专题06 平面向量、复数（讲义）-2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及湖南省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》的第6个专题，内容为平面向量、复数。 2026版湖南省（对口招生）《数学考纲专题练》 专题06平面向量、复数 一、课标解读 1.平面向量 (1) 理解向量的定义，理解单位向量、相等向量、零向量、负向量、共线向量的含义； (2) 掌握向量的加法、减法及数乘运算；会应用法则进行化简运算； (3) 理解与一个非零向量共线的向量的含义； (4) 掌握向量的平面直角坐标的概念及运算法则，理解并掌握平面向量的坐标与点的坐标的关系； (5) 理解向量的内积概念和基本性质，会用直角坐标计算向量的内积； (6) 掌握两个向量共线的条件，掌握两个向量垂直的条件，并会应用． 2.复数 (1) 了解复数的概念、 复数的代数表示及向量表示； (2) 了解复数的代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法运算； (3)在复数范围内解实系数一元二次方程。 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 选择题 6 向量内积 4 （1）题型：集中在选择题填空题. （2）分值：4-9分. （3）内容：向量、复数 解答题 21 复数（第二问） 5 2024 填空题 12 向量内积 4 2023 选择题 6 平面向量共线定理 4 2022 选择题 6 向量内积 4 三、考点预测 根据2022-2025年的真题考情，预估2026年湖南省对口招生考试依然有1道题目考查向量，1道题目考查复数，题型为选择或填空，分值各是4分.具体考点可能涉及如下内容： · 向量、复数 四、知识梳理 （一）平面向量 1．向量有关的概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)． (2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量记作0　. (3)单位向量：长度等于1个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量；平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行. (5) 单位向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 加法 求两个向量和的运算 三角形 法则 平行四边形 法则 减法 向量a加上向量b的 相反向量 叫做a与b的差，即a＋(－b)＝a－b 三角形 法则 数乘 实数λ与向量a的积是一个 向量 记作λa (1)模：|λa|＝|λ||a| ； (2)方向： 当λ>0时，λa与a的方向 相同 ； 当λ<0时，λa与a的方向 相反 ； 当λ＝0时，λa＝0 3．共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使 b＝λa 4．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝ (x1－x2，y1－y2) ，λa＝ (λx1，λy1) ，|a|＝. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝ (x2－x1，y2－y1) ，||＝ 　. 5.向量共线的坐标表示 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔ x1y2－x2y1＝0 . 6.中点坐标公式 若P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式. 7.平面向量内积的性质及其坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． ①内积：a·b＝|a||b|cos θ＝ x1x2＋y1y2 . ②模：|a|＝＝ 　. ③设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝||＝. ④夹角：cos θ＝ 　＝. ⑤已知两非零向量a与b，a⊥b⇔a·b＝0⇔ x1x2＋y1y2＝0． （二）复数 1.复数的概念 （1）复数的定义 我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做__虚数单位__，满足i2＝__－1__．全体复数所构成的集合C＝__{a＋bi|a，b∈R}__叫做复数集． （2）复数的表示 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中的a与b分别叫做复数z的__实部__与__虚部__． （3）复数相等的充要条件 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定a＋bi与c＋di相等当且仅当__a＝c且b＝d__． 2.复数的几何意义 （1）复数的模 向量的模称为复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作__|z|__或__|a＋bi|__．即|z|＝|a＋bi|＝____，其中a，b∈R．如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模就等于__|a|__(a的绝对值)． （2）共轭复数 ①定义：当两个复数的实部__相等__，虚部__互为相反数__时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数． ②表示方法：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝__a－bi__． 3.复数的加、减、乘法运算 （1）复数的加、减法运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1＋z2＝__(a＋c)＋(b＋d)i__， z1－z2＝__(a－c)＋(b－d)i__． （2）复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝__(ac－bd)＋(ad＋bc)i__． 4.实系数一元二次方程的解法 （1）实系数一元二次方程的虚根是成对出现的，即若复数a＋bi(a，b∈R，b≠0)是实系数一元二次方程的根，则其共轭复数a－bi是该方程的另一根． （2）和在实数范围内对比，在复数范围内解决实系数一元二次方程问题，韦达定理和求根公式仍然适用，但是判别式判断方程根的功能就发生改变了． 五、10分钟小测验 1．已知点，，则向量（   ） A． B． C． D． 2．如图所示，在平行四边形中，与相等的是（   ） A． B． C． D． 3．两个非零向量夹角的范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知向量，且，，，则一定共线的三点是（   ） A． B． C． D． 5．已知向量，则（   ） A．25 B． C．5 D． 6．已知，，则（    ） A． B． C． D． 7．若点的坐标为，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．在中，若，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 9．已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．设i是虚数单位，，则（   ） A．5 B． C． D． 【答案解析】 1．D 【分析】根据向量的坐标运算即可解得. 【详解】因为点，，所以，则． 故选：D. 2．C 【分析】根据向量的减法法则即可解答. 【详解】由图可知，， 所以. 故选：C. 3．C 【分析】根据向量夹角的范围即可解答. 【详解】当两向量方向相同时，夹角为；当两向量方向相反时，夹角为； 当两向量成其他任意角度时，夹角是到之间， 所以两个非零向量夹角的范围是到，即， 故选：C. 4．C 【分析】根据向量的线性关系判断三点共线即可； 【详解】因为，，， 所以， 所以， 所以，共线，且有公共点， 所以三点共线． 故选：C 5．C 【分析】由向量模的坐标表示计算即可. 【详解】因为向量，所以． 故选：C. 6．B 【分析】根据向量坐标的线性运算求解即可； 【详解】因为，， 所以， 故选：B 7．B 【分析】根据向量的坐标表示求值即可. 【详解】已知点的坐标为， 则. 故选：B. 8．B 【分析】由向量垂直的条件即可求解. 【详解】因为，所以， 是直角三角形． 故选：B. 9．A 【分析】根据复数的几何意义写出复数所对应点的坐标即可. 【详解】，则，在复平面内对应的点为，在第一象限. 故选：A. 10．A 【分析】根据复数的模长公式即可求解. 【详解】复数，则． 故选：A. 六、经典例题解析 （一）向量 【例1】（2020·湖南对口升学高考）已知向量，，则 ； 【答案】4 【分析】根据向量内积的坐标公式求解即可. 【详解】因为,. 所以. 故答案为：4. 【例2】（2021·湖南对口升学高考）已知向量，，则 【答案】 【分析】利用向量的线性运算及模的坐标表示，即可求解. 【详解】由题可得 ， 所以. 故答案为： 【例3】（2022·湖南对口升学高考）已知向量，，则（    ） A． B． C．10 D．25 【答案】A 【分析】根据向量线性运算和内积的坐标表示求解即可. 【详解】∵，， ∴，， ∴， 故选：A. 【例4】（2023·湖南对口升学高考）已知向量，，则与向量平行的向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由向量线性运算的坐标表示求出坐标，再由平行的条件即可选出正确答案. 【详解】因为向量，， 则， 因为，所以与向量平行的向量可以是. 故选：B. 【例5】（2024·湖南对口升学高考）已知向量，，且，则实数 ． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算的坐标表示结合向量垂直则内积为即可求解. 【详解】， . 因为， 所以. 解得. 故答案为：. 【例6】（2025·湖南对口升学高考）已知，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据点的坐标得到向量坐标，再结合向量内积的坐标公式，即可解得. 【详解】因为，，， 所以，， 即. 故选：C. （2） 复数 【例7】（2025·湖南对口升学高考）如图，复平面的上半平面内有一个平行四边形，，，.    (2)若，求点所对应的复数. 【答案】(2) 【详解】（2）已知， 则点A的坐标为，即， 在三角形中，，由（1）得，， 因此， 又因为， 所以OC与x轴的夹角为， 则点C的坐标为，即， 所以， 则对应的复数为. 七、专题归纳小结 【专题内容总结1】解题策略与技巧 一、平面向量 1. 基底法（几何法） ​步骤： (1) 选择一组不共线的向量作为基底（如 ，） (2) 将目标向量用基底表示 (3) 进行运算 2. 坐标法（代数法） 适用场景：已知几何条件（垂直、平行、特殊图形） 步骤： (1) 建立直角坐标系（优先以垂直、对称点为轴） (2) 写出相关点坐标及向量坐标 (3) 代数运算 二、复数 1. 概念辨析“两步法” 适用场景：判断复数类型、求参数取值范围 步骤： (1) 化标准形：写成 z=a+bi 形式 (2) 根据定义列方程(不等式)： 纯虚数：实部=0，虚部≠0 实数：虚部=0 2. 方程解法“实虚部分离” 适用场景：求解含复数的方程 核心思想：利用复数相等的条件，将复数方程转化为实数方程组 【专题内容总结2】易错点 一、平面向量 易错类型 典型案例 错因分析 纠错方案 忽略零向量 漏考虑的情况 见到平行先想零向量 夹角概念错误 求 ∠ABC 的余弦值，误用  向量需共起点 求角向量必须共起点 模的平方与平方混淆 计算误直接开方： 未用公式 先平方后开方 二、复数 易错类型 典型案例 错因分析 纠错方案 纯虚数条件遗漏 误认为若，则 z 为纯虚数” 漏考虑z=0 的情况（0是实数） 纯虚数必须满足：实部=0且虚部≠0 几何意义混淆 求满足z= 1的点集，误认为是单位圆内的点 混淆“圆”与“圆面” (z=r) 表示圆，( z<r) 表示圆面 【专题内容总结3】备考策略 一、平面向量 1、学生能力培养重点： 几何与代数转化能力：每道题思考是否可建系（坐标法） 画图习惯：解决向量问题必画示意图，直观分析 2. 真题演练方向： 题型1：线性运算几何表示（在三角形、四边形中） 题型2：数量积的几何与坐标计算 题型3：向量共线与垂直的证明与应用 题型4：求模 二、复数 1.学生能力培养重点： 标准形意识：见到复数先写为 a+bi 形式 几何直观：养成“见复数想点，见模想距离”的思维习惯 2.高频考向精练： 题型1：概念辨析（判断类型、求参数） 题型2：四则运算（无除法） 题型3：求模 题型4：几何意义的应用 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $