法对物体进行受力分析 2、整体法和隔离法解决物体的受力问题 3、共点力的静态平衡和动态平衡问题 高考考点聚焦 常考考点 真题举例 利用力的平衡求力的大小和方向 2025·海南高考 正交分解法解决共点力的平衡问题 2025·重庆高考 分析物体的受力个数问题 2025·北京高考 动态平衡问题 2025·河北高考 考点1：受力分析 1．受力分析的步骤 (1)明确研究对象(如一个点、一个物体或一个系统)，并将其隔离，分析周围物体对它施加的力。 (2)按以下顺序分析受力 说明：分析弹力和摩擦力时，要对研究对象与周围的每处接触面都考虑。 2．受力分析的技巧 整体法与隔离法 若分析系统内部物体之间的作用力，只能将受力物体隔离出来分析；若不涉及系统内部物体间的相互作用力，只分析系统外部的物体对系统的作用力，整体法往往比隔离法更方便一些 转换研究对象法 有时要分析物体A对B的作用力，以B为研究对象较麻烦时，可先分析B对A的作用力，再依据牛顿第三定律得出A对B的作用力 假设法 分析弹力或摩擦力时可先假设该力存在或不存在，看物体的运动状态是否符合题意 动力学分析法 根据物体运动状态需要的受力条件分析未知力 注意：对研究对象所受力的大小、方向，哪些已知、哪些未知要明确。 考点2：整体法和隔离法 整体法 隔离法 概念 将相互关联的问题视为一个整体 将某个物体从整体中分割出来单独研究的方法 选用原则 研究外界物体与系统整体的相互作用力 研究系统内物体之间的相互作用 注意问题 不需要考虑系统内部物体间的相互作用 一般隔离受力较少的物体进行分析 考点3：静态平衡 1．物体处于平衡状态的运动学特点：静止或做匀速直线运动。 2．物体的平衡条件：物体所受力的合力为零（即加速度为0）。 3．处理静态平衡问题的基本思路 4．静态平衡问题的四种求解方法 合成法 物体在多个力的作用下平衡时，任意一个力与其他力的合力等大反向 效果分解法 物体受三个共点力的作用而平衡时，将某一个力按作用效果分解，则分力与其他两个力分别平衡 正交分解法 物体受到三个或三个以上力的作用时，将所有力分解为相互垂直的两组，每组力都满足平衡条件 矢量三角形法 对受三力作用而平衡的物体，将力的矢量图平移使三力组成一个首尾依次相接的矢量三角形，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解未知力 考点4：动态平衡 1.动态平衡的概念：物体在变力作用下处于平衡状态。 物体在缓慢移动过程中，可以认为物体时刻处于平衡状态，其所受合力为零。 2．三力作用下动态平衡的分析方法 题型1：物体受力个数的判断 【典例1】（23-24高一上·广东东莞·期末）如图所示，滑块A和B叠放在传送带上，B被细线连于墙上。如果传送带逆时针转动，滑块A和B都相对地面静止，则下列说法正确的是（　　） A．B共受到4个力的作用 B．A受到的静摩擦力方向水平向右 C．增大传送带的速度，细线的拉力变大 D．增大A的质量，B受到的摩擦力增大 【答案】D 【详解】AB．以A为对象，根据受力平衡可知，B对A的摩擦力为0，否则A不可能处于静止状态；以B为对象进行受力分析，可知B受到重力、A的压力、传送带的支持力和摩擦力、细线拉力，即B共受到5个力的作用，故AB错误； CD．对AB整体，由平衡条件可知 可知增大传送带的速度，细线的拉力不变；增大A的质量，B受到的摩擦力增大，故C错误，D正确。 故选D。 【变式1-1】（24-25高一上·四川凉山·期末）如图所示，物体A靠在竖直墙面上，在竖直向上的力F作用下，A、B共同向上匀速运动，下列关于A、B的受力个数正确的是（　　） A．3，4 B．5，4 C．4，4 D．3，5 【答案】A 【详解】将AB看作一个整体，由于水平方向无外力，所以墙对A无弹力，所以墙对A也没有摩擦力。 以A为研究对象，A受到重力，B对A的弹力，以及B对A的沿斜面向上的摩擦力作用，故A受3个力作用。 以B为研究对象，B受重力，外力F，A对B的弹力以及摩擦力作用，B受4个力。 故选A。 【变式1-2】（24-25高一上·江西萍乡·期末）如图，A、B两个物块叠加后静止在竖直的轻弹簧上，A与竖直墙面接触，弹簧在弹性限度内，下列说法正确的是（    ） A．物块A、B接触面可能光滑 B．物块A最多可能受5个力 C．物块A对物块B的作用力一定竖直向下 D．弹簧对物块B的作用力可能大于物块A、B的总重力 【答案】C 【详解】AB．对A、B整体研究可知，墙面对A不可能有弹力，因而也就没有摩擦力，因此物块A、B接触面一定是粗糙的，A一定受重力、B对A的支持力和摩擦力三个力，AB错误； C．B对A的作用力与A的重力等大反向，因此A对B的作用力一定竖直向下，C正确； D．由于竖直墙面对A没有作用力，因此弹簧对B的作用力大小等于A、B的总重力，D错误。 故选C。 题型2：等大力模型 【典例2】（多选）（23-24高一上·广东中山·期末）如图所示，重力为的休闲吊椅，质量分布均匀，用两竖直链条悬挂在天花板上，竖直链条的下部各自固定另一链条对称的连接到吊椅上，底部链条两侧夹角为，吊椅呈水平状态，不计链条重力，则（    ）    A．任一竖直链条中的拉力大小为 B．任一竖直链条中的拉力大小为 C．任一底部链条中的拉力大小为 D．任一底部链条中的拉力大小为 【答案】BD 【详解】AB．两竖直链条的拉力大小相等，方向竖直向上，根据平衡条件可得，任一竖直链条中的拉力大小为，故A错误，B正确； CD．底部链条两侧夹角为，则根据平衡条件有 解得，任一底部链条中的拉力大小为 故C错误，D正确。 故选BD。 【变式2-1】（23-24高三上·广东广州·开学考试）耙在中国已有1500年以上的历史，北魏贾思勰著《齐民要术》称之为“铁齿楱”，将使用此农具的作业称作耙。如图甲所示，牛通过两根耙索拉耙沿水平方向匀速耙地。两根耙索等长且对称，延长线的交点为，夹角，拉力大小均为F，平面与水平面的夹角为（为AB的中点），如图乙所示。忽略耙索质量，下列说法正确的是（　　） A．两根耙索的合力大小为F B．两根耙索的合力大小为 C．地对耙的水平阻力大小为 D．地对耙的水平阻力大小为 【答案】B 【详解】AB．两根耙索的合力大小为 故A错误，B正确； CD．由平衡条件，地对耙的水平阻力大小为 故CD错误。 故选B。 【变式2-2】（23-24高一上·宁夏银川·期末）两个大小相等的共点力、，当它们间的夹角为时合力大小为10N；则当它们间夹角为时，合力的大小为（　　） A．20N B． C． D． 【答案】D 【详解】两个大小相等的共点力、，当它们间的夹角为时合力大小为10N；由几何知识可知 当它们间夹角为时，合力的大小为 故选D。 题型3：力的分解过程中的多解和极值问题 【典例3】如图所示，力F作用于物体的O点，现要使作用在物体上的合力沿OO′方向，需再施加一个力F1，则 F1的最小值的大小是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】要使合力沿着OO′方向，根据平行四边形定则画图可以判断出当未知力垂直于OO′时，最小，如图 由几何关系，得到 故选B。 【变式3-1】如图所示，将一个的力分解为两个分力，如果已知其中一个不为零的分力的方向与F成30°角，则下列说法正确的是（    ） A．另一分力的方向可能与F平行 B．另一分力的大小可能小于10N C．的大小不可能小于5N D．另一分力的方向与的方向垂直时，最小 【答案】D 【详解】A. 合力和两个分力构成了力的矢量三角形，如图所示 不为零，由图可知的方向不可能与F平行，故A错误； BD. 当和垂直时，最小 故的大小不可能小于10N，故B错误，D正确； C. 先减小后增大，从零开始（不含零）一直增大，的大小可能小于5N，故C错误。 故选D。 【变式3-2】力，将其分解为两个分力，已知一个分力的方向与的方向之间的夹角为，则另一个分力的最小值为（    ）（） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，可得 故选A。 题型4：直接合成法解决三力平衡问题 【典例4】如图所示，放在粗糙水平面上的物块A和悬挂的物块B均处于静止状态，绳AC水平，劲度系数k＝300 N/m的轻弹簧中轴线CD与水平方向的夹角α＝37°，弹簧伸长量为x＝5cm。求：（sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8） (1)物块A受到的摩擦力大小； (2)物块B的重力大小。 【答案】(1)12N (2)9N 【详解】（1）结点C受力如图 由C点平衡条件可知 对A，由平衡态可知物块A受到的摩擦力大小 （2）由C点平衡条件可知 对B，由平衡态可知 【变式4-1】（24-25高一上·河北保定·期末）为了喜迎2025年元旦，营造喜庆氛围，小朋友将两个完全相同的灯笼通过轻质光滑细线连在一起，并悬挂在水平钉子上，如图所示，钉子两边细线之间夹角为60°，两细线等长且在竖直平面内，灯笼质量0.2kg，g取，则下列说法正确的是（　　） A．两个灯笼之间的弹力大小为2N B．细线的拉力大小为 C．钉子所受细线的作用力方向向上，大小为4N D．如果细线变短一些，依然能够悬挂在钉子上，则拉力变小 【答案】B 【详解】AB．对左面灯笼受力分析，如图所示 根据几何关系可知，由平衡条件， 解得， 故A错误；B正确； C．对钉子受力分析，如图所示 可得 即钉子所受细线的作用力方向向下，大小为4N，故C错误； D．如果细线变短一些，依然能够悬挂在钉子上，则细线之间的夹角变大，由AB选项分析可知拉力变大，故D错误。 故选B。 【变式4-2】（24-25高一上·河北石家庄·期末）如图所示，截面为等腰三角形ABC、∠A=74°、质量不计的光滑物块甲置于开孔的竖直墙壁处。现将质量m=3kg的物块乙通过细线悬挂在O点，水平细线OA与物块甲连接于A点，细线OD与水平方向夹角为37°。已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g取10m/s2。求： (1)细线OA、OD的拉力大小； (2)物块甲的AB面对墙面的弹力大小。 【答案】(1)40N，50N (2) 【详解】（1）对结点O及物块乙整体进行受力分析，如图所示 根据平衡条件可得， 解得， （2）对物块甲受力分析，如图所示，物块甲的AB面所受墙壁压力F与TOA之间的关系为 解得 F1与F之间是相互作用力等大反向，所以 题型5：整体法和隔离法解决共点力的平衡问题 【典例5】（25-26高一上·全国·期末）随着我国新农村建设不断深入，越来越多的农民住进了楼房，大家在喜迁新居的时候遇到了搬运大件家具的困难。如图所示，一农户正在用自己设计的方案搬运家具到二楼，他用一悬挂于房檐A点的小电机通过轻绳1拉动家具缓慢上升，为避免家具与墙壁碰撞，需要一人站在地面上用轻绳2向外侧拖拽，绳1与绳2始终在同一竖直面内。某时刻绳1与竖直方向夹角为，绳2与竖直方向夹角为，已知家具质量为50kg，人的质量为80kg（g取）求此时： (1)绳1与绳2的拉力大小； (2)该人受到地面的支持力和摩擦力大小。 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）对家具受力分析，如图甲所示，由平衡条件得 ， 解得， （2）对人受力分析，如图乙所示，由平衡条件得 ， 其中 解得， 【变式5-1】（24-25高一下·贵州遵义·期末）在科技节的物理展区，两盏特制小灯笼“甲”、“乙”用两根轻质尼龙绳“1”、“2”串联悬挂在固定竖直杆顶端。为模拟大气水平气流对物体的作用，实验员启动鼓风机，稳定的水平风力持续作用在灯笼表面。经过短暂晃动，两个灯笼保持静止，此时绳“1”与竖直方向的夹角为，绳“2”与竖直方向的夹角为，如图所示。已知两灯笼受到的水平风力大小相等，，则甲、乙两个小灯笼质量的比值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】设对甲乙的风力大小均为F，对甲乙，由平衡条件有 对乙，由平衡条件有 因为 联立解得 故选B。 【变式5-2】（24-25高一下·河南许昌·期末）如图所示，绝缘斜面体ABC静置于水平桌面上，可视为点电荷的光滑带电小球P、Q分别静止在斜面AB和AC上，且两小球的连线水平。已知斜面AB与水平桌面的夹角，，小球P和斜面体ABC的质量均为m，两小球带的电荷量大小均为q，静电力常量为k，重力加速度大小为g。求： (1)小球P对斜面AB的压力大小。 (2)两小球间的距离d； (3)水平桌面对斜面体的支持力大小F。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）对小球P受力分析，竖直方向上有 由牛顿第三定律有 解得 （2）对小球P受力分析，水平方向上有 由库仑定律有 解得 （3）设小球Q的质量为M，对小球Q受力分析，竖直方向上有 水平方向上有 解得，对小球P、Q和斜面体ABC构成的整体受力分析有 解得 题型6：正交分解法解决共点力的平衡问题 【典例6】（24-25高一上·贵州毕节·期末）如图所示，质量为的砝码悬挂在轻绳和的结点上并处于静止状态，与竖直方向的夹角为，沿水平方向，质量为的木块与相连，静止于倾角为的斜面上取，，。求： (1)绳对结点的拉力的大小； (2)木块对斜面的摩擦力和木块对斜面的弹力的大小及方向。 【答案】(1)6N (2)64.8N，方向沿斜面向下，76.4N，方向垂直斜面向下 【详解】（1）对点受力分析如图甲所示 根据平衡条件可得绳对结点的拉力的大小为 （2）对木块受力分析如图乙所示 由共点力的平衡条件得， 其中，联立解得， 由牛顿第三定律知，木块对斜面的摩擦力大小为，方向沿斜面向下；木块对斜面的弹力，方向垂直斜面向下。 【变式6-1】（24-25高一下·河北保定·期末）如图所示，某人用轻绳牵住一只质量的氢气球，因受水平风力的作用，氢气球的轻绳与水平方向成角。已知空气对气球的浮力为，人的质量，且人受的浮力忽略。（，重力加速度g取）求： (1)水平风力的大小和绳子拉力T的大小； (2)人对地面的压力大小和摩擦力大小。 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）对氢气球进行受力分析，由平衡条件，竖直方向有 水平方向有 联立解得， （2）对人进行受力分析，由平衡条件，竖直方向上有 水平方向上有 根据牛顿第三定律，人对地面的压力的大小为，对地面的摩擦力大小为。 【变式6-2】（24-25高一下·浙江绍兴·期末）如图所示，质量的物体A用细绳绕过光滑的滑轮与质量为的物体B相连，连接A的细绳与水平方向的夹角为，此时系统处于静止状态。已知A与水平面的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，，。求： (1)绳子拉力T的大小； (2)A物体所受摩擦力的大小； (3)A物体所受桌面支持力的大小； (4)仅改变物体B的质量，欲使系统始终保持静止，物体B的质量不能超过多少？ 【答案】(1)30N (2)18N (3)126N (4)7.5kg 【详解】（1）对物体B平衡可知 （2）对物体A水平方向有 （3）对物体A竖直方向有 解得 （4）当A物体所受摩擦力达到最大静摩擦时，物体B的质量最大，对物体B有 对物体A有， 且有 联立解得 题型7：图解法解决共点力的平衡问题 【典例7】（多选）（24-25高一上·云南昆明·期末）如图所示，一端装有定滑轮的粗糙斜面体放在地面上，两物体用不可伸长的经绳跨过定滑轮连接，整个装置处于静止状态。现在用水平力作用于物体a上，将物体a缓慢拉开一个小角度，此过程中斜面体与物体b仍然保持静止。不计绳与定滑轮之间的摩擦。下列说法可能正确的是（　　） A．物体b受到的支持力逐渐增大 B．物体b受到的摩擦力逐渐增大 C．地面对斜面体的支持力逐渐变大 D．地面对斜面体的摩擦力逐渐变大 【答案】BD 【详解】A．对物体a受力分析，如图 在缓慢拉开物体a的过程中，物体a所受合力为零，由图解法分析可知水平力F和均变大。设斜面体的倾角为，对物体b受力分析，由平衡条件可知物体b受到的支持力一定不变，故A不符合； B．由于不清楚与的关系，则物体b受到的摩擦力可能为零，可能沿斜面体向上，也可能沿斜面体向下，所以随着增大，物体b受到的摩擦力可能逐渐增大，也可能逐渐减小，故B符合题意； C．取三个物体整体分析，斜面体、物体a、物体b，竖直方向合力为零，所受地面的支持力等于三者重力之和，故地面对斜面体的支持力一定不变，故C不符合题意； D．取三个物体整体分析，水平方向合力为零，因水平拉力F增大，所以地面对斜面体的摩擦力逐渐变大，故D符合题意。 故选BD。 【变式7-1】（多选）（24-25高一下·陕西安康·期末）水平地面上固定着倾角为45°的足够长的斜面，一足够长的直挡板通过O处铰链与斜面相连接，将一个质量为4kg的铅球放在挡板与斜面之间，铅球处于静止状态，如图所示。挡板与斜面间的夹角为θ，挡板对铅球的弹力和斜面对铅球的弹力分别用F1和F2表示，不考虑铅球受到的摩擦力，重力加速度g=10m/s²，下列说法正确的是（　　） A．当θ=45°时， B．当θ=90°时，F1=20N C．θ由30°缓慢增大至135°的过程中，F1先减小后增大 D．θ由30°缓慢增大至135°的过程中，F2先增大后减小 【答案】AC 【详解】A．当θ=45°时，对铅球受力分析，如图 可知，故A正确； B．当时，，故B错误； CD．如图 θ由30°缓慢增大至135°的过程中，F1先减小后增大，F2一直减小，故C正确，D错误。 故选AC。 【变式7-2】（多选）（24-25高一下·云南昭通·期末）如图所示，一定质量的物体通过轻绳悬挂，结点为O。人沿水平方向拉着OB绳，物体和人均处于静止状态。若人的拉力方向不变，缓慢向左移动一小段距离，下列说法正确的是（　　） A．OA绳中的拉力不变 B．OB绳中的拉力逐渐增大 C．地面给人的摩擦力逐渐增大 D．若OA绳、OB绳所能承受的最大拉力相同，则OB绳会先断 【答案】BC 【详解】角形可知，当人的拉力方向不变，缓慢向左移动一小段距离，则OA与竖直方向夹角变大，OA的拉力由图中1位置变到2位置，可见OA绳拉力变大，OB绳拉力逐渐变大，故A错误，B正确。 C．OB拉力变大，根据平衡条件知地面给人的摩擦力逐渐增大，故C正确。 D．由矢量三角形可知，OA绳的拉力大于OB绳的拉力，则OA绳会先断，故D错误。 故选BC。 题型8：相似三角形法则解决共点力的平衡问题 【典例8】（24-25高一下·河南洛阳·期末）如图所示为某建筑工地的简易起吊装置的示意图，AC是质量不计的轻杆，A端与竖直墙用光滑铰链连接，一光滑小滑轮固定在A 点正上方，C端吊一重物P，BC绳绕过滑轮与C 端连接。现施加一拉力 F缓慢将重物P 向上拉，在AC杆从图中位置达到接近竖直位置的过程中，下列说法正确的是（　　） A．BC绳中的拉力越来越大 B．BC绳中的拉力先增大后减小 C．AC杆中的支撑力 FN越来越大 D．AC杆中的支撑力 FN大小不变 【答案】D 【详解】作出C点的受力示意图，如图所示 由图可知力的矢量三角形与几何三角形ABC相似，根据相似三角形的性质可得 解得BC绳子中的拉力为 AC杆的支持力为 由于重物P向上运动时，AB、AC不变，BC变小，故减小，大小不变。 故选D。 【变式8-1】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示，圆心为O、半径为的四分之一圆形光滑轨道竖直固定在水平地面上，在O点正上方有一光滑的小定滑轮C，小定滑轮到轨道最高点B的距离为1.5m，轻绳的一端系一质量为1kg的小球（小球和小定滑轮均可视为质点），靠放在光滑圆形轨道上的A点，A点到小定滑轮的距离为2m，另一端绕过小定滑轮后用力拉住。重力加速度大小为，则下列说法正确的是（　　） A．小球静止在A点时，圆形轨道对小球的支持力大小 B．缓慢地拉轻绳使小球由A运动到B，该过程中小球所受支持力大小不变 C．小球静止在A点时，绳对小球的拉力大小 D．缓慢地拉轻绳使小球由A运动到B，该过程中绳子拉力先变小后变大 【答案】B 【详解】AC．小球受力如图所示 由平衡条件可知，由图可知力的矢量三角形与几何三角形相似，则有 解得，故AC错误； BD．缓慢地拉轻绳使小球由A运动到B，根据， 其中均不变，逐渐减小，则由上式可知，不变，变小。 故B正确，D错误。 故选B。 【变式8-2】（24-25高一上·河南三门峡·期末）如图所示，一个小球套在竖直放置的半径为R的光滑圆环上，一根自然长度为R劲度系数为k的轻质弹簧一端与小球相连，另一端固定在圆环的最高点A处，小球在B点处于平衡状态时，弹簧与竖直方向的夹角。已知，，重力加速度为g，下列说法正确的是（    ） A．小球所受弹簧弹力大小为 B．圆环对小球的作用力大小为 C．小球的质量为 D．小球的质量为 【答案】C 【详解】A．由图可知，轻质弹簧的长度为 则小球所受弹簧弹力大小为 故A错误； BCD．以小球为研究对象，分析受力情况，设小球的质量为，圆环对小球的作用力大小为，如图所示 由图可知，力的三角形BCD和几何三角形AOB相似，根据三角形相似有， 解得， 故BD错误，C正确。 故选C。 题型9：正弦定理定理(或拉米定律)解决共点力的平衡问题 【典例9】（24-25高一上·江西上饶·期末）如图所示，一定质量的实心光滑大球，放置在固定斜面上，被一竖直挡板挡住。挡板可绕P点在竖直平面内转动，将另一光滑小球放置于大球与挡板之间，整体处于静止状态，现将竖直挡板沿顺时针方向缓慢放平（此过程中大球、小球与挡板始终紧密接触），关于该过程大球对小球的弹力，下列说法正确的是（　　） A．保持不变 B．一直变大 C．一直变小 D．先变小后变大 【答案】C 【详解】缓慢放平挡板的过程，对小球进行受力分析，大球对小球的弹力，小球的重力mg和挡板对小球的弹力，将三力平移到三角形中，如图所示 重力不变，大球对小球的弹力和挡板对小球的弹力夹角不变（挡板水平前），重力方向与大球对小球的弹力之间的夹角逐渐增大，挡板对小球的弹力与重力方向的夹角逐渐减小。由正弦定理可得 由于、不变，挡板对小球的弹力与重力方向的夹角逐渐减小，则大球对小球的弹力逐渐减小。 故选C。 【变式9-1】（多选）（24-25高一上·山东·期中）如图所示为家庭常用的手拉车，手拉车的底板和支架相互垂直。初始时手拉车支架与水平地面垂直，运送货物时先将手拉车绕点逆时针缓慢转动，然后推动手拉车车沿水平地面运动。在手拉车绕点逆时针缓慢转动的过程中，支架对货物的弹力为，底板对货物的弹力为，不计货物与小推车间的摩擦，下列说法正确的是（　　） A．逐渐增大 B．先减小后增大 C．逐渐减小 D．先减小后增大 【答案】AC 【详解】对货物受力分析如图 在手拉车绕O点逆时针缓慢转动的过程中，不变，从逐渐增大到，从逐渐减小到，根据正弦定理 可知逐渐增大，逐渐减小。 故选AC。 【变式9-2】（多选）一轻弹簧上端套在固定的光滑水平轴O上，下端拴接一小球P，小球P在水平轻绳PA的作用下静止在图示位置。现将轻绳的A端向右上方缓慢提升，使∠OPA保持不变，弹簧沿逆时针方向旋转一小角度，则在该过程中（　　） A．弹簧的长度增大 B．弹簧的长度减小 C．轻绳的拉力增大 D．轻绳的拉力减小 【答案】BC 【详解】 小球的受力情况如图所示，根据正弦定理有 解得 在轻绳的A端向右上方缓慢提升的过程中，∠OPA保持不变即θ保持不变，α增大，β从开始减小，则x减小，F增大。 故选BC。 题型10：辅助圆法解决共点力的平衡问题 【典例10】（24-25高二下·吉林长春·期末）如图所示，一物块放置在粗糙水平面上，其上固定一“L”型轻杆，轻绳的一端固定在杆上，中间某点拴一小球，用手拉住绳的另一端。初始时，竖直且被拉直，与之间的夹角为（），现将小球向右上方缓慢拉起，并保持夹角不变，在由竖直被拉到水平的过程，物块始终保持静止，则（　　） A．上的弹力一直增大 B．上的弹力先减小后增大 C．水平面对物块的支持力一直减小 D．水平面对物块的摩擦力先增大后减小 【答案】D 【详解】AB．以重物为研究对象分析受力情况，如图所示 在由竖直被拉到水平的过程，小球受重力、上的张力、上的张力，合力始终为0，与之间的夹角为且保持不变，三力的矢量三角形在同一外接圆上，由图可知，上的张力逐渐增大，上的张力先增大后减小，故AB错误； CD．把物块、“L”型轻杆、小球(含轻绳)作为一个整体，对整体受力分析，整体受到重力，地面支持力，水平向左的静摩擦力及绳的拉力，由前面选项分析知逐渐增大，由上图可看出其在竖直方向上的分力向下先增大后减小，再向上增大，所以水平面对物块的支持力先增大后减小，其在水平方向上的分量先增大后减小，则水平面对物块的摩擦力先增大后减小，故C错误，D正确。 故选D。 【变式10-1】如图所示，半球形容器固定在地面上，容器内壁光滑，开始时，质量均分布均匀的光滑球A和光滑球B放在容器内处于平衡状态，位置关系如图中所示，已知容器、A、B半径之比为6：2：1。一水平恒力F作用在A球上，且力F的延长线过A球球心，缓慢推动A直到B的球心与容器的球心O等高，则下列判断正确的是（    ） A．B球受到A球的弹力先增大后减小 B．B球受到A球的弹力逐渐减小 C．容器对B球的支持力先增大后减小 D．容器对B球的支持力逐渐减小 【答案】C 【详解】对B球受力分析如图1所示 缓慢推动A球直到B的球心与容器的圆心O等高的过程中，三角形OAB边长恒定，和的夹角不变，根据三力平衡作出矢量三角形如图2所示 从图2可以看出B球受到A球的弹力逐渐增大，容器对B球的支持力先增大后变小，故ABD错误，C正确。 故选C。 【变式10-2】（多选）如图所示装置，两根细绳拴住一球，保持两细绳间的夹角θ=120°不变，若把整个装置在竖直平面内顺时针缓慢转过90°，则在转动过程中，CA绳的拉力FT1大小和CB绳的拉力FT2的大小变化情况是（　　） A．FT1一直增大 B．FT1先增大后减小 C．FT2一直减小 D．FT2最终变为零 【答案】BCD 【详解】解法一：画小球的受力分析图，构建力的矢量三角形，由于这个三角形中重力不变，FT1、FT2的夹角（180°－θ）保持不变，这类似于圆周角对应弦长的关系，作初始三角形的外接圆，然后让FT1、FT2的交点在圆周上按题中转动规律转动，如下图，力的三角形的外接圆正好是以初态时的FT2为直径的圆周，可知在顺时针转动过程中，FT1先变大到最大为圆周直径，然后再变小，FT2一直变小，转到90°时，CA绳沿竖直方向，此时FT2为零，故选BCD。 解法二：如下图，构建初始力的三角形，在这个三角形中，小球重力不变，FT1、FT2的夹角（180°－θ）保持不变，设另外两个夹角分别为α、β 由正弦定理得 整个装置顺时针缓慢转动90°过程的中θ角和mg保持不变，α角从30°增大到120°，β角从90°减小到0，根据三角函数可知FT1先变大后变小，FT2一直变小，最后变为零，故选BCD。 题型11：轻绳中的临界问题 【典例11】（2025·河北·高考真题）如图，内壁截面为半圆形的光滑凹槽固定在水平面上，左右边沿等高。该截面内，一根不可伸长的细绳穿过带有光滑孔的小球，一端固定于凹槽左边沿，另一端过右边沿并沿绳方向对其施加拉力F。小球半径远小于凹槽半径，所受重力大小为G。若小球始终位于内壁最低点，则F的最大值为（　　） A． B． C．G D． 【答案】B 【详解】分析可知当凹槽底部对小球支持力为零时，此时拉力F最大，根据平衡条件有 ，解得 故选B。 【变式11-1】（多选）如图所示，一个竖直放置的圆环上有三根轻绳联结于圆心O点处，AO、BO相互垂直，CO上挂着个重为的物体，若绳AO、BO在设计上能承受的最大拉力为1N，则为了测试绳子的质量是否达标，应将圆盘旋转多少以达到检验的目的（　　） A．5° B．10° C．15° D．20° 【答案】BD 【详解】受力分析如图 物体重力，使得TA＝1N，根据平行四边形定则 解得 即顺时针转动； 同理若使，可得 即逆时针转动。 故选BD。 【变式11-2】（24-25高一上·安徽·期末）由半圆形和矩形组成的艺术门框如图所示，A、B为半圆形与矩形的衔接点。一根不可伸长的轻绳一端固定在A点，另一端可沿着门框在最高点P与右侧门框的中点Q之间缓慢移动。轻质滑轮连接一重物，滑轮与绳的接触点为O，AO与竖直方向的夹角为α，BO与竖直方向的夹角为β，不计滑轮与绳间的摩擦。若绳的另一端从B点开始移动，下列说法正确的是（　　）    A．若从B点沿着门框向上缓慢移动，α与β均减小，且α>β B．若从B点沿着门框向上缓慢移动，绳上的拉力先减小后增大 C．若从B点沿着门框向下缓慢移动，α与β均增大，且α=β D．若从B点沿着门框向下缓慢移动，绳中的拉力大小保持不变 【答案】D 【详解】A．由于滑轮与轻绳之间无摩擦，若从B点沿着门框向上缓慢移动，α与β均减小，且α=β，选项A错误； B．对滑轮受力分析，根据 2FTcosα=mg 可得绳上的拉力一直减小，选项B错误； CD．若从B点沿着门框向下缓慢移动，则滑轮两边细绳与竖直方向的夹角仍相等，即α=β由几何关系可知 （l为绳长，d为门框宽度），则α与β均不变，故绳上的拉力大小保持不变，选项C错误，D正确。 故选D。 题型12：“定杆”、“动杆”问题 【典例12】（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）图示为生活中两种悬挂物体方式的简化示意图，甲图中轻杆DB一端用铰链固定在竖直墙壁上，另一端B通过水平轻绳 AB固定在竖直墙壁上，∠DBA=30°，轻杆的B端用轻绳 BC拉住一个质量为M的物体；图乙中轻绳 EQ 跨过固定在竖直墙壁的轻杆HP右端的光滑定滑轮拉住一个质量也为M的物体，EP 水平，∠HPE=30°，重力加速度为g。求： (1)轻杆DB对B点的支持力大小； (2)轻绳AB段与轻绳EP段的拉力大小之比。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）对B点受力分析，如图所示 根据平衡条件可得 可得轻杆DB对B点的支持力大小 （2）由B点受力分析，可得 可得 图乙中EPQ为跨过光滑定滑轮的一根轻绳，故有 则有 【变式12-1】（多选）（24-25高一上·广东阳江·期末）如图所示，轻杆AC和轻杆BC 的一端用光滑铰链连接在C点，另一端分别用光滑铰链固定在竖直墙壁上，将一质量为m 的物块通过细线连接在C点并保持静止状态。已知重力加速度大小为g，AB=BC=AC，下列说法正确的是（　　） A．轻杆AC上的弹力大小为mg B．轻杆 BC上的弹力大小为 C．若将轻杆AC换成相同长度的细线，物块仍能静止在原来位置 D．若将轻杆BC换成相同长度的细线，物块仍能静止在原来位置 【答案】AC 【详解】AB．以C点为对象，进行受力分析，如图所示 由于为等边三角形，根据图中几何关系可得 故A正确，B错误； C．若将轻杆AC换成相同长度的细线，则细线AC的拉力仍沿AC向上，物块仍能静止在原来位置，故C正确； D．若将轻杆BC换成相同长度的细线，则细线BC的拉力应沿CB向下，物块不能静止在原来位置，故D错误。 故选AC。 【变式12-2】（多选）图甲中轻杆的A端固定在竖直墙壁上，另一端O光滑，一端固定在竖直墙壁B点的细线跨过O端系一质量为m的重物，水平；图乙中轻杆可绕点自由转动，另一端光滑；一端固定在竖直墙壁点的细线跨过端系一质量也为m的重物。已知图甲中，以下说法正确的是（    ） A．图甲轻杆中弹力大小为 B．图乙轻杆中弹力大小为 C．图甲中轻杆中弹力与细线中拉力的合力方向一定沿竖直方向 D．图乙中不可能等于 【答案】AC 【详解】A．由于图甲轻杆为“定杆”，其O端光滑，可以视为活结，两侧细线中拉力大小相等，都等于，由力的平衡条件可知，图甲轻杆中弹力为 故A正确； BD．图乙中轻杆可绕点自由转动，为“动杆”，另一端光滑，可以视为活结，两侧细线中拉力相等，“动杆”中弹力方向沿“动杆”方向，“动杆”中弹力大小等于两侧细线中拉力的合力大小，两细线夹角不确定，轻杆中弹力无法确定，可能等于，故BD错误； C．根据共点力平衡条件，图甲中轻杆弹力与细线OB中拉力的合力方向一定与竖直细绳的拉力方向相反，即竖直向上，故C正确。 故选AC。 题型13：恰好发生滑动的临界问题 【典例13】（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）居民楼改造需要把建材吊运到楼顶。如图，建材的质量，人的质量，缓慢吊运过程中，某时刻轻绳OA、OB分别与竖直方向的夹角为、、。求该时刻： (1)轻绳OA和OB上的拉力大小； (2)人对地面的压力？ (3)为使人保持静止，人与地面间的动摩擦因数的最小值（设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等）。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）设轻绳上的拉力分别为和，以O点为对象，根据平衡条件可得 联立解得 ， （2）对人进行受力分析，竖直方向有 解得地面对人的支持力大小为 根据牛顿第三定律可得，人对地面的压力大小为 （3）对人进行受力分析，水平方向有 又 联立解得 则人与地面间的动摩擦因数的最小值为。 【变式13-1】（24-25高一上·安徽芜湖·月考）如图所示，质量为m的物体甲通过3段轻绳悬挂，3段轻绳的结点为O，轻绳OB水平且B端与站在水平面上的质量为M的人相连，轻绳OA与竖直方向的夹角，物体甲及人均处于静止状态。求：（已知，，取。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力） (1)轻绳OA、OB受到的拉力是多大？ (2)人受到的摩擦力是多大？方向如何？ (3)若人的质量，人与水平面之间的动摩擦因数为，则欲使人在水平面上不滑动，物体甲的质量m最大不能超过多少？ 【答案】(1)1.25mg， (2)，方向水平向左 (3)21kg 【详解】（1）对结点O与物体进行受力分析，如图所示 受甲通过绳子对O的拉力mg，OB的拉力F和OA的拉力T，处于平衡状态，则有 ， 解得 ， （2）对人受力分析，在水平方向上受OB的拉力和地面对人的摩擦力f处于平衡状态，则有 根据牛顿第三定律有 结合上述解得 方向水平向左。 （3）人在竖直方向上受重力Mg和支持力N，若人的质量，人与水平面之间的动摩擦因数，则人受到的最大静摩擦力为 此时物体甲的质量达到最大，结合上述有 解得 【变式13-2】（24-25高一上·甘肃·月考）如图所示，质量为、倾角为的斜面体A静置于水平地面上，物块C（质量未知且大小可调节）悬挂在轻绳OP、OQ的结点O处，OP水平，OQ与竖直方向的夹角为，且跨过轻质光滑定滑轮与斜面体上质量为的物块B相连（BQ段绳与斜面平行）。A与B之间、A与地面之间的动摩擦因数均为。现改变物块C的质量，使整个系统在图示位置能始终保持静止，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度。 (1)当A与B之间的摩擦力恰好为零时，求物块C的质量； (2)当C的质量时，求物块B受到摩擦力的大小和方向； (3)求物块C的质量大小应满足的条件。 【答案】(1) (2)，方向沿斜面向上 (3) 【详解】（1）设B受摩擦力为零时绳OQ中拉力大小为T，对B沿斜面方向由平衡条件有 设物块C的质量为，对O点受力分析，由平衡条件有 解得 （2）设此时绳OQ中拉力大小为，则对O有 对B有，设受到的摩擦力为f，由平衡条件有，联立解得，方向沿斜面向上； （3）B在斜面上所受最大静摩擦力的大小为 当物块B沿斜面即将下滑时，此时物块C的质量为满足条件的最小值，设为，设此时OQ拉力为，对B有 对O有 联立解得 设C的最大质量为，当物块B沿斜面即将上滑时，设此时OQ拉力为，对B有 对O有 联立解得 将A、B、C视为整体，当A相对与地面刚要滑动时，设C的质量为，地面对A的最大静摩擦力为 要保持整个系统静止，则有 对O有 解得 综上可知，保持整个系统始终静止，物块C的质量大小应满足 题型14：平衡问题中的极值问题 【典例14】（24-25高一上·江苏盐城·期末）如图所示，放在粗糙固定斜面上的物块A和悬挂的物块B均处于静止状态，已知A、B质量分别为2kg和0.8kg，轻绳绕过光滑的定滑轮与水平轻绳OP右端及轻绳BO上端连接于O点，轻绳OC段与竖直方向的夹角，斜面倾角，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，求： (1)OP、OC绳的弹力大小； (2)物块A受到的摩擦力； (3)若A物体质量不变，物体A与斜面间动摩擦因数，为了使A和B始终在图示位置处于静止状态，B物体质量要满足什么条件？ 【答案】(1)； (2)6N；方向：沿斜面向下 (3) 【详解】（1）以结点O为研究对象，受力如图并正交分解 据平衡条件有， 解得， （2）由题意得，重力沿斜面向下分力小于OC拉力，所以摩擦力沿斜面向下，则对物块A受力分析如图所示并正交分解 据平衡条件有 解得 方向沿斜面向下。 （3）由题意得，A受到的最大静摩擦为 若B质量最小，A受到沿斜面向上的摩擦力，受力分析如图所示 由平衡条件可得， 解得 若B质量最大，A受到沿斜面向下的摩擦力，受力分析如图所示 由平衡条件可得 ， 解得 则有 【变式14-1】（24-25高一上·四川南充·期末）如图所示，质量分别为的A、B两物块静止，轻绳OA沿竖直方向，轻绳OB平行于倾角为的斜面，伸长量为4cm的轻弹簧与水平方向成夹角，B物块在斜面上恰好不下滑，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取，，，求 (1)轻弹簧的劲度系数； (2)物块B受到的摩擦力： (3)物块B与斜面间的动摩擦因数。 【答案】(1) (2)，方向沿斜面向上 (3) 【详解】（1）研究结点O，三力平衡的矢量三角形，如图所示 根据平衡条件，则有 解得 （2）对物块B受力分析，如图所示 根据平衡条件，则有 又 联立可得 方向沿斜面向上 （3）由于物块B恰好不下滑，所以受到摩擦力的是最大静摩擦力，故有 又 联立可得 【变式14-2】（24-25高一上·四川眉山·期末）质量为m=0.8kg的砝码悬挂在轻绳PA和PB的结点上并处于静止状态，PA与竖直方向的夹角为37°，PB沿水平方向。质量为M=2.2kg的木块与PB相连，M在平行于斜面向上的力F作用下，静止于倾角为37°的斜面上，物体与斜面的动摩擦因数μ=0.8，如图所示。（sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s2）求： (1)轻绳PA和轻绳PB各自产生拉力的大小； (2)拉力F应满足什么条件。 【答案】(1)10N，6N (2) 【详解】（1）对结点P进行受力分析，如图所示 由平衡条件可得 ， 解得 ， （2）对M受力分析，当F较小，受力分析如图所示 根据平衡条件可得 ， 又 ， 解得 当F较大时，受力分析，如图所示 根据平衡条件可得， 又， 解得 拉力F应满足的范围为 真题感知 1．（2025·福建·高考真题）“风动石”是福建省著名的自然景观，如图所示。无风时，“风动石”在重力和底部巨石作用力F1的作用下静止不动。若“风动石”受到一水平方向的风力作用时仍保持静止，此时底部巨石对其作用力为F2，则（　　） A．F1的大小比F2的小 B．F1的大小比F2的大 C．F1与F2大小相等 D．F1与F2方向相同 【答案】A 【详解】无风时，底面巨石对“风动石”的作用力方向竖直向上，与重力平衡，大小为 当受到一个水平风力时，底面巨石对“风动石”的作用力与竖直向下的重力及水平方向的风力F，三力平衡。根据平衡条件可知，底面巨石对“风动石”的作用力大小为，故F2大于F1。 故选A。 2．（2025·陕晋青宁卷·高考真题）如图，质量为m的均匀钢管，一端支在粗糙水平地面上，另一端被竖直绳悬挂，处于静止状态，钢管与水平地面之间的动摩擦因数为、夹角为，重力加速度大小为g。则地面对钢管左端的摩擦力大小为（　　） A． B． C． D．0 【答案】D 【详解】对钢管受力分析，如图所示 若钢管受到地面的摩擦力，则钢管水平方向受力不平衡，钢管不可能处于静止状态，故地面对钢管左端的摩擦力大小为零。ABC错误，D正确。 故选D。 3．（2025·北京·高考真题）如图所示，长方体物块叠放在斜面上，B受到一个沿斜面方向的拉力F，两物块保持静止。B受力的个数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】根据题意，对A受力分析可知，受重力、B的支持力，由于A静止，则A还受B沿斜面向上的静摩擦力，对B受力分析可知，受重力、斜面的支持力、A的压力、拉力、B还受A沿斜面向下的摩擦力，由于B静止，则受沿斜面向上的摩擦力，即B受6个力作用。 故选C。 4．（2025·重庆·高考真题）现代生产生活中常用无人机运送物品，如图所示，无人机携带质量为m的匀质钢管在无风的空中悬停，轻绳M端和N端系住钢管，轻绳中点O通过缆绳与无人机连接。MO、NO与竖直方向的夹角均为60°，钢管水平。则MO的弹力大小为（　　）（重力加速度为g） A．2mg B．mg C． D． 【答案】B 【详解】以钢管为研究对象，设轻绳的拉力为，根据对称性可知两边绳子拉力相等，根据平衡条件，可得 故选B。 5．（2025·海南·高考真题）如图所示，光滑圆弧竖直固定，用轻绳连接两个小球P、Q，两小球套在圆环上且均处于平衡状态，两小球与圆弧的圆心连线夹角分别为和，则两球质量之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】方法一：以小球P和Q为系统，根据力矩平衡有 可得 方法二：对P受力分析，受重力、圆弧轨道的支持力和轻绳的拉力，将重力和绳子拉力沿着垂直半径方向分解，根据平衡条件可得，可得 同理可得，则 故选B。 提升专练 1．（25-26高一上·江苏苏州·期中）悬链线（Catenary）指的是一种曲线，指两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀、柔软（不能伸长）的链条在重力的作用下所具有的曲线形状，例如悬索桥等，如图（a）所示。现搭建如图（b）所示的一条悬链线，链的质量为m，经测量得两悬点A、B处切线与竖直方向夹角分别为30°和60°，两切线的交点为C，E是C点正上方链条上的点，F为悬链线的最低点，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．A、B两悬点处弹力大小相等 B．整个链条最低点F处弹力最大 C．可以求出链条AF和链条BF长度之比 D．该悬链线的重心不一定在直线CE上 【答案】C 【详解】ABC．设最低点F处的张力为，A处的张力为，B处的张力为，链条AF质量为m1，链条BF质量为m2，由受力平衡得，， 可得， 可知链条AF和链条BF长度之比为，故AB错误，C正确； D．根据共点力平衡可知，整个链条的重力经过C点，所以该悬链线的重心一定在直线CE上，故D错误。 故选C。 2．（24-25高二下·河南安阳·期末）随着家居自动化不断发展，自动炒菜机也逐渐走进了大众的生活。图甲为某品牌的自动炒菜机，使用时，光滑的半球形铁锅静置在灶台上，菜品被倒入自动炒菜机后由于重力作用而集中在锅底，为保证菜品受热均匀，电动锅铲既可推动炒菜也可翻动炒菜。如图乙所示，推动炒菜时，锅铲推动菜品缓慢向右移动，在推动过程中锅铲始终保持竖直，使菜品到达点，菜品可视为质点，则推动炒菜时，下列说法中正确的是（　　） A．菜品对锅铲的压力不断增大 B．铁锅内壁对菜品的弹力不断减小 C．菜品对锅铲的压力先增大后减小 D．铁锅内壁对菜品的弹力先增大后减小 【答案】A 【详解】推动炒菜时，菜品沿铁锅内壁缓慢向上移动，设菜品所在位置与圆心的连线和竖直方向的夹角为，菜品受到竖直向下的重力，铁锅内壁给菜品的弹力以及锅铲的支持力，根据受力平衡可得 菜品沿铁锅内壁缓慢向上移动过程中逐渐增大，故增大，增大；由牛顿第三定律可知，菜品对锅铲的压力不断增大。 故选A。 3．（24-25高二下·辽宁·期末）如图甲，警用钢叉是一种常见的防爆利器，前端为半圆形的叉头，后端为直握柄。如图乙，现将该钢叉竖直固定，一小球套在半圆叉头上，轻质弹簧一端连接小球，另一端固定在握柄的b点。已知小球质量，圆心O点和b点的距离为0.4m，弹簧原长，劲度系数，叉头半径，不计一切摩擦，小球恰能静止在a点，重力加速度g大小取。此时弹簧弹力F的大小及叉头对小球支持力的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对小球受力分析，如图所示 由三角形相似可知 设此时弹簧长度为，根据胡克定律 整理可得 代入数据解得， 进而求得弹簧弹力 故选B。 4．（24-25高三下·山西大同·期末）石墩路障在生活中很常见，对于保障行车安全和管制交通秩序发挥重要作用。如图甲所示，工人用叉车将一球形石墩路障运送至目的地，拉动装置的结构简易图如图乙所示，，两叉车臂相互平行且间距等于石墩半径。在水平匀速拉动叉车的过程中，叉车臂与水平方向夹角维持为。不计球形石墩表面摩擦，则单个叉车臂受到石墩的压力大小为（石墩重力为）（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】从侧面观察运载中的石墩，其受力分析如图甲所示 由平衡条件有 从正面观察运载的石墩，黑色部分为两条叉车臂，石墩受力分析如图乙所示。 为单个叉车臂对石墩的支持力，则有 单个叉车臂受到石墩的压力为 由牛顿第三定律可知单个叉车臂受到石墩的压力为 故选C。 5．（24-25高二下·山东日照·期末）如图所示，在墙角有一均匀柔软细绳，一端悬于天花板上的点，另一端悬于竖直墙壁上的点，平衡后最低点为点，测得段长度是段长度的两倍。细绳在端附近的切线与竖直墙壁的夹角为，在端附近的切线与水平天花板的夹角为。若，则的值为（　　） A．2.0 B．3.6 C．4.0 D．5.4 【答案】C 【详解】设均匀柔软细绳的质量为，段长度是段长度的两倍，故段的质量为，段的质量为 对段进行受力分析，设处的张力为，处的张力为，根据平衡条件， 联立解得 对段进行受力分析，根据平衡条件解得 故选C。 6．（2025·湖南·三模）如图所示，一个重力为mg的小环套在竖直的半径为R的光滑大圆环上，一劲度系数为，自然长度为的轻质弹簧的一端固定在小环上，另一端固定在大圆环的最高点A，当小环静止时，弹簧与竖直方向之间的夹角为，已知，，则下列选项正确的是（　　） A． B．弹簧的长度为 C．小环受到大环的支持力为 D．弹簧弹力大小是 【答案】C 【详解】对小环受力分析，如图所示 由力矢量三角形与几何三角形相似相似可得 可得小环受到大环的支持力 设弹簧长度为，由胡克定律有 由几何关系有，联立方程解得， 弹簧弹力为 故选C。 7．（24-25高二下·山东泰安·期末）如图所示，把倾角为的粗糙斜面体置于粗糙水平地面上，物块通过跨过光滑轻质定滑轮的轻绳与质量为的小球连接，点为轻绳与定滑轮的接触点，初始时，小球在水平向右的拉力作用下，使轻绳段与水平拉力的夹角为，、均保持静止状态。现改变拉力，并保持夹角大小不变，将小球向右上方缓慢拉起至水平，物块和斜面体始终保持静止状态。重力加速度为，下列关于该过程的说法正确的是（　　） A．拉力先变大后变小 B．拉力最大值为 C．地面对斜面体的支持力先变大后变小 D．斜面体所受地面摩擦力先变大后变小 【答案】D 【详解】AB．对小球B受力分析，如图所示 已知保持夹角θ=120°大小不变，在平行四边形中，就是保持α=60°不变，在矢量三角形mg、F、T中，作一个外接圆，由于割线长度等于小球的重力大小，而小球的重力大小保持不变，故α是圆的圆周角始终保持60°不变，当拉力F由图位置缓慢拉起至OB水平过程中，拉力F的右端点沿着圆逐渐移动到D点，则拉力F一直增大，在BD位置时最大，最大值为。故AB错误； CD．对ABC整体受力分析可知，地面对C的摩擦力为 拉力F的水平分量先增加后减小，则物块C所受地面摩擦力先变大后变小。 地面对斜面体的支持力为 拉力F的竖直分量一直增加，因此地面对斜面体的支持力一直减小。 故C错误，D正确。 故选D。 8．（24-25高三上·湖北·期末）课堂上打瞌睡时头部下倾，其受力可以简化为如图的三力模型：头部重力 mg、颈椎对头部的支持力N、肩颈肌肉对头部的拉力F，设头部倾角（N与竖直方向的夹角）为，颈部肌肉拉力角（F与竖直方向夹角）为，其中，，，若是个定值。下列说法正确的是（  ） A． B． C．越大，则F越小 D．越大，则N越小 【答案】B 【详解】由题可知，F与N的合力与mg平衡，如图所示 根据正弦定理有 解得， 当越大，越小，越大，故N、F都越大。 故选B。 9．（多选）（24-25高二下·河北廊坊·期末）如图甲所示，轻绳AD一端固定在竖直墙上的A点，另一端跨过固定水平横梁BC右端的定滑轮系着一个质量为m1的物体，∠ACB=30°；图乙所示的轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，∠EGH=30°，轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为m2的物体，m2=2m1，则下列说法正确的是（　　） A．BC杆上的弹力大小与HG杆上的弹力大小比值为1:2 B．BC杆上的弹力大小与HG杆上的弹力大小比值为 C．细绳AC段的拉力FAC与细绳EG段的拉力FEG之比为1:4 D．细绳AC段的拉力FAC与细绳EG段的拉力FEG之比为1:2 【答案】BC 【详解】对图甲有 因AC与CD夹角为则 对图乙有， 所以， 故选BC。 10．（多选）（24-25高二下·山东滨州·期末）图甲为一直角斜槽，斜槽的棱与水平面的夹角为，两槽面关于竖直面对称。图乙是斜槽的截面图，一个质量的正方体物块恰能沿此斜槽匀速下滑。物块与两槽面的动摩擦因数相同，，，。下列说法正确的是（　　） A．每个槽面对物块的摩擦力大小为 B．每个槽面对物块的支持力大小为 C．物块与槽面之间的动摩擦因数为 D．若施加沿向上的拉力使物块沿斜槽匀速向上运动，则拉力大小为 【答案】ACD 【详解】ABC．对物块受力分析，如图所示 在垂直于斜槽的平面内，有 在物块下滑方向，有 其中 联立解得，，，AC正确，B错误； D．若施加沿向上的拉力使物块沿斜槽匀速向上运动，则拉力大小为，故D正确。 故选ACD。 11．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）在竖直墙壁的左侧水平地面上，放置一个边长为，质量为的正方体，在墙壁和正方体之间放置一半径为，质量为的光滑球，正方体和球均保持静止，如图所示。球的球心为、与竖直方向的夹角为，正方体的边长，正方体与水平地面的动摩擦因数为。（已知重力加速度，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，结果可保留根号） (1)若、，求立方体对球的弹力和竖直墙壁对球的弹力； (2)若，保持球的半径不变，只增大球的质量，为了不让正方体出现滑动，求球质量的最大值； (3)改变正方体到墙壁之间的距离，当正方体右侧面到墙壁之间距离小于某个值时，无论球质量为多大（保持球的半径不变），球和正方体始终处于静止状态，且球未落到地面，求值。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）对球受力情况如图所示 根据平衡条件知， 解得， （2）对整体受力分析 根据平衡条件知，， 三式联立（）① 解得 （3）设与竖直方向夹角为，根据①式知 无论m多大都能保持静止状态则 即 临界值 12．（24-25高一上·江西赣州·期末）如图所示，固定在水平地面上的斜面倾角为30°，物块A与斜面间的动摩擦因数为，轻绳一端通过两个滑轮与物块A相连，另一端固定于天花板上，不计轻绳与滑轮的摩擦及滑轮的质量。已知物块A的质量为m，连接物块A的轻绳与斜面平行，挂上物块B后，滑轮两边轻绳的夹角为90°，物块A、B可以保持静止，重力加速度为g，假定最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知，，，。 (1)若挂上物块B后，物块A恰好不受摩擦力作用，求物块A对轻绳的拉力大小； (2)若用另一质量的物块C（图中未画出）替换物块B后，滑轮两边轻绳的夹角仍为，物块A恰好不下滑，求斜面对物块A的摩擦力； (3)求出第（2）问情形下物块C的质量。 【答案】(1) (2)，平行斜面向上 (3) 【详解】（1）A恰好不受摩擦力作用，沿斜面方向由平衡条件有 解得 由牛顿第三定律可知，物块A对轻绳的拉力大小为 （2）物块A恰好不下滑，则物块A受到沿斜面向上的摩擦力大小为 又 联立解得 方向平行斜面向上。 （3）设轻绳对物块C的拉力为T，则由平衡条件有 对物块 A受力分析， A恰好不下滑，由平衡条件有 联立解得 13．（24-25高一上·河南·月考）某同学找来一根轻质弹簧，通过一系列规范操作描绘出该弹簧的弹力大小与弹簧长度的关系如图甲所示．然后他将此弹簧连接在A、B两物块间，将A套在固定在平台的竖直杆上（杆足够长），将B叠放在物块C上，A、B等高，弹簧水平，此时A、B间距离（即弹簧长度）为，整个装置始终处于静止状态，如图乙所示．已知三个物块质量均为，物块均可视为质点、B与C间、C与地面间的动摩擦因数相等，最大静摩擦力等于滑动摩擦力、弹簧始终处在弹性限度内、重力加速度． (1)求弹簧的劲度系数k； (2)求C与地面间的摩擦力大小及动摩擦因数的大小满足的条件； (3)现将B、C均锁定在地面上，对A施加竖直向上的力F，使A沿杆缓慢上升，力F大小随A上升高度h的变化如图丙所示，已知物块A与杆间动摩擦因数，求： ①使A物块刚离开地面时的力F的大小； ②图丙中a、b的大小。（结果可保留根号） 【答案】(1)300N/m (2)9N， (3)①14.5N，②7.5cm， 【详解】（1）由图甲可知，弹簧原长为，由胡克定律 代入图中数据（21cm，9N），解得 （2）对B、C整体由平衡条件可知地面对C的摩擦力大小为 要保持静止则有 由于B、C及C与地面间的动摩擦因数相等，对B分析可知此时B所受摩擦力大小也为9N，则保持静止则有 综上可解得C与地面间的动摩擦因数的大小应满足 （3） ①A刚离开地面时，由平衡条件得 联立解得 ②A缓慢上升，视为平衡状态，弹簧弹力先减小再增大，由于当 则根据平衡条件可知，高度小（高度为a时）的时候弹簧处于压缩状态，弹簧弹力为，设此时弹簧与竖直方向间的夹角为，A与杆间的弹力为N，由平衡条件有 解得 由几何关系得 解得 高度大（高度为b时）的时候弹簧处于原长状态，则有 14．（2024·江西抚州·模拟预测）如图所示，倾角为30°的斜面体固定在水平面上，一横截面半径为R的半圆柱体丙放在水平面上，可视为质点的光滑小球乙质量，用轻绳拴接置于半圆柱体上；物块甲用轻绳拴接放在斜面体上且轻绳与斜面平行，拴接小球乙与拴接物块甲的轻绳与竖直的轻绳系于O点，且O点位于半圆柱体圆心的正上方。已知O点到水平面的高度为2R，拴接小球乙的轻绳长度为，物块甲与斜面间的动摩擦因数，整个装置始终处于静止状态。取重力加速度，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求：（结果可用分式、根式表示） (1)拴接小球乙的轻绳拉力的大小； (2)半圆柱体丙受到水平地面摩擦力的大小； (3)物块甲质量的取值范围。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）对小球乙受力分析如图1所示，由相似三角形得 解得拴接小球乙的轻绳拉力大小为 （2）设拴接小球乙的轻绳与竖直方向的夹角为，由几何关系可知 所以拴接乙球的轻绳与半圆柱体相切，可得 解得 以小球乙和半圆柱体丙整体为研究对象，可知半圆柱体所受的摩擦力方向水平向左、大小等于拉力T沿水平向右方向的分力，即 解得 （3）以结点O为研究对象，对其受力分析如图2所示，由平衡关系得 代入数据解得 以甲为研究对象，设物块甲的质量为，当静摩擦力沿斜面向上达到最大值时有 与是一对相互作用力，由牛顿第三定律可知，解得 当静摩擦力沿斜面向下达到最大值时有 解得 物块甲质量的取值范围为 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $