期末专题05 平面直角坐标系的八类综合题型（压轴题专项训练）数学苏科版2024八年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期末专题05平面直角坐标系的八类综合题型 月录 典例详解 类型一、判断点所在的象限 类型二、求点到坐标轴的距离 类型三、平面直角坐标系中点的特征 类型四、根据已知点的坐标在平面直角坐标系中作图 类型五、平面直角坐标系中的平移及轴对称作图 类型六、平面直角坐标系中的新定义型问题 类型七、平面直角坐标系中的动点面积问题 类型八、平面直角坐标系中点的规律探究问题 压轴专练 典例详解 类型一、判断点所在的象限 1.*看坐标符号定象限* 依据点的坐标(x,y)符号判断： 第一象限(+，+)：第二象限(，+)： 第三象限(，-)：第四象限(+，-)。 2.*抓住坐标轴特殊点* 若x=0且y≠0，在y轴上；若y0且x≠0，在x轴上： 若x=0且y=0,则为原点。 3. *先化简后判断* 若坐标为含参表达式，先化简再分析符号。注意讨论参数对符号的影响，必要时分类讨论。 例1.(24-25七年级下·北京期末)在平面直角坐标系中，点(-2025,2026)在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【变式1-1】(24-25七年级下贵州遵义期末)已知点A(5,-6),则点A在平面直角坐标系中位于第() 象限 A.一 B.二 C.三 D.四 【变式1-2】(23-24七年级下·浙江台州期末)若m<0,则点M(m,m-1)在() 1/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A,第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 【变式1-3】(24-25七年级下-黑龙江哈尔滨期末)若√匠=-aa≠0)，则在平面直角坐标系中，点P(a,3) 在第()象限. A.一 B.二 C.三 D.四 类型二、求点到坐标轴的距离 1. *记住基本公式* 点P(xo,yo)到x轴的距离为yo,到y轴的距离为xo。这是解题的直接依据。 2.*简化复杂坐标* 若坐标为含绝对值的表达式（如P(α-2，b+1),先化简或讨论其正负，再代入公式计算距离。 3.*结合象限判断符号* 己知点所在象限时，可直接确定坐标的符号，从而将距离计算转化为具体数值运算，避免绝对值展开 的复杂性。 例2.(24-25七年级下，湖南长沙期末)点(7,1)到y轴的距离为 【变式2-1】(24-25八年级下·河南安阳·期末)在平面直角坐标系中，点A(-8,15)到坐标原点的距离 为】 【变式2-2】(24-25七年级下广东湛江·期末)点P在第四象限，P到x轴的距离为7，P到y轴的距离为4 ,则点P的坐标为一· 【变式2-3】(24-25七年级下山东日照期末)在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为a-l,-a,把点A 到x轴的距离记作m,到y轴的距离记作n.若a<0,m+n=5,则点A的坐标是_， 类型三、平面直角坐标系中点的特征 1.*从坐标符号定象限* 依据点(cy)的符号判断象限：一（什，+）二(，+)三(，入四(+，)。坐标轴上点需单独记忆：x轴(c,0), y轴(0，y),原点(0,0)。 2.*由位置特征反推坐标* 若点在某象限角平分线上，则xy(一、三象限)或x=y(二、四象限)。若点到坐标轴距离为，则 坐标为（士a,士a)等形式。 2/16 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.*用对称性快速求解* 点关于x轴对称(c,y),关于y轴对称(-xy),关于原点对称(-x,y)。解题时先明确对称轴，直接变换坐 标。 例3.(24-25七年级下.甘肃庆阳期末)在平面直角坐标系中： (1)若点P(m+3,m-1在x轴上，求点P的坐标： (2)已知点P(2a+4,3a-6)在第四象限，求a的取值范围. 【变式3-1】(24-25八年级下·河北石家庄·期末)在平面直角坐标系中，已知点M(m+2,m-5). (I)若点M在x轴上，求点M的坐标； (2)若点M在第三象限，且到y轴的距离为3，求点M的坐标. 【变式3-2】(24-25八年级下·河北沧州期末)已知点P(2a-2,a+5),回答下列问题： (1)点P在y轴上，求出点P的坐标： (2)点P在第二象限，且它到x轴和y轴的距离相等，求a2025+2025的值 【变式3-3】(24-25七年级下河南商丘期末)已知点A的坐标为2x+1,-x+5. (I)若点A在x轴上，求点A的坐标， (2)若点A在过点B(-3,1)且与y轴平行的直线上，求点A的坐标。 (3)若将点A沿与y轴平行的直线平移2个单位长度后，点A恰好落在x轴上，求x的值. 类型四、根据已知点的坐标在平面直角坐标系中作图 1.*先定象限后描点* 根据点的横纵坐标正负确定所在象限或坐标轴。在坐标系中标明单位长度，按坐标值找准位置，先沿 横轴移动，再沿纵轴移动，精确描点。 2.*规范标注与连线* 描点后用实心点清晰标注，并在旁边写上坐标（如A(2,3))。若需连接多点，用直尺按顺序连线，构 成图形后检查各点坐标是否与图形位置一致。 3.*利用对称性作图* 当图形具有对称性（如关于坐标轴或原点对称）时，可先作出一部分点，再根据对称关系找出对称点 能提高作图效率和准确性。 例4.(23-24八年级下·四川广安期末)如图是武胜县部分地点的示意图，建立平面直角坐标系后，县政府 和四川省武胜中学校的坐标分别是(0，-2)，-1,3).解答下列问题： 3/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 四川省武胜中学校 沿口古镇 …● ●…女 ..● 县政府 客运中心 (1)请在示意图中建立平面直角坐标系： (2)通过计算说明在沿口古镇和客运中心这两个地点中，哪个地点离坐标原点更远. 【变式4-1】(24-25八年级上河南郑州期末)如图是河南省行政区域图，图中每个小正方形的边长代表 60km,为了确定各地级市的位置，请解答以下问题： 安阿 济源焦作 ·新匀 ● 洛阳郑州 许昌 商匠 平顶山。 漯河 +周口 南阳 驻马用 信阿 (1)请你以驻马店为原点建立平面直角坐标系； (2)写出南阳、郑州、新乡、商丘的坐标： (3)驻马店到安阳的最短距离为km】 【变式4-2】(24-25八年级上·辽宁锦州期末)某市的局部区域示意图如图所示，其中每个小正方形的边长 均为1个单位长度， 4/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 北 →东 图书馆 超市 0产场 博物馆 大剧院 (1)请以广场为原点，以正东方向为x轴的正方向，建立平面直角坐标系； (2)在(1)的前提下， ①写出博物馆的坐标； ②若公园的坐标为(4,4)，请在图中标出公园的位置. (3)若超市与图书馆所在的直线为1，大剧院到直线1的距离是多少个单位长度？ 【变式4-3】(24-25七年级下·湖北襄阳·期末)慧慧和敏敏对着下列示意图，描述了超市的位置（图中小正 方形的边长代表100m).慧慧说：“超市的坐标是(200,200).”敏敏说：“图书馆在超市的西南方向.” 北 影院 超市 图书馆产场 公园 学校少年宫 (1)根据慧慧和敏敏所说，直接在图中建立平面直角坐标系，并标出原点和坐标轴； (2)写出学校、少年宫的坐标： (3)写出超市到少年宫的距离； (④乐乐说：“公园、图书馆、超市在同一条直线上.”你同意他的说法吗？如果公园与图书馆的直线距离约为 280m,请写出图书馆相对于公园的位置. 类型五、平面直角坐标系中的平移及轴对称作图 1. *掌握平移与对称规则* *平移*：点c,y)沿向(m,n)平移后为(x+m,y+n）。 5/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 -*轴对称*：关于x轴对称→(x,y)；关于y轴对称一(，y):关于直线yx对称一(y,x)。 2.*先找关键点再作图* 对图形进行变换时，先找出图形各顶点的坐标，按规则计算出所有新顶点坐标，再在坐标系中描出新 点并按原顺序连线。 3.*检查与验证* 作图完成后，检查新图形与原图形的位置关系是否符合变换规则（如距离、方向），可用特殊点（如 顶点)坐标代入公式验证。 例5.(24-25八年级上·吉林期末)如图，在平面直角坐标系中，A(-1,4),B(-3,3,C(-2,1 3 2 5-4-3-2-1 O12345 (I)画出ABC关于x轴的对称图形△AB,C,并写出点A的坐标； (2)在y轴上确定一个点P,使得△PBC的周长最小 【变式5-1】(25-26九年级上新疆期末)如图，ABC三个顶点的坐标分别为A(-2,4),B(4,4), C(-1,1). 5-4-3-2-1 012345x 2 (I)请画出ABC向下平移3个单位长度后得到的△A,B,C;并写出点A的对应点A的坐标. (②)请画出ABC关于y轴对称的△A,B,C2;并写出点B的对应点B的坐标 (3)请画出ABC关于点O成中心对称的△A,B,C3;并写出点C的对应点C的坐标. 【变式5-2】(25-26八年级上全国期末)在平面直角坐标系中，ABC的顶点坐标分别为A(3,2),B(1,3), 6/16 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C1,-2. 4 543210 4 (1)在图中画出ABC关于y轴对称的△A'B'C',并写出aA'B'C'各顶点的坐标； (2)在坐标平面上找到一点D,使△DBC与ABC全等，写出点D的坐标 【变式5-3】(24-25八年级上·甘肃武威期末)如图，在平面直角坐标系x0y中， A(-1,-2),B(-2,-4),C(-4,-1) 4-3-2- 01 3345x (I)求出ABC的面积； (②)在图中作出ABC关于x轴的对称图形△AB,C,; (3)写出点A,B,C的坐标. 类型六、平面直角坐标系中的新定义型问题 1. *准确理解新定义* 仔细阅读，将新定义中的规则（如“距离和最小点”“特征点”）转化为关于坐标(x,y))的数 量关系或几何条件，并用数学语言重新表述。 2.*严格按规则分步操作* 依据定义，先写出符合条件的点需满足的方程或不等式，再通过解方程、代数运算或几何分析找出所 7/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 有可能的点。过程中注意分类讨论。 3.*检验结果并总结规律* 将求得的点代入定义验证，确保满足所有条件。若涉及探索规律，可从特殊到一般，总结点的坐标特 征或位置分布规律，并用数学式子表达。 例6.(24-25七年级上·吉林期末)在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大 值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“角平分线点”. (1)点A(-3,5)的“长距”为； (2)若点C-2,3b-2)的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为9-2b,-5),请判断点D是否为“角 平分线点”，并说明理由 【变式6-1】(25-26八年级上·全国·期末)新定义：对于平面直角坐标系x0y中的点Pa,b),若点P的坐 标为a+kb,ka+b)(其中k为常数，且k≠0)，则称点P为点P的“k属派生点”. 例如：P(1,4的2属派生点”为P'(1+2×4,2×1+4),即P'(9,6) (1)点P(-1,6)的“2属派生点”P的坐标为： (2)若点P的3属派生点”P的坐标为6,2)，则点P的坐标为 (3)若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为点P,且线段PP'的长度为线段OP长度的2倍，求k的 值。 【变式6-2】(24-25七年级上云南保山期末)平面直角坐标系x0y中，对于P,Q两点给出如下定义：若 点P到x轴、y轴的距离中的最大值等于Q点到x轴、y轴的距离中的最大值，则称P,2两点为“等距点”，己 知点A的坐标为-4,2. (1)在点E(0,5),F(-2,3),G(1,4)中，与点A等距的点是 (2)若点B的坐标为m,3),且A,B两点为“等距点”，求点B的坐标； 8/16 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)若T(-2,-k-3),T(6,2k-6)两点为“等距点”，求k的值. 类型七、平面直角坐标系中的动点面积问题 1.*确定动点坐标表示* 用含参数（通常为时间t或变量x)的代数式表示动点坐标。若动点在直线或曲线上运动，需先求出 其所在直线的解析式，再表示坐标。 2.*选择合适面积公式* 常用方法：①割补法（将图形分割为规则图形）；②铅锤法（水平宽×铅垂高÷2）；③顶点坐标法（己 知多边形顶点时用公式)。根据图形特征灵活选择。 3.*建立面积函数并求解* 将面积表示为参数的函数(S),根据题目要求（如面积定值、最值）建立方程或不等式求解参数。 注意定义域（动点运动范围）对解的限制。 例7.(24-25七年级下·甘肃平凉期末)如图，过点B作BA⊥x轴，作BC⊥y轴，垂足分别为A,C.O为 平面直角坐标系的原点，点A的坐标为(a,0),点C的坐标为(0，c),且a,c满足√a-6+c-8=0.点P从 点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着B-A的线路向终点A运动. C B 0 (I)求点B的坐标， (②)在点P的运动过程中，当三角形0BP的面积是12时，求点P的运动时间t的值. (3)在点P的运动过程中，∠PCB,∠POA和∠OPC之间有什么数量关系？请说明理由， 【变式7-1】(24-25七年级下，福建福州期末)如图，在平面直角坐标系中，点A(0,m)、B(n,0)的m,n满 足√4-m+n-3=0,点C在x轴的负半轴上，且0A=20C. 9/16 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B C B 备用图 (1)写出点A的坐标为 点B的坐标为 ;点C的坐标为 (②)已知点P的坐标为1,4)(1≠0，连接PC,请用含t的式子来表示三角形PAC的面积S: (3)在(2)的条件下，AB=5,点Q在线段AB上且BQ=AP,当三角形ACQ的面积等于三角形PAC的面 积时，求点P的坐标， 【变式7-2】(24-25七年级下·福建龙岩期末)在平面直角坐标系中，直线MN与x轴、y轴交于 A6,0)、B(0,4),点C(m,n)是直线AB上且不与A、B两点重合的动点. B B 4 D A 图1 备用图 (1)求三角形AOB的面积： (2)如图1，点D、点E分别是线段OB、x轴负半轴上的动点，过E作EF∥AB,连接DE,若LABO=x°， 请探究∠BDE与∠DEF之间的数量关系；（可用含x的代数式表示，并说明理由） (3)若三角形BOC的面积不小于三角形AOC的面积的2倍，求m的取值范围. 类型八、平面直角坐标系中点的规律探究问题 1.*从特殊到一般* 先计算或描出前几个具体点（如A1,A2,A3)的坐标，观察横坐标、纵坐标分别随序号n变化的规律 进行初步猜想。 2. *用代数式表示规律* 将坐标规律用含n的代数式表示（如An(2n,(-1)"n))。注意周期性、符号交替、等差/等比等常见 规律。 10/16 期末专题05 平面直角坐标系的八类综合题型 目录 典例详解 类型一、判断点所在的象限 类型二、求点到坐标轴的距离 类型三、平面直角坐标系中点的特征 类型四、根据已知点的坐标在平面直角坐标系中作图 类型五、平面直角坐标系中的平移及轴对称作图 类型六、平面直角坐标系中的新定义型问题 类型七、平面直角坐标系中的动点面积问题 类型八、平面直角坐标系中点的规律探究问题 压轴专练 类型一、判断点所在的象限 1. **看坐标符号定象限** 依据点的坐标（x, y）符号判断： 第一象限（+, +）；第二象限（-, +）； 第三象限（-, -）；第四象限（+, -）。 2. **抓住坐标轴特殊点** 若 x=0 且 y≠0，在 y 轴上；若 y=0 且 x≠0，在 x 轴上； 若 x=0 且 y=0，则为原点。 3. **先化简后判断** 若坐标为含参表达式，先化简再分析符号。注意讨论参数对符号的影响，必要时分类讨论。 例1．（24-25七年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题重点考查了各象限坐标符号特征，解题的关键是牢记各象限内点的坐标的符号，四个象限的符号特点分别是：第一象限、第二象限、第三象限、第四象限． 此题中，横坐标为负，纵坐标为正，可判断点在第二象限，即可求解． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点， 横坐标为为负，纵坐标为为正， 故点在第二象限， 故选：B． 【变式1-1】（24-25七年级下·贵州遵义·期末）已知点，则点在平面直角坐标系中位于第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】D 【分析】根据坐标的符号特征，确定其位于第四象限，解答即可．本题考查了点与象限的关系，熟练掌握坐标符号特征与象限的关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴点位于第四象限 故选：D． 【变式1-2】（23-24七年级下·浙江台州·期末）若，则点在（　　） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】B 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限；根据，得出，再进行判断即可． 【详解】解：， ， ∴点在第三象限， 故选：B． 【变式1-3】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）若，则在平面直角坐标系中，点在第（    ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，各象限点的坐标的特点，根据二次根式的性质求得的值是解题的关键． 先根据二次根式的性质求出的值，然后再根据坐标的特点判定所在象限即可． 【详解】解：， ， 点的横坐标，纵坐标， 在平面直角坐标系中，横坐标为负、纵坐标为正的点位于第二象限， 故选：B． 类型二、求点到坐标轴的距离 1. **记住基本公式** 点 P(x0, y0)到x轴的距离为|y0|，到y轴的距离为|x0|。这是解题的直接依据。 2. **简化复杂坐标** 若坐标为含绝对值的表达式（如P(|a|-2, b+1），先化简或讨论其正负，再代入公式计算距离。 3. **结合象限判断符号** 已知点所在象限时，可直接确定坐标的符号，从而将距离计算转化为具体数值运算，避免绝对值展开的复杂性。 例2．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）点到轴的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标，根据“点到轴的距离等于横坐标的长度”即可求解，熟记点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键． 【详解】解：点到轴的距离为， 故答案为：． 【变式2-1】（24-25八年级下·河南安阳·期末）在平面直角坐标系中，点到坐标原点的距离为 ． 【答案】17 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内的点到原点的距离，勾股定理， 先确定点Ａ到坐标轴的距离，再根据勾股定理求出答案． 【详解】解：点到x轴的距离是15，到y轴的距离是， ∴点到原点的距离是． 故答案为：17． 【变式2-2】（24-25七年级下·广东湛江·期末）点P在第四象限，P到x轴的距离为7，P到y轴的距离为4，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标，解题关键是熟练掌握点到坐标轴的距离与点的坐标的关系． 设点P坐标为，根据P到x轴的距离为7，P到y轴的距离为4，列出关于x、y的方程，解方程求出x、y，再根据点P的位置，求出点P的坐标． 【详解】解：设点P坐标为， 到x轴的距离为7，P到y轴的距离为4， ，， 解得：，， 点P在第四象限， ，， ，， 点P的坐标为：， 故答案为： ． 【变式2-3】（24-25七年级下·山东日照·期末）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，把点A到x轴的距离记作m，到y轴的距离记作n．若，，则点A的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值，点到坐标轴的距离，熟练掌握点到坐标轴的距离是解题的关键． 由可得，再根据去绝对值，求出a的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 解得， ∴，即． 故答案为：． 类型三、平面直角坐标系中点的特征 1. **从坐标符号定象限** 依据点(x,y)的符号判断象限：一(+,+)、二(-,+)、三(-,-)、四(+,-)。坐标轴上点需单独记忆：x轴 (x,0)，y轴(0,y)，原点(0,0)。 2. **由位置特征反推坐标** 若点在某象限角平分线上，则x=y（一、三象限）或x=-y（二、四象限）。若点到坐标轴距离为a，则坐标为(a, a)等形式。 3. **用对称性快速求解** 点关于x轴对称(x,-y)，关于y轴对称(-x,y)，关于原点对称(-x,-y)。解题时先明确对称轴，直接变换坐标。 例3．（24-25七年级下·甘肃庆阳·期末）在平面直角坐标系中： (1)若点在x轴上，求点P的坐标； (2)已知点在第四象限，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了点在坐标轴上和点在象限内的坐标特征，解一元一方程，解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）根据轴上点的纵坐标为0列方程求解即可； （2）根据第四象限内的点的横坐标为正，纵坐标为负进行列不等式组求解即可． 【详解】解：（1）点在x轴上， ， 解得， 点P的坐标为； （2）点在第四象限， ， 解得 【变式3-1】（24-25八年级下·河北石家庄·期末）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点M在x轴上，求点M的坐标； (2)若点M在第三象限，且到y轴的距离为3，求点M的坐标． 【答案】(1)点M的坐标为 (2)点M的坐标为 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标，点所在的象限． 对于，根据x轴上的点纵坐标为0可得：，然后进行计算即可解答； 对于，根据点到y轴的距离等于横坐标的绝对值以及第三象限点的坐标特征可得：，然后进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵点M在x轴上， ， 解得：， 点M的坐标为； （2）解：∵点M在第三象限，且到y轴的距离为3， ∴， 解得：， 点M的坐标为. 【变式3-2】（24-25八年级下·河北沧州·期末）已知点，回答下列问题： (1)点P在y轴上，求出点P的坐标； (2)点P在第二象限，且它到x轴和y轴的距离相等，求的值． 【答案】(1) (2)2024 【分析】本题主要考查了坐标系内点的特点，熟练掌握象限内点的特点和坐标轴上点的特点，是解题的关键． （1）根据y轴上点的特点进行解答即可； （2）根据第二象限内点的特点及到两坐标轴的距离相等，进行解答即可． 【详解】（1）解：，在y轴上， ，解得：， 点的坐标为，； （2）点P在第二象限， 且。 又点P到x轴和y轴的距离相等， ，可得，即， 解得：， 把代入得：， 答：的值为2024． 【变式3-3】（24-25七年级下·河南商丘·期末）已知点A的坐标为． (1)若点A在x轴上，求点A的坐标． (2)若点A在过点且与y轴平行的直线上，求点A的坐标． (3)若将点A沿与y轴平行的直线平移2个单位长度后，点A恰好落在x轴上，求x的值． 【答案】(1)点A的坐标为 (2)点A的坐标为 (3)或 【分析】本题考查了平移的性质，平面直角坐标系中点的坐标特征，熟练掌握平面内点的坐标特征，平移的性质是解题的关键． （1）根据x轴上点的特征进行解答，即可得出答案； （2）根据点A在过点且与y轴平行的直线上，得到A，B两点的横坐标相同，求出x的值，则可得出答案； （3）由题意得出，解方程可得出答案． 【详解】（1）∵点A在x轴上， ∴ ∴， ∴， ∴点A的坐标为． （2）∵点A在过点且与y轴平行的直线上， ∴， ∴， ∴， ∴点A的坐标为 （3）∵将点A沿与y轴平行的直线平移2个单位长度后，点A恰好落在x轴上， ∴， ∴或． 类型四、根据已知点的坐标在平面直角坐标系中作图 1. **先定象限后描点** 根据点的横纵坐标正负确定所在象限或坐标轴。在坐标系中标明单位长度，按坐标值找准位置，先沿横轴移动，再沿纵轴移动，精确描点。 2. **规范标注与连线** 描点后用实心点清晰标注，并在旁边写上坐标（如A(2,3)）。若需连接多点，用直尺按顺序连线，构成图形后检查各点坐标是否与图形位置一致。 3. **利用对称性作图** 当图形具有对称性（如关于坐标轴或原点对称）时，可先作出一部分点，再根据对称关系找出对称点，能提高作图效率和准确性。 例4．（23-24八年级下·四川广安·期末）如图是武胜县部分地点的示意图，建立平面直角坐标系后，县政府和四川省武胜中学校的坐标分别是，．解答下列问题： (1)请在示意图中建立平面直角坐标系； (2)通过计算说明在沿口古镇和客运中心这两个地点中，哪个地点离坐标原点更远． 【答案】(1)见解析 (2)客运中心离坐标原点更远，理由见解析 【分析】本题考查了平面直角坐标系在实际生活中的应用以及基础的计算能力，找到原点是解题的关键． （1）根据县政府和四川省武胜中学校的坐标确定出原点的位置，建立平面直角坐标系即可； （2）根据各地点在坐标中的位置，判断出离原点最近的点和最远的点． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示； （2）解：沿口古镇的坐标为，客运中心的坐标为， ∴沿口古镇到坐标原点的距离为， 客运中心到坐标原点的距离为． ∴， ∴客运中心离坐标原点更远． 【变式4-1】（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图是河南省行政区域图，图中每个小正方形的边长代表，为了确定各地级市的位置，请解答以下问题： (1)请你以驻马店为原点建立平面直角坐标系； (2)写出南阳、郑州、新乡、商丘的坐标； (3)驻马店到安阳的最短距离为______． 【答案】(1)见解析 (2)南阳，郑州，新乡，商丘 (3) 【分析】（1）根据平面直角坐标系的定义建立即可； （2）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可； （3）根据平面直角坐标系即可求解． 本题考查了坐标确定位置，掌握平面直角坐标系的定义和点的坐标的写法是解题的关键． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示： （2）解：依题意，南阳，郑州，新乡，商丘； （3）解：驻马店到安阳的最短距离为； 故答案为： 【变式4-2】（24-25八年级上·辽宁锦州·期末）某市的局部区域示意图如图所示，其中每个小正方形的边长均为1个单位长度． (1)请以广场为原点，以正东方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系； (2)在（1）的前提下， ①写出博物馆的坐标； ②若公园的坐标为，请在图中标出公园的位置． (3)若超市与图书馆所在的直线为，大剧院到直线的距离是多少个单位长度？ 【答案】(1)见解析 (2)①博物馆的坐标为，②见解析 (3)大剧院到直线的距离是4个单位长度 【分析】本题主要考查了直角坐标系，直角坐标系的各个象限内的点的坐标特征及点到直线的距离，正确理解每个知识点是解题的关键． （1）根据题目要求建立直角坐标系即可； （2）根据直角坐标系中象限内的点的坐标特征回答问题①②即可．第一象限，第二象限，第三象限，第四象限； （３）根据点到直线的距离定义回答即可． 【详解】（1）解：如图建立直角坐标系， （2）①博物馆在第四象限， 博物馆的坐标为； ②公园的坐标为， 公园在第三象限，如图所示； （3）如图，超市与图书馆所在的直线为， 大剧院到直线的距离是4个单位长度 【变式4-3】（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）慧慧和敏敏对着下列示意图，描述了超市的位置（图中小正方形的边长代表）．慧慧说：“超市的坐标是．”敏敏说：“图书馆在超市的西南方向．” (1)根据慧慧和敏敏所说，直接在图中建立平面直角坐标系，并标出原点和坐标轴； (2)写出学校、少年宫的坐标； (3)写出超市到少年宫的距离； (4)乐乐说：“公园、图书馆、超市在同一条直线上．”你同意他的说法吗？如果公园与图书馆的直线距离约为，请写出图书馆相对于公园的位置． 【答案】(1)见解析 (2)； (3) (4)同意，见解析，东北方向上，且距离为 【分析】（1）根据超市的坐标是，向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度即可得到原点，建立坐标系解答即可． （2）根据坐标系，直接写出学校、少年宫的坐标即可； （3）超市的坐标是，少年宫的坐标是，两地距离为（米）； （4）根据公园、图书馆、超市点坐标即可判定都在一三象限的象限角的平分线上，即可写出图书馆相对于公园的位置． 本题考查了坐标系的建立，平移的应用，写出点的坐标，正确建立坐标系是解题的关键． 【详解】（1）解：超市的坐标是，向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度即可得到原点，建立坐标系如下： （2）解：根据前面建立的坐标，得学校的坐标为，少年宫的坐标为． （3）解：根据题意，得超市的坐标是，少年宫的坐标是， 故两地距离为（米）． （4）解：同意， ∵超市的坐标是，图书馆的坐标是，公园的坐标是， ∴都在一三象限的象限角的平分线上， 由此可以判定，图书馆在公园的东北方向上，且距离为． 类型五、平面直角坐标系中的平移及轴对称作图 1. **掌握平移与对称规则** - **平移**：点(x,y)沿向(m,n)平移后为(x+m, y+n)。 - **轴对称**：关于x轴对称→(x,-y)；关于y轴对称→(-x,y)；关于直线y=x对称→(y,x)。 2. **先找关键点再作图** 对图形进行变换时，先找出图形各顶点的坐标，按规则计算出所有新顶点坐标，再在坐标系中描出新点并按原顺序连线。 3. **检查与验证** 作图完成后，检查新图形与原图形的位置关系是否符合变换规则（如距离、方向），可用特殊点（如顶点）坐标代入公式验证。 例5．（24-25八年级上·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)画出关于轴的对称图形，并写出点的坐标； (2)在轴上确定一个点，使得的周长最小． 【答案】(1)见解析， (2)点P的坐标为 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，熟知相关知识是解题的关键． （1）关于轴对称的两个点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）作点B关于y轴的对称点E，连接，可证明当三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，取点，设，根据建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，则； （2）解：如图所示，作点B关于y轴的对称点E，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴的周长， ∴当三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值， 如图所示，取点，则轴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴点P的坐标为． 【变式5-1】（25-26九年级上·新疆·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出向下平移3个单位长度后得到的；并写出点A的对应点的坐标． (2)请画出关于y轴对称的；并写出点B的对应点的坐标． (3)请画出关于点成中心对称的；并写出点C的对应点的坐标． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析； 【分析】本题考查作图-平移变换，轴对称，中心对称，解答本题的关键是熟练掌握平移、轴对称、中心对称的性质． （1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，，顺次连接可得到，根据点的位置写出的坐标即可； （2）利用关于y轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点，，，顺次连接可得到，根据点的位置写出的坐标即可； （3）利用中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点，，，顺次连接可得到，根据点的位置写出的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 点的坐标为：； （2）解：如图，即为所求； 点的坐标为：； （3）解：如图，即为所求； 点的坐标为：． 【变式5-2】（25-26八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)在图中画出关于轴对称的，并写出各顶点的坐标； (2)在坐标平面上找到一点，使与全等，写出点的坐标． 【答案】(1)画图见解析，，， (2)画图见解析，的坐标为或或 【分析】本题考查了画轴对称图形，全等三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据轴对称的性质画出图形，再根据图形写出各点坐标即可； （2）根据全等三角形的判定方法解答即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； 由图可得，，，； （2）解：如图所示，点均符合题意，即为所求， ∴点的坐标为或或． 【变式5-3】（24-25八年级上·甘肃武威·期末）如图，在平面直角坐标系中， (1)求出的面积； (2)在图中作出关于轴的对称图形； (3)写出点的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了作图﹣轴对称变换，三角形的面积，写出点的坐标； （1）根据正方形的面积减去三个三角形的面积，即可求解； （2）利用关于轴对称的点的坐标特征找到点，，的坐标，然后描点连线画出； （3）由坐标系得到点，，的坐标； 【详解】（1）解： （2）解：如图，为所作； （3）根据坐标系可得： 类型六、平面直角坐标系中的新定义型问题 1. **准确理解新定义** 仔细阅读，将新定义中的规则（如“距离和最小点”“特征点”）转化为关于坐标 \( (x, y) \) 的数量关系或几何条件，并用数学语言重新表述。 2. **严格按规则分步操作** 依据定义，先写出符合条件的点需满足的方程或不等式，再通过解方程、代数运算或几何分析找出所有可能的点。过程中注意分类讨论。 3. **检验结果并总结规律** 将求得的点代入定义验证，确保满足所有条件。若涉及探索规律，可从特殊到一般，总结点的坐标特征或位置分布规律，并用数学式子表达。 例6．（24-25七年级上·吉林·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“角平分线点”． (1)点的“长距”为______； (2)若点的长距为4，且点在第二象限内，点的坐标为，请判断点是否为“角平分线点”，并说明理由． 【答案】(1)5； (2)点是“角平分线点”．见解析 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“角平分线点”． （1）根据“长距”的定义解答即可； （2）先根据“长距”的定义求解得到，再据“角平分线点”的定义解答即可； 【详解】（1）解：由题意得：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”， ∵， ∴点的“长距”为5， 故答案为：5； （2）解：∵点的长距为4，且点在第二象限内， ∴，解得， ∴， ∴点的坐标为， ∴点到轴、轴的距离都是5， ∴点是“角平分线点”． 【变式6-1】（25-26八年级上·全国·期末）新定义：对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“属派生点”． 例如：的“2属派生点”为，即． (1)点的“2属派生点”的坐标为________； (2)若点的“3属派生点”的坐标为，则点的坐标为________； (3)若点在轴的正半轴上，点的“属派生点”为点，且线段的长度为线段长度的2倍，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了坐标与图形： （1）根据“k属派生点”的定义即可得； （2）设点的坐标为，根据“k属派生点”的定义列方程组求解即可； （3）根据题意得点的坐标为，点的坐标为，求出和，根据线段的长度为线段长度的2倍列方程求解即可 【详解】（1）解：点的“2属派生点”的坐标为， 即， 故答案为：； （2）解：设点的坐标为， 由题意知， 解得：， 即点的坐标为， 故答案为：； （3）解：∵点在轴的正半轴上， ∴，， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴线段的长为到轴距离为， ∵在轴正半轴，线段的长为， ∴，即， ∴． 【变式6-2】（24-25七年级上·云南保山·期末）平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：若点到轴、轴的距离中的最大值等于点到轴、轴的距离中的最大值，则称两点为“等距点”．已知点的坐标为． (1)在点中，与点等距的点是___________； (2)若点的坐标为，且两点为“等距点”，求点的坐标； (3)若两点为“等距点”，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)3或9 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，此题属于阅读理解类型题目，首先读懂“等距点”的定义，而后根据概念解决问题，难度较大，需要有扎实的基础，培养了阅读理解、迁移运用的能力． （1）找到x、y轴距离最大为4的点即可； （2）先分析出直线上的点到x、y轴距离中有4的点，再根据“等距点”概念进行解答即可； （3）先分析出直线上的点到x、y轴距离中有6的点，再根据“等距点”概念进行解答即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为， ∴点A到轴、轴的距离中的最大值为4， ∵点到轴、轴的距离中的最大值分别为5，3，4， ∴点等距的点是； 故答案为： （2）∵两点为“等距点”， 点A到轴、轴的距离中的最大值为4， ∴点B到轴、轴的距离中的最大值为4， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴点的坐标为或； （3）解： 若，此时或， ∵两点为“等距点”， ∴， 解得：或1（舍去）； 若，此时， ∵两点为“等距点”， ∴， 解得：或（舍去）； 综上所述，k的值为3或9． 类型七、平面直角坐标系中的动点面积问题 1. **确定动点坐标表示** 用含参数（通常为时间t或变量x）的代数式表示动点坐标。若动点在直线或曲线上运动，需先求出其所在直线的解析式，再表示坐标。 2. **选择合适面积公式** 常用方法：①割补法（将图形分割为规则图形）；②铅锤法（水平宽×铅垂高÷2）；③顶点坐标法（已知多边形顶点时用公式）。根据图形特征灵活选择。 3. **建立面积函数并求解** 将面积表示为参数的函数 \(S(t)\)，根据题目要求（如面积定值、最值）建立方程或不等式求解参数。注意定义域（动点运动范围）对解的限制。 例7．（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）如图，过点作轴，作轴，垂足分别为，．为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，且，满足．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路向终点运动． (1)求点的坐标． (2)在点的运动过程中，当三角形的面积是12时，求点的运动时间的值． (3)在点的运动过程中，，和之间有什么数量关系？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，非负数的性质，坐标与图形的性质，三角形的面积，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． （1）由非负数的性质求出，，则可得出答案； （2）由三角形面积可得出答案； （3）过点作于点．证出．同理，，得出．则可得出结论． 【详解】（1）解：，满足， ，， 解得，， ∵点的坐标为，点的坐标为， ，， 又轴，轴， 点的坐标为； （2）解：三角形的面积是12， ， 即， 解得， ； （3）， 理由：如图，过点作于点． 轴，， ， ． 同理，， ． ， 【点睛】． 【变式7-1】（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的m，n满足，点C在x轴的负半轴上，且． (1)写出点A的坐标为___________；点B的坐标为___________；点C的坐标为___________； (2)已知点P的坐标为，连接，请用含t的式子来表示三角形的面积S； (3)在（2）的条件下，，点Q在线段上且，当三角形的面积等于三角形的面积时，求点P的坐标． 【答案】(1)；； (2) (3)或 【分析】本题主要考查了非负数的性质，坐标与图形，利用分类讨论思想和数形结合思想解答是解题的关键． （1）根据非负数的性质可得m，n的值，即可求解； （2）根据题意可得轴，然后分两种情况，结合三角形的面积公式解答即可； （3）设三角形边边上的高为h，结合三角形的面积公式，可得出，进而得到，由（2）得，根据，得到关于t的方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵点， ∴点， ∴， ∵， ∴， ∴点； 故答案为：；；； （2）解：， 轴， ①当时，如图， ； ②当时，如图， ； 综上所述，三角形的面积； （3）解：∵，，， ，， 设三角形边边上的高为h，则 ， 即， ， ， ， ， ， 由（2）得，即， ， ， 解得， 或． 【变式7-2】（24-25七年级下·福建龙岩·期末）在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴交于，点是直线上且不与A、B两点重合的动点． (1)求三角形的面积； (2)如图1，点D、点E分别是线段、x轴负半轴上的动点，过E作，连接．若，请探究与之间的数量关系；（可用含x的代数式表示，并说明理由） (3)若三角形的面积不小于三角形的面积的2倍，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)且 【分析】（1）根据，得，，根据求解即可； （2）过点D作，则，推出得，据此可得 ； （3）分三种情况：①当点C在第一象限时，②当点在第二象限时，③ 当点C在第四象限时，分别得到的长，然后利用列出不等式求解，即可得到结果． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴； （2）解：如图1所示，过点D作， 则， ∴， ∴； （3）解：分三种情况： ①当点C在第一象限时，作轴于点，则，如下图所示： ∴， ∴， 若， 则， 解这个不等式得， 又∵点在第一象限且不与、重合，则， ∴； ②当点在第二象限时，如下图所示，则， ∴， ∴， 若， 则， 解这个不等式得， 又∵点在第二象限且不与、重合，则， ∴不存在点，使得； ③ 当点C在第四象限时，则， ∴， ∴ 若， 则， 解这个不等式得， 又∵点C在第四象限且不与A、B重合，则， ∴； 综上所述，若，的取值范围是且． 类型八、平面直角坐标系中点的规律探究问题 1. **从特殊到一般** 先计算或描出前几个具体点（如A1, A2, A3）的坐标，观察横坐标、纵坐标分别随序号n变化的规律，进行初步猜想。 2. **用代数式表示规律** 将坐标规律用含n的代数式表示（如An(2n, (-1)n n)）。注意周期性、符号交替、等差/等比等常见规律。 3. **代入验证并推理** 将猜想的通项公式代入n=1,2,3验证，并尝试通过几何变换（平移、对称、旋转）或递推关系说明规律成因。必要时分类讨论奇偶性。 例8．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）如图，平面直角坐标系内，动点按照图中箭头所示的方向依次运动，第次从点运动到点，第次运动到点，第次运动到点，，按照这样的运动规律，动点第次运动到点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了规律型—点的坐标规律探究，由此可以得到规律每四次运动为一个循环，点的纵坐标依次为，，，，横坐标为运动次数减，又，故有动点第次运动到点的横坐标为，纵坐标与第次运动后的点的纵坐标相同为，从而求解，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：∵第次从点运动到点， 第次运动到点， 第次运动到点， 第次运动到点， 第次运动到点， ， 由此可以得到规律，每四次运动为一个循环，点的纵坐标依次为，，，，横坐标为运动次数减， ∵， ∴动点第次运动到点的横坐标为，纵坐标与第次运动后的点的纵坐标相同，为， ∴动点第次运动到点的坐标为， 故选：． 【变式8-1】（24-25七年级下·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点从出发，向上运动1个单位长度到达点，分裂为两个点，分别沿，向左、右分别运动到点点，此时称动点完成第一次跳跃，再分别从C、D点出发，每个点重复上边的运动，到达点，此时称动点完成第二次跳跃，依此规律跳跃下去，动点完成第2025次跳跃时最左边点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，观察可知每完成一次跳跃，到达点的纵坐标增加2，到达最左边的点的横坐标减1，左右两个点的横坐标相差2，据此规律求解即可． 【详解】解：由题意可得：每完成一次跳跃，到达点的纵坐标增加2，到达最左边的点的横坐标减1，左右两个点的横坐标相差2， ∴动点A完成第2025次跳跃时，所到达点的纵坐标为，最左边的点的横坐标为：， ∴最左边的点的坐标为， 故选B． 【变式8-2】（24-25七年级下·广东广州·期末）如图，一个点按，的规律运动，每次运动一个单位长度，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标规律探究，根据的下标偶数的平方在轴的正半轴上，奇数的平方在轴的负半轴上，得出横坐标为，而，据此，即可求解，由点的移动确定其位置及坐标的变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，，，，， ∴，，，， ； ∴的下标偶数的平方在轴的正半轴上，奇数的平方在轴的负半轴上， ∴的横坐标为， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式8-3】（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末）探索规律：点，，，，…，按此规律，求： (1)点的坐标； (2)点的坐标(为正整数)； (3)若点到轴的距离为，求的值． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3) 【分析】本题考查了点的坐标规律探究，求一个数的算术平方根，找到纵坐标是横坐标的平方，是解题的关键； （1）根据规律直接写出点的坐标； （2）根据纵坐标是横坐标的平方写出点的坐标； （3）根据到轴的距离为纵坐标的绝对值，即可求解． 【详解】（1）解：点，，，， ∴ （2）解：依题意，点的坐标为 （3）解：由（2）可得 ∴． 又∵为正整数， ∴ 一、单选题 1．（25-26八年级上·湖南张家界·期末）点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．第一象限：，第二象限：，第三象限：，第四象限： 通过分析点的横坐标和纵坐标的符号，确定点所在的象限． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即横坐标为负； ∵， ∴，即纵坐标为正； ∴点在第二象限 故选B． 2．（24-25八年级上·河南平顶山·期末）已知点和关于轴对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中关于坐标轴对称的点的坐标，两点关于轴对称时，横坐标相等，纵坐标互为相反数． 【详解】解：点和关于轴对称， ，， ， ． 故选：D． 3．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）为培养青少年阅读经典和传承中华文化，某校创建了“典籍传习”社团，小红将“典”“籍”“传”“习”四个字写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使得“籍”“习”的坐标分别为，则“传”字的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形，先根据题意确定平面直角坐标系，然后确定点的坐标． 【详解】解：如图建立直角坐标系，则“传”在第三象限，坐标为 ． 故选：C． 4．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，将一副直角三角板如图所示放置在平面直角坐标系中，轴，若点E的坐标为，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理．过点E作轴于点H，，根据题意可得，再由点E的坐标为，可得，，然后根据直角三角形的性质可得，再根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点E作轴于点H，， 根据题意得：， ∴， ∴， ∵点E的坐标为，轴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 5．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按箭头的方向依次移动，每次移动1个单位长度，得到点，，，，⋯⋯那么点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标类规律探索，由图可得，动点从原点出发，按向下向右向上向上向右向下的方向依次不断移动，六次重复相同的运动，周期为6，再分析，，，即可得出，由此规律计算即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：动点从原点出发，按向下向右向上向上向右向下的方向依次不断移动，六次重复相同的运动，周期为6， ∵，结合图象可得，，，…， ∴ ， 令， 解得， ∴， ∴点的坐标是， 故选：A． 二、填空题 6．（24-25七年级下·吉林·期末）若点到轴的距离为，到轴的距离为，则点的所有可能坐标是 ． 【答案】 或或或 【分析】本题考查点到坐标轴的距离．根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到轴的距离等于横坐标的绝对值，即可得点的坐标． 【详解】解：设点的坐标为， ∵点到轴的距离为， ∴， ∴， ∵点到轴的距离为， ∴， ∴， ∴点的坐标可能是或或或． 故答案为：或或或． 7．（25-26九年级上·福建·期末）在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查已知两点关于原点对称求参数，已知字母的值，求代数式的值． 根据关于原点对称的点的坐标特征，可得，的值，代入计算即可． 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：1． 8．（25-26八年级上·全国·期末）如图，已知等腰，，斜边交轴正半轴于点，若，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题关键是利用全等得出点坐标． 过作轴于，过作轴于，根据全等三角形的性质得到． 【详解】解：过作轴于，过作轴于，如图所示： ， ， ， ， ， ， ∵等腰， ， ， ， ， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·全国·期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P的伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，，，…，，…．若点的坐标为，则点的坐标为 ，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每个点为一个循环依次循环，用除以，根据商和余数的情况确定点的坐标即可． 【详解】解：∵的坐标为， ∴，，，，， 以此类推，每4个点为一个循环依次循环， ∵， ∴点的坐标与的坐标相同，为， 故答案为：． 10．（23-24七年级下·广西北海·期末）如图，点，点向上平移个单位，再向右平移个单位，得到点；点向上平移个单位，再向右平移个单位，得到点；点向上平移个单位，再向右平移个单位，得到点，，按这个规律平移得到点，则点的横坐标 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了点坐标规律探索，点的平移，先求出点，，，的横坐标，得出规律即可，熟练掌握平移的性质得出坐标的变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵点， ∴点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， ∴点的横坐标为， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点在y轴上，求的值； (2)若点在第四象限且到两坐标轴的距离之和为4，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平面直角坐标系，点到坐标轴的距离： （1）y轴上的点的横坐标为0，由此列方程，即可求解； （2）根据点在第四象限，可得，，根据点到两坐标轴的距离之和为4，可得，去绝对值后解方程即可． 【详解】（1）解：点在y轴上， ， 解得； （2）解：点在第四象限， ，， 点到两坐标轴的距离之和为4， ， ， 解得． 12．（25-26八年级上·全国·期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，的各顶点都在格点上，已知点A和点C的坐标分别为和 (1)根据已知条件在图中建立平面直角坐标系； (2)画出关于y轴对称的； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了坐标与图形，根据轴对称画图，三角形面积的计算，理解轴对称的性质是解题的关键． （1）根据点A，C的坐标建立平面直角坐标系即可； （2）由轴对称的性质画图即可； （3）用四边形的面积减去两个直角三角形的面积即可． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示； （2）解：如答图，即为所求； （3）解：． 13．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，，将进行平移，使点B与点O重合，得到，其中A，C的对应点分别为，． (1)画出； (2)在上的点经过平移后在上的对应点为，则的坐标为 ； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3)4 【分析】本题考查了坐标与图形变化，熟练掌握图形平移的性质是解题的关键， （1）根据题意，画出图形即可； （2）根据（1）得出平移的方向和距离，据此表出点的坐标即可； （3）利用以各点为边的矩形面积减去三个小三角形的面积即可得到答案． 【详解】（1） 解：由题意得：向右平移4个单位长度，向上平移1个单位长度得到，如图即为所求； （2）解：由（1）知， ∵， ∴向右平移4个单位，向上平移了1个单位， ∴点的坐标为． 故答案为：； （3）解：由题可得：． 14．（23-24七年级下·广西北海·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标，点的坐标．点P是轴上的一个动点，从点C出发，沿轴向点O运动，当运动到点O时停止运动，速度为2个单位/秒，运动时间为t秒，点在轴的负半轴上，且的面积：的面积． (1)请直接写出点B的坐标； (2)若点D在轴的正半轴上，是否存在点P，使以为顶点的三角形与全等？若存在，请求出点D坐标；若不存在，请说明理由； (3)点Q是轴上的一个动点，从点A出发，向轴的负半轴运动，速度为4个单位/秒．若P、Q分别从C、A两点同时出发，求：t为何值时，以三点构成的三角形与全等． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)1秒或3秒 【分析】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由点A，C的坐标可得的长，结合的面积：的面积，利用三角形面积公式列式可求出，即可求出点B的坐标； （2）分和两种情况讨论求解即可； （3）分和两种情况，结合与讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标，点的坐标， ∴,， 又的面积：的面积， ∴， ∴, ∵点在轴的负半轴上， ∴点的坐标为； （2）解：在轴上，在轴， ， 以、、为顶点的三角形与全等， ①， ， ； ②， ， ， 即：满足条件的的坐标为或； （3）解：在轴上，在轴， ， 由运动知，，， ，， 当时，，， 以、、为顶点的三角形与全等， ①， ， ， ， 满足条件，即： ②， ， ，， ， 不满足条件，舍去； 当时，，， 以、、为顶点的三角形与全等， ①， ， ， ， ， 不满足条件，舍去； ②， ， ，， 即：满足条件的时间或． 15．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足． (1)如图1，填空：点的坐标为______，点的坐标为_____；若以为斜边构造等腰直角，则点的坐标______； (2)如图2，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点． ①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若不改变，写出这个定值；若改变，请说明理由． 【答案】(1)，；或 (2)①见解析；②的大小不变，为定值 【分析】（1）先根据非负性求出点的坐标为，点的坐标为，①点在第一象限时，过点作轴于点，过点作于点，证明，则，，由得到，求出，即可求解点的坐标；②点在第四象限时，过点作轴于点，过点作于点，同理可求即可； （2）①延长、，相交于点，证，得，再证，得，则，即可得出结论；②过点作于点，于点，证，得，则是的角平分线，即可解决问题． 【详解】（1）解：， ，， 解得，， 点的坐标为，点的坐标为， ，， 分两种情况：①如图1，点在第一象限时，过点作轴于点，过点作于点， 轴， ，， ， ， ， ， ， 又，， ， ，， ， ， ， 点； ②如图，点在第四象限时，过点作轴于点，过点作于点， 同①得， ，， ， ， ， 点； 综上所述，点的坐标为或； 故答案为：，；或； （2）①证明：如图2，延长、，相交于点， ， ， ，， ， 又， ， ， 是的角平分线， ， ，， ， ， ， ； ②的大小不变，为定值，理由如下： 如图3，过点作于点，于点， 则， ， ， 由①可知，， ， ， 是的角平分线， ， 即的大小不变，为定值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $