第2卷 充要条件 2026年河南省（对口招生）《数学真题同源卷》（教师讲解卷）

编写说明：2026年河南省对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足河南省对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2026年河南省对口招生《数学真题同源卷》 第2卷 充要条件 （教师讲解卷） 【概念回顾】 充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的 充分　条件，q是p的 必要　条件 p是q的 充分不必要　条件 p⇒q且qp p是q的 必要不充分　条件 pq且q⇒p p是q的 充要　条件 p⇔q p是q的 既不充分也不必要　条件 pq且qp 【真题精讲】 1.（2025·河南对口招生）在中，“”是“”的（   ） A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要条件 D．既不充分也不必要 2.（2024·河南对口招生）在空间中，“两直线互相垂直”是“两直线相交”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 3．（2022·河南对口招生）“”是“”的（ ） A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【举一反三】 1．“”是“”的（       ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 2．设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3．已知且，则“”是“”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若p：，则p成立的充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【拓展提升】 一、选择题 1．不等式成立是不等式成立的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设为向量, 则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．在中，“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．设则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5．“”是“x、y至少有一个为零”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题 6．已知，则是的 条件（请用“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分又不必要条件”回答） 7．“或”是“”的 条件. 8．已知集合，，则“”是“”的 条件.（填“充分”或“必要”） 9．已知命题，若是的充要条件，则 ． 10．已知且“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是 ． 二、解答题 11．已知命题：，命题：，若是的充分不必要条件，求的取值范围； 12．已知，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2026年河南省对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足河南省对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2026年河南省对口招生《数学真题同源卷》 第2卷 充要条件 （教师讲解卷） 【概念回顾】 充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的 充分　条件，q是p的 必要　条件 p是q的 充分不必要　条件 p⇒q且qp p是q的 必要不充分　条件 pq且q⇒p p是q的 充要　条件 p⇔q p是q的 既不充分也不必要　条件 pq且qp 【真题精讲】 1.（2025·河南对口招生）在中，“”是“”的（   ） A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要条件 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】由充要条件的定义及正弦定理即可得解. 【详解】在中，若成立，根据正弦定理，可得. 在三角形中，大边对大角，所以等价于， 所以. 因为等价于，且，， 所以. 故“”是“”的充要条件. 故选：C. 2.（2024·河南对口招生）在空间中，“两直线互相垂直”是“两直线相交”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】D 【分析】通过空间中直线与直线的位置关系分析得出结论即可. 【详解】因为空间中两直线垂直，分为相交垂直，异面垂直两种， 所以两直线互相垂直不能推出两直线相交. 反过来，两直线相交所成的角的范围是，不一定是垂直， 即两直线相交不能推出两直线垂直. 所以“两直线互相垂直”是“两直线相交”的既非充分又非必要条件. 故选：. 3．（2022·河南对口招生）“”是“”的（ ） A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】根据小范围能够推出大范围，大范围推不出小范围可知， 能推出，但推不出， 所以“”是“”的充分条件， 故选：A. 【举一反三】 1．“”是“”的（       ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式的性质判断即可. 【详解】由，可得或，则由“”可以得到“”； 由“” 不能得到“” 则“”是“”的充分非必要条件， 故选：A. 2．设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先求解不等式，然后再进行判断. 【详解】若，则必有，故是充分的， 若，则或，故不必要． 因此应是充分不必要条件． 故选：A． 3．已知且，则“”是“”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据不等式的性质判断. 【详解】“”时，若，则，不能得到“”， “”时，若，则，不能得到“”， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 4．“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据常用数集之间的关系判断. 【详解】若，则，若， 当时，， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5．若p：，则p成立的充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数的性质进行判断. 【详解】由，即，解得， 则成立的充分不必要条件可以是． 故选：A. 【拓展提升】 一、选择题 1．不等式成立是不等式成立的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用指数函数的性质和不等式的解法进行判断. 【详解】解不等式，得，解不等式，得，又，所以不等式成立是不等式成立的必要不充分条件， 故选：B. 2．设为向量, 则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用已知条件，求出向量夹角，再进行判断. 【详解】为向量, ,向量的夹角为或 则“”是 ”的充分必要条件， 故选：C. 3．在中，“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】利用三角函数的相关知识进行判断. 【详解】在中，，则，必有，而，满足，此时是直角三角形，不是等腰三角形，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4．设则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先求解不等式，然后再进行判断. 【详解】解绝对值不等式可得，即， 将分式不等式变形可得，解得， 因为， 所以“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B. 5．“”是“x、y至少有一个为零”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充要条件的概念判断. 【详解】能推出x、y至少有一个为零，而x、y至少有一个为零也能推出， 所以“”是“x、y至少有一个为零”的充要条件． 故选：C． 二、填空题 6．已知，则是的 条件（请用“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分又不必要条件”回答） 【答案】既不充分又不必要条件 【分析】根据两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系. 【详解】当时,满足但不成立. 当时,满足但不成立. 故p是q的既不充分又不必要条件. 故答案为：既不充分又不必要条件. 7．“或”是“”的 条件. 【答案】充要 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断作答. 【详解】命题“若或，则”是真命题， 命题“若，则或”是真命题， 所以“或”是“”的充要条件. 故答案为：充要 8．已知集合，，则“”是“”的 条件.（填“充分”或“必要”） 【答案】充分 【分析】根据集合关系和充分、必要条件的定义判断. 【详解】因为集合，，所以是的真子集， 所以“”是“”的充分的条件. 故答案为：充分. 9．已知命题，若是的充要条件，则 ． 【答案】-1 【分析】设，，由是的充要条件，得求解即可. 【详解】由题意得，，得， 设，，由是的充要条件，得， 即，得． 故答案为：-1 10．已知且“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求解不等式再判断即可. 【详解】等价于或，而且“”是“”的充分不必要条件，则. 故答案为：． 二、解答题 11．已知命题：，命题：，若是的充分不必要条件，求的取值范围； 【答案】 【分析】利用充要条件的知识列出不等式求解即可. 【详解】解：令，， ∵是的充分不必要条件， ∴，∴， 解得． 12．已知，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】 【分析】利用充要条件的知识列出不等式求解即可. 【详解】解：∵由，得，由是的充分不必要条件知：有解，故， 即原不等式可化为：，解得：，设，， 是的充分不必要条件，是B的真子集,则且等号不同时成立，解得：，故的取值范围是，故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $