第02讲 运动的合成与分解（寒假预习讲义）高一物理人教版

第02讲 运动的合成与分解 内容导航——预习三步曲 第一步 学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题·讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点·强知识：7大核心考点精准练 第二步 记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步 测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：平面运动的实例分析 【问题情景】下雨又刮风，雨滴倾斜下落，你能解释雨滴下落的原因吗？ 提示：雨滴同时参与了竖直向下和水平向右的运动。 1.实验：观察蜡块的运动 (1)实验器材：红蜡做的小圆柱体，一端封闭、长约 1m 的玻璃管和清水等。 (2)实验步骤：①在玻璃管AB内注满清水水中放一个红蜡做的小圆柱体R，将玻璃管AB的开口端用橡胶塞塞紧（图甲）。把玻璃管迅速倒置（图乙），蜡块R沿玻璃管上升，观察蜡块上升的速度。蜡的密度略小于水的密度，蜡块在上升的初期做加速运动，随后由于受力平衡而做匀速运动。 2.蜡块运动的描述 (1)建立坐标系：建立如图所示的平面直角坐标系，以蜡块开始匀速运动的位置为原点O，以水平向右的方向和竖直向上的方向分别为x轴和y轴的正方向，建立平面直角坐标系。 (2)蜡块的位置：设沿x方向的速度为vx，沿y方向的速度为vy在某时刻t，蜡块的位置P的坐标为 x=vxt，y=vyt。 (3)蜡块的位移：从计时开始到时刻 1，蜡块位移的大小为；位移的方向为 (4)蜡块的轨迹：据x、y的表达式消去变量t，得到，由于和都是常量，所以一也是常量，可见蜡块的运动轨迹是一条过原点的直线。 (5)蜡块的速度：由图上图可知，速度v与、的关系为，方向满足，速度v的大小和方向是不变的。 3.实验结论： 蜡块向右上方的运动，由沿玻璃管向上的匀速直线运动和水平向右的匀速直线运动共同构成。 思考： 用左手沿黑板推动直尺竖直向上运动，运动中保持直尺水平，同时，用右手沿直尺向右移动笔尖。若老师左手的运动为匀速运动，右手相对于直尺做初速度为0的匀加速直线运动，则笔尖的实际运动是什么运动? 【提示】：笔尖参与了两个方向的运动，竖直向上做匀速直线运动，水平向右做初速度为0的匀加速直线运动，合速度的大小、方向不断变化，合力向右，故其做匀变速曲线运动。 知识点2：运动的合成与分解 1．合运动与分运动 （1）如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，参与的几个运动就是分运动． （2）物体的实际运动一定是合运动，实际运动的位移、速度、加速度就是它的合位移、合速度、合加速度，而分运动的位移、速度、加速度是它的分位移、分速度、分加速度． 2. 运动的合成与分解 一个物体同时参与了不同的分运动，由分运动求合运动的过程，叫作运动的合成；由合运动求分运动的过程，叫作运动的分解。 描述运动的矢量有速度、加速度、位移等，矢量运算的法则是平行四边形定则，因此，运动的合成与分解遵循平行四边形定则。 （1）位移、速度加速度都是矢量，因此各矢量的合成与分解均遵循平行四边形定则。 （2）转化为代数法：各分运动都在同一直线上时，可以选取沿直线的某一方向作为正方向，与正方向相同的运动参量取正值，与正方向相反的运动参量取负值，把矢量运算转化为代数运算。 3. 运动的独立性 （1）合运动与分运动的关系：一个物体同时参与几种运动，各分运动都可看成是独立进行的，互不影响，物体的合运动则视为几个相互独立分运动叠加的结果。分运动和合运动具有独立性、等时性、同体性和等效性。 （2）如何理解运动的独立性?如跳伞表演时，人从某高度处下落，有水平风力影响时，人的落地速度变大（合速度变大），但竖直方向的分速度并没有改变。 （3）合运动与分运动的四个特性 等时性 合运动与分运动同时发生和结束，时间相同 同体性 各分这动与合运动是同一物体的运动 等效性 各分运动的共同作用效果与合运动的效果相同 独立性 各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响 知识点3：两个直线运动的合运动 1.两个直线运动的合成规律 分运动 条件 合运动 矢量图 两个直线运动 a=0 静止或匀速直线运动 一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动 a与v成θ角，θ≠0°且θ≠180°，θ是变化的 匀变速曲线运动 两个初速度为0的匀加速直线运动 v0=0 初速度为0的匀加速直线运动 两个初速度不为零的匀加速直线运动 a、v方向相同 匀变速直线运动 a、v方向不同 匀变速曲线运动 2.合运动的性质及轨迹的判断 知识点4：速度分解 1.速度分解方法 （1）分解速度v时，遵循平行四边形定则，但任意分解后能否解决问题才是关键。所以在解答实际问题时应按需要进行分解，常用的分解思路是按物体的实际运动效果分解，即分解实际速度，依据运动效果确定两个分速度的方向。 （2）正确的速度分解必须明确两个问题： ①确认合速度，合速度是物体的实际速度。 ②确定合速度的实际运动效果，从而确定分速度的方向 2.速度关联问题 （1）关联速度：不同运动物体间有绳、杆连接时，两个端点连接的物体的速度通常是不同的，但两端点的速度是有联系的，我们称为“关联速度”。 （2）思路与方法：解决“关联速度”问题的关键有两点： ①物体的实际速度是合速度； ②沿杆或绳方向的分速度大小相等。 （3）分析步骤： ①先确定合运动的方向（物体实际运动的方向），然后分析这个合运动所产生的实际效果（一是使绳或杆伸缩的效果，二是使绳或杆转动的效果）； ②确定两个分速度的方向（沿绳或杆方向的分速度和垂直于绳或杆方向的分速度）； ③按平行四边形定则将合速度分解，画出速度分解图 ④根据三角形的边角关系得未知速度的大小。 3.常见的速度关联模型 (1)问题特点： 没有弹性的绳或杆两端连接运动方向不同的两个物体。 (2)思路与方法 合速度:物体的实际运动速度 分速度:①沿绳(或杆)的速度；②垂直绳(或杆)的速度。 (3)解题原则 把物体的实际速度分解为垂直于绳(或杆)和平行于绳(或杆)的两个分量，根据沿绳(或杆)方向的分速度大小相等求解。 知识点5：小船渡河 小船相对于河岸的运动是小船的实际运动，也是合运动，可分解为小船相对静水的运动和随水下漂的运动两个分运动．此类问题常常讨论以下两个情况： 1.渡河时间最短 若要渡河时间最短，由于水流速度始终沿河道方向，不可能提供指向河对岸的分速度．因此只要使船头垂直于河岸航行即可．由图可知，此时t短＝，船渡河的位移s＝，位移方向满足tan θ＝. 2.渡河位移最短 求解渡河位移最短问题，分为两种情况： （1）若v水＜v船，最短的位移为河宽d，此时渡河所用时间t＝，船头与上游夹角θ满足v船cos θ＝v水，v合⊥v水，如图所示． （2）若v水>v船，这时无论船头指向什么方向，都无法使船垂直河岸渡河，即最短位移不可能等于河宽d，寻找最短位移的方法是： 如图所示，按水流速度和船静水速度大小的比例，先从出发点A开始作矢量v水，再以v水末端为圆心，v船为半径画圆弧，自出发点A向圆弧作切线为船位移最小时的合运动的方向．这时船头与河岸夹角θ满足cos θ＝，最短位移s短＝，即v船⊥v合时位移最短，过河时间t＝. 小船渡河模型中的物理量 (1)船的航行方向是船头指向，对应分运动；船的实际运动方向，对应合运动。 (2)渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关，与水流速度无关。 (3)渡河位移最小值与和来的大小有关。当>时，河宽为最小位移；当<时，应利用图解求极值的方法处理。 (4)小船渡河时间最短与位移最小是两种不同的运动情景，时间最短时，位移不是最小。 教材习题01 炮筒与水平方向成30°角（图），炮弹从炮口射出时的速度大小是800，这个速度在水平方向和竖直方向的分速度各是多大？ 解题方法 根据速度的合成与分解，可将炮弹从炮口射出时的速度可以分解为水平和竖直方向，则水平方向的分速度为 则竖直方向的分速度为 答案：， 教材习题02 在许多情况下，跳伞员跳伞后最初一段时间降落伞并不张开，跳伞员做加速运动。随后，降落伞张开，跳伞员做减速运动（图）。速度减小到一定值后便不再减小，跳伞员以这一速度做匀速运动，直至落地。无风时某跳伞员竖直下落，着地时速度是5。现在有风，运动员在竖直方向的运动情况与无风时相同，并且风使他以4的速度沿水平方向运动。跳伞员将以多大速度着地？画出速度合成的图示。 解题方法 【详解】根据题意跳伞员着地时的竖直速度为 水平方向的速度为 根据运动的合成与分解，跳伞员着地速度 速度与水平方向夹角的正切值为 速度合成图如图所示 【答案】，如图 教材习题03 汽艇以v1=18km/h的速度沿垂直于河岸的方向匀速向对岸行驶，河宽d=300m。 （1）设想河水不流动，汽艇驶到对岸要多长时间？ （2）如果河水流速为v2=3.6km/h，汽艇驶到对岸需要多长时间？汽艇在对岸何处靠岸？ 解题方法 【详解】（1）由题可知 因为汽艇沿垂直于河岸的方向匀速向对岸行驶，所以汽艇驶到对岸的时间为 （2）由于运动具有独立性，当河水速度不为零时，过河时间不变，仍为 又因为运动具有同时性，所以汽艇在对岸靠岸时，沿岸边的水平距离为 其中 所以 【答案】（1）；（2）， 考点1：互成角度的两个匀速直线运动的合成 【典例1】（多选）在“跑马射箭”问题中（忽略空气阻力），运动员骑马以速度v1匀速奔驰，射出的箭相对运动员的速度为v2，且方向垂直马的行进方向指向靶心。已知跑道离靶的垂直距离为d。则（　　） A．箭射中靶的时间为 B．箭的合速度大小为 C．为保证射中靶，运动员应在到达距靶垂直距离为d处之前放箭 D．箭的运动轨迹是直线 【变式1-1】（多选）（24-25高一下·河南许昌·阶段练习）岩棉是一种新型建筑材料，由岩浆喷吹成棉花一样的细纤维，故名岩棉，具有质轻、隔热、阻燃等优点。如图所示，某工厂生产时需要将流水线上的大块岩棉切割成长方形小块，为了提高效率，刀架倾斜着固定，与岩棉边缘的夹角为；切割时刀头沿着刀架所在的直线做匀速运动。已知岩棉的速度，求刀头的运动方向和速度大小（　　） A．刀头向右上方切割 B．刀头向左下方切割 C．速度大小 D．速度大小 【变式1-2】（23-24高一下·山东青岛·期中）如图所示，帆船船头指向正东以速度v（静水中速度）航行，海面正刮着南风，风速为，以海岸为参考系，不计阻力。关于帆船的实际航行速度大小，下列说法中正确的是（　　） A．速度大小为2v B．速度大小为 C．速度大小为3v D．速度大小为4v 考点2：一个匀速和一个变速运动的合成 【典例2】（24-25高一下·广东惠州·期末）跳伞被誉为“勇敢者的运动”，如图（a）所示，某次跳伞表演的某段时间内，跳伞运动员遇到水平恒定风力的作用，其水平方向的速度—时间图像和竖直方向的位移—时间图像如图（b）、（c）所示，下列说法正确的是（　　） A．运动员在这段时间内的加速度不变 B．运动员在这段时间内做直线运动 C．时，运动员速度大小为 D．内，运动员的位移大小为 【变式2-1】（多选）（24-25高一下·甘肃临夏·期末）如图甲所示，某起重机的悬臂保持不动，可沿悬臂行走的天车有两个功能，一是吊着货物沿竖直方向运动，二是吊着货物沿悬臂水平方向运动。现天车吊着质量为120kg的货物在x方向的位移一时间图像和y方向的速度一时间关系图像如图乙、丙所示，下列说法正确的是（　　） A．货物在x方向的分速度的大小为3m/s B．t＝2s时，货物的合速度的大小为7m/s C．前2s时间内，货物在y方向的分位移的大小为4m D．货物所受的合力大小为230N 【变式2-2】（24-25高一下·安徽阜阳·期中）一质量m=1 kg的物块（可视为质点）在xOy平面上做曲线运动，图甲为物块在x轴方向上的v-t图像，图乙为物块在y轴方向上的位移-时间图像，已知物块在第1 s内的位移大小为 m，求∶ (1)t=1 s时，物块的速度大小。 (2)物块在t=0时的速度大小。 考点3：两个变速直线运动的合成 【典例3】（24-25高一下·湖北·阶段练习）某快递公司用无人机配送快递，某次配送质量为2kg的快递，在无人机飞行过程中，内快递在水平方向的速度-时间图像如图甲所示，竖直方向初速度为零的加速度-时间图像如图乙所示，求： (1)快递在内的水平位移x及10s末快递的速度v； (2)末快递受到合力的大小 【变式3-1】（24-25高一下·湖南·阶段练习）跳伞是人们普遍喜欢的观赏性体育项目。一质量为的运动员从悬停在空中的直升飞机上由静止跳下，在下落过程中受到一水平方向吹来的大小为的恒定风力的作用。重力加速度，在此过程中除重力和风力以外不计其他力。求： (1)运动员由静止开始下落过程中所用的时间； (2)运动员由静止开始下落时的速度大小。 【变式3-2】如图所示，在竖直平面内的xOy坐标系中，Oy竖直向上，Ox水平。设平面内存在沿x轴正方向的恒定风力。一小球从坐标原点沿Oy方向竖直向上抛出，初速度为，不计空气阻力，到达最高点的位置如图中M点所示，（坐标格为正方形，g取10m/s2）求： （1）小球在M点的速度； （2）小球落回到x轴的位置为N点（图中未标出），则到达N点的速度的大小为多少？（可用根号表示） 考点4：绳关联问题 【典例4】（24-25高一下·海南海口·阶段练习）影视剧中，武打演员的轻功出神入化，实际上是通过吊威亚实现的，如图所示，牵引车通过细钢丝跨过定滑轮拉着特技演员上升，连接特技演员的细钢丝竖直，处于图示位置时，和牵引车相连的细钢丝与水平方向的夹角。若特技演员可视为质点，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．特技演员匀速上升时，牵引车匀速向左运动 B．牵引车匀速向左运动时，特技演员上升的速度越来越小 C．处于图示位置时，特技演员上升的速度是牵引车速度的倍 D．牵引车匀速向左运动时，特技演员处于失重状态 【变式4-1】（24-25高一下·云南·期中）如图所示，物体A用跨过定滑轮的轻绳与汽车连接，汽车以速度向右匀速运动，连接小车端的轻绳与水平方向的夹角为，在物体上升过程中，下列说法正确的是（　　） A．物体向上做减速运动 B．轻绳的拉力大于物体的重力 C．物体的速度大小为 D．物体处于失重状态 【变式4-2】（24-25高一下·河南南阳·阶段练习）如图所示，套在竖直细杆上的轻环A由跨过光滑轻质定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B相连，施加外力让A沿杆以速度v匀速上升，从图中M位置上升至与定滑轮的连线处于水平的N位置，已知AO与竖直杆成角，则下列说法正确的是（　　） A．刚开始时B的速度大小为 B．A匀速上升到N点之前过程中，重物B处于失重状态 C．重物B下降过程，绳对B的拉力大于B的重力 D．A运动到位置N时，B的速度最大 考点5：杆关联问题 【典例5】（多选）如图所示，一根长为L的轻杆，O端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，轻杆靠在一个高为h的物块上。若物块与地面摩擦不计，则当物块以速度v向右运动至杆与水平方向夹角为时，物块与轻杆的接触点为B，下列说法正确的是（　　） A．A、B的线速度相同 B．A、B的角速度相同 C．轻杆转动的角速度为 D．小球A的线速度大小为 【变式5-1】一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B（可视为质点），将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，如图所示，当轻杆到达位置2时球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向成=30°角，B球的速度大小为v2，则（　　） A．v2=v1 B．v2=2v1 C．v2=v1 D．v2=v1 【变式5-2】（多选）如图所示，当放在墙角的均匀直杆端在竖直墙上，端放在水平地面，当滑到图示位置时（已知），端速度为，下列说法正确的有（　　） A．端和端垂直杆方向的速度分量大小一定相等 B．端和端沿杆方向的速度分量大小一定相等 C．端速度大小为 D．端速度大小为 考点6：船速大于水速的过河问题 【典例6】已知某船在静水中的速率为＝4 m/s，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d＝100 m，河水的流动速度为＝3 m/s，方向与河岸平行。试分析： （1）欲使船以最短时间渡过河去，船头的指向怎样？ （2）最短时间是多少？船发生的位移是多大？ （3）欲使船渡河过程中的航行距离最短，船头的指向又应怎样？渡河所用时间是多少？ （4）如果船在静水中的速度小于水流速度，河宽为d，如何求最短渡河时间和最短航程？ 【变式6-1】某架飞机在进行航空测量时，需要严格按照从南到北的航线进行飞行。如果在无风时飞机相对地面的速度是414，飞行过程中航路上有速度为54的持续东风。 (1)飞机应该朝着哪个方向飞行？可以用三角函数表示偏角的大小。 (2)如果所测地区的南北长度为621，该测量需要多长时间？ 【变式6-2】一小船渡河，河宽d=180 m，水流速度v1=2.5 m/s。若船在静水中的速度为v2=5 m/s，求： （1）欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ （2）欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ 考点7：船速小于水速的过河问题 【典例7】（24-25高一下·江西·期中）江西省地处长江中下游，雨水充沛，河湖密布，水系发达。某小船要渡过一河流，河岸平行，河流的宽度，小船在静水中行驶的速度大小，水流的速度大小。 (1)若小船以最短的时间渡河，求小船渡河的时间以及小船渡河过程中沿河岸方向的位移大小； (2)若小船以最短的路程渡河，求小船渡河的时间以及该最短路程。 【变式7-1】如图所示，小船过河时，船头偏向上游与水流方向成角，船相对于静水的速度为，其航线恰好垂直于河岸。现水流速度稍有增大，为保持航线不变，且准时到达对岸，下列措施中可行的是（　　） A．减小角，增大船速 B．增大角，增大船速 C．减小角，保持船速不变 D．增大角，保持船速不变 【变式7-2】一条小河宽100m，水流速度为8m/s，一艘快艇在静水中的速度为6m/s，用该快艇将人员送往对岸．关于该快艇的说法中正确的是（　　） A．渡河的最短时间为10s B．渡河时间随河水流速加大而增长 C．以最短位移渡河，位移大小为100m D．以最短时间渡河，沿水流方向位移大小为 1．（24-25高一下·云南文山·期中）关于运动的合成和分解，下列说法正确的是（　　） A．合运动的速度一定大于分运动的速度 B．运动的合成和分解实质是对描述运动的物理量的合成与分解 C．合运动的时间等于各分运动的时间之和 D．分运动是变速直线运动，则合运动必是曲线运动 2．（24-25高一下·河南·期末）在研究运动的合成与分解时，蜡块在玻璃管内的液体中匀速上升，同时手持玻璃管沿水平方向做直线运动，得到如图所示的四个轨迹。下列对图1、2、3、4中轨迹的描述可能正确的是（　　） A．图1中玻璃管向右做匀加速直线运动 B．图2中玻璃管向右做匀速直线运动 C．图3中玻璃管向右做匀加速直线运动 D．图4中玻璃管先向右匀加速再向右匀减速 3．（23-24高一下·贵州黔西·期末）某跳伞运动员打开降落伞降落，在无风的时候落地速度为4m/s，现在有水平方向的风，风使他获得3m/s的水平速度，则下列说法正确的是（　　） A．运动员的落地速度为7m/s B．运动员的落地速度为12m/s C．有水平方向的风时落地时间将变长 D．有无水平方向的风落地时间均相同 4．质量为1kg的物体在水平面内做曲线运动，已知该物体在两个互相垂直方向上的分运动的速度-时间图像分别如图甲、乙所示，则下列说法正确的是（    ） A．2s末物体速度大小为7m/s B．物体所受的合外力大小为3N C．物体的初速度大小为5m/s D．物体初速度的方向与合外力方向垂直，做匀变速曲线运动 5．如图，小船沿直线AB过河，船头方向始终垂直于河岸。若水流速度增大，为保持航线不变，下列措施与结论正确的是（　　） A．增大船速，过河时间缩短 B．减小船速，过河时间缩短 C．增大船速，过河时间变长 D．减小船速，过河时间变长 6．（24-25高一下·河北沧州·阶段练习）如图所示，汽车向右沿水平面以速度做匀速直线运动，通过定滑轮连接的重物M随之向上运动，若不计绳子质量和绳子与滑轮间的摩擦，则下列说法正确的是 A．重物M向上做匀速直线运动 B．绳子对重物M的拉力小于重物M的重力 C．图示时刻，重物M的速度大小为 D．图示时刻，重M的速度大小为 7．（多选）如图所示，水平光滑长杆上套有一物块Q，跨过悬挂于O点的轻小光滑圆环的轻绳一端连接Q，另一端悬挂一物块P。设轻绳的左边部分与水平方向的夹角为θ，初始时θ很小。现将P、Q由静止同时释放，关于P、Q以后的运动下列说法正确的是（　　） A．当θ＝60°时，P、Q的速度之比是∶2 B．当θ＝90°时，Q的速度最大 C．当θ＝90°时，P的速度为零 D．当θ向90°增大的过程中Q的合力一直增大 8．（多选）小船要渡过200m宽的河面，水流速度是4m/s，船在静水中的航速是5m/s，则下列说法正确的是（　　） A．船头指向即船的实际航线，也就是合速度方向 B．由于水流速度小，小船过河的最短位移为200m C．小船过河所需的最短时间是50s D．如果水流速度增大为6m/s，小船过河所需的最短时间不变 9．（多选）（23-24高一上·辽宁辽阳·期末）如图所示，河的宽度为d，水速恒定，甲、乙两船以大小相同的速度（相对静水）同时开始渡河。出发时两船相距2d，甲、乙船头与河岸的夹角均为，且乙船恰好能直达正对岸的A点。下列说法正确的是（    ） A．甲船正好也在A点靠岸 B．甲船在A点的左侧靠岸 C．甲、乙两船可能在未到达对岸前相遇 D．甲、乙两船到达对岸的时间相等 10．（多选）（24-25高一下·云南文山·期中）航模比赛是广大青少年喜欢参与的一项活动。某航模比赛中，选手操控无人机在竖直平面内运动，以水平方向和竖直方向建立一个平面直角坐标xOy，无人机在xOy平面上运动，时，无人机位于坐标原点O，它在x轴方向和y轴方向的运动图像分别如图甲和乙所示。下面说法正确的是（　　） A．无人机的轨迹是直线 B．时，无人机的速度大小是5m/s C．时，无人机的位置坐标（12m，4m） D．内，无人机的位移是16m 11．（24-25高一下·安徽宿州·期中）两端封闭的玻璃管中注满清水，将管转至图示竖直位置，质量为0.2kg的物块在x方向的速度—时间图像和y方向的位移—时间图像如图所示。 (1)求t=0时，物块的初速度大小； (2)求物块所受的合外力大小； (3)求0~2s内物块的位移大小。 12．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）2024年9月27日“运河争辉”乌篷船马拉松邀请赛在浙江绍兴浙东运河越城区段举行，水乡绍兴以这种特殊的活动方式庆祝中华人民共和国成立75周年，同时也纪念中国大运河申遗成功10周年。已知小船在静水中的速度为，现让船渡过某条河，若此河的两岸是理想的平行线，河宽为，水流速度为，方向与河岸平行，求： (1)欲使小船以最短时间渡河，最短时间是多少？小船的位移多大？ (2)欲使小船以最短位移渡河，渡河所用时间是多少？ (3)若河水因涨水导致水流速度变为，小船在静水中的速度为不变，此种情况下渡河最短位移及渡河时间分别为多少？ 13．（23-24高一下·陕西商洛·期中）如图甲所示，近年来无人机已越来越频繁应用在物流配送场景，包括应急救援、冷链、物资运送。某次配送物资无人机在飞行过程中，水平方向速度及竖直方向与飞行时间t的关系图像如图乙、图丙所示。求： （1）2s末无人机的速度大小； （2）无人机运动到距地面最高点时竖直方向的高度； （3）无人机从地面出发后前两秒内的轨迹方程。 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 运动的合成与分解 内容导航——预习三步曲 第一步 学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题·讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点·强知识：7大核心考点精准练 第二步 记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步 测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：平面运动的实例分析 【问题情景】下雨又刮风，雨滴倾斜下落，你能解释雨滴下落的原因吗？ 提示：雨滴同时参与了竖直向下和水平向右的运动。 1.实验：观察蜡块的运动 (1)实验器材：红蜡做的小圆柱体，一端封闭、长约 1m 的玻璃管和清水等。 (2)实验步骤：①在玻璃管AB内注满清水水中放一个红蜡做的小圆柱体R，将玻璃管AB的开口端用橡胶塞塞紧（图甲）。把玻璃管迅速倒置（图乙），蜡块R沿玻璃管上升，观察蜡块上升的速度。蜡的密度略小于水的密度，蜡块在上升的初期做加速运动，随后由于受力平衡而做匀速运动。 2.蜡块运动的描述 (1)建立坐标系：建立如图所示的平面直角坐标系，以蜡块开始匀速运动的位置为原点O，以水平向右的方向和竖直向上的方向分别为x轴和y轴的正方向，建立平面直角坐标系。 (2)蜡块的位置：设沿x方向的速度为vx，沿y方向的速度为vy在某时刻t，蜡块的位置P的坐标为 x=vxt，y=vyt。 (3)蜡块的位移：从计时开始到时刻 1，蜡块位移的大小为；位移的方向为 (4)蜡块的轨迹：据x、y的表达式消去变量t，得到，由于和都是常量，所以一也是常量，可见蜡块的运动轨迹是一条过原点的直线。 (5)蜡块的速度：由图上图可知，速度v与、的关系为，方向满足，速度v的大小和方向是不变的。 3.实验结论： 蜡块向右上方的运动，由沿玻璃管向上的匀速直线运动和水平向右的匀速直线运动共同构成。 思考： 用左手沿黑板推动直尺竖直向上运动，运动中保持直尺水平，同时，用右手沿直尺向右移动笔尖。若老师左手的运动为匀速运动，右手相对于直尺做初速度为0的匀加速直线运动，则笔尖的实际运动是什么运动? 【提示】：笔尖参与了两个方向的运动，竖直向上做匀速直线运动，水平向右做初速度为0的匀加速直线运动，合速度的大小、方向不断变化，合力向右，故其做匀变速曲线运动。 知识点2：运动的合成与分解 1．合运动与分运动 （1）如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，参与的几个运动就是分运动． （2）物体的实际运动一定是合运动，实际运动的位移、速度、加速度就是它的合位移、合速度、合加速度，而分运动的位移、速度、加速度是它的分位移、分速度、分加速度． 2. 运动的合成与分解 一个物体同时参与了不同的分运动，由分运动求合运动的过程，叫作运动的合成；由合运动求分运动的过程，叫作运动的分解。 描述运动的矢量有速度、加速度、位移等，矢量运算的法则是平行四边形定则，因此，运动的合成与分解遵循平行四边形定则。 （1）位移、速度加速度都是矢量，因此各矢量的合成与分解均遵循平行四边形定则。 （2）转化为代数法：各分运动都在同一直线上时，可以选取沿直线的某一方向作为正方向，与正方向相同的运动参量取正值，与正方向相反的运动参量取负值，把矢量运算转化为代数运算。 3. 运动的独立性 （1）合运动与分运动的关系：一个物体同时参与几种运动，各分运动都可看成是独立进行的，互不影响，物体的合运动则视为几个相互独立分运动叠加的结果。分运动和合运动具有独立性、等时性、同体性和等效性。 （2）如何理解运动的独立性?如跳伞表演时，人从某高度处下落，有水平风力影响时，人的落地速度变大（合速度变大），但竖直方向的分速度并没有改变。 （3）合运动与分运动的四个特性 等时性 合运动与分运动同时发生和结束，时间相同 同体性 各分这动与合运动是同一物体的运动 等效性 各分运动的共同作用效果与合运动的效果相同 独立性 各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响 知识点3：两个直线运动的合运动 1.两个直线运动的合成规律 分运动 条件 合运动 矢量图 两个直线运动 a=0 静止或匀速直线运动 一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动 a与v成θ角，θ≠0°且θ≠180°，θ是变化的 匀变速曲线运动 两个初速度为0的匀加速直线运动 v0=0 初速度为0的匀加速直线运动 两个初速度不为零的匀加速直线运动 a、v方向相同 匀变速直线运动 a、v方向不同 匀变速曲线运动 2.合运动的性质及轨迹的判断 知识点4：速度分解 1.速度分解方法 （1）分解速度v时，遵循平行四边形定则，但任意分解后能否解决问题才是关键。所以在解答实际问题时应按需要进行分解，常用的分解思路是按物体的实际运动效果分解，即分解实际速度，依据运动效果确定两个分速度的方向。 （2）正确的速度分解必须明确两个问题： ①确认合速度，合速度是物体的实际速度。 ②确定合速度的实际运动效果，从而确定分速度的方向 2.速度关联问题 （1）关联速度：不同运动物体间有绳、杆连接时，两个端点连接的物体的速度通常是不同的，但两端点的速度是有联系的，我们称为“关联速度”。 （2）思路与方法：解决“关联速度”问题的关键有两点： ①物体的实际速度是合速度； ②沿杆或绳方向的分速度大小相等。 （3）分析步骤： ①先确定合运动的方向（物体实际运动的方向），然后分析这个合运动所产生的实际效果（一是使绳或杆伸缩的效果，二是使绳或杆转动的效果）； ②确定两个分速度的方向（沿绳或杆方向的分速度和垂直于绳或杆方向的分速度）； ③按平行四边形定则将合速度分解，画出速度分解图 ④根据三角形的边角关系得未知速度的大小。 3.常见的速度关联模型 (1)问题特点： 没有弹性的绳或杆两端连接运动方向不同的两个物体。 (2)思路与方法 合速度:物体的实际运动速度 分速度:①沿绳(或杆)的速度；②垂直绳(或杆)的速度。 (3)解题原则 把物体的实际速度分解为垂直于绳(或杆)和平行于绳(或杆)的两个分量，根据沿绳(或杆)方向的分速度大小相等求解。 知识点5：小船渡河 小船相对于河岸的运动是小船的实际运动，也是合运动，可分解为小船相对静水的运动和随水下漂的运动两个分运动．此类问题常常讨论以下两个情况： 1.渡河时间最短 若要渡河时间最短，由于水流速度始终沿河道方向，不可能提供指向河对岸的分速度．因此只要使船头垂直于河岸航行即可．由图可知，此时t短＝，船渡河的位移s＝，位移方向满足tan θ＝. 2.渡河位移最短 求解渡河位移最短问题，分为两种情况： （1）若v水＜v船，最短的位移为河宽d，此时渡河所用时间t＝，船头与上游夹角θ满足v船cos θ＝v水，v合⊥v水，如图所示． （2）若v水>v船，这时无论船头指向什么方向，都无法使船垂直河岸渡河，即最短位移不可能等于河宽d，寻找最短位移的方法是： 如图所示，按水流速度和船静水速度大小的比例，先从出发点A开始作矢量v水，再以v水末端为圆心，v船为半径画圆弧，自出发点A向圆弧作切线为船位移最小时的合运动的方向．这时船头与河岸夹角θ满足cos θ＝，最短位移s短＝，即v船⊥v合时位移最短，过河时间t＝. 小船渡河模型中的物理量 (1)船的航行方向是船头指向，对应分运动；船的实际运动方向，对应合运动。 (2)渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关，与水流速度无关。 (3)渡河位移最小值与和来的大小有关。当>时，河宽为最小位移；当<时，应利用图解求极值的方法处理。 (4)小船渡河时间最短与位移最小是两种不同的运动情景，时间最短时，位移不是最小。 教材习题01 炮筒与水平方向成30°角（图），炮弹从炮口射出时的速度大小是800，这个速度在水平方向和竖直方向的分速度各是多大？ 解题方法 根据速度的合成与分解，可将炮弹从炮口射出时的速度可以分解为水平和竖直方向，则水平方向的分速度为 则竖直方向的分速度为 答案：， 教材习题02 在许多情况下，跳伞员跳伞后最初一段时间降落伞并不张开，跳伞员做加速运动。随后，降落伞张开，跳伞员做减速运动（图）。速度减小到一定值后便不再减小，跳伞员以这一速度做匀速运动，直至落地。无风时某跳伞员竖直下落，着地时速度是5。现在有风，运动员在竖直方向的运动情况与无风时相同，并且风使他以4的速度沿水平方向运动。跳伞员将以多大速度着地？画出速度合成的图示。 解题方法 【详解】根据题意跳伞员着地时的竖直速度为 水平方向的速度为 根据运动的合成与分解，跳伞员着地速度 速度与水平方向夹角的正切值为 速度合成图如图所示 【答案】，如图 教材习题03 汽艇以v1=18km/h的速度沿垂直于河岸的方向匀速向对岸行驶，河宽d=300m。 （1）设想河水不流动，汽艇驶到对岸要多长时间？ （2）如果河水流速为v2=3.6km/h，汽艇驶到对岸需要多长时间？汽艇在对岸何处靠岸？ 解题方法 【详解】（1）由题可知 因为汽艇沿垂直于河岸的方向匀速向对岸行驶，所以汽艇驶到对岸的时间为 （2）由于运动具有独立性，当河水速度不为零时，过河时间不变，仍为 又因为运动具有同时性，所以汽艇在对岸靠岸时，沿岸边的水平距离为 其中 所以 【答案】（1）；（2）， 考点1：互成角度的两个匀速直线运动的合成 【典例1】（多选）在“跑马射箭”问题中（忽略空气阻力），运动员骑马以速度v1匀速奔驰，射出的箭相对运动员的速度为v2，且方向垂直马的行进方向指向靶心。已知跑道离靶的垂直距离为d。则（　　） A．箭射中靶的时间为 B．箭的合速度大小为 C．为保证射中靶，运动员应在到达距靶垂直距离为d处之前放箭 D．箭的运动轨迹是直线 【答案】ACD 【详解】A．箭在垂直方向的速度为，位移为，时间，故A正确； B．箭的合速度为，而非，故B错误； C．箭飞行时间 此时马前进 运动员需在距靶方向处放箭，即在到达垂直距离处之前放箭，故C正确； D．因垂直于靶和平行于靶方向的运动都是匀速运动，可知合运动为直线运动，轨迹为直线，故D正确。 故选ACD。 【变式1-1】（多选）（24-25高一下·河南许昌·阶段练习）岩棉是一种新型建筑材料，由岩浆喷吹成棉花一样的细纤维，故名岩棉，具有质轻、隔热、阻燃等优点。如图所示，某工厂生产时需要将流水线上的大块岩棉切割成长方形小块，为了提高效率，刀架倾斜着固定，与岩棉边缘的夹角为；切割时刀头沿着刀架所在的直线做匀速运动。已知岩棉的速度，求刀头的运动方向和速度大小（　　） A．刀头向右上方切割 B．刀头向左下方切割 C．速度大小 D．速度大小 【答案】AC 【详解】为了将岩棉切割成长方形，则刀头的合速度方向应该水平向右，则刀头向右上方切割，同时相对岩棉向下运动，则刀头运动的速度大小 故选AC。 【变式1-2】（23-24高一下·山东青岛·期中）如图所示，帆船船头指向正东以速度v（静水中速度）航行，海面正刮着南风，风速为，以海岸为参考系，不计阻力。关于帆船的实际航行速度大小，下列说法中正确的是（　　） A．速度大小为2v B．速度大小为 C．速度大小为3v D．速度大小为4v 【答案】A 【详解】帆船的船头指向正东，并以相对静水中的速度v航行，海面正刮着南风，风速为，以海岸为参考系时，帆船的实际航行速度大小为 故选A。 考点2：一个匀速和一个变速运动的合成 【典例2】（24-25高一下·广东惠州·期末）跳伞被誉为“勇敢者的运动”，如图（a）所示，某次跳伞表演的某段时间内，跳伞运动员遇到水平恒定风力的作用，其水平方向的速度—时间图像和竖直方向的位移—时间图像如图（b）、（c）所示，下列说法正确的是（　　） A．运动员在这段时间内的加速度不变 B．运动员在这段时间内做直线运动 C．时，运动员速度大小为 D．内，运动员的位移大小为 【答案】A 【详解】AB．由图像可知，运动员在这段时间内水平方向做匀加速运动，竖直方向做匀速运动，则加速度不变，合运动为曲线运动，选项A正确，B错误； C．时，运动员水平速度为vx=1m/s，竖直速度 合速度大小为，选项C错误； D．内，运动员的水平位移 竖直位移y=10m，则合位移大小为，选项D错误。 故选A。 【变式2-1】（多选）（24-25高一下·甘肃临夏·期末）如图甲所示，某起重机的悬臂保持不动，可沿悬臂行走的天车有两个功能，一是吊着货物沿竖直方向运动，二是吊着货物沿悬臂水平方向运动。现天车吊着质量为120kg的货物在x方向的位移一时间图像和y方向的速度一时间关系图像如图乙、丙所示，下列说法正确的是（　　） A．货物在x方向的分速度的大小为3m/s B．t＝2s时，货物的合速度的大小为7m/s C．前2s时间内，货物在y方向的分位移的大小为4m D．货物所受的合力大小为230N 【答案】AC 【详解】A．根据位移一时间图像，可知斜率代表水平方向的速度，即水平速度为，故A正确； B．t＝2s时，货物的水平速度为，竖直速度为，故货物的合速度的大小为，故B错误； C．根据速度一时间关系图像，可知斜率代表竖直方向的加速度，即 前2s时间内，根据运动学公式，货物在y方向的分位移的大小为，故C正确； D．货物的加速度也就是竖直方向的加速度，所以货物所受的合力大小为 解得，故D错误。 故选AC。 【变式2-2】（24-25高一下·安徽阜阳·期中）一质量m=1 kg的物块（可视为质点）在xOy平面上做曲线运动，图甲为物块在x轴方向上的v-t图像，图乙为物块在y轴方向上的位移-时间图像，已知物块在第1 s内的位移大小为 m，求∶ (1)t=1 s时，物块的速度大小。 (2)物块在t=0时的速度大小。 【答案】(1)5 m/s (2) m/s 【详解】（1）由题图可知，物块在x轴方向做匀减速直线运动，在y轴方向做匀速直线运动 t=1 s时，物块在y轴方向的速度vy==4 m/s　 由题图可知，t=1 s时，物块在x轴方向的速度vx1=3m/s　 所以t=1 s时，物块的合速度大小v1==5 m/s。　 （2）物块在第1 s内在y轴方向发生的位移y=vyt=4 m　 物块在第1 s内的位移大小为 m，则物块在x轴方向发生的位移x=5 m　 又因为x=t　 解得vx0=7 m/s　 物块在t=0时的速度v0= m/s。 考点3：两个变速直线运动的合成 【典例3】（24-25高一下·湖北·阶段练习）某快递公司用无人机配送快递，某次配送质量为2kg的快递，在无人机飞行过程中，内快递在水平方向的速度-时间图像如图甲所示，竖直方向初速度为零的加速度-时间图像如图乙所示，求： (1)快递在内的水平位移x及10s末快递的速度v； (2)末快递受到合力的大小 【答案】(1)75m， (2) 【详解】（1）在图像中图线与时间轴所围的面积表示水平位移，则内快递的水平位移为 依据图像与时间所围成的面积为速度的变化量，则10s末快递的竖直分速度为 而10s末快递的水平分速度为，所以10s末快递的速度为 （2）在1s末，快递水平方向加速度为 竖直方向加速度为 根据加速度合成可知，1 s末快递的加速度为 由牛顿第二定律，则有1s末快递受到合力大小为 【变式3-1】（24-25高一下·湖南·阶段练习）跳伞是人们普遍喜欢的观赏性体育项目。一质量为的运动员从悬停在空中的直升飞机上由静止跳下，在下落过程中受到一水平方向吹来的大小为的恒定风力的作用。重力加速度，在此过程中除重力和风力以外不计其他力。求： (1)运动员由静止开始下落过程中所用的时间； (2)运动员由静止开始下落时的速度大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可知，运动员在竖直方向做自由落体运动，则有 代入数据解得 （2）水平方向运动员做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律可得 解得运动员水平方向的加速度 运动员由静止开始下落时水平方向的速度大小为 竖直方向上的速度大小为 故运动员由静止开始下落时的速度大小为 【变式3-2】如图所示，在竖直平面内的xOy坐标系中，Oy竖直向上，Ox水平。设平面内存在沿x轴正方向的恒定风力。一小球从坐标原点沿Oy方向竖直向上抛出，初速度为，不计空气阻力，到达最高点的位置如图中M点所示，（坐标格为正方形，g取10m/s2）求： （1）小球在M点的速度； （2）小球落回到x轴的位置为N点（图中未标出），则到达N点的速度的大小为多少？（可用根号表示） 【答案】（1），沿x轴正方向；（2） 【详解】（1）设正方形的边长为。小球竖直方向做竖直上抛运动 ， 水平方向做匀加速直线运动 解得 方向为沿x轴正方向。 （2）到N点时竖直分速度大小为水平分速度 故 考点4：绳关联问题 【典例4】（24-25高一下·海南海口·阶段练习）影视剧中，武打演员的轻功出神入化，实际上是通过吊威亚实现的，如图所示，牵引车通过细钢丝跨过定滑轮拉着特技演员上升，连接特技演员的细钢丝竖直，处于图示位置时，和牵引车相连的细钢丝与水平方向的夹角。若特技演员可视为质点，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．特技演员匀速上升时，牵引车匀速向左运动 B．牵引车匀速向左运动时，特技演员上升的速度越来越小 C．处于图示位置时，特技演员上升的速度是牵引车速度的倍 D．牵引车匀速向左运动时，特技演员处于失重状态 【答案】C 【详解】A．设牵引车的速度为，将其沿钢丝方向和垂直于钢丝方向分解，沿钢丝方向的分速度为，若特技演员匀速上升，随着牵引车向左运动，逐渐减小，逐渐增大。为保持不变，需逐渐减小，即牵引车做减速运动，而非匀速运动。故A错误； BD．若牵引车匀速向左运动，不变，由A选项可知，随着牵引车向左运动，逐渐减小，逐渐增大，因此会逐渐增大，而非越来越小，特技演员加速上升，处于超重状态，而非失重状态，故BD错误； C．图示位置时，则，即特技演员上升的速度是牵引车速度的倍，故C正确． 故选C。 【变式4-1】（24-25高一下·云南·期中）如图所示，物体A用跨过定滑轮的轻绳与汽车连接，汽车以速度向右匀速运动，连接小车端的轻绳与水平方向的夹角为，在物体上升过程中，下列说法正确的是（　　） A．物体向上做减速运动 B．轻绳的拉力大于物体的重力 C．物体的速度大小为 D．物体处于失重状态 【答案】B 【详解】AC．由关联速度可知物体的速度为 汽车以速度向右匀速运动，则变小，则物块A的速度增大，故物块A向上做加速运动，A错误；C错误； B．物块向上做加速运动，故绳的拉力大于物块的重力，B正确； D．物块向上做加速运动，即物块的加速度向上，故处于超重状态，D错误。 故选B。 【变式4-2】（24-25高一下·河南南阳·阶段练习）如图所示，套在竖直细杆上的轻环A由跨过光滑轻质定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B相连，施加外力让A沿杆以速度v匀速上升，从图中M位置上升至与定滑轮的连线处于水平的N位置，已知AO与竖直杆成角，则下列说法正确的是（　　） A．刚开始时B的速度大小为 B．A匀速上升到N点之前过程中，重物B处于失重状态 C．重物B下降过程，绳对B的拉力大于B的重力 D．A运动到位置N时，B的速度最大 【答案】C 【详解】A．根据关联速度之间的关系可知，物体B任意时刻的速度大小均应等于物体A沿绳方向分速度的大小，由此可知刚开始时重物B的速度为 故A错误； B．分析可知，随着A匀速上升，绳AO与竖直方向的夹角始终在增大，则可知物体B的速度始终在减小，即物体B减速下降，加速度向上，重物B处于超重状态，则绳对B的拉力大于B的重力，故B错误，C正确； D．物体A运动到N位置时，绳AO与竖直方向的夹角为，而等于0，因此A在该位置处时，物体B的速度减为0，速度最小，故D错误。 故选C。 考点5：杆关联问题 【典例5】（多选）如图所示，一根长为L的轻杆，O端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，轻杆靠在一个高为h的物块上。若物块与地面摩擦不计，则当物块以速度v向右运动至杆与水平方向夹角为时，物块与轻杆的接触点为B，下列说法正确的是（　　） A．A、B的线速度相同 B．A、B的角速度相同 C．轻杆转动的角速度为 D．小球A的线速度大小为 【答案】BC 【详解】AB．A、B两点都在杆上，所以A、B的角速度相同，根据 可知A、B的线速度大小不相等，故A错误，B正确； CD．此时B点的线速度大小为 则轻杆转动的角速度为 小球A的线速度大小为 故C正确，D错误。 故选BC。 【变式5-1】一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B（可视为质点），将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，如图所示，当轻杆到达位置2时球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向成=30°角，B球的速度大小为v2，则（　　） A．v2=v1 B．v2=2v1 C．v2=v1 D．v2=v1 【答案】C 【详解】球A与球形容器球心等高，速度v1方向竖直向下，速度分解如图所示，有 v11=v1sin30°=v1 球B此时速度方向与杆成=60°角，因此 v21=v2cos60°=v2 沿杆方向两球速度相等，即 v21=v11 解得 v2=v1 故选C。 【变式5-2】（多选）如图所示，当放在墙角的均匀直杆端在竖直墙上，端放在水平地面，当滑到图示位置时（已知），端速度为，下列说法正确的有（　　） A．端和端垂直杆方向的速度分量大小一定相等 B．端和端沿杆方向的速度分量大小一定相等 C．端速度大小为 D．端速度大小为 【答案】BD 【详解】AB．将物体A端和B端的运动分解到沿杆和垂直于杆的方向如图所示 A端和B端沿杆方向的速度分量大小一定相等，垂直于杆的速度分量大小不一定相等，故A错误，B正确； CD．设沿杆速度为，根据速度的合成与分解，将两个端点的速度分解，如图所示 则有 而 则两个端点实际速度之比 则A点速度是 故C错误，D正确。 故选BD。 考点6：船速大于水速的过河问题 【典例6】已知某船在静水中的速率为＝4 m/s，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d＝100 m，河水的流动速度为＝3 m/s，方向与河岸平行。试分析： （1）欲使船以最短时间渡过河去，船头的指向怎样？ （2）最短时间是多少？船发生的位移是多大？ （3）欲使船渡河过程中的航行距离最短，船头的指向又应怎样？渡河所用时间是多少？ （4）如果船在静水中的速度小于水流速度，河宽为d，如何求最短渡河时间和最短航程？ 【答案】（1）当船头垂直河岸渡河时，渡河时间最短；（2）25s，125m（3）见解析；（4）见解析 【详解】（1）当船头垂直河岸渡河时，渡河时间最短。 （2）最短时间 沿河流方向的位移 船发生的位移 （3）欲使船渡河过程中的航行距离最短，则合速度与河岸垂直，设船头与河岸夹角为 ，则 所以 最短时间 （4）因为不能垂直渡河，所以当合速度的方向与静水速的方向垂直，渡河位移最短，设此时合速度的方向与河岸的夹角为，则 则合速度的大小 则渡河的最小位移 因此渡河的时间为 【变式6-1】某架飞机在进行航空测量时，需要严格按照从南到北的航线进行飞行。如果在无风时飞机相对地面的速度是414，飞行过程中航路上有速度为54的持续东风。 (1)飞机应该朝着哪个方向飞行？可以用三角函数表示偏角的大小。 (2)如果所测地区的南北长度为621，该测量需要多长时间？ 【答案】(1) 飞机应该朝着北偏东，与正北方的夹角方向飞行；(2)1.51h 【详解】(1)飞机相对地面的速度 414km/h=115m/s 风的速度为 54km/h=15m/s 根据速度合成的平行四边形法则，如图所示 合速度的方向是从南向北的，所以飞机应该向着北偏东的方向飞行，设北偏东为θ角，则有 所以偏转角大小为 (2)飞机实际的速度为 所测地区的南北长度为621km，该测量需要的时间为 【变式6-2】一小船渡河，河宽d=180 m，水流速度v1=2.5 m/s。若船在静水中的速度为v2=5 m/s，求： （1）欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ （2）欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ 【答案】(1) 船头应朝垂直河岸方向，， ；(2) 船头向上游偏30°， ， 【详解】（1）欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向，当船头垂直河岸时，如图所示 合速度为倾斜方向，垂直分速度为v2=5 m/s 小船的合速度 小船的位移 （2）欲使船渡河航程最短，应垂直河岸渡河，船头应朝上游与垂直河岸方向成某一夹角α 如图所示 有 得 所以当船头向上游偏30°时航程最短，渡河时间 位移 考点7：船速小于水速的过河问题 【典例7】（24-25高一下·江西·期中）江西省地处长江中下游，雨水充沛，河湖密布，水系发达。某小船要渡过一河流，河岸平行，河流的宽度，小船在静水中行驶的速度大小，水流的速度大小。 (1)若小船以最短的时间渡河，求小船渡河的时间以及小船渡河过程中沿河岸方向的位移大小； (2)若小船以最短的路程渡河，求小船渡河的时间以及该最短路程。 【答案】(1)600s，1500m (2)750s，1500m 【详解】（1）当小船以最短的时间渡河时，船头垂直河岸，有 解得 又 解得 （2）因为，所以当小船以最短的路程渡河时，船头方向与合速度方向垂直，设合速度方向与河岸下游方向的夹角为，根据几何关系有 小船垂直河岸的分速度大小 又 解得 经分析可知 解得 【变式7-1】如图所示，小船过河时，船头偏向上游与水流方向成角，船相对于静水的速度为，其航线恰好垂直于河岸。现水流速度稍有增大，为保持航线不变，且准时到达对岸，下列措施中可行的是（　　） A．减小角，增大船速 B．增大角，增大船速 C．减小角，保持船速不变 D．增大角，保持船速不变 【答案】B 【详解】船的运动可以看成是沿水流方向和偏向上游方向的直线运动的和运动，合运动方向垂直于河岸，当水流速度增大时，为保持合运动方向垂直于河岸不变，且准时到达对岸，即合速度大小和方向不变，如图 需增大角，增大船速。 故选B。 【变式7-2】一条小河宽100m，水流速度为8m/s，一艘快艇在静水中的速度为6m/s，用该快艇将人员送往对岸．关于该快艇的说法中正确的是（　　） A．渡河的最短时间为10s B．渡河时间随河水流速加大而增长 C．以最短位移渡河，位移大小为100m D．以最短时间渡河，沿水流方向位移大小为 【答案】D 【详解】A．小船要过河时间最短，船头方向需垂直河岸方向，A错误； B．以最短时间渡河时，船头方向需垂直河岸方向，与水流的方向垂直，不论河水速度如何变化，都不会影响渡河时间，B错误； C．当合速度的方向与快艇在静水中的速度方向垂直时，渡河位移最短，设船头与上游所成的夹角为θ，则有渡河的最短航程，C错误； D．以最短时间渡河时，那么沿水流方向位移大小为，D正确。 故选Ｄ。 1．（24-25高一下·云南文山·期中）关于运动的合成和分解，下列说法正确的是（　　） A．合运动的速度一定大于分运动的速度 B．运动的合成和分解实质是对描述运动的物理量的合成与分解 C．合运动的时间等于各分运动的时间之和 D．分运动是变速直线运动，则合运动必是曲线运动 【答案】B 【详解】A．合速度的大小由分速度的矢量和决定，可能小于分速度（如分速度方向相反时），故A错误； B．运动的合成与分解本质是对位移、速度、加速度等矢量的合成与分解，符合矢量叠加法则，故B正确； C．分运动与合运动是同时发生的，时间必然相等，而非相加，故C错误； D．若两个分运动的合加速度方向与合速度方向共线，即使分运动是变速直线运动，合运动仍为直线运动，故D错误。 故选B。 2．（24-25高一下·河南·期末）在研究运动的合成与分解时，蜡块在玻璃管内的液体中匀速上升，同时手持玻璃管沿水平方向做直线运动，得到如图所示的四个轨迹。下列对图1、2、3、4中轨迹的描述可能正确的是（　　） A．图1中玻璃管向右做匀加速直线运动 B．图2中玻璃管向右做匀速直线运动 C．图3中玻璃管向右做匀加速直线运动 D．图4中玻璃管先向右匀加速再向右匀减速 【答案】C 【详解】A．图1中蜡块相对于地面的运动轨迹为过原点的倾斜直线，故玻璃管向右做匀速直线运动，故A错误； B．图2中蜡块相对于地面的运动轨迹向上弯曲，说明水平方向上加速度向左，不能做匀速直线运动，故B错误； C．图3中蜡块相对于地面的运动轨迹为开口向右的曲线，说明蜡块有向右的加速度，则玻璃管可能向右做匀加速运动，故C正确； D．图4中轨迹先向上弯曲再向右弯曲，说明玻璃管可能先向右减速再向右加速，故D错误。 故选C。 3．（23-24高一下·贵州黔西·期末）某跳伞运动员打开降落伞降落，在无风的时候落地速度为4m/s，现在有水平方向的风，风使他获得3m/s的水平速度，则下列说法正确的是（　　） A．运动员的落地速度为7m/s B．运动员的落地速度为12m/s C．有水平方向的风时落地时间将变长 D．有无水平方向的风落地时间均相同 【答案】D 【详解】AB．运动员的落地速度为 故AB错误； CD．根据运动的独立性可知，水平方向的风不影响竖直方向的运动，则有无水平方向的风落地时间均相同，故C错误，D正确。 故选D。 4．质量为1kg的物体在水平面内做曲线运动，已知该物体在两个互相垂直方向上的分运动的速度-时间图像分别如图甲、乙所示，则下列说法正确的是（    ） A．2s末物体速度大小为7m/s B．物体所受的合外力大小为3N C．物体的初速度大小为5m/s D．物体初速度的方向与合外力方向垂直，做匀变速曲线运动 【答案】D 【详解】A．根据题意可知，物体在x方向做初速度为零的匀加速直线运动，在y方向做匀速直线运动，2s末，由甲、乙两图可知，，，则合速度为 故A错误； B．v-t图像的斜率表示加速度大小，则有 ， 根据牛顿第二定律得 ， 因而合外力 故B错误； C．当时，由甲、乙两图可知，，，故初速度，故C错误； D．由于初速度，沿y方向，合外力，沿x方向，故物体做匀变速曲线运动，故D正确。 故选D。 5．如图，小船沿直线AB过河，船头方向始终垂直于河岸。若水流速度增大，为保持航线不变，下列措施与结论正确的是（　　） A．增大船速，过河时间缩短 B．减小船速，过河时间缩短 C．增大船速，过河时间变长 D．减小船速，过河时间变长 【答案】A 【详解】船头始终垂直于河岸，河宽一定时，当水流速度增大，为保持航线不变，根据运动的合成，船在静水中的速度必须增大，再根据 所以过河时间缩短。 故选A。 6．（24-25高一下·河北沧州·阶段练习）如图所示，汽车向右沿水平面以速度做匀速直线运动，通过定滑轮连接的重物M随之向上运动，若不计绳子质量和绳子与滑轮间的摩擦，则下列说法正确的是 A．重物M向上做匀速直线运动 B．绳子对重物M的拉力小于重物M的重力 C．图示时刻，重物M的速度大小为 D．图示时刻，重M的速度大小为 【答案】D 【详解】ACD．根据平行四边形定则得,汽车做匀速直线运动，速度不变，绳子与水平方向的夹角减小，所以变大，因此M做加速运动，A错误，C错误，D正确； B．重物M向上做加速运动，由牛顿第二定律可知绳子对重物M的拉力大于重物M的重力,B错误。 故选D。 7．（多选）如图所示，水平光滑长杆上套有一物块Q，跨过悬挂于O点的轻小光滑圆环的轻绳一端连接Q，另一端悬挂一物块P。设轻绳的左边部分与水平方向的夹角为θ，初始时θ很小。现将P、Q由静止同时释放，关于P、Q以后的运动下列说法正确的是（　　） A．当θ＝60°时，P、Q的速度之比是∶2 B．当θ＝90°时，Q的速度最大 C．当θ＝90°时，P的速度为零 D．当θ向90°增大的过程中Q的合力一直增大 【答案】BC 【详解】A．P、Q用同一根绳连接，根据投影定理可知，Q沿绳子方向的速度与P的速度相等，则当θ=60°时，Q的速度 vQcos60°=vP 如图所示 解得 故A错误； B．P的机械能最小时，即为Q到达O点正下方时，此时Q的速度最大，即当θ=90°时，Q的速度最大，故B正确； C．根据投影定理可知，Q沿绳子方向的速度与P的速度相等，当θ=90°时，Q沿绳子方向的分速度为零，由于P的速度即绳子的速度，则P的速度为零，故C正确； D．当θ向90°增大的过程中Q的合力逐渐减小，当θ=90°时，Q的速度最大，加速度最小，合力最小，故D错误。 故选BC。 8．（多选）小船要渡过200m宽的河面，水流速度是4m/s，船在静水中的航速是5m/s，则下列说法正确的是（　　） A．船头指向即船的实际航线，也就是合速度方向 B．由于水流速度小，小船过河的最短位移为200m C．小船过河所需的最短时间是50s D．如果水流速度增大为6m/s，小船过河所需的最短时间不变 【答案】BD 【详解】A．在静水中船头指向只是船速方向，不是船的实际航线，合速度方向是船的实际航线方向，故A错误； B．由于水流速度小，小船可以垂直过河，所以最短位移等于200m，故B正确； C．船头垂直于河岸时渡河时间最短，小船过河所需的最短时间为 故C错误； D．船渡河的最短时间是由船速决定的，与水流速度无关，则如果水流速度增大，小船过河所需的最短时间不变，故D正确。 故选BD。 9．（多选）（23-24高一上·辽宁辽阳·期末）如图所示，河的宽度为d，水速恒定，甲、乙两船以大小相同的速度（相对静水）同时开始渡河。出发时两船相距2d，甲、乙船头与河岸的夹角均为，且乙船恰好能直达正对岸的A点。下列说法正确的是（    ） A．甲船正好也在A点靠岸 B．甲船在A点的左侧靠岸 C．甲、乙两船可能在未到达对岸前相遇 D．甲、乙两船到达对岸的时间相等 【答案】AD 【详解】ABC．由于乙船在A点靠岸，则速度分解如图 渡河时间 甲船沿河流方向的合速度为 甲船沿河岸方向位移 即甲船恰好在A点上岸，A正确，BC错误； D．由于甲、乙两船在静水中速度相等，且都以船头与河岸夹角为45°角的方式渡河，分解到垂直河岸方向的分速度相等，因此渡河时间相等，D正确。 故选AD。 10．（多选）（24-25高一下·云南文山·期中）航模比赛是广大青少年喜欢参与的一项活动。某航模比赛中，选手操控无人机在竖直平面内运动，以水平方向和竖直方向建立一个平面直角坐标xOy，无人机在xOy平面上运动，时，无人机位于坐标原点O，它在x轴方向和y轴方向的运动图像分别如图甲和乙所示。下面说法正确的是（　　） A．无人机的轨迹是直线 B．时，无人机的速度大小是5m/s C．时，无人机的位置坐标（12m，4m） D．内，无人机的位移是16m 【答案】BC 【详解】A．由图知，无人机在水平方向做匀速直线运动 在竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动 可知初速度与合力方向不共线，无人机做曲线运动，故A错误； B．结合题图可知时，无人机的速度大小 故B正确； C．结合题图可知时横坐标为 纵坐标为 即时，无人机的位置坐标（12m，4m），故C正确； D．0~8s内横坐标、纵坐标分别为， 可知位移 故D错误。 故选BC。 11．（24-25高一下·安徽宿州·期中）两端封闭的玻璃管中注满清水，将管转至图示竖直位置，质量为0.2kg的物块在x方向的速度—时间图像和y方向的位移—时间图像如图所示。 (1)求t=0时，物块的初速度大小； (2)求物块所受的合外力大小； (3)求0~2s内物块的位移大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）t=0时，根据图示可知，     则初速度大小为 （2）根据图像可知， 根据牛顿第二定律有 （3）在0~2s内，根据图像可知，y=0.2m 故位移大小为 12．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）2024年9月27日“运河争辉”乌篷船马拉松邀请赛在浙江绍兴浙东运河越城区段举行，水乡绍兴以这种特殊的活动方式庆祝中华人民共和国成立75周年，同时也纪念中国大运河申遗成功10周年。已知小船在静水中的速度为，现让船渡过某条河，若此河的两岸是理想的平行线，河宽为，水流速度为，方向与河岸平行，求： (1)欲使小船以最短时间渡河，最短时间是多少？小船的位移多大？ (2)欲使小船以最短位移渡河，渡河所用时间是多少？ (3)若河水因涨水导致水流速度变为，小船在静水中的速度为不变，此种情况下渡河最短位移及渡河时间分别为多少？ 【答案】(1)50s，250m (2) (3)300m， 【详解】（1）当船以静水中的速度垂直河岸过河时，渡河时间最短，如下图所示 最短时间为 这时小船的合速度为 此种情况下小船过河的位移为 （2）船在静水的速度大于水流速度，那么最短位移为河宽，如图所示 这种情况下，小船的合速度为 当过河位移最短时过河的时间为 （3）若水流速度为 则 此种情况下过河如图所示 当船头方向即方向与合速度方向垂直时，渡河位移最短，大小为 这种情况下，小船的合速度为 过河时间为 13．（23-24高一下·陕西商洛·期中）如图甲所示，近年来无人机已越来越频繁应用在物流配送场景，包括应急救援、冷链、物资运送。某次配送物资无人机在飞行过程中，水平方向速度及竖直方向与飞行时间t的关系图像如图乙、图丙所示。求： （1）2s末无人机的速度大小； （2）无人机运动到距地面最高点时竖直方向的高度； （3）无人机从地面出发后前两秒内的轨迹方程。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）在0～2s时间内，无人机在水平方向与竖直方向上均做初速度为0的匀加速直线运动，则合运动为匀加速直线运动，则2s末无人机的速度大小为 （2）无人机运动到距地面最高点时竖直方向的高度为 （3）无人机在水平方向 无人机在竖直方向 故 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $