专题02 几何图形的初步认识（期末复习讲义，知识必备+16大重难点题型+过关验收）七年级数学上学期新教材冀教版

该初中数学期末复习讲义通过表格系统梳理几何图形初步认识的14个核心考点，明确复习目标与考情规律，再按“丰富的图形世界”“线段射线直线”“角”“图形旋转”等10个知识点分层构建知识框架，用对比表格呈现线段、射线、直线的区别，结合正方体展开图等图形示例，直观展现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于16类题型的精准设计与方法指导，如“线段中点计算”强调用未知数表示线段关系，“角平分线问题”引导设元推理，培养推理意识与几何直观。分层练习涵盖基础通关、重难突破、综合拓展，如“平面图形旋转”动态题型提升空间观念，支持不同层次学生自主复习，助力教师实施精准分层教学。

专题02 几何图形的初步认识（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 常见几何体 根据几何体的概念辨别几何图形 常出现在小题中 直线、射线、线段 能区分直线、射线、线段，会画直线、射线和线段； 出现在小题，画图题则会出现在解答题 线段长短的比较 会比较线段的长短 常出现在小题中 两点间的距离 掌握两点之间距离的求解 一般会让求两点之间的距离 线段的和与差 会计算线段的和与差，会用未知数表示线段 重点考查，一般在解答题中 线段中点的有关计算 掌握线段的中点公式，会根据中点概念计算长度 重点考查，一般出现在解答题 角的概念与表示 掌握角的基本概念和表示方法 出现在小题，考查内容简单 角的单位 牢记角的单位度、分、秒 小题考查，单位换算 尺规作角 掌握用直尺、圆规画角的方法 一般出现在解答题中 角的四则运算 能进行角的四则运算 一般在解答题中出现 角平分线 会利用角平分线的定义解决角度问题 重点考查，一般在解答题中出现 余角 掌握余角的相关概念 核心内容，和其他知识点一起考查 补角 掌握补角的相关概念 核心内容，和其他知识点一起考查 平面图形的旋转 掌握旋转的要素和性质 常出现在解答题中 知识点01 丰富的图形世界 【分类】 【点、线、面、体】 现实生活中的图形都是由点、线、面构成的，面有平面，曲面；线有直线，曲线；面与面相交构成线，线与线相交构成点，点动成线、线动成面、面动成体； 知识点02 图形的运动 翻折(轴对称)，旋转，平移是图形变换的三种基本方式，这三种变换只改变原图形的位置，不改变原图形的形状和大小． 知识点03 图形的展开与折叠 圆柱的侧面展开图是长方形，圆锥的侧面展开图是扇形，正方体的表面展开图有11种，展开时6个面有5条棱相连，故剪开了7条棱． 常见立体图形的平面展开图 立体图形是由面包围而成，沿着它的一些棱适当剪开就可以展开成平面图形，一些常见立体图形的平面展开图如下： ①四个正方形连成一行的有六种情况，如图所示①⑥； ②三个正方体连成一行的有四种情况，如图所示⑦一⑩； ③两个正方形连成一行有一种情况，如图所示（11） 综上所述，正方体一共有11种展开图． 知识点04 三视图 一个物体在三个投影面（正面、侧面、水平面）内同时进行投影，得到不同的图形，便有三视图： (1)主视图：是在正面内得到的由前向后观察物体得到的视图； (2)左视图：是在侧面内得到的由左向右观察物体得到的视图； (3)俯视图：是在水平面内得到的由上向下观察物体得到的视图． 知识点05 线段、射线、直线相关概念 正确理解直线、射线、线段的概念以及它们的区别： 名称 图形 表示方法 端点 长度 直线 直线AB(或BA) 直线l 无端点 无法度量 射线 射线OM 1个 无法度量 线段 线段AB(或BA) 线段l 2个 可度量长度 【基本性质】 (1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短． 【画一条线段等于已知线段】 （1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. （2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图： 经过两点有一条直线，并且只有一条直线。（两点确定一条直线）. 知识点06 角的表示 【定义】有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. 【表示】角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示； 角的度量单位：度、分、秒是常用的角的度量单位， 1、把一个周角平均分成360等份，每一份就是1度的角，记为1°； 2、把1°的角60等分，每一份就是1分的角，记为1″； 3、把1′的角60等分，每一份就是1秒的角，记为1′. 角的换算：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″， 1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180° 角的换算方法： 1、由度化为分、秒的形式（即由高位向低位化）：1°＝60′，1′＝60″； 2、由分、秒化为度的形式（即由低位向高位化）：，. 知识点08 余角、补角 余角：如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角． 补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角． 【注意】同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等. 知识点10 旋转的概念 【概念】在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． 【性质】旋转前后的两个图形中，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角都等于旋转角 【三要素】①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　 【注意】三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 题型一 常见的几何体 1．一个几何体从不同方向看到的平面图形如图所示，则该几何体是（    ） A．圆柱 B．圆锥 C．棱锥 D．棱柱 2．下列各组图形中，都是立体图形的是（　　） A．点、直线、四边形、长方体 B．三角形、长方形、正方体、圆锥 C．线段、相交线、长方体 D．长方体、正方体、圆锥、球 3．如图，请在每个几何体右边写出它们的名称： （1） ；（2） ；（3） ；（4） ； （5） ；（6） ；（7） ；（8） ． 4．把图中的几何图形与它们相应的名称用线连起来 题型二 几何体中的点、棱、面 解｜题｜技｜巧 现实生活中的图形都是由点、线、面构成的，面有平面，曲面；线有直线，曲线；面与面相交构成线，线与线相交构成点，点动成线、线动成面、面动成体 5．一个直棱柱有10个顶点，则这个棱柱的侧面个数为（   ） A．5个 B．7个 C．9个 D．10个 6．下列说法不正确的是（    ） A．长方体是四棱柱； B．八棱柱有16条棱； C．五棱柱有7个面； D．直棱柱的每个侧面都是长方形． 7．欧拉定理是数学史上最著名的定理之一，由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉于1752年提出．这个定理阐述了凸多面体中顶点数（）、面数（）和棱数（）之间存在一定的数量关系． 名称 图形 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 8 12 十二面体 20 12 30 （1）表中的值为 ； （2）在简单多面体中，，，之间的数量关系是 ． 8．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 (2)你发现顶点数、面数、棱数之间存在的关系式是 (3)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 (4)某个玻璃鉓品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为x个，八边形的个数为y个， 题型三 平面图形旋转后的立体图形 解｜题｜技｜巧 解决此类题型需要学生充分展现自己的想象力，学会画出旋转后的立体图形； 9．如图，将下列的平面图形绕轴旋转一周，能围成的几何体是（    ） A． B． C． D． 10．如图，是一个直角三角形，、、的长度分别为、、，分别以三条边所在的直线为轴旋转一周得到三个不同的立体图形，对这三个立体图形的体积大小说法正确的是（   ）． A．以边所在的直线为轴旋转一周得到的立体图形的体积最大 B．以边所在的直线为轴旋转一周得到的立体图形的体积最大 C．以边所在的直线为轴旋转一周得到的立体图形的体积最大 D．三个不同的立体图形的体积一样大 11．长方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，得到的几何体是 . 12．如图，这是一张长方形纸片，的长为，的长为． (1)若将此长方形纸片绕它的一边所在的直线旋转一周，则形成的几何体是________． (2)若将这个长方形纸片绕边所在的直线旋转一周，求形成的几何体的体积（结果保留） 题型四 线段、射线、直线联系与区别 解｜题｜技｜巧 记住，线段有两个端点，可测量出长度；射线只有一个端点，长度不可测量；直线没有端点，长度不可测量； 注意：射线与直线的长短无法比较； 13．下列说法：（1）两点确定一条线段；（2）画一条射线，使它的长度为；（3）线段和线段是同一条线段；（4）射线和射线是同一条射线；（5）直线和直线是同一条直线．其中正确的有（　　）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．下列叙述中，正确的是（    ） A．直线a，b相交于点n B．延长射线到点C C．画直线，使 D．在射线上截取，使 15．直线AB，BC，CA的位置关系如图所示，下列语句：①点A在直线BC上；②直线BC经过点B；③直线AC，BC交于点C；④点C在直线AB外；⑤图中共有12条射线．以上表述正确的有 ．（只填写序号） 16．学习情境·学科内融合已知数轴上的原点为O点，点A表示3，点B表示，回答下列问题．    (1)数轴在原点左边的部分（包括原点）是一条什么线？怎么表示？ (2)射线上的点表示什么数？ (3)数轴上表示不大于3，且不小于的数的部分是什么图形？怎么表示？ 题型五 线段、射线、直线的数量、交点问题 解｜题｜技｜巧 直线两两相交，交点的个数为 17．棋盘上有黑、白两色棋子若干，若把颜色相同的三颗棋子在同一条直线上看作一条直线．请你根据图示，判断满足这种条件的直线共有（    ） A．5条 B．4条 C．3条 D．2条 18．D5363的动车是从大同南出发到运城北，这辆动车途中有个停车点，若设任意两个站点的距离都不相等，则这趟动车设置的站点的不同票价最多有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 19．如图，同一平面中，三条直线交于同一点，不经过交点再画一条直线，则直线和原来三条直线最少有 个交点． 20．在学习《线段、射线、直线》时，小明通过画图尝试，发现了如下的规律： 图形 直线上点的个数 共有射线条数    1 2    2 4    3 6 … … … (1)当直线上点的个数为4时，共有射线的条数为________； (2)若一条直线上共有20条射线时，请你求出该直线上点的个数． 题型六 线段长短的比较 解｜题｜技｜巧 比较线段的长短时，注意单位要统一，数字大的线段长； 21．如图所示从处到处的路线，小梦同学的家在处，星期日她要到在处的书店去买书，请你帮助她选择一条最近的路线（    ） A． B． C． D． 22．如图，的周长为15，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧的交点D恰好在边上，连接．若的周长为9，则的长为 ． 23．如图，已知四点、、、，根据下列几何语句完成作图．（保留画图痕迹） (1)画直线，画射线，连接并在线段上取点，使的值最小； (2)的值最小，依据的数学道理___________________． 24．如图，正方形网格中有四个点A，B，C，D，它们都在网格线的交点上，请利用网格，用直尺按照下列要求画图及回答问题： (1)画出直线，并找出线段的中点O； (2)画出射线，并在射线上画出点P，使的值最小． 题型七 线段的和与差 解｜题｜技｜巧 线段的和与差计算是常考题，关键在于理解线段的和与差概念，如何表示线段的和与差；同时可以利用未知数表示线段的和与差，根据等量关系列出式子，最后算出结果； 25．如图，，点为线段的中点，已知，且，则的长为（　　） A．9 B．12 C．15 D．18 26．如图，点、为线段上两点，，且，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 27．如图，已知线段 ，点 C 在 的延长线上，且，求 的长度．    28．如图，B、C、D依次为线段AE上的三个点．已知，，． (1)求的长； (2)求图中所有线段长度的和． 题型八 线段中点的有关计算 解｜题｜技｜巧 记住线段的中点公式：; 29．如图，已知线段，点M在上，，P，Q分别为，的中点，则的长为（　　） A． B． C． D． 30．如图，已知点C为线段的中点，点D在线段上．若，，则线段的长是 ． 31．如图，A，B，C，D是直线l上的四个点，点M，N分别是线段，的中点． (1)如果，，，求的长为多少? (2)如果，，求的长为多少? 32．数学课上，李老师给出了如下问题： 如图1，一条直线上有四点，线段，点为线段的中点，点在直线上，，请补全图形，并求的长度． 以下是小华的解答过程： 解：如图2，因为线段，点为线段的中点， 所以①_________②_________． 因为， 所以③_________． 小斌说：我觉得这个题应该有两种情况，小华只考虑了点在点的左边，事实上，点还可以在点的④_________． 完成以下问题： (1)请完成以上的填空； (2)根据小斌的想法，请你在图3中画出另一种情况对应的示意图，并求出此时的长度． 题型九 线段之间的数量关系 解｜题｜技｜巧 解决此类问题时可以先明确好答案，一般线段的数量关系常见的有加法关系、倍数关系和两者的结合等； 33．如图，点是线段上一点，点是线段的中点，则下列等式不成立的是（    ）    A． B． C． D． 34．如果点在线段上，下列式子：①，②，③，④．能判断是线段的中点的有 ． 35．如图，延长线段至点，使，反向延长至，使． (1)依题意画出图形，则_________(直接写出结果)； (2)若点为的中点，且，求的长． 36．如图，延长线段到点，使，点为的中点． (1)若，请补齐图形并求线段的长； (2)若为的三等分点，则的值为 ．（直接写出结果） 题型十 角的相关概念 解｜题｜技｜巧 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. 37．下列四个图中，能用，，三种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 38．下列说法正确的是（   ） A．两条射线组成的图形叫作角 B．有公共端点的两条线段组成的图形叫作角 C．角可以看作一条射线绕着端点旋转到另一个位置所形成的图形 D．角可以看作一条线段绕着端点旋转到另一个位置所形成的图形 39．计算： （结果用度表示） 40．把下列角度化成度的形式： (1)． (2)． 题型十一 角的四则运算 解｜题｜技｜巧 角的计算也是可以直接进行加减乘除计算的，但要注意换算； 角的换算：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″， 1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180° 角的换算方法： 1）由度化为分、秒的形式（即由高位向低位化）：1°＝60′，1′＝60″； 2）由分、秒化为度的形式（即由低位向高位化）：，. 41．计算： (1)； (2)． 42．计算 (1)； (2)． 43．计算： （1）； （2）． 44．计算： (1)； (2)； 题型十二 三角板中角度计算问题 45．如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中的图形个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 46．如图，将一副三角尺的两个锐角（角和角）的顶点叠放在一起，没有重叠的部分分别记作和，若，则的度数为 ． 47．将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，两直角顶点重合于点，已知． (1)求的度数． (2)现将三角尺固定不动，把三角尺绕点顺时针旋转度，当时，求的值． 48．如图，直线相交于点，将一个三角尺的直角顶点放置在点处，使其两条直角边分别位于的两侧．刚好平分． (1)若，求的度数； (2)试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 题型十三 几何图形角度计算 49．如图，点O为直线上一点，过点O作，在内有一条射线，平分，且． (1)试说明：； (2)在（1）的条件下，过点O在直线的上方有一条射线，若，，求的度数． 50．如图，含的直角三角板的顶点B在直线上． (1)如图1，当点A，C位于直线两侧时，若直线平分，平分，求的度数； (2)如图2，当点A，C位于直线同侧时，若分别平分和，，求（用含的式子表示）． 51．如图，为直线上一点，，平分，． (1)求出的度数； (2)试判断是否平分，并说明理由． 52．如图，直线经过点O，平分，平分，若，． (1)求的度数． (2)判断与的位置关系，并说明理由． 题型十四 角平分线有关计算 解｜题｜技｜巧 角平分线的相关计算，解决此类问题关键要会设未知数，将角平分线的角设出来，再用这个角去表示其他的角；如果出现多个角平分线的话，可以设两个未知数； 53．直线，射线相交于点，，，平分．求的度数． 54．大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析如何能让班上同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论．如图1，为方便研究，定义两手手心位置分别为两点，两脚脚跟位置分别为两点，定义平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转． (1)如图1，三点在同一条直线上，两点重合，，求的度数； (2)如图2，三点在同一条直线上，且，平分，求的度数． 55．已知O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图①，若，求的度数； (2)将图①中的绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，猜想与的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； 56．如图，为直线上一点，与互补，、分别是、的平分线． (1)根据题意，补全下列说理过程： ∵与互补 ∴ 又∵___________ 根据___________， ∴______________________． （备注：符号“∵”表示“因为”，符号“∴”表示“所以”） (2)若，求的度数． 题型十五 余角、补角有关计算 解｜题｜技｜巧 记住余角、补角的概念，做题时千万不能这一角的关系： 余角：如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角． 补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角． 57．如图，将两副直角三角板按照如图方式摆放，其中与互余，则∠ABD 的度数为（   ） A． B． C． D． 58．如图，，，，则的度数为 ． 59．如图，已知和都是直角，它们有公共顶点O． (1)若，求的度数． (2)判断和的大小关系，并说明理由． (3)猜想：和有怎样的数量关系，并说明理由． 60．如图1，在平面内，已知点在直线上，射线、均在直线的上方，，，平分．    (1)若，则 ． (2)若与互余，且在的内部，请在图2中补全图形． ①若，求的度数； ②判断是否平分，并说明理由． 题型十六 平面图形的旋转 解｜题｜技｜巧 旋转的性质： 　　旋转前后的两个图形中，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角都等于旋转角 旋转三要素： ①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 61．如图，在正方形网格中，三角形①绕某点旋转一定角度得到三角形②，其旋转中心是（    ）    A．点A B．点B C．点C D．点D 62．如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，使点恰好落在边上．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 63．如图，将绕着点A顺时针旋转后，得到，则 ． 64．已知：，射线是平面内一条动射线，射线绕点O顺时针旋转得到射线，平分．    　　　　　　　　图1　　　　　　　　　　　　　　　　图2 (1)如图1，当射线在外部时，若，求的度数； (2)如图2，当射线、都在内部时，若，则 （用含的式子表示）； (3)若平分，直接写出度数． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级上·河北张家口·期末）下面说法错误的是（   ） A．一条线段只有一个中点 B．比较线段长短有两种方法：测量法和重叠法 C．经过两点的直线有无数条 D．在所有连接两点的线中，总是线段最短 2．（24-25七年级上·河北·期末）已知一个角的余角是，那么这个角的补角为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图所示的几何图形与相应语言描述不相符的是（   ） A．如图①，直线a和直线b相交于点A B．如图②，延长线段BA到点C C．如图③，射线BC不经过点A D．如图④，射线CD和线段AB有交点 4．（24-25七年级上·河北·期末）下面是黑板上出示的尺规作图题，下列各符号代表的内容正确的是（    ） 如图所示，已知，求作：，使． 作法： （1）以●为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点P，Q； （2）作射线，并以点E为圆心，以◎长为半径画弧交于点D； （3）以点D为圆心，以⊙长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F； （4）作即为所求作的角． A．●表示点E B．◎表示 C．⊙表示 D．⊕表示射线 5．（24-25七年级上·河北邯郸·期末） ． 6．（24-25七年级上·河北·期末）对于一个凸多面体，如果有V个顶点，F个面，E条棱，则 ； 7．（24-25七年级上·北京东城·期末）如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东的方向上，观测到小岛B在它南偏东的方向上，则的度数是 ． 8．如图，已知，点C是线段的中点，点D是线段的三等分点，线段，则线段的长为 ； 9．（25-26七年级上·河北沧州·期末）如图，已知四点．根据下列语句，在同一图中画出图形． (1)画直线； (2)画射线，交于点； (3)连接，并延长线段到点，使． 10．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）在飞机飞行时，飞行方向是用飞机路线与实际的南或北方向线之间的夹角大小来表示的，如图，用（南北线）与飞机路线之间顺时针方向的夹角作为飞行方向角，以到的飞行方向角为，从到的飞行方向角为，从到的飞行方向角为， (1)试求与之间的夹角为多少度？ (2)试求与之间夹角为多少度？ (3)并画出从飞出且方向角为的飞行路线． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 11．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如果一个角的余角是，那么这个角的补角度数是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级上·广东汕头·期末）如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25六年级下·山东东营·期末）如图，已知与，分别以O，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H，下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 14．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）嘉淇用直尺和圆规作一个角等于已知角的步骤如下： 已知：． 求作：，使． 作法： （1）如图，以点为圆心，__☆__为半径画弧，分别交，于点，． （2）画一条射线，以点为圆心，为半径画弧，交于点． （3）以点为圆心，__○___为半径画弧，与上步中所画的弧相交于点． （4）过点画射线，则即为所求作的角． 下列说法不正确的是（　　） A．☆表示任意长 B．n与☆的长相等 C．○与☆的长度相等 D．○与的长度相等 15．（24-25七年级上·河北张家口·期末）如图，点分线段为，分线段为，为厘米，则 ． 16．（24-25七年级上·河北邢台·期末）如图，点是直线上一点，射线，分别平分、．若，则 ． 17．如图，将长方形纸片沿直线、进行折叠后（点在边上），点刚好落在上，若折叠角，则另一个折叠角 ． 18．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）如图，射线在内部，图中共有、、三个角，若其中一个角的度数是另一个角的度数的2倍，则称射线是的“黄金线” （1）的平分线 这个角的“黄金线”（填“是”或“不是”） （2）若，射线是的“黄金线”，则的度数为 ． 19．（24-25七年级上·广东广州·期末）如图，O是直线上一点，以O为顶点作，且，位于直线两侧，平分． (1)当时，求的度数； (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 20．（23-24七年级上·广东·期末）如图，已知线段，点与点在线段上，点在线段外． (1)根据要求画出图形：画直线，画射线，连接； (2)图中共有 条射线； (3)根据（1）的作图，以点A为端点的线段有 条，的理由是 ； (4)根据（1）的作图，按图填空： ； (5)若点D为线段的中点，，，则线段的长度为为 ． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 21．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔、（圆孔直径忽略不计，、抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 22．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）如图，已知线段，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点．下列关于甲、乙的结论判断正确的是（   ） 甲：是线段的中点，且； 乙：在线段的延长线上找一点，使是线段的三等分点，则的长为9或12． A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 23．（24-25七年级上·河北沧州·期末）研究下列解题过程： 已知是的平分线，且，若，求的度数． 解：因为，，所以甲； 因为乙； 又因为是的平分线， 所以丙； 所以丁． 针对以上解题过程，下列数值不正确的是（    ） A．甲是 B．乙是 C．丙是 D．丁是 24．如图，是直线上一点，平分，，则以下结论：①与互为余角；②；③；④若，则．其中结论正确的序号是（   ） A．①④ B．①③④ C．③④ D．①②③④ 25．（24-25七年级上·河北保定·期末）如图，点和点把线段分成三部分，点是线段的中点，，求线段的长 ． 26．（24-25七年级上·河北廊坊·期末）如图，已知在同一平面内，，平分，射线在的内部，若，，则的余角的度数为 ．（用含的式子表示） 27．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）如图，直线，相交于点，平分． （1）若，则＝ °； （2）若，则＝ °． 28．（24-25七年级上·河北唐山·期末）如图①，为直线上一点，作射线，使，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点处，一条直角边在射线上．将图①中的三角尺绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（如图②所示），在旋转一周的过程中，第秒时，所在直线恰好平分，则的值为 ． 29．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图1所示，点O为直线上一点，，三角形的一条边在射线上且 (1)如图1，的度数为______，的度数为______； (2)如图2，三角形绕点O逆时针旋转，当边恰好平分时，求的度数； (3)三角形由图1位置绕点O逆时针旋转的过程中，请直接写出与的数量关系． 30．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，P是线段AB上任意一点，，点C，D分别从点P，B同时向点A运动，且点C的运动速度为，点D的运动速度为，运动的时间为t． (1)若． ①运动后，求的长； ②当点D在线段上运动时，试说明； (2)如果时，，试探索的长度． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 几何图形的初步认识（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 常见几何体 根据几何体的概念辨别几何图形 常出现在小题中 直线、射线、线段 能区分直线、射线、线段，会画直线、射线和线段； 出现在小题，画图题则会出现在解答题 线段长短的比较 会比较线段的长短 常出现在小题中 两点间的距离 掌握两点之间距离的求解 一般会让求两点之间的距离 线段的和与差 会计算线段的和与差，会用未知数表示线段 重点考查，一般在解答题中 线段中点的有关计算 掌握线段的中点公式，会根据中点概念计算长度 重点考查，一般出现在解答题 角的概念与表示 掌握角的基本概念和表示方法 出现在小题，考查内容简单 角的单位 牢记角的单位度、分、秒 小题考查，单位换算 尺规作角 掌握用直尺、圆规画角的方法 一般出现在解答题中 角的四则运算 能进行角的四则运算 一般在解答题中出现 角平分线 会利用角平分线的定义解决角度问题 重点考查，一般在解答题中出现 余角 掌握余角的相关概念 核心内容，和其他知识点一起考查 补角 掌握补角的相关概念 核心内容，和其他知识点一起考查 平面图形的旋转 掌握旋转的要素和性质 常出现在解答题中 知识点01 丰富的图形世界 【分类】 【点、线、面、体】 现实生活中的图形都是由点、线、面构成的，面有平面，曲面；线有直线，曲线；面与面相交构成线，线与线相交构成点，点动成线、线动成面、面动成体； 知识点02 图形的运动 翻折(轴对称)，旋转，平移是图形变换的三种基本方式，这三种变换只改变原图形的位置，不改变原图形的形状和大小． 知识点03 图形的展开与折叠 圆柱的侧面展开图是长方形，圆锥的侧面展开图是扇形，正方体的表面展开图有11种，展开时6个面有5条棱相连，故剪开了7条棱． 常见立体图形的平面展开图 立体图形是由面包围而成，沿着它的一些棱适当剪开就可以展开成平面图形，一些常见立体图形的平面展开图如下： ①四个正方形连成一行的有六种情况，如图所示①⑥； ②三个正方体连成一行的有四种情况，如图所示⑦一⑩； ③两个正方形连成一行有一种情况，如图所示（11） 综上所述，正方体一共有11种展开图． 知识点04 三视图 一个物体在三个投影面（正面、侧面、水平面）内同时进行投影，得到不同的图形，便有三视图： (1)主视图：是在正面内得到的由前向后观察物体得到的视图； (2)左视图：是在侧面内得到的由左向右观察物体得到的视图； (3)俯视图：是在水平面内得到的由上向下观察物体得到的视图． 知识点05 线段、射线、直线相关概念 正确理解直线、射线、线段的概念以及它们的区别： 名称 图形 表示方法 端点 长度 直线 直线AB(或BA) 直线l 无端点 无法度量 射线 射线OM 1个 无法度量 线段 线段AB(或BA) 线段l 2个 可度量长度 【基本性质】 (1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短． 【画一条线段等于已知线段】 （1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. （2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图： 经过两点有一条直线，并且只有一条直线。（两点确定一条直线）. 知识点06 角的表示 【定义】有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. 【表示】角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示； 角的度量单位：度、分、秒是常用的角的度量单位， 1、把一个周角平均分成360等份，每一份就是1度的角，记为1°； 2、把1°的角60等分，每一份就是1分的角，记为1″； 3、把1′的角60等分，每一份就是1秒的角，记为1′. 角的换算：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″， 1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180° 角的换算方法： 1、由度化为分、秒的形式（即由高位向低位化）：1°＝60′，1′＝60″； 2、由分、秒化为度的形式（即由低位向高位化）：，. 知识点08 余角、补角 余角：如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角． 补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角． 【注意】同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等. 知识点10 旋转的概念 【概念】在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． 【性质】旋转前后的两个图形中，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角都等于旋转角 【三要素】①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　 【注意】三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 题型一 常见的几何体 1．一个几何体从不同方向看到的平面图形如图所示，则该几何体是（    ） A．圆柱 B．圆锥 C．棱锥 D．棱柱 【答案】B 【分析】根据从不同方向看到的平面图形即可判断． 本题考查了从不同方向看物体，熟练掌握从不同方向看物体得到的图形是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得该几何体是圆锥， 故选：B． 2．下列各组图形中，都是立体图形的是（　　） A．点、直线、四边形、长方体 B．三角形、长方形、正方体、圆锥 C．线段、相交线、长方体 D．长方体、正方体、圆锥、球 【答案】D 【分析】此题考查的是立体图形的识别问题，关键在于区分立体图形与平面图形．由平面图形与立体图形的定义可知，平面图形是一个平面，而立体图形是由几个面围起来的，根据立体图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、只有长方体是立体图形，故选项不符合题意； B、只有正方体、圆锥是立体图形，故选项不符合题意； C、只有长方体是立体图形，故选项不符合题意； D、长方体、正方体、圆锥、球都是立体图形，故选项符合题意； 故选：D． 3．如图，请在每个几何体右边写出它们的名称： （1） ；（2） ；（3） ；（4） ； （5） ；（6） ；（7） ；（8） ． 【答案】 正方体 长方体 圆柱 三棱柱 圆锥 球 四棱锥 五棱柱 【分析】根据图形特点写出名称即可． 【详解】解：（1）是正方体； （2）是长方体； （3）是圆柱； （4）是三棱柱； （5）是圆锥； （6）是球； （7）是四棱锥； （8）是五棱柱. 故答案为：（1）正方体；（2）长方体；（3）圆柱；（4）三棱柱；（5）圆锥；（6）球；（7）四棱锥；（8）五棱柱. 【点睛】本题考查了立体图形的识别，注意几何体的分类，一般分为柱体、锥体和球，柱体又分为圆柱和棱柱，锥体又分为圆锥和棱锥． 4．把图中的几何图形与它们相应的名称用线连起来 【答案】见解析 【分析】本题考查认识立体图形，熟练掌握常见几何体的特征是解题关键．根据常见立体图形的特征直接连线即可． 【详解】解：如图， 题型二 几何体中的点、棱、面 解｜题｜技｜巧 现实生活中的图形都是由点、线、面构成的，面有平面，曲面；线有直线，曲线；面与面相交构成线，线与线相交构成点，点动成线、线动成面、面动成体 5．一个直棱柱有10个顶点，则这个棱柱的侧面个数为（   ） A．5个 B．7个 C．9个 D．10个 【答案】A 【分析】本题考查了棱柱的相关知识，解答关键是熟记一个棱柱顶点的个数与的关系． 根据一个棱柱有个顶点，个面，个侧面，即可求解． 【详解】解：若一个直棱柱有10个顶点，那么这个棱柱为五棱柱， 五棱柱的侧面个数为5个， 故选：A． 6．下列说法不正确的是（    ） A．长方体是四棱柱； B．八棱柱有16条棱； C．五棱柱有7个面； D．直棱柱的每个侧面都是长方形． 【答案】B 【分析】此题主要考查了认识立体图形，关键是认识常见的立体图形，掌握棱柱的特点．根据棱柱的特点可得答案． 【详解】解：A、长方体是四棱柱，选项说法正确，不符合题意； B、八棱柱有条棱，选项说法错误，符合题意； C、五棱柱有7个面，选项说法正确，不符合题意； D、直棱柱的每个侧面都是长方形，选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 7．欧拉定理是数学史上最著名的定理之一，由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉于1752年提出．这个定理阐述了凸多面体中顶点数（）、面数（）和棱数（）之间存在一定的数量关系． 名称 图形 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 8 12 十二面体 20 12 30 （1）表中的值为 ； （2）在简单多面体中，，，之间的数量关系是 ． 【答案】 6 【分析】本题考查多面体，总结归纳出多面体的顶点，面，棱的关系是解题的关键． （1）根据图形直接数出顶点个数即可； （2）根据观察表格数据可得，顶点数和面数的和减去棱数刚好等于2，即可． 【详解】解：（1）由图或得八面体共有6个顶点， ∴； 故答案为：6． （2）三棱锥中，； 长方体中，； 五棱柱中，； 正八面体中，； ∴顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的代数关系式为： ． 故答案为：． 8．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 (2)你发现顶点数、面数、棱数之间存在的关系式是 (3)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 (4)某个玻璃鉓品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为x个，八边形的个数为y个， 【答案】(1)20，12，30 (2) (3)20 (4)14 【分析】本题考查了多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系，得出欧拉公式是解题的关键． （1）观察图形即可得出答案． （2）观察可得顶点数+面数棱数； （3）代入（2）中的式子即可得到面数； （4）得到多面体的棱数，求得面数即为的值． 【详解】（1）解：正二十面体的顶点数为20，面数为12，棱数为30； 故答案为20，12，，30； （2）解：根据表格可得：关系式为：； 故答案为； （3）解：由题意得：， 解得； 故答案为20； （4）解：∵有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线； ∴共有条棱， 那么， 解得， ∴． 故答案为14． 题型三 平面图形旋转后的立体图形 解｜题｜技｜巧 解决此类题型需要学生充分展现自己的想象力，学会画出旋转后的立体图形； 9．如图，将下列的平面图形绕轴旋转一周，能围成的几何体是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握立体图形的特征是解此题的关键． 根据面动成体并结合图形即可得解． 【详解】 解：将下列的平面图形绕轴旋转一周，能围成的几何体是． 故选：B． 10．如图，是一个直角三角形，、、的长度分别为、、，分别以三条边所在的直线为轴旋转一周得到三个不同的立体图形，对这三个立体图形的体积大小说法正确的是（   ）． A．以边所在的直线为轴旋转一周得到的立体图形的体积最大 B．以边所在的直线为轴旋转一周得到的立体图形的体积最大 C．以边所在的直线为轴旋转一周得到的立体图形的体积最大 D．三个不同的立体图形的体积一样大 【答案】B 【分析】本题主要考查圆锥体积，直角三角形；根据圆锥体积公式分别求出体积比较即可． 【详解】解：以边所在的直线为轴旋转一周得到的立体图形的体积：； 以边所在的直线为轴旋转一周得到的立体图形的体积： ； 以边所在的直线为轴旋转一周得到的立体图形的体积： 设半径为 ∴ ∴ 解得： ∴， ∴以边所在的直线为轴旋转一周得到的立体图形的体积最大； 故选：B． 11．长方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，得到的几何体是 . 【答案】圆柱 【分析】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握几何体的特征是解题的关键．根据几何体的特征，即可得出答案． 【详解】解：长方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，得到的几何体是圆柱， 故答案为：圆柱． 12．如图，这是一张长方形纸片，的长为，的长为． (1)若将此长方形纸片绕它的一边所在的直线旋转一周，则形成的几何体是________． (2)若将这个长方形纸片绕边所在的直线旋转一周，求形成的几何体的体积（结果保留） 【答案】(1)圆柱 (2) 【分析】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握圆柱的特征，以及圆柱的体积计算公式是解题的关键． （1）根据面动成体的原理，将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是圆柱；据此即可求解． （2）根据题意可得，圆柱的底面半径为，高为，再根据圆柱的体积公式进行计算即可解答． 【详解】（1）解：将此长方形纸片绕它的一边所在的直线旋转一周，则形成的几何体是圆柱； （2）解：由题意，得， 所以形成的几何体的体积． 题型四 线段、射线、直线联系与区别 解｜题｜技｜巧 记住，线段有两个端点，可测量出长度；射线只有一个端点，长度不可测量；直线没有端点，长度不可测量； 注意：射线与直线的长短无法比较； 13．下列说法：（1）两点确定一条线段；（2）画一条射线，使它的长度为；（3）线段和线段是同一条线段；（4）射线和射线是同一条射线；（5）直线和直线是同一条直线．其中正确的有（　　）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了直线、射线、线段的联系与区别，理解直线、射线、线段的定义和性质是解答关键． 根据射线是不可度量的，以及直线、线段和射线的定义即可判断． 【详解】解：（1）两点确定一条直线，故说法错误； （2）射线是不可度量的，故说法错误； （3）线段和线段是同一条线段，故说法正确； （4）射线和射线不是同一条射线，故说法错误； （5）直线和直线是同一条直线，故说法正确； ∴正确的有2个． 故选：B． 14．下列叙述中，正确的是（    ） A．直线a，b相交于点n B．延长射线到点C C．画直线，使 D．在射线上截取，使 【答案】D 【分析】本题考查几何基本概念，包括直线、射线和线段的性质。直线和射线均无限长，无法直接指定长度；但射线有端点，可在其上截取线段． 【详解】解：∵直线无限长，无法度量长度，∴选项C错误； ∵射线无限长，但“延长射线”表述不当，因射线本身无限延伸，∴选项B错误； ∵点通常用大写字母表示，选项A中点n用小写字母，不规范，∴选项A错误； ∵射线有端点，可在其上截取线段，并度量长度，∴选项D正确． 故选：D． 15．直线AB，BC，CA的位置关系如图所示，下列语句：①点A在直线BC上；②直线BC经过点B；③直线AC，BC交于点C；④点C在直线AB外；⑤图中共有12条射线．以上表述正确的有 ．（只填写序号） 【答案】②③④⑤ 【分析】根据直线、线段、射线的相关概念可进行求解． 【详解】解：由图可知： ①点A在直线BC外，故原说法错误； ②直线BC经过点B，原说法正确； ③直线AC、BC交于点C，故原说法正确； ④点C在直线AB外，原说法正确； ⑤图中是射线的有：射线BD、射线BE、射线BA、射线BC、射线CM、射线CN、射线CA、射线CB、射线AH、射线AG、射线AB、射线AC共12条，故原说法正确； ∴以上表述正确的有②③④⑤； 故答案为②③④⑤． 【点睛】本题主要考查直线、射线、线段，熟练掌握相关概念是解题的关键． 16．学习情境·学科内融合已知数轴上的原点为O点，点A表示3，点B表示，回答下列问题．    (1)数轴在原点左边的部分（包括原点）是一条什么线？怎么表示？ (2)射线上的点表示什么数？ (3)数轴上表示不大于3，且不小于的数的部分是什么图形？怎么表示？ 【答案】(1)是一条射线，表示为射线 (2)非正数 (3)线段，线段 【分析】本题考查了数轴，弄清题意是解本题的关键． （1）观察数轴，利用射线定义判断，表示即可； （2）找出射线上的点表示的数即可； （3）由线段的定义可直接得出结论． 【详解】（1）解：数轴在原点O左边部分（包括原点）是一条射线，表示为射线； （2）解：射线上的点表示非正数； （3）解：线段，可表示为线段． 题型五 线段、射线、直线的数量、交点问题 解｜题｜技｜巧 直线两两相交，交点的个数为 17．棋盘上有黑、白两色棋子若干，若把颜色相同的三颗棋子在同一条直线上看作一条直线．请你根据图示，判断满足这种条件的直线共有（    ） A．5条 B．4条 C．3条 D．2条 【答案】C 【分析】本题考查了“两点确定一条直线”．掌握相关结论即可．根据“两点确定一条直线”即可求解． 【详解】解：如图所示： 满足条件的直线共有3条． 故选：C 18．D5363的动车是从大同南出发到运城北，这辆动车途中有个停车点，若设任意两个站点的距离都不相等，则这趟动车设置的站点的不同票价最多有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段，根据题意得出共有个点，且两个站点的距离都不相等，共有种不同票价，故可得解． 【详解】解：∵个停车点，加上起始点和终点，一共有个点，且两个站点的距离都不相等， ∴共有种不同票价， 故选：C． 19．如图，同一平面中，三条直线交于同一点，不经过交点再画一条直线，则直线和原来三条直线最少有 个交点． 【答案】 【分析】本题考查相交线与平行线，当直线与其中一条平行时可得交点最少．掌握相交线与平行线的定义是解题的关键． 【详解】解：如图， 当直线平行于直线时，直线和原来三条直线有个交点（如上左图）； 当直线与已知的三条直线都不平行时，直线和原来三条直线有个交点（如上右图）； 综上所述，直线和原来三条直线最少有个交点． 故答案为：． 20．在学习《线段、射线、直线》时，小明通过画图尝试，发现了如下的规律： 图形 直线上点的个数 共有射线条数    1 2    2 4    3 6 … … … (1)当直线上点的个数为4时，共有射线的条数为________； (2)若一条直线上共有20条射线时，请你求出该直线上点的个数． 【答案】(1)8 (2)10 【分析】本题主要考查了射线的定义以及图形变化规律，理解并应用图表数据中直线上点的个数与射线的条数的关系是解题的关键． （1）根据已知表格中数据变化规律进而得出答案； （2）根据已知表格中数据变化规律进而得出答案． 【详解】（1）解：根据已知表格中数据变化规律得出：当直线上点的个数为4时，共有射线的条数为8条； 故答案为：8； （2）根据已知表格中数据变化规律得出：若一条直线上共有20条射线时，则该直线上点的个数为10个． 题型六 线段长短的比较 解｜题｜技｜巧 比较线段的长短时，注意单位要统一，数字大的线段长； 21．如图所示从处到处的路线，小梦同学的家在处，星期日她要到在处的书店去买书，请你帮助她选择一条最近的路线（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间线段最短．根据两点之间线段最短可得答案． 【详解】解：根据两点之间线段最短可得是最近的路线． 故选：A． 22．如图，的周长为15，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧的交点D恰好在边上，连接．若的周长为9，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查作图﹣基本作图、作线段，证明的周长可得结论． 【详解】解：由题意， ∴的周长， ∵的周长为15， ∴． 故答案为：6． 23．如图，已知四点、、、，根据下列几何语句完成作图．（保留画图痕迹） (1)画直线，画射线，连接并在线段上取点，使的值最小； (2)的值最小，依据的数学道理___________________． 【答案】(1)见解析 (2)两点之间线段最短 【分析】本题考查了作图—复杂作图，直线、射线、线段的性质，两点之间线段最短，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据直线、射线、线段的定义画图可得直线，射线，线段，取线段与射线的交点，则点即为所求； （2）根据两点之间线段最短解答即可得解． 【详解】（1）解：如图：直线，射线，线段，取线段与射线的交点，点即为所求， （2）解：的值最小，依据的数学道理两点之间线段最短． 24．如图，正方形网格中有四个点A，B，C，D，它们都在网格线的交点上，请利用网格，用直尺按照下列要求画图及回答问题： (1)画出直线，并找出线段的中点O； (2)画出射线，并在射线上画出点P，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图应用与设计作图，直线，射线，线段等知识，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义． （1）根据直线的定义和线段中点的定义画出图形； （2）根据射线的定义，两点之间线段最短作出射线，点即可． 【详解】（1）解：如图，直线，点即为所求； （2）解：如图，射线，点即为所求． 题型七 线段的和与差 解｜题｜技｜巧 线段的和与差计算是常考题，关键在于理解线段的和与差概念，如何表示线段的和与差；同时可以利用未知数表示线段的和与差，根据等量关系列出式子，最后算出结果； 25．如图，，点为线段的中点，已知，且，则的长为（　　） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】D 【分析】本题考查了线段的和差． 根据题意，由，，可求出的长，再根据，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 26．如图，点、为线段上两点，，且，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查线段的和差的计算．根据题意得，求出的长即可解决问题． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 27．如图，已知线段 ，点 C 在 的延长线上，且，求 的长度．    【答案】 【分析】本题考查线段的和差，根据求出长，然后根据线段的和差解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵点 C 在 的延长线上， ∴． 28．如图，B、C、D依次为线段AE上的三个点．已知，，． (1)求的长； (2)求图中所有线段长度的和． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了线段的和与差，关键是分析出线段间的关系． （1）分析出占整条线段的比例求出长度； （2）列出以A、C、D、B、E这5个点为端点的所有线段，然后根据整合为已知两线段的长求解． 【详解】（1）解：， ． ， ． ． （2）解：由（1）知．图中共有10条线段，分别为，，，，，，，，，，它们的长度之和为： ． 题型八 线段中点的有关计算 解｜题｜技｜巧 记住线段的中点公式：; 29．如图，已知线段，点M在上，，P，Q分别为，的中点，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求线段长度，掌握线段的和差及线段中点的定义是解答本题的关键． 根据，得到，进而求出的长度；由中点求出和的长度，结合图中可得的长度． 【详解】解：∵，， ∴， ∵P，Q分别为，的中点， ∴，， ∴． 故选：B． 30．如图，已知点C为线段的中点，点D在线段上．若，，则线段的长是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，先求出线段的长，再由线段中点的定义求出线段的长，最后根据线段的和差关系可得线段的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点C为线段的中点， ∴， ∴， 故答案为：6． 31．如图，A，B，C，D是直线l上的四个点，点M，N分别是线段，的中点． (1)如果，，，求的长为多少? (2)如果，，求的长为多少? 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，熟练掌握线段的计算是解题的关键． （）根据线段中点的性质，可得与的关系，与的关系，再根据即可求出答案； （）先根据线段的和与差，计算出的长，再根据线段中点的性质即可得出，再即可求出答案. 【详解】（1）解：∵，分别是，的中点，，， ∴，， 又∵， ∴， （2）解：∵，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， 32．数学课上，李老师给出了如下问题： 如图1，一条直线上有四点，线段，点为线段的中点，点在直线上，，请补全图形，并求的长度． 以下是小华的解答过程： 解：如图2，因为线段，点为线段的中点， 所以①_________②_________． 因为， 所以③_________． 小斌说：我觉得这个题应该有两种情况，小华只考虑了点在点的左边，事实上，点还可以在点的④_________． 完成以下问题： (1)请完成以上的填空； (2)根据小斌的想法，请你在图3中画出另一种情况对应的示意图，并求出此时的长度． 【答案】(1)①；②3；③1；④右边 (2) 【分析】本题主要考查线段中点的定义以及线段长度的计算，关键是要考虑点D位置的两种情况，利用线段的和差关系求解． （1）根据线段中点的定义求出的长度，再根据线段的和差关系求出，并考虑点D的位置； （2）根据点D在B右侧的情况，利用线段和差求． 【详解】解：（1）如图2，因为线段，点C是的中点， 所以， 因为， 所以， 点在直线上， 点D在线段上或的延长线上，即：点D在点B的右边， 故答案为：①；②3；③1；④右边． （2）如图，当点在线段的延长线上时，如图， 是的中点，， ， 又， ． 题型九 线段之间的数量关系 解｜题｜技｜巧 解决此类问题时可以先明确好答案，一般线段的数量关系常见的有加法关系、倍数关系和两者的结合等； 33．如图，点是线段上一点，点是线段的中点，则下列等式不成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了两点间的距离，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据图形和题意可以分别判断各个选项是否正确即可． 【详解】解：∵点C是线段上一点， ∴不一定是的二倍，故选项A中的结论不成立，符合题意； 由图可得， ，故选项B中的结论成立，不符合题意； ，故选项C中的结论成立，不符合题意； ∵D是线段的中点， ∴，故选项D中的结论成立，不符合题意． 故选：A． 34．如果点在线段上，下列式子：①，②，③，④．能判断是线段的中点的有 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了线段的中点，以及线段的和差运算等内容，要注意“点在线段”这个前提，据此逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵点在线段上， ∴， ∴是线段的中点 故①正确； ∵点在线段上， ∴是线段的中点 故②正确； ∵，点在线段上， ∴ 即 ∴是线段的中点 故③正确； ∵点在线段上， ∴ 但不能知道这两条线段是不是相等的， 故④是错误的 故答案为：①②③ 35．如图，延长线段至点，使，反向延长至，使． (1)依题意画出图形，则_________(直接写出结果)； (2)若点为的中点，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查两点间的距离，掌握相线段中点的定义以及和差关系是正确解答的关键． （1）根据题意画出图形，结合图形，根据，，可得的值； （2）设，根据题意得出，，，再根据列方程求出的值，进而求出的值即可． 【详解】（1）解：如图所示， ∵，， ∴； （2）设，则，， 点是的中点， ， ，即， ， ． 36．如图，延长线段到点，使，点为的中点． (1)若，请补齐图形并求线段的长； (2)若为的三等分点，则的值为 ．（直接写出结果） 【答案】(1)图见解析， (2)或 【分析】本题考查了线段中点，线段和差运算等知识，结合图形理清线段间的关系，并分类讨论是解题的关键． （1）依题意即可补齐图形；由可求得的长；由点为的中点，求得的长，再由即可求解； （2）分两种情况：F点为靠近点C的三等分点；F点为靠近点B的三等分点；利用线段间的关系即可求解． 【详解】（1）解：补齐图形如下： 因为，， 所以， 所以； 因为点为的中点， 所以， 所以； （2）解：当F点为靠近点C的三等分点时，如图， 则； 因为点为的中点，， 所以， 所以； 当F点为靠近点B的三等分点时，如图， 则； 因为点为的中点，， 所以， 所以； 综上，或； 故答案为：或． 题型十 角的相关概念 解｜题｜技｜巧 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. 37．下列四个图中，能用，，三种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的表示方法，根据角的表示方法并结合图形，逐项分析即可得解，熟练掌握角的表示方法是解此题的关键． 【详解】解：A、和表示同一个角，表示不同的角，故不符合题意； B、，，三种方法表示的都是同一个角，故符合题意； C、和表示同一个角，表示不同的角，故不符合题意； D、和表示不同的角，故不符合题意； 故选：B． 38．下列说法正确的是（   ） A．两条射线组成的图形叫作角 B．有公共端点的两条线段组成的图形叫作角 C．角可以看作一条射线绕着端点旋转到另一个位置所形成的图形 D．角可以看作一条线段绕着端点旋转到另一个位置所形成的图形 【答案】C 【分析】本题主要考查了角的概念，熟练掌握角的概念是解题关键． 根据角的概念逐项分析判断即可． 【详解】解：由两条有公共端点的射线组成的几何图形叫做角，故A、B选项错误； 角可以看作一条射线绕着端点旋转到另一个位置所形成的图形，故C选项正确，D选项错误． 故选：C． 39．计算： （结果用度表示） 【答案】 【分析】本题考查度分秒的换算，熟练掌握度分秒之间的进制是解题的关键．根据度分秒之间的进率计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 40．把下列角度化成度的形式： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． （1）根据度分秒的进制进行计算，即可解答； （2）根据度分秒的进制进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． 题型十一 角的四则运算 解｜题｜技｜巧 角的计算也是可以直接进行加减乘除计算的，但要注意换算； 角的换算：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″， 1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180° 角的换算方法： 1）由度化为分、秒的形式（即由高位向低位化）：1°＝60′，1′＝60″； 2）由分、秒化为度的形式（即由低位向高位化）：，. 41．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查度分秒的换算，掌握度分秒的换算方法以及单位之间的进率是正确计算的前提． （1）按照度分的加法计算方法进行计算即可； （2）先将变形为，再按照减法的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 42．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角的计算，解题的关键是牢记角的化简，注意角的书写形式，根据，求解即可． （1）将度、分、秒分别计算再相加即可； （2）按照分不足则取化为再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 43．计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【分析】本题是考查了角度制中的度分秒计算，解题关键是掌握度分秒是六十进制． （1）两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60，则转化为度． （2）两个度数相减时，度与度，分与分对应相减，应先算最后一位，后面的位上的数不够减时向前一位借数． 【详解】解：（1） ； （2） ． 44．计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题是考查了角度制中的度分秒计算，解题关键是掌握度分秒是六十进制． （1）两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60，则转化为度； （2）两个度数相减时，应先算最后一位，后面的位上的数不够减时向前一位借数，． 【详解】（1）解：； （2）解：． 题型十二 三角板中角度计算问题 45．如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中的图形个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，根据直角三角板可得第一个图形，进而可得；根据余角和补角的性质可得第二个图形、第四个图形中，第三个图形和互补． 【详解】解：根据角的和差关系可得第一个图形， 根据等角的补角相等可得第二个图形， 第三个图形，不相等， 根据同角的余角相等可得第四个图形， 因此的图形个数共有3个， 故选：C． 46．如图，将一副三角尺的两个锐角（角和角）的顶点叠放在一起，没有重叠的部分分别记作和，若，则的度数为 ． 【答案】/38度 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，熟练掌握角的运算是解题关键．如图（见解析），根据题意可得，，则可得，代入计算即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 47．将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，两直角顶点重合于点，已知． (1)求的度数． (2)现将三角尺固定不动，把三角尺绕点顺时针旋转度，当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角度之间的和差计算，解题的关键是根据图形得出角度之间的数量关系． （1）先求出，再根据即可解答； （2）根据，，得出，结合，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 48．如图，直线相交于点，将一个三角尺的直角顶点放置在点处，使其两条直角边分别位于的两侧．刚好平分． (1)若，求的度数； (2)试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了有关角平分线的计算： （1）设，则，可得，再由刚好平分，可得，从而得到，即可求解； （2）设，则，根据刚好平分，可得，从而得到，即可． 【详解】（1）解：设，则， ∵， ∴， 又∵刚好平分， ∴， ∴， 解得， ∴． （2）解：，理由如下： 设，则， ∵刚好平分， ∴， ∴， ∴． 题型十三 几何图形角度计算 49．如图，点O为直线上一点，过点O作，在内有一条射线，平分，且． (1)试说明：； (2)在（1）的条件下，过点O在直线的上方有一条射线，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角的和差，角平分线的性质，余角性质等，解题的关键是掌握角的和差及角平分线的性质． （1）根据余角性质得出，再根据角平分线的性质即可得出结论； （2）根据角的和差及倍数关系求出相关角的度数即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴，， ∴，， ∵射线在直线的上方， ∴， ∴． 50．如图，含的直角三角板的顶点B在直线上． (1)如图1，当点A，C位于直线两侧时，若直线平分，平分，求的度数； (2)如图2，当点A，C位于直线同侧时，若分别平分和，，求（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查角平分线的相关计算和角的和差等知识，熟练掌握角平分线的定义是关键． （1）根据直线平分求出再求出根据平分即可得到的度数； （2）根据角平分线定义得到得到，即，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵直线平分， ∴ ∴ ∵平分， ∴ （2）∵分别平分和， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ 51．如图，为直线上一点，，平分，． (1)求出的度数； (2)试判断是否平分，并说明理由． 【答案】(1) (2)平分，理由见解析 【分析】本题主要考查了角的度数的计算，正确理解角平分线的定义以及邻补角的定义是解题的关键． （1）根据，首先利用角平分线的定义求得，即可求出； （2）根据平角和余角的性质可得，从而求解． 【详解】（1）解：，平分， ， ． （2）解：平分． 理由如下： ，， ． 又， ，即平分． 52．如图，直线经过点O，平分，平分，若，． (1)求的度数． (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查的是角平分线的定义，角的和差计算，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键． （1）由求出的度数，根据角平分线的定义得出的度数，求出，进而求解即可； （2）首先由角平分线的定义得出的度数，根据平角的定义与角的和差即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵平分， ∴ ∴ ∴． 题型十四 角平分线有关计算 解｜题｜技｜巧 角平分线的相关计算，解决此类问题关键要会设未知数，将角平分线的角设出来，再用这个角去表示其他的角；如果出现多个角平分线的话，可以设两个未知数； 53．直线，射线相交于点，，，平分．求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的有关运算，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的数量关系． 先根据已知条件求出，再根据角平分线的定义求出，最后根据求出答案即可． 【详解】解：， ， 平分， ， ． 答：的度数是． 54．大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析如何能让班上同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论．如图1，为方便研究，定义两手手心位置分别为两点，两脚脚跟位置分别为两点，定义平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转． (1)如图1，三点在同一条直线上，两点重合，，求的度数； (2)如图2，三点在同一条直线上，且，平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角的和差，角平分线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据平角和求解即可； （2）首先根据平角和求出，，然后有由平分线得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：三点在同一条直线上 ∴ ∵ ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分 ∴ ∴． 55．已知O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图①，若，求的度数； (2)将图①中的绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，猜想与的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； 【答案】(1) (2)，理由见解析； 【分析】本题考查角平分线的定义、几何图形中的角的运算，理解角平分线的定义是解答的关键． （1）先根据平角定义求得，再根据角平分线的定义求得，进而求解即可； （2）先根据角平分线的定义得到，进而可得，进而可推出，结合可得结论． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ∵是直角， ∴， ； （2）解：．理由如下： 平分， ∴． ， ∴， ． ， ． 56．如图，为直线上一点，与互补，、分别是、的平分线． (1)根据题意，补全下列说理过程： ∵与互补 ∴ 又∵___________ 根据___________， ∴______________________． （备注：符号“∵”表示“因为”，符号“∴”表示“所以”） (2)若，求的度数． 【答案】(1)，同角的补角相等，， (2) 【分析】本题考查补角性质，同角的补角性质，角平分线定义，角的和差倍分计算，掌握补角性质，同角的补角性质，角平分线定义，角的和差倍分计算是解题关键． （1）由题意可得，，可以根据同角的补角相等得到； （2）根据角平分线的定义可得，，然后计算出，进而得到． 【详解】（1）解：∵与互补 ∴ 又∵ 根据同角的补角相等， ∴． 故答案为：，同角的补角相等，； （2）解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴． 题型十五 余角、补角有关计算 解｜题｜技｜巧 记住余角、补角的概念，做题时千万不能这一角的关系： 余角：如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角． 补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角． 57．如图，将两副直角三角板按照如图方式摆放，其中与互余，则∠ABD 的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两角互余的概念以及角度的和差计算，两角互余则这两个角的和为，熟知这个内容是解题的关键． 根据与互余，求得的度数，再根据求解即可． 【详解】解：根据题意，得，，， 因为与互余， 所以， 所以． 故选：B． 58．如图，，，，则的度数为 ． 【答案】/35度 【分析】根据题意，得，，，利用余角的性质，解答即可． 本题考查了余角的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 【详解】解：由， 得，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 59．如图，已知和都是直角，它们有公共顶点O． (1)若，求的度数． (2)判断和的大小关系，并说明理由． (3)猜想：和有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)相等，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据和都是直角，，可得，进而可求的度数； （2）由，，可得； （3）由，可得． 本题考查了角的大小比较，解决本题的关键是掌握余角和补角定义． 【详解】（1）解：∵和都是直角，， ∴ ∴ 答：的度数为． （2）和的大小关系是相等，理由如下： ∵和都是直角 ∴， ∴． （3）．理由如下： ∵， ∴． 60．如图1，在平面内，已知点在直线上，射线、均在直线的上方，，，平分．    (1)若，则 ． (2)若与互余，且在的内部，请在图2中补全图形． ①若，求的度数； ②判断是否平分，并说明理由． 【答案】(1) (2)图见解析，①；②平分，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，角之间的和差关系，余角和补角，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据平角的定义，结合已知条件列式计算即可得到答案； （2）①根据题意求出，即可求出； ②根据题意得出，继而得到，即可得出平分． 【详解】（1）解：直线， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，    ①与互余，， ， ，平分， ， ； ②，， ， ， 平分． 题型十六 平面图形的旋转 解｜题｜技｜巧 旋转的性质： 　　旋转前后的两个图形中，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角都等于旋转角 旋转三要素： ①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 61．如图，在正方形网格中，三角形①绕某点旋转一定角度得到三角形②，其旋转中心是（    ）    A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，旋转中心的确定． 根据旋转的性质，找出两组对应顶点的连线的垂直平分线，交点即为旋转中心． 【详解】解：如图：作出三角形①和三角形②两组对应点所连线段的垂直平分线，交于点B，    ∴点B为旋转中心． 故选：B． 62．如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，使点恰好落在边上．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质得，则有，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转一定的角度得到， ∴， ∴， 故选：． 63．如图，将绕着点A顺时针旋转后，得到，则 ． 【答案】 【分析】本题考查求旋转角，正确理解旋转的概念是解题的关键． 根据旋转的概念得到是旋转角，即可求解. 【详解】解：∵绕着点A顺时针旋转后，得到， ∴是旋转角， ∴， 故答案为：． 64．已知：，射线是平面内一条动射线，射线绕点O顺时针旋转得到射线，平分．    　　　　　　　　图1　　　　　　　　　　　　　　　　图2 (1)如图1，当射线在外部时，若，求的度数； (2)如图2，当射线、都在内部时，若，则 （用含的式子表示）； (3)若平分，直接写出度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查旋转的性质、角平分线的性质和角度和差的关系， （1）根据旋转的性质，角平分线的定义以即可计算出结果． （2）根据角平分线的定义和角的和差关系计算即可． （3）分类讨论：当位于内部；当或位于内部；当和位于外部，利用旋转的性质、角平分线的性质和角度之间和差的关系即可求得． 【详解】（1）解：∵射线绕点O顺时针旋转得到射线 ∴ ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）∵ ∴， ∵平分， ∴， ∴ （3）①当位于内部时，如图，    设， ∵射线绕点O顺时针旋转得到射线， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， 则； ②当或位于内部时，如图，    设，则，， ∵平分，平分， ∴，， 则；    设，则，， ∵平分，平分， ∴，， 则； ③当和位于外部时，如图，    设，则，， ∵平分，平分， ∴，， 则； 故度数或． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级上·河北张家口·期末）下面说法错误的是（   ） A．一条线段只有一个中点 B．比较线段长短有两种方法：测量法和重叠法 C．经过两点的直线有无数条 D．在所有连接两点的线中，总是线段最短 【答案】C 【分析】此题主要考查了线段的性质以及直线的性质，正确把握相关性质是解题关键． 直接利用线段的性质以及直线的性质分别分析得出答案． 【详解】解：A、一条线段只有一个中点，故选项A说法正确，不符合题意； B、比较线段长短有两种方法：测量法和重叠法，故选项B说法正确，不符合题意； C、经过两点只能作一条直线，故选项C说法错误，符合题意； D、两点之间，线段最短，故选项D说法正确，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级上·河北·期末）已知一个角的余角是，那么这个角的补角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查余角与补角的定义，掌握知识点是解题的关键．根据余角与补角的定义进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 即这个角的补角为． 故选D． 3．（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图所示的几何图形与相应语言描述不相符的是（   ） A．如图①，直线a和直线b相交于点A B．如图②，延长线段BA到点C C．如图③，射线BC不经过点A D．如图④，射线CD和线段AB有交点 【答案】B 【分析】本题考查作图-基本作图，解题的关键是理解题意，读懂图像信息； 根据直线，射线，线段的定义判断即可． 【详解】解：A、图①中，直线和直线相交于点与图相符，故选项A不符合题意； B、图②中，线段有两个端点，不能延伸，延长线段到点与图不相符，故选项B符合题意； C、图③中，射线不经过点与图相符，故选项C不符合题意； D、图④中，射线和线段有交点与图相符，故选项D不符合题意； 故选：B． 4．（24-25七年级上·河北·期末）下面是黑板上出示的尺规作图题，下列各符号代表的内容正确的是（    ） 如图所示，已知，求作：，使． 作法： （1）以●为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点P，Q； （2）作射线，并以点E为圆心，以◎长为半径画弧交于点D； （3）以点D为圆心，以⊙长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F； （4）作即为所求作的角． A．●表示点E B．◎表示 C．⊙表示 D．⊕表示射线 【答案】D 【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一个角等于已知角）．利用作一个角等于已知角的方法对各选项进行判断． 【详解】解：●表示点O，◎表示，⊙表示，⊕表示射线． 故选：D． 5．（24-25七年级上·河北邯郸·期末） ． 【答案】 【分析】本题考查了度分秒的转换．将角度单位中的分转换为度，利用的关系进行计算 【详解】解：因为， 所以， 因此． 故答案为：． 6．（24-25七年级上·河北·期末）对于一个凸多面体，如果有V个顶点，F个面，E条棱，则 ； 【答案】 【分析】本题考查了欧拉公式，简单多面体的顶点数、面数及棱数间有关系：，这个公式叫欧拉公式．根据欧拉公式直接解答即可． 【详解】解：几何体，有个顶点，个面，条棱， ． 故答案为：． 7．（24-25七年级上·北京东城·期末）如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东的方向上，观测到小岛B在它南偏东的方向上，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了与方向角有关的计算题，明确方向角中角之间的关系，以及角的和差计算是解题的关键． 根据已知条件可直接确定的度数． 【详解】解：∵是表示北偏东方向的一条射线，是表示南偏东方向的一条射线， ∴， 故答案为：． 8．如图，已知，点C是线段的中点，点D是线段的三等分点，线段，则线段的长为 ； 【答案】 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的计算．根据题意求得的长，推出的长，根据线段中点的定义即可得到答案． 【详解】解：∵点D是线段的三等分点，， ∴， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， 故答案为：． 9．（25-26七年级上·河北沧州·期末）如图，已知四点．根据下列语句，在同一图中画出图形． (1)画直线； (2)画射线，交于点； (3)连接，并延长线段到点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查线段、射线、直线 （1）根据直线的定义可进行作图； （2）根据射线的定义可进行作图； （3）根据线段的定义可进行作图． 【详解】（1）解：所作图形如图所示： （2）解：所作图形如图所示； （3）解：所作图形如图所示． 10．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）在飞机飞行时，飞行方向是用飞机路线与实际的南或北方向线之间的夹角大小来表示的，如图，用（南北线）与飞机路线之间顺时针方向的夹角作为飞行方向角，以到的飞行方向角为，从到的飞行方向角为，从到的飞行方向角为， (1)试求与之间的夹角为多少度？ (2)试求与之间夹角为多少度？ (3)并画出从飞出且方向角为的飞行路线． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，画垂线： （1）只需要计算出的结果即可得到答案； （2）只需要计算出的结果即可得到答案； （3）作，则飞行路线即为所求． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴与之间的夹角为； （2）解：由题意得，， ∴， ∴与之间的夹角为； （3）解：如图所示，作，则飞行路线即为所求． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 11．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如果一个角的余角是，那么这个角的补角度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了余角和补角，根据余角定义求出这个角的度数，再根据补角定义求出补角． 【详解】解：∵一个角的余角是， ∴这个角的度数是， ∴这个角的补角度数是． 故选：C． 12．（24-25七年级上·广东汕头·期末）如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质．根据旋转的性质可知，旋转角等于，从而可以得到的度数，由可以得到的度数． 【详解】解：绕点O按逆时针方向旋转后得到， ， 故选：B． 13．（24-25六年级下·山东东营·期末）如图，已知与，分别以O，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H，下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，角度的和差计算．根据作图可知，结合图形，根据角度的和差关系逐项分析判断即可求解． 【详解】解：根据作图可知， A、不能判断，故该选项不正确，符合题意； B、，即，故该选项正确，不符合题意； C、，故该选项正确，不符合题意； D、，故该选项正确，不符合题意； 故选：A． 14．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）嘉淇用直尺和圆规作一个角等于已知角的步骤如下： 已知：． 求作：，使． 作法： （1）如图，以点为圆心，__☆__为半径画弧，分别交，于点，． （2）画一条射线，以点为圆心，为半径画弧，交于点． （3）以点为圆心，__○___为半径画弧，与上步中所画的弧相交于点． （4）过点画射线，则即为所求作的角． 下列说法不正确的是（　　） A．☆表示任意长 B．n与☆的长相等 C．○与☆的长度相等 D．○与的长度相等 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图—作一个角等于已知角，根据作一个角等于已知角的作图方法即可得解，熟练掌握作一个角等于已知角的方法是解此题的关键． 【详解】解：由作一个角等于已知角的作图方法可知， ☆表示任意长，与☆的长相等，○与的长度相等， 所以A，B，D选项正确，C选项不正确． 故选：C． 15．（24-25七年级上·河北张家口·期末）如图，点分线段为，分线段为，为厘米，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离，线段的和差，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．先利用线段比求出、，再由即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 16．（24-25七年级上·河北邢台·期末）如图，点是直线上一点，射线，分别平分、．若，则 ． 【答案】/62度 【分析】本题考查了角平分线的意义，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据角平分线的定义得出，再根据角的和差得出，最后根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：． 17．如图，将长方形纸片沿直线、进行折叠后（点在边上），点刚好落在上，若折叠角，则另一个折叠角 ． 【答案】 【详解】本题主要考查了角的计算；熟练掌握折叠重合的性质是解决问题的关键．由折叠重合可得，即可得出结果． 【分析】解：由折叠重合得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：。 18．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）如图，射线在内部，图中共有、、三个角，若其中一个角的度数是另一个角的度数的2倍，则称射线是的“黄金线” （1）的平分线 这个角的“黄金线”（填“是”或“不是”） （2）若，射线是的“黄金线”，则的度数为 ． 【答案】 是 或或 【分析】本题主要考查了角平分线的含义，角的和差倍分关系，理清数量关系是解题的关系． （1）根据“黄金线”的定义即可得到答案； （2）分三种情况，由“黄金线”的定义列式即可得到答案． 【详解】解：（1）根据“黄金线”的定义，的角平分线是这个角的“黄金线”； 故答案为：是； （2）若，射线是的“黄金线”， ①，此时； ②，此时； ③，此时； 故答案为：或或． 19．（24-25七年级上·广东广州·期末）如图，O是直线上一点，以O为顶点作，且，位于直线两侧，平分． (1)当时，求的度数； (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算、平角，熟练掌握角平分线的定义是解题关键． （1）先求出，再根据角平分线的定义可得，然后根据平角的定义求解即可得； （2）先求出，再根据角平分线的定义可得，然后根据平角的定义求解即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 20．（23-24七年级上·广东·期末）如图，已知线段，点与点在线段上，点在线段外． (1)根据要求画出图形：画直线，画射线，连接； (2)图中共有 条射线； (3)根据（1）的作图，以点A为端点的线段有 条，的理由是 ； (4)根据（1）的作图，按图填空： ； (5)若点D为线段的中点，，，则线段的长度为为 ． 【答案】(1)见解析 (2)6 (3)4，两点之间线段最短 (4) (5)1 【分析】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了直线、射线、线段和两点之间的距离． （1）根据几何语言画出对应的几何图形； （2）根据射线的定义求解； （3）先根据线段的定义确定以点为端点的线段，然后根据线段公理可判断； （4）利用几何图形可得到与的差为； （5）先求出，再计算出，接着利用线段中点的定义求出，然后计算即可． 【详解】（1）解：如图，直线，画射线，线段为所作； （2）解：图中射线有：，，，，，，共6条； 故答案为：6； （3）解：以点为端点的线段有、、、，共4条， 的理由是：两点之间线段最短； 故答案为：4，两点之间线段最短； （4）解：； 故答案为：； （5）解：，， ， ， 点为线段的中点， ， ． 故答案为：1． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 21．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔、（圆孔直径忽略不计，、抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据点与点重合和点与点重合两种情况解答即可．本题考查了线段的中点，线段的和，分类思想的应用，熟练掌握线段的中点是解题的关键． 【详解】解：∵，，M，N分别是它们的中点， ∴，， 当点与点重合时， ； 当点A与点D重合时， ， 故选：C． 22．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）如图，已知线段，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点．下列关于甲、乙的结论判断正确的是（   ） 甲：是线段的中点，且； 乙：在线段的延长线上找一点，使是线段的三等分点，则的长为9或12． A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】C 【分析】本题可根据线段的相关性质，分别对甲、乙两个结论进行分析判断．本题主要考查了线段的相关性质，熟练掌握线段的和差关系以及三等分点的定义是解题的关键． 【详解】解：以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点 ，是线段的中点，故甲正确 点在线段的延长线上，是线段的三等分点 当时，，；当时，，，故乙错误 故选：C． 23．（24-25七年级上·河北沧州·期末）研究下列解题过程： 已知是的平分线，且，若，求的度数． 解：因为，，所以甲； 因为乙； 又因为是的平分线， 所以丙； 所以丁． 针对以上解题过程，下列数值不正确的是（    ） A．甲是 B．乙是 C．丙是 D．丁是 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义和角度和差，先求出，然后根据角平分线的定义得，最后通过角度和差即可求解，掌握角平分线的定义和角度和差是解题的关键． 【详解】解：因为，， 所以， 因为， 又因为是的平分线， 所以， 所以， 故选：． 24．如图，是直线上一点，平分，，则以下结论：①与互为余角；②；③；④若，则．其中结论正确的序号是（   ） A．①④ B．①③④ C．③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，理解题意，弄清各角之间的关系是解题关键．根据余角的定义，角平分线的定义，角度之间的和差关系，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴与互为余角；故①正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故③正确； 当时，；故④正确； 无法得到，故②错误． 故选：B． 25．（24-25七年级上·河北保定·期末）如图，点和点把线段分成三部分，点是线段的中点，，求线段的长 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是线段的和差运算，中点的含义，在解答此类问题时要注意各线段之间的和，差及倍数关系． 设，得，再根据，求出的值，故可得出线段的长度，再根据是的中点可求出的长，由即可得出结论． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， 点是线段的中点， ， ． 故答案为：1． 26．（24-25七年级上·河北廊坊·期末）如图，已知在同一平面内，，平分，射线在的内部，若，，则的余角的度数为 ．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，先求解，求解，，再进一步求解即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， 又∵，， ∴，， ∴． ∴的余角的度数为． 故答案为： 27．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）如图，直线，相交于点，平分． （1）若，则＝ °； （2）若，则＝ °． 【答案】 35 36 【分析】本题主要考查角平分线的定义角的和差的计算． （1）根据角平分线的定义求解即可； （2）根据，且，先求出、的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，最后再根据，即可求出的度数． 熟练掌握角平分线的定义及平角的定义是解题的关键． 【详解】（1）∵平分，且， ． 故答案为：35 （2）∵，且， ，． ∵平分， ． 故答案为：36 28．（24-25七年级上·河北唐山·期末）如图①，为直线上一点，作射线，使，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点处，一条直角边在射线上．将图①中的三角尺绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（如图②所示），在旋转一周的过程中，第秒时，所在直线恰好平分，则的值为 ． 【答案】6或42 【分析】题主要考查旋转角度计算，平分线的性质，过点O作直线平分，根据，以及平分，得出，当与重合时，所在直线恰好平分，当与重合时，所在直线恰好平分，分开计算求值即可． 【详解】解：过点O作直线平分，如图． ∵， 且， ∴，， ∵平分， ∴ ∴， 当与重合时，所在直线恰好平分． ∴（秒）， 当与重合时，所在直线恰好平分． (秒). 故答案为：6或42． 29．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图1所示，点O为直线上一点，，三角形的一条边在射线上且 (1)如图1，的度数为______，的度数为______； (2)如图2，三角形绕点O逆时针旋转，当边恰好平分时，求的度数； (3)三角形由图1位置绕点O逆时针旋转的过程中，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)120，150 (2) (3)或 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，几何图形中角度的计算，掌握角平分线的定义以及图形中角的和差关系是正确解答的关键． （1）根据邻补角的定义以及和差关系进行计算即可； （2）根据角平分线的定义以及角的和差关系进行计算即可； （3）根据旋转角度分两种情况进行解答，画出相应的图形，根据图形中角的和差关系即可得出结论． 【详解】（1）解：，， ， ∵， ； 故答案为：120，150； （2）平分， ， ∴， ； （3）或，理由如下： 当旋转角时，如图， ，即， ； 当旋转角时，如图： ，即， ． 综上：或． 30．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，P是线段AB上任意一点，，点C，D分别从点P，B同时向点A运动，且点C的运动速度为，点D的运动速度为，运动的时间为t． (1)若． ①运动后，求的长； ②当点D在线段上运动时，试说明； (2)如果时，，试探索的长度． 【答案】(1)①；②见解析 (2)或 【分析】本题考查了两点间的距离，掌握列代数式，注意分类讨论是解题的关键． （1）①先求出、与的长度，然后利用即可求出答案； ②用t表示出、、的长度即可求证； （2）当时，求出、的长度，由于没有说明D点在C点的左边还是右边，故需要分情况讨论． 【详解】（1）①由题意可知， ． 因为， 所以， 所以． ②因为， 所以， 所以， 所以， 所以． （2）当时， ． ①当点在点的右边时，如图， 因为， 所以， 所以， 所以； ②当点在点的左边时，如图， 则有， 所以． 综上所述，的长度为或． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $