重难 10 磁场 带电粒子在磁场中的运动（重难专练）（天津专用）2026年高考物理二轮复习讲练测

重难 10 磁场 带电粒子在磁场中的运动 内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 重难考向聚焦 锁定目标 精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向 重难技巧突破 授予利器 瓦解难点：总结瓦解此重难点的核心方法论与实战技巧 重难保分练 稳扎稳打 必拿分数：聚焦可稳拿分数题目，确保重难点基础分值 重难抢分练 突破瓶颈 争夺高分： 聚焦于中高难度题目，争夺关键分数 重难冲刺练 模拟实战 挑战顶尖：挑战高考压轴题，养成稳定攻克难题的“题感” 一：对洛伦兹力的理解和应用 1．洛伦兹力的定义 磁场对运动电荷的作用力． 2．洛伦兹力的大小 (1)v∥B时，F＝0； (2)v⊥B时，F＝qvB； (3)v与B的夹角为θ时，F＝qvBsin θ. 3．洛伦兹力的方向 (1)判定方法：应用左手定则，注意四指应指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向； (2)方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B、v决定的平面．(注意B和v可以有任意夹角) 【归纳总结】洛伦兹力与电场力的比较 洛伦兹力 电场力 产生条件 v≠0且v不与B平行 (说明：运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用) 电荷处在电场中 大小 F＝qvB(v⊥B) F＝qE 力方向与场 方向的关系 F⊥B，F⊥v F∥E 做功情况 任何情况下都不做功 可能做功，也可能不做功 二：带电粒子在匀强磁场中的运动 1．在匀强磁场中，当带电粒子平行于磁场方向运动时，粒子做匀速直线运动． 2．带电粒子以速度v垂直射入磁感应强度为B的匀强磁场中，若只受洛伦兹力，则带电粒子在与磁场垂直的平面内做匀速圆周运动． (1)洛伦兹力提供向心力：qvB＝. (2)轨迹半径：r＝. (3)周期：T＝、T＝，可知T与运动速度和轨迹半径无关，只和粒子的比荷和磁场的磁感应强度有关． (4)运动时间：当带电粒子转过的圆心角为θ(弧度)时，所用时间t＝T. (5)动能：Ek＝mv2＝＝. 三：带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动 基本思路 图例 说明 圆心的确定 ①与速度方向垂直的直线过圆心 ②弦的垂直平分线过圆心 ③轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心 P、M点速度垂线交点 P点速度垂线与弦的垂直平分线交点 某点的速度垂线与切点法线的交点 半径的确定 利用平面几何知识求半径 常用解三角形法：例：(左图) R＝或由R2＝L2＋(R－d)2求得R＝ 运动时间的确定 利用轨迹对应圆心角θ或轨迹长度L求时间 ①t＝T ②t＝ (1) 速度的偏转角φ等于AB所对的圆心角θ (2)偏转角φ与弦切角α的关系： (2) φ＜180°时，φ＝2α；φ＞180°时，φ＝360°－2α 技巧1：带电粒子在磁场中运动的临界和多解问题 类型 分析 图例 带电粒子电性不确定　 受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解 如图，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a；如带负电，其轨迹为b 磁场方向不确定　 只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成多解 如图，带正电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b 临界状态不唯一　 带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过磁场飞出，也可能转过180°从入射界面一侧反向飞出，于是形成多解 运动具有周期性　 带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运动时，运动往往具有周期性，因而形成多解 技巧2：动态圆问题 1．临界条件 带电粒子刚好穿出(不穿出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切，故边界(边界的切线)与轨迹过切点的半径(直径)垂直． 2．解题步骤 分析情景→作基础图→作动态图→确定临界轨迹→分析临界状态→构建三角形→解三角形 3．常见的几种临界情况 (1)直线边界 最长时间：弧长最长，一般为轨迹与直线边界相切． 最短时间：弧长最短(弦长最短)，入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直． 如图1，P为入射点，M为出射点． (2)圆形边界：公共弦为小圆直径时，出现极值，即： 当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大． 当运动轨迹圆半径小于圆形磁场半径时，则以轨迹圆直径的两端点为入射点和出射点的圆形磁场对应的圆心角最大． 模型一　“平移圆”模型 适 用 条 件 速度大小一定，方向一定，但入射点在同一直线上 粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝，如图所示 轨迹圆圆心共线 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行 界定 方法 将半径为R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法 模型二　“旋转圆”模型 适 用 条 件 速度大小一定，方向不同 粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v0，则圆周运动轨迹半径为R＝，如图所示 轨迹圆圆心共圆 如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝的圆上 界定 方法 将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转圆”法 模型三　“放缩圆”模型 适 用 条 件 速度方向一定，大小不同 粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化 轨迹圆圆心共线 如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大．可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上 界定 方法 以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法 模型四　“磁聚焦”模型 1．带电粒子的会聚 如图甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出．(会聚) 证明：四边形OAO′B为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB必平行于AO′(即竖直方向)，可知从A点发出的带电粒子必然经过B点． 2．带电粒子的发散 如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行．(发散) 证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，O1A(O2B、O3C)均平行于PO，即出射速度方向相同(即水平方向)． （建议用时：30分钟） 1．（2025·天津北辰·三模）如图，在平面直角坐标系的第三象限内存在沿轴正方向的匀强电场，第一象限某区域内存在垂直于坐标平面向里的圆形区域的匀强磁场（图中没有画出）。一质量为，电荷量为的带正电粒子从电场中的点以大小为的速度平行于轴正方向射入电场，经原点射入第一象限时与轴正方向的夹角为，运动一段时间后进入圆形匀强磁场区域，最后射出磁场时与轴正方向的夹角也为。已知点与轴的距离为，匀强磁场的磁感应强度大小，不计粒子受到的重力。求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)粒子在磁场中运动的时间； (3)圆形匀强磁场区域的最小半径。 2．（2025·天津·二模）如图所示，空间内存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向上的匀强电场，一带负电小球（可视为质点）质量，电荷量大小，从倾角的光滑斜面最高点由静止开始下滑，当沿斜面下滑距离时与斜面脱离。此时立即将电场反向，小球做匀速圆周运动，最终恰好不与地面发生碰撞。（已知，，重力加速度取） (1)求电场强度的大小； (2)求磁感应强度的大小； (3)求斜面的长度。 3．（2025·天津·一模）如图所示，电源的内阻为r，滑动变阻器的总电阻为2r，两平行金属板a、b的间距为d，板长为L，板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。初始时开关S闭合，当滑片P在滑动变阻器中间时，一带正电粒子以速度v0正好可以匀速穿过两板的正中间。已知粒子的质量为m，不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A．电源的电动势为 B．若将滑动变阻器滑片滑到最下端，粒子射出两极板时的速度减小 C．若将滑动变阻器滑片滑到最下端，粒子射出两极板时的速度增大 D．若开关S为断开状态，粒子仍以速度v0从极板正中间沿平行极板的方向射入，刚好从a板的右边缘射出，则粒子的电荷量为 4．（2025·天津红桥·二模）近期以Deepseek为代表的我国自主知识产权的人工智能大模型正在迅猛发展，这些大模型在应用中都离不开能源的支撑。据统计我国每年的能源消耗是美国的两倍，是印度的六倍，现在我国67%的能源来源于火力发电。2025年3月可控核聚变实验装置“中国环流三号”又有新的技术突破，这标志着可控核聚变离并网发电又更近了一步，届时能源问题将彻底解决。利用高温超导产生的强磁场将高温反应中的带电粒子“约束”在一定区域内，使其不能射出，是可控核聚变的关键性技术难点。某同学为探究带电粒子的“约束”问题，构想了如图所示的磁场区域，假设匀强磁场的磁感应强度大小为B、垂直于纸面，其边界分别是半径为R和2R的同心圆，O为圆心，A为磁场内在圆弧上的一点，P为OA的中点。若有一粒子源向纸面内的各个方向发射出比荷为的带负电粒子，粒子速度连续分布，且无相互作用。不计粒子的重力，取sin37°=0.6，cos37°=0.8，求∶ (1)粒子源在A点时，若所有粒子都不能穿出磁场，粒子速度的最大值； (2)粒子源在O时，被磁场约束的粒子速度最大值； (3)粒子源在P点时，被磁场约束的粒子速度的最大值。 5．（2025·天津·一模）如图所示，在匀强电场中建立直角坐标系xOy，y轴竖直向上，一质量为m、电荷量为-q的微粒从x轴上的M点射出，方向与x轴夹角θ=30°，微粒恰能以速度v做匀速直线运动，重力加速度为g。 (1)求匀强电场场强E的大小和方向； (2)若再叠加一圆形边界的匀强磁场，使微粒能到达x轴上的N点，M、N两点关于原点O对称，距离为L，微粒运动轨迹也关于y轴对称。已知磁场的磁感应强度，方向垂直xOy平面向里。求带电粒子的运动半径R； (3)求该微粒从M运动到N的时间t。 6．（2025·天津西青·模拟预测）笔记本电脑机身和显示屏对应部位分别有磁体和霍尔元件。当显示屏开启时磁体远离霍尔元件，电脑正常工作；当显示屏闭合时磁体靠近霍尔元件，屏幕熄灭，电脑进入休眠状态。如图所示，一块宽为a、长为c的矩形半导体霍尔元件，元件内的导电粒子是电荷量为e的自由电子，通入方向向右的电流时，电子的定向移动速度为v。当显示屏闭合时元件处于垂直于上表面、方向向下的匀强磁场中，于是元件的前、后表面间出现电压U，以此控制屏幕的熄灭。则元件的（　　） A．前表面的电势比后表面的低 B．前、后表面间的电压U与a无关 C．前、后表面间的电压U与v成正比 D．自由电子受到的洛伦兹力大小为 7．（2025·天津红桥·二模）为监测某化工厂的含有离子的污水排放情况，技术人员在排污管中安装了监测装置，该装置的核心部分是一个用绝缘材料制成的空腔，其宽和高分别为和，左、右两端开口与排污管相连，如图所示。在垂直于上、下底面加磁感应强度为向下的匀强磁场，在空腔前、后两个侧面上各有长为的相互平行且正对的电极和，和与内阻为的电流表相连。污水从左向右流经该装置时，电流表将显示出污水排放情况。下列说法中正确的是（　　） A．板比板电势高 B．污水中离子浓度越高，则电流表的示数越小 C．污水流量大小，对电流表的示数无影响 D．若只增大所加磁场的磁感强度，则电流表的示数也增大 8．（2025·天津静海·一模）比值法定义物理量是物理学中一种常用的方法，下面四个式子中能表示用比值法定义物理量的是（　　） A．电流 B．磁感应强度 C．电场强度 D．电阻 （建议用时：30分钟） 9．（2025·天津蓟州·模拟预测）为了测量化工厂的污水排放量，技术人员在排污管末端安装了流量计流量为单位时间内流过某截面流体的体积如图所示，长方体绝缘管道的长、宽、高分别为、、，左、右两端开口，所在空间有垂直于前后表面、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在上、下两个面的内侧固定有金属板、N，污水充满管道从左向右匀速流动。测得、N间电压为，污水流过管道时受到的阻力大小是比例系数，为污水沿流速方向的长度，为污水的流速。则（　　） A．污水的流量 B．金属板的电势不一定高于金属板N的电势 C．电压与污水中离子浓度成正比 D．左、右两侧管口的压强差 10．（2025·天津滨海新·三模）某种以自由电子作为载流子的霍尔元件，可以应用于检测电流的装置中，基本结构如图所示。通有待测电流的螺线管在其正上方的霍尔元件处产生的磁场，通有电流的直导体棒在其左侧的霍尔元件处产生的磁场。给霍尔元件通以由前表面到后表面的电流I，则下列说法正确的是（　　） A．只有导体棒通电时，霍尔元件左侧面a端电势高于右侧面b端 B．当a、b两端电势差为零时，螺线管所在回路的电源正极方向向下 C．霍尔元件处的磁感应强度恒定不变时，I增大，a、b两端电势差变大 D．当电流表读数为时，发现a、b两端电势差为零，则螺线管中电流 11．（2025·天津南开·一模）2020年12月2日22时，经过约19小时月面工作，嫦娥5号完成了月面自动采样封装，这其中要用到许多压力传感器。有些压力传感器是通过霍尔元件将压力信号转化为电信号，当压力改变时有电流通过霍尔元件。如图所示，一块宽为a、长为c、厚为h的长方体半导体霍尔元件，元件内的导电粒子是电荷量为的自由电子，通入如图所示方向的电流时，电子的定向移动速度为v。若元件处于磁感应强度为B、方向垂直于上表面向下的匀强磁场中，前后两表面会形成电势差U。下列说法中正确的是（　　） A．自由电子受到的洛伦兹力方向为垂直前表面向外 B．前表面的电势比后表面的高 C．自由电子受到的洛伦兹力大小为 D．前、后表面间电势差 12．（2025·天津红桥·一模）如图所示，套在足够长的绝缘粗糙直棒上的带正电小球，其质量为m，带电荷量为q，小球可在棒上滑动，现将此棒竖直放入沿水平方向且互相垂直的匀强磁场和匀强电场中，设小球电荷量不变，小球由静止下滑的过程中（　　） A．小球加速度一直减小 B．小球速度一直增大，直到最后匀速 C．杆对小球的弹力一直增大 D．小球所受洛伦兹力一直增大，直到最后不变 13．（2021·天津·一模）如图所示，虚线上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B。一群电子以不同速率从边界上的P点以相同的入射方向射入磁场。其中某一速率为v的电子从Q点射出边界。已知电子入射方向与边界的夹角为，则（　　） A．该匀强磁场的方向垂直纸面向里 B．所有电子在磁场中的轨迹半径相同 C．速率越大的电子在磁场中运动时间越长 D．在此过程中每个电子的速度方向都改变 14．（2025·天津·模拟预测）如图所示，水平桌面上放着一对平行的金属导轨，左端与一电源相连，中间还串有一开关K，导轨上放着一根金属棒ab，空间存在着垂直于导轨平面向下的匀强磁场。已知两导轨间距为d，电源电动势为E，导轨电阻及电源内阻均不计，ab棒的电阻为R，质量为m，棒与导轨间摩擦不计。闭合开关K，ab棒向右运动并从桌边水平飞出，已知桌面离地高度为h，金属棒落地点的水平位移为s。下面的结论中正确的是（　　） A．开始时ab棒离导轨右端的距离 B．磁场力对ab棒所做的功 C．磁场力对ab棒的冲量大小 D．ab棒在导轨上运动时间 15．（2025·天津和平·三模）质量为、电量为的带电粒子以速率v垂直磁感线射入磁感应强度为的匀强磁场中，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，带电粒子在圆周轨道上运动相当于一个环形电流，则下列说法中正确的是 A．环形电流的电流强度跟成正比 B．环形电流的电流强度跟v成正比 C．环形电流的电流强度跟成正比 D．环形电流的电流强度跟成反比 （建议用时：40分钟） 16．（2025·天津和平·一模）如图所示的电路中，电源电动势为E，内阻为r，滑动变阻器最大阻值为R，G为灵敏电流计，开关闭合，两平行金属板M、N之间存在垂直纸面向里的匀强磁场，一带正电的粒子恰好以速度v匀速穿过两板，不计粒子重力．以下说法中正确的是 A．保持开关闭合，滑片P向下移动，粒子可能从M板边缘射出 B．保持开关闭合，滑片P的位置不动，将N板向上移动，粒子可能从M板边缘射出 C．将开关断开，粒子将继续沿直线匀速射出 D．开关断开瞬间，灵敏电流计G指针将发生短暂偏转 17．（2025·天津·一模）如图所示，闭合的矩形导体线圈在匀强磁场中绕垂直于磁感线的对称轴OO′匀速转动，沿着OO′方向观察，线圈沿逆时针方向转动。已知匀强磁场的磁感强度为B，线圈匝数为，边的边长为L1，边的边长为L2，线圈总电阻为R，转动的角速度为ω，则当线圈转至图示位置时（　　） A．线圈中感应电流的方向为 B．线圈中的感应电动势为 C．穿过线圈磁通量随时间的变化率最大 D．线圈边所受安培力的大小为 18．（2025·天津河西·三模）利用电磁场使质量为、电荷量为的电子发生回旋共振可获取高浓度等离子体，其简化原理如下。如图甲所示，匀强磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为：电场强度大小为、平行于纸面的匀强电场绕着过点且垂直纸面的轴顺时针旋转；旋转电场带动电子加速运动，使其获得较高能量，高能电子使空间中的中性气体电离，生成等离子体。 (1)电子在运动的过程中，洛伦兹力对电子 （选填“做功”或“不做功”）。 (2)若空间中只存在匀强磁场，电子只在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，求电子做圆周运动的角速度。 (3)将电子回旋共振简化为二维运动进行研究。施加旋转电场后，电子在如图乙所示的平面内运动，电子在运动过程中受到与其速度方向相反的气体阻力，式中为已知常量。最终电子会以与旋转电场相同的角速度做匀速圆周运动，且电子的线速度与旋转电场力的夹角（小于）保持不变。只考虑电子受到的匀强磁场洛伦兹力、旋转电场电场力及气体阻力作用，不考虑电磁波引起的能量变化。 （i）若电场旋转的角速度为，求电子最终做匀速圆周运动的线速度大小； （ii）旋转电场对电子做功的功率存在最大值，为使电场力的功率不小于最大功率的一半，电场旋转的角速度应控制在范围内，求的数值。 19．（2025·天津和平·三模）霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。Oxy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为。质量为、电荷量为的电子从点不断地沿轴正方向以大小不同的速度水平入射，速度大小在0到范围内变化。入射速度大小为的电子，入射后沿轴做直线运动；入射速度小于时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点电子所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。 (1)求电场强度的大小； (2)若电子入射速度为，求运动到速度为时位置的纵坐标； (3)若一段时间内入射电子的总数为，且电子数随速率的变化均匀分布，求能到达纵坐标位置的电子数占总电子数的百分比。 20．（2025·天津南开·二模）如图所示，在竖直平面内有一半径为r的圆形边界，AB为其水平直径，圆形边界内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为的匀强磁场，过B点的竖直线BD与水平线BC间存在方向竖直向上、电场强度大小为 (未知量)的匀强电场，P点是匀强电场中的某点。现让电荷量为q、质量为m的带正电粒子(不计重力)从A 点射入匀强磁场，然后从B 点离开匀强磁场，粒子在匀强磁场中运动的轨迹圆的半径为2r，粒子经过一段时间t0从B 点运动到 P点时速度恰好水平向右。求： (1)粒子从A 点射入匀强磁场时速度 v0的大小和从A 点运动到B 点所用时间t； (2)匀强电场的电场强度的大小和BP两点间的电势差 。 21．（2025·天津河西·二模）如图所示，平面直角坐标系内，在的区域存在沿轴正方向的匀强电场，在的区域存在垂直于纸面向外的匀强磁场。一质量为、带电量为的粒子从点以初速度沿轴负方向射出，经过坐标原点后进入磁场，然后又从轴上的点离开磁场。不计粒子的重力，求： (1)匀强电场的电场强度大小和粒子经过坐标原点时的速度大小； (2)匀强磁场的磁感应强度大小和粒子在匀强磁场中运动的时间。 22．（2025·天津宁河·一模）如图所示，在直角坐标系xOy中，第一象限有竖直向上的匀强电场，第二、四象限有垂直纸面向里的匀强磁场。已知质量为m、电荷量为-q的粒子从x轴上的M点以速度v0沿y轴正方向进入第二象限，经y轴上N点沿x轴正方向射入第一象限，再从x轴上P点进入第四象限，经y轴上的Q点（图中未画出）射出磁场。已知第二、四象限匀强磁场的磁感应强度大小均为（d为已知量），粒子在P点的速度与x轴正方向成45°角，不计粒子的重力。求： (1)ON的长度； (2)匀强电场的场强大小和OP的长度； (3)PQ的长度。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难 10 磁场 带电粒子在磁场中的运动 ( 内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 重难考向聚焦 锁定目标 精准打击： 快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向 重难技巧突破 授予利器 瓦解难点： 总结瓦解此重难点的核心方法论与实战技巧 重难保分练 稳扎稳打 必拿分数 ： 聚焦可稳拿分数题目，确保重难点基础分值 重难抢分练 突破瓶颈 争夺高分： 聚焦于中高难度题目，争夺关键分数 重难冲刺练 模拟实战 挑战顶尖： 挑战高考压轴题，养成稳定攻克难题的“题感” ) 一：对洛伦兹力的理解和应用 1．洛伦兹力的定义 磁场对运动电荷的作用力． 2．洛伦兹力的大小 (1)v∥B时，F＝0； (2)v⊥B时，F＝qvB； (3)v与B的夹角为θ时，F＝qvBsin θ. 3．洛伦兹力的方向 (1)判定方法：应用左手定则，注意四指应指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向； (2)方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B、v决定的平面．(注意B和v可以有任意夹角) 【归纳总结】洛伦兹力与电场力的比较 洛伦兹力 电场力 产生条件 v≠0且v不与B平行 (说明：运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用) 电荷处在电场中 大小 F＝qvB(v⊥B) F＝qE 力方向与场 方向的关系 F⊥B，F⊥v F∥E 做功情况 任何情况下都不做功 可能做功，也可能不做功 二：带电粒子在匀强磁场中的运动 1．在匀强磁场中，当带电粒子平行于磁场方向运动时，粒子做匀速直线运动． 2．带电粒子以速度v垂直射入磁感应强度为B的匀强磁场中，若只受洛伦兹力，则带电粒子在与磁场垂直的平面内做匀速圆周运动． (1)洛伦兹力提供向心力：qvB＝. (2)轨迹半径：r＝. (3)周期：T＝、T＝，可知T与运动速度和轨迹半径无关，只和粒子的比荷和磁场的磁感应强度有关． (4)运动时间：当带电粒子转过的圆心角为θ(弧度)时，所用时间t＝T. (5)动能：Ek＝mv2＝＝. 三：带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动 基本思路 图例 说明 圆心的确定 ①与速度方向垂直的直线过圆心 ②弦的垂直平分线过圆心 ③轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心 P、M点速度垂线交点 P点速度垂线与弦的垂直平分线交点 某点的速度垂线与切点法线的交点 半径的确定 利用平面几何知识求半径 常用解三角形法：例：(左图) R＝或由R2＝L2＋(R－d)2求得R＝ 运动时间的确定 利用轨迹对应圆心角θ或轨迹长度L求时间 ①t＝T ②t＝ (1) 速度的偏转角φ等于AB所对的圆心角θ (2)偏转角φ与弦切角α的关系： (2) φ＜180°时，φ＝2α；φ＞180°时，φ＝360°－2α 技巧1：带电粒子在磁场中运动的临界和多解问题 类型 分析 图例 带电粒子电性不确定　 受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解 如图，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a；如带负电，其轨迹为b 磁场方向不确定　 只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成多解 如图，带正电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b 临界状态不唯一　 带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过磁场飞出，也可能转过180°从入射界面一侧反向飞出，于是形成多解 运动具有周期性　 带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运动时，运动往往具有周期性，因而形成多解 技巧2：动态圆问题 1．临界条件 带电粒子刚好穿出(不穿出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切，故边界(边界的切线)与轨迹过切点的半径(直径)垂直． 2．解题步骤 分析情景→作基础图→作动态图→确定临界轨迹→分析临界状态→构建三角形→解三角形 3．常见的几种临界情况 (1)直线边界 最长时间：弧长最长，一般为轨迹与直线边界相切． 最短时间：弧长最短(弦长最短)，入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直． 如图1，P为入射点，M为出射点． (2)圆形边界：公共弦为小圆直径时，出现极值，即： 当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大． 当运动轨迹圆半径小于圆形磁场半径时，则以轨迹圆直径的两端点为入射点和出射点的圆形磁场对应的圆心角最大． 模型一　“平移圆”模型 适 用 条 件 速度大小一定，方向一定，但入射点在同一直线上 粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝，如图所示 轨迹圆圆心共线 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行 界定 方法 将半径为R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法 模型二　“旋转圆”模型 适 用 条 件 速度大小一定，方向不同 粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v0，则圆周运动轨迹半径为R＝，如图所示 轨迹圆圆心共圆 如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝的圆上 界定 方法 将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转圆”法 模型三　“放缩圆”模型 适 用 条 件 速度方向一定，大小不同 粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化 轨迹圆圆心共线 如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大．可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上 界定 方法 以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法 模型四　“磁聚焦”模型 1．带电粒子的会聚 如图甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出．(会聚) 证明：四边形OAO′B为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB必平行于AO′(即竖直方向)，可知从A点发出的带电粒子必然经过B点． 2．带电粒子的发散 如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行．(发散) 证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，O1A(O2B、O3C)均平行于PO，即出射速度方向相同(即水平方向)． （建议用时：30分钟） 1．（2025·天津北辰·三模）如图，在平面直角坐标系的第三象限内存在沿轴正方向的匀强电场，第一象限某区域内存在垂直于坐标平面向里的圆形区域的匀强磁场（图中没有画出）。一质量为，电荷量为的带正电粒子从电场中的点以大小为的速度平行于轴正方向射入电场，经原点射入第一象限时与轴正方向的夹角为，运动一段时间后进入圆形匀强磁场区域，最后射出磁场时与轴正方向的夹角也为。已知点与轴的距离为，匀强磁场的磁感应强度大小，不计粒子受到的重力。求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)粒子在磁场中运动的时间； (3)圆形匀强磁场区域的最小半径。 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）带电粒子在电场中做类平抛运动，有，， 又 联立解得 （2）设粒子从点射入第一象限时的速度大小为，在磁场中运动轨迹所对应的圆心角等于，则运动时间 又有， 联立解得 （3）粒子在匀强磁场区域内的运动轨迹如图所示 由几何关系可知，当进入磁场的点和射出磁场的点的连线是圆形磁场区域的直径时，磁场区域半径最小，则有 又， 联立解得 2．（2025·天津·二模）如图所示，空间内存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向上的匀强电场，一带负电小球（可视为质点）质量，电荷量大小，从倾角的光滑斜面最高点由静止开始下滑，当沿斜面下滑距离时与斜面脱离。此时立即将电场反向，小球做匀速圆周运动，最终恰好不与地面发生碰撞。（已知，，重力加速度取） (1)求电场强度的大小； (2)求磁感应强度的大小； (3)求斜面的长度。 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）根据题意，当小球沿斜面下滑距离时立即将电场反向，小球做匀速圆周运动，说明电场力与重力的合力为零 由电场力与重力平衡得 代入数据解得电场强度的大小 （2）由题意知，当小球沿斜面下滑距离时与斜面脱离，分析小球此时受力情况可知，斜面对小球弹力恰为零，小球仅受重力、电场力和洛伦兹力作用 在垂直于斜面方向上 由平衡知识可得 下滑距离的过程只有重力和电场力做功 由动能定理得 联立并代入数据解得， （3）设脱离点距斜面底端距离为x，小球圆周运动的轨道半径为R 由洛伦兹力提供向心力得 代入数据解得 由几何关系可得 故斜面的长度 3．（2025·天津·一模）如图所示，电源的内阻为r，滑动变阻器的总电阻为2r，两平行金属板a、b的间距为d，板长为L，板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。初始时开关S闭合，当滑片P在滑动变阻器中间时，一带正电粒子以速度v0正好可以匀速穿过两板的正中间。已知粒子的质量为m，不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A．电源的电动势为 B．若将滑动变阻器滑片滑到最下端，粒子射出两极板时的速度减小 C．若将滑动变阻器滑片滑到最下端，粒子射出两极板时的速度增大 D．若开关S为断开状态，粒子仍以速度v0从极板正中间沿平行极板的方向射入，刚好从a板的右边缘射出，则粒子的电荷量为 【答案】AC 【详解】A．滑片在正中间时，此时滑动变阻器连入电路的阻值为r，极板间的电压为 粒子可以匀速穿过两板正中间，电场力恰好等于洛伦兹力 解得E= 故A正确； BC．滑片滑到最下端时，滑动变阻器连入电路的阻值最大为2r，极板间电压为 此时极板间的电场力与洛伦兹力的关系为 电场力会对粒子做正功，粒子动能增大，速度增大，故B错误，C正确； D．开关断开时，电容会对滑动变阻器放电，最终两端电压为零，极板间仅剩磁场，由题意可知，其恰好从a板边缘射出，如图所示 根据几何关系有 粒子做圆周运动，洛伦兹力提供向心力 解得 故D错误。 故选AC。 4．（2025·天津红桥·二模）近期以Deepseek为代表的我国自主知识产权的人工智能大模型正在迅猛发展，这些大模型在应用中都离不开能源的支撑。据统计我国每年的能源消耗是美国的两倍，是印度的六倍，现在我国67%的能源来源于火力发电。2025年3月可控核聚变实验装置“中国环流三号”又有新的技术突破，这标志着可控核聚变离并网发电又更近了一步，届时能源问题将彻底解决。利用高温超导产生的强磁场将高温反应中的带电粒子“约束”在一定区域内，使其不能射出，是可控核聚变的关键性技术难点。某同学为探究带电粒子的“约束”问题，构想了如图所示的磁场区域，假设匀强磁场的磁感应强度大小为B、垂直于纸面，其边界分别是半径为R和2R的同心圆，O为圆心，A为磁场内在圆弧上的一点，P为OA的中点。若有一粒子源向纸面内的各个方向发射出比荷为的带负电粒子，粒子速度连续分布，且无相互作用。不计粒子的重力，取sin37°=0.6，cos37°=0.8，求∶ (1)粒子源在A点时，若所有粒子都不能穿出磁场，粒子速度的最大值； (2)粒子源在O时，被磁场约束的粒子速度最大值； (3)粒子源在P点时，被磁场约束的粒子速度的最大值。 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）如图1所示 由题意可知当粒子从A点与内圆相切向上射入磁场，轨迹恰好与外圆相切，根据几何关系有 洛伦兹力提供带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律有 解得 （2）如图2所示 当粒子源在O时，粒子在磁场中的运动轨迹与磁场外边界相切时，被磁场约束的粒子每次经过磁场时间为最大值，设粒子运动半径为，在中有OA2+AC2=OC2 即 解得 洛伦兹力提供带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的向心力 根据牛顿第二定律有 解得 （3）如图3所示 当粒子源在P点时，越大，轨迹半径越大 根据正弦定理有 又因为的最大值为1，故的最大值为0.5 粒子在磁场中的运动轨迹与磁场外边界相切时，被磁场约束的粒子的半径最大，速度为最大值，设粒子运动半径为，根据几何关系可得 洛伦兹力提供带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的向心力 根据牛顿第二定律有 解得 5．（2025·天津·一模）如图所示，在匀强电场中建立直角坐标系xOy，y轴竖直向上，一质量为m、电荷量为-q的微粒从x轴上的M点射出，方向与x轴夹角θ=30°，微粒恰能以速度v做匀速直线运动，重力加速度为g。 (1)求匀强电场场强E的大小和方向； (2)若再叠加一圆形边界的匀强磁场，使微粒能到达x轴上的N点，M、N两点关于原点O对称，距离为L，微粒运动轨迹也关于y轴对称。已知磁场的磁感应强度，方向垂直xOy平面向里。求带电粒子的运动半径R； (3)求该微粒从M运动到N的时间t。 【答案】(1)，方向竖直向下(2)(3) 【详解】（1）当微粒在电场中做匀速直线运动时，它所爱的电场力与重力平衡，有qE－mg=0 解得 方向竖直向下。 （2）微粒在磁场中运动，由洛仑兹力提供向心力 解得 （3）由圆周运动规律可得 根据几何关系可知偏转角为2θ，则在磁场中运动的时间 又 且有 故微粒从M运动到N的时间 6．（2025·天津西青·模拟预测）笔记本电脑机身和显示屏对应部位分别有磁体和霍尔元件。当显示屏开启时磁体远离霍尔元件，电脑正常工作；当显示屏闭合时磁体靠近霍尔元件，屏幕熄灭，电脑进入休眠状态。如图所示，一块宽为a、长为c的矩形半导体霍尔元件，元件内的导电粒子是电荷量为e的自由电子，通入方向向右的电流时，电子的定向移动速度为v。当显示屏闭合时元件处于垂直于上表面、方向向下的匀强磁场中，于是元件的前、后表面间出现电压U，以此控制屏幕的熄灭。则元件的（　　） A．前表面的电势比后表面的低 B．前、后表面间的电压U与a无关 C．前、后表面间的电压U与v成正比 D．自由电子受到的洛伦兹力大小为 【答案】C 【详解】A．电流向右，电子向左移动，根据左手定则，电子向后表面移动，故前表面的电势比后表面的高，故A错误； BC．根据平衡条件 解得 故U与a有关，U与v成正比，故B错误， C正确； D．自由电子受到的洛伦兹力大小为 故D错误。 故选C。 7．（2025·天津红桥·二模）为监测某化工厂的含有离子的污水排放情况，技术人员在排污管中安装了监测装置，该装置的核心部分是一个用绝缘材料制成的空腔，其宽和高分别为和，左、右两端开口与排污管相连，如图所示。在垂直于上、下底面加磁感应强度为向下的匀强磁场，在空腔前、后两个侧面上各有长为的相互平行且正对的电极和，和与内阻为的电流表相连。污水从左向右流经该装置时，电流表将显示出污水排放情况。下列说法中正确的是（　　） A．板比板电势高 B．污水中离子浓度越高，则电流表的示数越小 C．污水流量大小，对电流表的示数无影响 D．若只增大所加磁场的磁感强度，则电流表的示数也增大 【答案】D 【详解】A．根据左手定则，正离子往N板偏，负离子往M板偏，最终M板带负电，N板带正电，M板电势比N板电势低，故A错误； BCD．最终正负离子在电场力和洛伦兹力的作用下处于平衡，可得 污水的流量 则MN两端间的电势差为 污水流量越大，电势差越大，电流表示数越大；增加磁感应强度，电势差增大，电流表示数也增大；污水中离子浓度越大，导线性能越好，即电阻率减小，M、N间污水的电阻r越小，其他条件不变时，回路中的电流越大，故BC错误，D正确。 故选D。 8．（2025·天津静海·一模）比值法定义物理量是物理学中一种常用的方法，下面四个式子中能表示用比值法定义物理量的是（　　） A．电流 B．磁感应强度 C．电场强度 D．电阻 【答案】B 【详解】A．电流与电源电动势成正比，与电路总电阻成反比，不属于比值定义法，故A错误； B．磁感应强度与放入磁场中的通电导线无关，由磁场本身决定，所以属于比值定义法，故B正确； C．电场强度与电势差成正比，与沿电场线方向的距离成反比，所以不属于比值定义法，故C错误； D．电阻与电阻丝的长度成正比，与横截面积成反比，所以不属于比值定义法，故D错误。 故选B。 （建议用时：30分钟） 9．（2025·天津蓟州·模拟预测）为了测量化工厂的污水排放量，技术人员在排污管末端安装了流量计流量为单位时间内流过某截面流体的体积如图所示，长方体绝缘管道的长、宽、高分别为、、，左、右两端开口，所在空间有垂直于前后表面、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在上、下两个面的内侧固定有金属板、N，污水充满管道从左向右匀速流动。测得、N间电压为，污水流过管道时受到的阻力大小是比例系数，为污水沿流速方向的长度，为污水的流速。则（　　） A．污水的流量 B．金属板的电势不一定高于金属板N的电势 C．电压与污水中离子浓度成正比 D．左、右两侧管口的压强差 【答案】D 【详解】A.根据 得： 则有： 故A项错误； B. 根据左手定则，正离子向上表面偏转，负离子向下表面偏转，知上表面的电势一定高于下表面的电势，即金属板M的电势一定高于金属板N的电势，故B项错误； C. 最终离子在电场力和洛伦兹力作用下平衡，有： 解得：U=vBc 电压与污水中离子浓度无关，故C错误； D. 根据平衡条件，则有 而 解得： 故D项正确。 故选D。 10．（2025·天津滨海新·三模）某种以自由电子作为载流子的霍尔元件，可以应用于检测电流的装置中，基本结构如图所示。通有待测电流的螺线管在其正上方的霍尔元件处产生的磁场，通有电流的直导体棒在其左侧的霍尔元件处产生的磁场。给霍尔元件通以由前表面到后表面的电流I，则下列说法正确的是（　　） A．只有导体棒通电时，霍尔元件左侧面a端电势高于右侧面b端 B．当a、b两端电势差为零时，螺线管所在回路的电源正极方向向下 C．霍尔元件处的磁感应强度恒定不变时，I增大，a、b两端电势差变大 D．当电流表读数为时，发现a、b两端电势差为零，则螺线管中电流 【答案】AC 【详解】A．只有导体棒通电时，根据安培定则可判断在霍尔元件处产生向上的磁场，根据左手定则可判断电流对应的电子受到洛伦兹力向b端聚集，所以左侧面a端电势高于右侧面b端，故A正确； B．当ab两端电势差为零时，说明螺线管和导体棒在霍尔元件处形成的磁场大小相等，方向相反，即螺线管在霍尔元件处形成的磁场方向向下，则螺线管所在回路的电源正极方向向上，故B错误； C．霍尔元件处的磁感应强度恒定不变时，I增大，根据电流的微观表达式I=nqvS 可知电荷运动速度增大，再根据 可得U=vBd 则a、b两端电势差变大，故C正确； D．当ab两端电势差为零时，说明螺线管和导体棒在霍尔元件处形成的磁场大小相等，方向相反，可得k1I1=k2I2 可得 故D错误。 故选AC。 11．（2025·天津南开·一模）2020年12月2日22时，经过约19小时月面工作，嫦娥5号完成了月面自动采样封装，这其中要用到许多压力传感器。有些压力传感器是通过霍尔元件将压力信号转化为电信号，当压力改变时有电流通过霍尔元件。如图所示，一块宽为a、长为c、厚为h的长方体半导体霍尔元件，元件内的导电粒子是电荷量为的自由电子，通入如图所示方向的电流时，电子的定向移动速度为v。若元件处于磁感应强度为B、方向垂直于上表面向下的匀强磁场中，前后两表面会形成电势差U。下列说法中正确的是（　　） A．自由电子受到的洛伦兹力方向为垂直前表面向外 B．前表面的电势比后表面的高 C．自由电子受到的洛伦兹力大小为 D．前、后表面间电势差 【答案】AC 【详解】AB．电流方向向左，电子向右定向移动，由左手定则可知，自由电子受到的洛伦兹力方向为垂直前表面向外，则前表面积累了电子，前表面的电势比后表面的低，故A正确，B错误； CD．由电子受力平衡可得 解得 故C正确，D错误。 故选AC。 12．（2025·天津红桥·一模）如图所示，套在足够长的绝缘粗糙直棒上的带正电小球，其质量为m，带电荷量为q，小球可在棒上滑动，现将此棒竖直放入沿水平方向且互相垂直的匀强磁场和匀强电场中，设小球电荷量不变，小球由静止下滑的过程中（　　） A．小球加速度一直减小 B．小球速度一直增大，直到最后匀速 C．杆对小球的弹力一直增大 D．小球所受洛伦兹力一直增大，直到最后不变 【答案】BD 【详解】小球下滑过程中，受力如图所示 水平方向受力平衡qvB＋FN=qE 竖直方向由牛顿第二定律得mg－Ff＝mg－μFN＝ma 小球向下加速，所以洛伦兹力增大，则FN减小，Ff＝μFN减小，故加速度增大，因此小球先做加速度增大的加速运动；当qE＝qvB 此时FN＝0，Ff＝0，加速度等于重力加速度；小球继续加速，水平方向上qvB＝qE＋FN 竖直方向上Mg-Ff＝mg-μFN＝ma 速度继续增大，则FN增大，故加速度减小，因此小球做加速度减小的加速运动，最后匀速运动；故整个过程小球先做加速度增大的加速运动，然后做加速度减小的加速运动，最后匀速运动，小球所受洛伦兹力一直增大，直到最后不变。 故选BD。 13．（2021·天津·一模）如图所示，虚线上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B。一群电子以不同速率从边界上的P点以相同的入射方向射入磁场。其中某一速率为v的电子从Q点射出边界。已知电子入射方向与边界的夹角为，则（　　） A．该匀强磁场的方向垂直纸面向里 B．所有电子在磁场中的轨迹半径相同 C．速率越大的电子在磁场中运动时间越长 D．在此过程中每个电子的速度方向都改变 【答案】AD 【详解】A．由左手定则可判断，该匀强磁场的方向垂直纸面向里，A正确； B．由洛伦兹力作为向心力可得 整理得 电子的轨迹半径与速度大小有关，B错误； CD．由周期公式 可知，电子在磁场中的运动周期相同，由几何关系可知，在此过程中每个电子的速度方向都改变，即轨迹圆心角为，电子在磁场中的运动时间 故不同速率的电子在磁场中运动时间都相同，C错误，D正确。 故选AD。 14．（2025·天津·模拟预测）如图所示，水平桌面上放着一对平行的金属导轨，左端与一电源相连，中间还串有一开关K，导轨上放着一根金属棒ab，空间存在着垂直于导轨平面向下的匀强磁场。已知两导轨间距为d，电源电动势为E，导轨电阻及电源内阻均不计，ab棒的电阻为R，质量为m，棒与导轨间摩擦不计。闭合开关K，ab棒向右运动并从桌边水平飞出，已知桌面离地高度为h，金属棒落地点的水平位移为s。下面的结论中正确的是（　　） A．开始时ab棒离导轨右端的距离 B．磁场力对ab棒所做的功 C．磁场力对ab棒的冲量大小 D．ab棒在导轨上运动时间 【答案】BC 【详解】A．ab受到的安培力 ab棒离开桌面后做平抛运动，水平方向s=vt竖直方向解得 对于加速过程由动能定理可知 解得故A错误； B．安培力做的功故B正确； C．由动量定理可知，冲量故C正确； D．由I=Ft，解得 故D错误； 故选BC。 15．（2025·天津和平·三模）质量为、电量为的带电粒子以速率v垂直磁感线射入磁感应强度为的匀强磁场中，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，带电粒子在圆周轨道上运动相当于一个环形电流，则下列说法中正确的是 A．环形电流的电流强度跟成正比 B．环形电流的电流强度跟v成正比 C．环形电流的电流强度跟成正比 D．环形电流的电流强度跟成反比 【答案】CD 【详解】设带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期为T，半径为r，则由，得，环形电流：，可见，I与q的平方成正比，与v无关，与B成正比，与m成反比，故AB错误，CD正确． （建议用时：40分钟） 16．（2025·天津和平·一模）如图所示的电路中，电源电动势为E，内阻为r，滑动变阻器最大阻值为R，G为灵敏电流计，开关闭合，两平行金属板M、N之间存在垂直纸面向里的匀强磁场，一带正电的粒子恰好以速度v匀速穿过两板，不计粒子重力．以下说法中正确的是 A．保持开关闭合，滑片P向下移动，粒子可能从M板边缘射出 B．保持开关闭合，滑片P的位置不动，将N板向上移动，粒子可能从M板边缘射出 C．将开关断开，粒子将继续沿直线匀速射出 D．开关断开瞬间，灵敏电流计G指针将发生短暂偏转 【答案】AD 【详解】A．由粒子在复合场中做匀速直线运动可知，粒子所受电场力与洛伦兹力大小相等，方向相反，当保持开关闭合，滑片向下移动，电容器两极板间的电压U减小，电场力减小，则粒子所受向上的洛伦兹力大于竖直向下的电场力，从而向上偏转，有可能从M板边缘射出，故选项A正确； B．将N板向上移动使得两极板间距减小，则粒子所受竖直向下的电场力增大，向下偏转，不可能从M板边缘射出，故B选项错误； CD．将开关断开，平行板电容器放电，因此灵敏电流计G指针发生短暂偏转，此后粒子将只受洛伦兹力做匀速圆周运动，因此D选项正确，C选项错误．综上分析，AD正确． 17．（2025·天津·一模）如图所示，闭合的矩形导体线圈在匀强磁场中绕垂直于磁感线的对称轴OO′匀速转动，沿着OO′方向观察，线圈沿逆时针方向转动。已知匀强磁场的磁感强度为B，线圈匝数为，边的边长为L1，边的边长为L2，线圈总电阻为R，转动的角速度为ω，则当线圈转至图示位置时（　　） A．线圈中感应电流的方向为 B．线圈中的感应电动势为 C．穿过线圈磁通量随时间的变化率最大 D．线圈边所受安培力的大小为 【答案】BC 【详解】A．图示时刻，ad速度方向向里，bc速度方向向外，根据右手定则判断出ad中感应电流方向为a→d，bc中电流方向为c→b，线圈中感应电流的方向为adcba。故A错误； B．线圈中的感应电动势为E=nBSω=nBL1L2ω 故B正确； C．图示时刻ad、bc两边垂直切割磁感线，线圈中产生的感应电动势最大，由法拉第电磁感应定律分析得知，磁通量的变化率最大，故C正确； D．线圈ad边所受安培力的大小为F=nBIL2= 故D错误。 故选BC。 18．（2025·天津河西·三模）利用电磁场使质量为、电荷量为的电子发生回旋共振可获取高浓度等离子体，其简化原理如下。如图甲所示，匀强磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为：电场强度大小为、平行于纸面的匀强电场绕着过点且垂直纸面的轴顺时针旋转；旋转电场带动电子加速运动，使其获得较高能量，高能电子使空间中的中性气体电离，生成等离子体。 (1)电子在运动的过程中，洛伦兹力对电子 （选填“做功”或“不做功”）。 (2)若空间中只存在匀强磁场，电子只在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，求电子做圆周运动的角速度。 (3)将电子回旋共振简化为二维运动进行研究。施加旋转电场后，电子在如图乙所示的平面内运动，电子在运动过程中受到与其速度方向相反的气体阻力，式中为已知常量。最终电子会以与旋转电场相同的角速度做匀速圆周运动，且电子的线速度与旋转电场力的夹角（小于）保持不变。只考虑电子受到的匀强磁场洛伦兹力、旋转电场电场力及气体阻力作用，不考虑电磁波引起的能量变化。 （i）若电场旋转的角速度为，求电子最终做匀速圆周运动的线速度大小； （ii）旋转电场对电子做功的功率存在最大值，为使电场力的功率不小于最大功率的一半，电场旋转的角速度应控制在范围内，求的数值。 【答案】(1)不做功 (2) (3)（i）；（ii） 【详解】（1）洛伦兹力的方向时刻与速度方向垂直，故电子在运动的过程中，洛伦兹力对电子不做功； （2）电子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动 解得 （3）（i）设电场力方向与速度方向的夹角为，沿圆轨迹的半径方向有 沿圆轨迹的切线方向有 解得 （ii）设电场力方向与速度方向的夹角为，旋转电场对电子做功的功率为 当时，电场对电子做功的功率最大 当时，有 解得， 则 19．（2025·天津和平·三模）霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。Oxy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为。质量为、电荷量为的电子从点不断地沿轴正方向以大小不同的速度水平入射，速度大小在0到范围内变化。入射速度大小为的电子，入射后沿轴做直线运动；入射速度小于时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点电子所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。 (1)求电场强度的大小； (2)若电子入射速度为，求运动到速度为时位置的纵坐标； (3)若一段时间内入射电子的总数为，且电子数随速率的变化均匀分布，求能到达纵坐标位置的电子数占总电子数的百分比。 【答案】(1)(2)(3)90% 【详解】（1）由题知，入射速度为时，电子沿轴做直线运动则有 解得 （2）电子在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场的复合场中，由于洛伦兹力不做功，且由于电子入射速度为，则电子受到的电场力大于洛伦兹力，则电子向上偏转，根据动能定理有 解得 （3）若电子以入射时，设电子能达到的最高点位置的纵坐标为，则根据动能定理有 由于电子在最高点与在最低点所受的合力大小相等，则在最高点有 在最低点有 联立有， 要让电子达纵坐标位置，即 解得 则若电子入射速度在范围内均匀分布，能到达纵坐标位置的电子数占总电子数的90%。 20．（2025·天津南开·二模）如图所示，在竖直平面内有一半径为r的圆形边界，AB为其水平直径，圆形边界内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为的匀强磁场，过B点的竖直线BD与水平线BC间存在方向竖直向上、电场强度大小为 (未知量)的匀强电场，P点是匀强电场中的某点。现让电荷量为q、质量为m的带正电粒子(不计重力)从A 点射入匀强磁场，然后从B 点离开匀强磁场，粒子在匀强磁场中运动的轨迹圆的半径为2r，粒子经过一段时间t0从B 点运动到 P点时速度恰好水平向右。求： (1)粒子从A 点射入匀强磁场时速度 v0的大小和从A 点运动到B 点所用时间t； (2)匀强电场的电场强度的大小和BP两点间的电势差 。 【答案】(1)，(2)， 【详解】（1）粒子在磁场中运动，有 解得 如图所示 根据几何关系有 解得 粒子在磁场中运动周期 解得运动时间为 （2）粒子从点离开磁场时，速度方向与水平线夹角为。把点的速度沿水平方向和竖直方向分解，则有 由类平抛运动的规律可得， 解得 方法一：， 解得 方法二：， 解得 21．（2025·天津河西·二模）如图所示，平面直角坐标系内，在的区域存在沿轴正方向的匀强电场，在的区域存在垂直于纸面向外的匀强磁场。一质量为、带电量为的粒子从点以初速度沿轴负方向射出，经过坐标原点后进入磁场，然后又从轴上的点离开磁场。不计粒子的重力，求： (1)匀强电场的电场强度大小和粒子经过坐标原点时的速度大小； (2)匀强磁场的磁感应强度大小和粒子在匀强磁场中运动的时间。 【答案】(1)，(2)， 【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，轴方向有，， 轴方向有 粒子经过点时的速度 解得， （2）粒子经过点时， 由几何关系可知 根据牛顿第二定律 粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期 粒子在磁场中运动的时间 解得， 22．（2025·天津宁河·一模）如图所示，在直角坐标系xOy中，第一象限有竖直向上的匀强电场，第二、四象限有垂直纸面向里的匀强磁场。已知质量为m、电荷量为-q的粒子从x轴上的M点以速度v0沿y轴正方向进入第二象限，经y轴上N点沿x轴正方向射入第一象限，再从x轴上P点进入第四象限，经y轴上的Q点（图中未画出）射出磁场。已知第二、四象限匀强磁场的磁感应强度大小均为（d为已知量），粒子在P点的速度与x轴正方向成45°角，不计粒子的重力。求： (1)ON的长度； (2)匀强电场的场强大小和OP的长度； (3)PQ的长度。 【答案】(1)d(2)，2d(3) 【详解】（1）粒子的运动轨迹如图所示 设粒子在磁场中的轨迹半径为r，则 解得 所以 （2）粒子进入电场中做类平抛运动，则，， 联立以上各式解得 水平方向有 联立以上各式解得 （3）根据几何关系有 所以 又 联立以上各式可得 所以 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难 10 磁场 带电粒子在磁场中的运动（重难专练） （建议用时：30分钟） 1．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）带电粒子在电场中做类平抛运动，有，， 又 联立解得 （2）设粒子从点射入第一象限时的速度大小为，在磁场中运动轨迹所对应的圆心角等于，则运动时间 又有， 联立解得 （3）粒子在匀强磁场区域内的运动轨迹如图所示 由几何关系可知，当进入磁场的点和射出磁场的点的连线是圆形磁场区域的直径时，磁场区域半径最小，则有 又， 联立解得 2．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据题意，当小球沿斜面下滑距离时立即将电场反向，小球做匀速圆周运动，说明电场力与重力的合力为零 由电场力与重力平衡得 代入数据解得电场强度的大小 （2）由题意知，当小球沿斜面下滑距离时与斜面脱离，分析小球此时受力情况可知，斜面对小球弹力恰为零，小球仅受重力、电场力和洛伦兹力作用 在垂直于斜面方向上 由平衡知识可得 下滑距离的过程只有重力和电场力做功 由动能定理得 联立并代入数据解得， （3）设脱离点距斜面底端距离为x，小球圆周运动的轨道半径为R 由洛伦兹力提供向心力得 代入数据解得 由几何关系可得 故斜面的长度 3．【答案】AC 【详解】A．滑片在正中间时，此时滑动变阻器连入电路的阻值为r，极板间的电压为 粒子可以匀速穿过两板正中间，电场力恰好等于洛伦兹力 解得E= 故A正确； BC．滑片滑到最下端时，滑动变阻器连入电路的阻值最大为2r，极板间电压为 此时极板间的电场力与洛伦兹力的关系为 电场力会对粒子做正功，粒子动能增大，速度增大，故B错误，C正确； D．开关断开时，电容会对滑动变阻器放电，最终两端电压为零，极板间仅剩磁场，由题意可知，其恰好从a板边缘射出，如图所示 根据几何关系有 粒子做圆周运动，洛伦兹力提供向心力 解得 故D错误。 故选AC。 4．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）如图1所示 由题意可知当粒子从A点与内圆相切向上射入磁场，轨迹恰好与外圆相切，根据几何关系有 洛伦兹力提供带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律有 解得 （2）如图2所示 当粒子源在O时，粒子在磁场中的运动轨迹与磁场外边界相切时，被磁场约束的粒子每次经过磁场时间为最大值，设粒子运动半径为，在中有OA2+AC2=OC2 即 解得 洛伦兹力提供带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的向心力 根据牛顿第二定律有 解得 （3）如图3所示 当粒子源在P点时，越大，轨迹半径越大 根据正弦定理有 又因为的最大值为1，故的最大值为0.5 粒子在磁场中的运动轨迹与磁场外边界相切时，被磁场约束的粒子的半径最大，速度为最大值，设粒子运动半径为，根据几何关系可得 洛伦兹力提供带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的向心力 根据牛顿第二定律有 解得 5．【答案】(1)，方向竖直向下 (2) (3) 【详解】（1）当微粒在电场中做匀速直线运动时，它所爱的电场力与重力平衡，有qE－mg=0 解得 方向竖直向下。 （2）微粒在磁场中运动，由洛仑兹力提供向心力 解得 （3）由圆周运动规律可得 根据几何关系可知偏转角为2θ，则在磁场中运动的时间 又 且有 故微粒从M运动到N的时间 6．【答案】C 【详解】A．电流向右，电子向左移动，根据左手定则，电子向后表面移动，故前表面的电势比后表面的高，故A错误； BC．根据平衡条件 解得 故U与a有关，U与v成正比，故B错误， C正确； D．自由电子受到的洛伦兹力大小为 故D错误。 故选C。 7．【答案】D 【详解】A．根据左手定则，正离子往N板偏，负离子往M板偏，最终M板带负电，N板带正电，M板电势比N板电势低，故A错误； BCD．最终正负离子在电场力和洛伦兹力的作用下处于平衡，可得 污水的流量 则MN两端间的电势差为 污水流量越大，电势差越大，电流表示数越大；增加磁感应强度，电势差增大，电流表示数也增大；污水中离子浓度越大，导线性能越好，即电阻率减小，M、N间污水的电阻r越小，其他条件不变时，回路中的电流越大，故BC错误，D正确。 故选D。 8．【答案】B 【详解】A．电流与电源电动势成正比，与电路总电阻成反比，不属于比值定义法，故A错误； B．磁感应强度与放入磁场中的通电导线无关，由磁场本身决定，所以属于比值定义法，故B正确； C．电场强度与电势差成正比，与沿电场线方向的距离成反比，所以不属于比值定义法，故C错误； D．电阻与电阻丝的长度成正比，与横截面积成反比，所以不属于比值定义法，故D错误。 故选B。 （建议用时：30分钟） 9．【答案】D 【详解】A.根据 得： 则有： 故A项错误； B. 根据左手定则，正离子向上表面偏转，负离子向下表面偏转，知上表面的电势一定高于下表面的电势，即金属板M的电势一定高于金属板N的电势，故B项错误； C. 最终离子在电场力和洛伦兹力作用下平衡，有： 解得：U=vBc 电压与污水中离子浓度无关，故C错误； D. 根据平衡条件，则有 而 解得： 故D项正确。 故选D。 10．【答案】AC 【详解】A．只有导体棒通电时，根据安培定则可判断在霍尔元件处产生向上的磁场，根据左手定则可判断电流对应的电子受到洛伦兹力向b端聚集，所以左侧面a端电势高于右侧面b端，故A正确； B．当ab两端电势差为零时，说明螺线管和导体棒在霍尔元件处形成的磁场大小相等，方向相反，即螺线管在霍尔元件处形成的磁场方向向下，则螺线管所在回路的电源正极方向向上，故B错误； C．霍尔元件处的磁感应强度恒定不变时，I增大，根据电流的微观表达式I=nqvS 可知电荷运动速度增大，再根据 可得U=vBd 则a、b两端电势差变大，故C正确； D．当ab两端电势差为零时，说明螺线管和导体棒在霍尔元件处形成的磁场大小相等，方向相反，可得k1I1=k2I2 可得 故D错误。 故选AC。 11．【答案】AC 【详解】AB．电流方向向左，电子向右定向移动，由左手定则可知，自由电子受到的洛伦兹力方向为垂直前表面向外，则前表面积累了电子，前表面的电势比后表面的低，故A正确，B错误； CD．由电子受力平衡可得 解得 故C正确，D错误。 故选AC。 12．【答案】BD 【详解】小球下滑过程中，受力如图所示 水平方向受力平衡qvB＋FN=qE 竖直方向由牛顿第二定律得mg－Ff＝mg－μFN＝ma 小球向下加速，所以洛伦兹力增大，则FN减小，Ff＝μFN减小，故加速度增大，因此小球先做加速度增大的加速运动；当qE＝qvB 此时FN＝0，Ff＝0，加速度等于重力加速度；小球继续加速，水平方向上qvB＝qE＋FN 竖直方向上Mg-Ff＝mg-μFN＝ma 速度继续增大，则FN增大，故加速度减小，因此小球做加速度减小的加速运动，最后匀速运动；故整个过程小球先做加速度增大的加速运动，然后做加速度减小的加速运动，最后匀速运动，小球所受洛伦兹力一直增大，直到最后不变。 故选BD。 13．【答案】AD 【详解】A．由左手定则可判断，该匀强磁场的方向垂直纸面向里，A正确； B．由洛伦兹力作为向心力可得 整理得 电子的轨迹半径与速度大小有关，B错误； CD．由周期公式 可知，电子在磁场中的运动周期相同，由几何关系可知，在此过程中每个电子的速度方向都改变，即轨迹圆心角为，电子在磁场中的运动时间 故不同速率的电子在磁场中运动时间都相同，C错误，D正确。 故选AD。 14．【答案】BC 【详解】A．ab受到的安培力 ab棒离开桌面后做平抛运动，水平方向s=vt竖直方向解得 对于加速过程由动能定理可知 解得故A错误； B．安培力做的功故B正确； C．由动量定理可知，冲量故C正确； D．由I=Ft，解得 故D错误； 故选BC。 15．【答案】CD 【详解】设带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期为T，半径为r，则由，得，环形电流：，可见，I与q的平方成正比，与v无关，与B成正比，与m成反比，故AB错误，CD正确． （建议用时：40分钟） 16．【答案】AD 【详解】A．由粒子在复合场中做匀速直线运动可知，粒子所受电场力与洛伦兹力大小相等，方向相反，当保持开关闭合，滑片向下移动，电容器两极板间的电压U减小，电场力减小，则粒子所受向上的洛伦兹力大于竖直向下的电场力，从而向上偏转，有可能从M板边缘射出，故选项A正确； B．将N板向上移动使得两极板间距减小，则粒子所受竖直向下的电场力增大，向下偏转，不可能从M板边缘射出，故B选项错误； CD．将开关断开，平行板电容器放电，因此灵敏电流计G指针发生短暂偏转，此后粒子将只受洛伦兹力做匀速圆周运动，因此D选项正确，C选项错误．综上分析，AD正确． 17．【答案】BC 【详解】A．图示时刻，ad速度方向向里，bc速度方向向外，根据右手定则判断出ad中感应电流方向为a→d，bc中电流方向为c→b，线圈中感应电流的方向为adcba。故A错误； B．线圈中的感应电动势为E=nBSω=nBL1L2ω 故B正确； C．图示时刻ad、bc两边垂直切割磁感线，线圈中产生的感应电动势最大，由法拉第电磁感应定律分析得知，磁通量的变化率最大，故C正确； D．线圈ad边所受安培力的大小为F=nBIL2= 故D错误。 故选BC。 18．【答案】(1)不做功 (2) (3)（i）；（ii） 【详解】（1）洛伦兹力的方向时刻与速度方向垂直，故电子在运动的过程中，洛伦兹力对电子不做功； （2）电子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动 解得 （3）（i）设电场力方向与速度方向的夹角为，沿圆轨迹的半径方向有 沿圆轨迹的切线方向有 解得 （ii）设电场力方向与速度方向的夹角为，旋转电场对电子做功的功率为 当时，电场对电子做功的功率最大 当时，有 解得， 则 19．【答案】(1) (2) (3)90% 【详解】（1）由题知，入射速度为时，电子沿轴做直线运动则有 解得 （2）电子在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场的复合场中，由于洛伦兹力不做功，且由于电子入射速度为，则电子受到的电场力大于洛伦兹力，则电子向上偏转，根据动能定理有 解得 （3）若电子以入射时，设电子能达到的最高点位置的纵坐标为，则根据动能定理有 由于电子在最高点与在最低点所受的合力大小相等，则在最高点有 在最低点有 联立有， 要让电子达纵坐标位置，即 解得 则若电子入射速度在范围内均匀分布，能到达纵坐标位置的电子数占总电子数的90%。 20．【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）粒子在磁场中运动，有 解得 如图所示 根据几何关系有 解得 粒子在磁场中运动周期 解得运动时间为 （2）粒子从点离开磁场时，速度方向与水平线夹角为。把点的速度沿水平方向和竖直方向分解，则有 由类平抛运动的规律可得， 解得 方法一：， 解得 方法二：， 解得 21．【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，轴方向有，， 轴方向有 粒子经过点时的速度 解得， （2）粒子经过点时， 由几何关系可知 根据牛顿第二定律 粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期 粒子在磁场中运动的时间 解得， 22．【答案】(1)d (2)，2d (3) 【详解】（1）粒子的运动轨迹如图所示 设粒子在磁场中的轨迹半径为r，则 解得 所以 （2）粒子进入电场中做类平抛运动，则，， 联立以上各式解得 水平方向有 联立以上各式解得 （3）根据几何关系有 所以 又 联立以上各式可得 所以 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $