专题01 根式 - 《数学》高教版基础模块下册《同步必备知识清单》

专题01 根式 一、知识梳理 （1）根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果 xn＝a　，那么x叫做a的n次方根 n>1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个 正数　，负数的n次方根是一个 负数　 零的n次方根是零 当n为偶数时，正数的n次方根有 两个　，它们互为 相反数　 ± 负数没有偶次方根 （2）两个重要公式 ① (注意aⁿ必须使有意义)． ②()n＝ a　(注意a必须使有意义)． 二、题型精练 题型1 根式的概念 【典例1】．已知，则等于（　　） A． B． C． D． 【典例2】．已知，则m等于（    ）. A． B． C． D． 【典例3】．若有意义，则实数的取值范围为 ． 题型2 两个重要公式 【典例1】．计算（    ） A． B． C． D．1 【典例2】．若，则 等于（    ） A．1 B． C．4031 D． 【典例3】．若，求的取值范围及计算. 三、知识检测 1．以下说法正确的是（    ） A．正数的次方根是正数 B．负数的次方根是负数 C．0的次方根是0(其中且) D．的次方根是 2．有下列四个式子： ① ；        ② ； ③ ；    ④ 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 3．的结果是（    ） A．2 B． B． D．以上都不对 C． 4．化简：＝（　　） A．3 B． C． D． 5．若，化简=（    ） A． B． C． D． 6．下列根式中无意义的是（   ） A． B． C． D． 7．计算（    ） A．2 B． C． D．无意义 8．要使有意义，则x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．等于（    ） A．2 B． D． D． E． 10．的四次方根（    ） A．1 B．-1 C．4 D．无意义 11． . 12． 已知，化简： ． 13． 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 14． 若，则 ． 15．= . 16．当有意义时，化简的结果是 ． 17．化简下列各式． (1) ； (2)； (3)； (4) ； (5)． 18．若，求的取值范围． 19．当在什么范围取值时，有意义？ 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 根式 一、知识梳理 （1）根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果 xn＝a　，那么x叫做a的n次方根 n>1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个 正数　，负数的n次方根是一个 负数　 零的n次方根是零 当n为偶数时，正数的n次方根有 两个　，它们互为 相反数　 ± 负数没有偶次方根 （2）两个重要公式 ① (注意aⁿ必须使有意义)． ②()n＝ a　(注意a必须使有意义)． 二、题型精练 题型1 根式的概念 【典例1】．已知，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由指数幂与根式的关系，结合对应根次数确定根即可. 【详解】已知， 则． 故选：B. 【典例2】．已知，则m等于（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数的运算法则，即可求解. 【详解】，. 故选：D. 【典例3】．若有意义，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据偶次根式的意义即可求解. 【详解】由题意得，要使有意义，则，解得． 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 题型2 两个重要公式 【典例1】．．计算（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】利用奇次根式、偶次根式以及零指数幂，求解即可. 【详解】原式. 故选：. 【典例2】．若，则 等于（    ） A．1 B． C．4031 D． 【答案】A 【分析】根据分数指数幂进行化简. 【详解】因为，所以． 故原式. 故选：A． 【典例3】．若，求的取值范围及计算. 【答案】； 【分析】利用偶次根式性质以及奇次根式性质，求解即可. 【详解】， 所以，解得，用区间表示为：； . 三、知识检测 1．以下说法正确的是（    ） A．正数的次方根是正数 B．负数的次方根是负数 C．0的次方根是0(其中且) D．的次方根是 【答案】C 【分析】根据根式的意义，逐条分析即可得解. 【详解】对A：由于的二次方根为和，故A项错误； 对B：由于负数的偶次方根无意义，故B项错误； 对C：根据定义可知0的次方根是0(其中且)，故C项正确； 对D：当时，只有n为大于1的奇数时才有意义，故D项错误． 故选：C． 2．有下列四个式子： ① ；        ② ； ③ ；    ④ 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分数指数幂的运算性质进行计算. 【详解】，① 正确； ，② 错误； ，③ 错误； ， 若，则， 若，则，故④ 错误． 故选：A. 3．的结果是（    ） A．2 B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】根据根式的化简求值易得答案. 【详解】因为. 故选：B. 4．化简：＝（　　） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据根式计算方法运算即可. 【详解】. 故选：A. 5．若，化简=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用开平方的性质求解. 【详解】因为，所以； . 故选：B. 6．下列根式中无意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶次根式的被开方数为非负数，奇次根式的被开方数为全体实数可判断结果. 【详解】根据偶次根式的被开方数为非负数，奇次根式的被开方数为全体实数可知， 无意义，其它选项均有意义. 故选：C 7．计算（    ） A．2 B． C． D．无意义 【答案】B 【分析】根据根式的性质，即可求解. 【详解】因为根指数为3，是奇数，所以，因此B项正确. 故选：B. 8．要使有意义，则x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义求解即可. 【详解】因为有意义，则， 解得或. 那么的取值范围是. 故选：D. 9．等于（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据立方根的定义即可求解. 【详解】. 故选：B. 10．的四次方根（    ） A．1 B．-1 C．4 D．无意义 【答案】D 【分析】根据n次方根的定义即可判断. 【详解】因为负数没有偶次方根， 所以的四次方根无意义. 故选：D. 11． . 【答案】1 【分析】由根式的运算性质求解即可. 【详解】. 故答案为：1 12．已知，化简： ． 【答案】 【分析】根据根式运算法则计算出结果. 【详解】因为，所以. 故答案为：0 13．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据根式的被开方数非负求解即可. 【详解】若在实数范围内有意义，则有， 所以实数x的取值范围是. 故答案为：. 14．若，则 ． 【答案】 【分析】首先，进而对根式化简. 【详解】若，则， 所以， 故答案为：. 15．= . 【答案】 【分析】根据根式的相关性质进行化简求值即可. 【详解】＝＝. 故答案为：. 16．当有意义时，化简的结果是 ． 【答案】 【分析】根据根式的性质化简即可. 【详解】有意义，， 即，又 . 故答案为：. 17．化简下列各式． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3)10 (4) (5) 【分析】（1）根据奇次根式的性质求解. （2）根据奇次根式的性质求解. （3）根据偶次根式的性质求解. （4）根据偶次根式的性质求解. （5）根据根式的性质以及分母有理化的方法来化简. 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） 18．若，求的取值范围． 【答案】 【分析】化简方程左边根式，解绝对值方程，即可求出的取值范围. 【详解】由题意， ∵， 由可知，∴． 故a的取值范围为． 19．当在什么范围取值时，有意义？ 【答案】 【分析】根据根式有意义的条件，则，进行求解即可. 【详解】当时，有意义，      ∴，∴或，   ∴ 当时，有意义. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $