专题05 三角函数的图像与性质、解三角形（讲义）-2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及湖南省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》的第5个专题，内容为三角函数的图像与性质、解三角形。 2026版湖南省（对口招生）《数学考纲专题练》 专题05三角函数的图像与性质、解三角形 一、课标解读 1.掌握正弦型函数的图象和性质 2.掌握两角和与差的正弦、余弦及正切公式，能运用这些公式化简三角函数式，证明较简单的三角恒等式． 3.理解二倍角公式并能进行简单应用． 4.理解正弦定理、余弦定理，并能运用定理解斜三角形． 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 填空题 15 二倍角公式 4 （1）题型：集中在选择题填空题解答题. （2）分值：4-18分. （3）内容：正弦型函数的图像和性质，三角恒等式变换，解三角形. 解答题 21 解三角形 10 2024 选择题 8 正弦型函数、辅助角公式 4 填空题 13 二倍角公式 4 解答题 21 解三角形 10 2023 选择题 10 正弦型图像和性质 4 填空题 11 三角公式应用 4 解答题 21 解三角形 10 2022 选择题 5 正弦型函数 4 填空题 13 二倍角公式 4 解答题 21 解三角形 10 三、考点预测 根据2022-2025年的真题考情，预估2026年湖南省对口招生考试依然有1-3道题目考查正弦型函数的图像和性质，三角恒等式变换，解三角形，题型为选择或填空，外加一个解答题，分值是4分，4分，10分，共18分.具体考点可能涉及如下内容： · 正弦型函数图像和性质 · 三角恒等变换和解三角形 四、知识梳理 （一）正弦型函数的图像和性质 1．函数的图像变换 (1)φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响． (2)ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响． (3)A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响． 2.正弦型函数的性质 定义域为R; 值域为[-||,||];最大值为|A|,最小值为-|A|;最小正周期为 =.其图像可由“五点法”或“平移法”作出来. 3.辅助角公式 ，角的值由 确定. （二）三角恒等变换 1.两角和与差的正弦、余弦及正切公式 两角和与差的余弦公式：. 两角和与差的正弦公式： 两角和与差的正切公式： 2. 二倍角的正弦、余弦及正切公式 (S2α)． (C2α)． (T2α)． 3.二倍角公式的变形 （1）降幂公式： （2）升幂公式：. （1）降幂公式： （2）升幂公式：. （三）解三角形 1. 正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝　＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径) a2＝ b2＋c2－2bccos A b2＝ a2＋c2－2accos B c2＝ a2＋b2－2abcos C 常见 变形 ①a＝ 2Rsin A ， b＝ 2Rsin B ，c＝ 2Rsin C ②sin A＝ 　，sin B＝ 　，sin C＝ 　 ③a：b：c＝ sin A：sin B：sin C ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝ 　 cos B＝ 　 cos C＝ 　 解决解 斜三角 形的问 题 (1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边 (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 (1)已知三边，求各角 (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 2.在△ABC中，常有以下结论 1．∠A＋∠B＋∠C＝π. 2．在三角形中，大边对大角，大角对大边． 3．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 4．sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C 5．∠A>∠B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B． 3.三角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示a边上的高)． (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A. 五、10分钟小测验 1．函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 2．在中，若，则等于（    ） A． B． C． D． 3．在中，已知，则（   ） A． B． C． D． 4．在中，已知，则的面积等于（   ） A． B． C． D． 5．计算（   ） A． B．1 C．2 D． 6．（   ） A． B． C． D．1 7．在中，，则（    ） A． B． C． D． 8．在中，，则是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．针角三角形 9．已知的面积为，且，，则（   ） A． B． C．或 D．或 10．将函数的图像上各点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的倍，可得函数的图像为（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案解析】 1．B 【分析】由正弦型函数的最小正周期的公式计算即可. 【详解】函数中， 则最小正周期． 2．C 【分析】根据余弦定理求解即可. 【详解】由题意知，， 因为是三角形内角，所以. 故选：C. 3．B 【分析】结合三角形内角和与正弦定理求解即可； 【详解】因为在中，已知 所以， 又因为。 所以由正弦定理可得，所以． 故选：B 4．C 【分析】由三角形面积公式即可求解. 【详解】因为在中，， 所以． 故选：C. 5．B 【分析】根据两角和的正切公式即可求解. 【详解】. 故选：B. 6．B 【分析】根据两角和的余弦公式计算即可. 【详解】 ， 故选：B. 7．C 【分析】根据题意结合正弦定理即可得解. 【详解】在中，由，得， 又，故，得， 由正弦定理得，. 故选：C. 8．B 【分析】根据正弦定理得出，即可确定三角形的形状. 【详解】已知在中，， 由正弦定理得，得， 为等腰三角形． 故选：B. 9．D 【分析】由三角形面积公式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，因为，所以或． 故选：D. 10．C 【分析】根据三角函数图像变换规律求解. 【详解】把的图像上各点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的倍，得到的图像. 故选：C. 六、经典例题解析 （一）正弦型函数图像和性质 【例1】（2021·湖南对口升学高考）为了得到函数的图象，只需要将的图象（    ） A．向上平移个单位 B．向左平移个单位 C．向下平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】B 【分析】根据“左加，右减”的平移规律判断选项. 【详解】根据平移规律可知，只需向左平移个单位得到. 故选：B 【例2】（2023·湖南对口升学高考）下列命题中正确的是（    ） A．函数的周期为 B．函数在区间内是减函数 C．函数的图象与函数的图象有交点 D．函数的图象可由的图象向左平移个单位得到 【答案】D 【分析】由三角函数的图象和性质逐项分析判断即可. 【详解】函数的周期为，故A错误， 函数在区间内是增函数，故B错误， 函数的值域，函数的值域， 所以两个函数图象没有交点，故C错误， 的图象向左平移个单位， 即，故D正确. 故选：D. 【例3】（2024·湖南对口升学高考）函数取最大值时，的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据和与差的正弦公式结合正弦函数的性质即可求解. 【详解】由题意得， ， 函数取最大值时， 则， 即. 当时，. 故选：C. （2） 三角恒等式二倍角公式 【例4】（2022·湖南对口升学高考）若角的终边经过点，则 . 【答案】/ 【分析】由终边上的点求正弦值，余弦值，再求. 【详解】∵角的终边经过点， ∴， ∴，， ∴. 故答案为：. 【例5】（2024·湖南对口升学高考）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点的坐标为，则 ． 【答案】 【分析】先根据终边上的坐标求出r，然后计算出，再根据二倍角公式计算即可. 【详解】因为终边上一点的坐标为， 所以， ， 则． 故答案为：.- 【例6】（2025·湖南对口升学高考）若，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的正弦公式 【分析】将平方，再根据同角三角函数的平方关系和二倍角的正弦公式，即可求解. 【详解】因为，即， 所以，得到， 所以， 故答案为： （3） 解三角形 【例7】（2020·湖南对口升学高考）已知的内角A，B，C所对的边分别为，且，， (1)求A； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、正弦定理解三角形、求特殊角的三角函数值 【分析】（1）根据正弦定理即可求解. （2）先根据三角形内角和为得到角，再根据两角和的余弦公式求解 【详解】（1）∵，，， 根据正弦定理，可知，代入得到， ，即. ∵，故， ∴得到. （2）∵，，∴. . 【例7】（2021·湖南对口升学高考）如图，在中，，点D在BC边上，且，，    (1)求AC的长； (2)求的值. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）由已知利用余弦定理直接求解． （2）利用，结合两角差的正弦公式即可得解． 【详解】（1） ，，， 在中，由余弦定理得， . （2），所以，又由题意可得， . 【例8】（2022·湖南对口升学高考）如图，点为等边三角形的边上一点，且，. (1)求的长； (2)求的值. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据余弦定理求解. （2）根据正弦定理求解. 【详解】（1）∵为等边三角形， ∴ 又∵， ∴， 即， 在中， ， 即， ， ∴ （2）∵， 在中，由正弦定理得： ， 即， 解得： . 【例9】（2023·湖南对口升学高考）如图，已知在中，，．    (1)若，求AC的长； (2)若D为AC的中点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理即可求解； （2）根据正弦定理即可求解. 【详解】（1）根据余弦定理， 在中， ， 则AC的长为； （2）因为D为AC的中点， 则， 由正弦定理可得， 在中， ， 在中， , 又因为， 则有， 即， 则， 所以. 【例10】（2024·湖南对口升学高考）如图，已知中，，，． (1)求； (2)若为线段上的一点，且，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据余弦定理即可求解. （2）根据正弦定理即可求解. 【详解】（1）在中，， 由余弦定理得， ， 因为， 所以. （2）在中， 由正弦定理可得， ， 所以. 【例11】（2025·湖南对口升学高考）如图，复平面的上半平面内有一个平行四边形，，，.    (1)求； 【答案】(1) 【详解】（1）在三角形中，，，. 则， 因为或， 又因为，故舍去， 综上所述，； 七、专题归纳小结 【专题内容总结1】解题策略与技巧 1.三角恒等变换口诀 “和差拆角像积木，二倍变身降幂忙；辅助合成一个弦，最值周期一把抓” 2.正弦定理、余弦定理 工具 核心公式 适用题型 正弦定理 ＝＝　＝2R ① 已知两角及一边（AAS/ASA） ② 已知两边及对角（SSA，注意多解） 余弦定理 c2＝ a2＋b2－2abcos C ① 已知三边（SSS）求角 ② 已知两边及夹角（SAS） 面积公式 S＝absin C 求△ABC 面积 3.恒等变换四步法 统一角度 选择公式 化简目标 验证结果 4.正弦定理“两角一边”型（AAS/ASA） 策略：直接代公式求边，注意比例统一 步骤： 1. 利用内角和求第三角（ASA需先求未知角） 2. 代入＝求边 3. 余弦定理“两边夹角”型（SAS） 策略：优先求第三边，再用正弦定理求角 口诀：“两边夹一角，余弦求对边” 【专题内容总结2】易错点 易错类型 错因分析 纠错方案 不能正确合并三角函数式 忽略辅助角公式 针对辅助角公式多做练习 利用正弦定理求角丢掉钝角 忽略可能有两个解的情况 求出钝角验证是否成立 【专题内容总结3】备考策略 1、学生能力培养重点： 公式逆用训练：每日3题（如 反向应用） 高频考向精练： 题型1：恒等变换() 题型2：解三角形综合(已知a:b:c=2:3:4，判断三角形形状) 2、真题演练方向： 近三年高考题中同角关系式、二倍角公式、辅助角公式、正弦定理求角时两个解、余弦定理变形求角等问题。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $