【湖南专用】90分钟综合训练卷（4）（高教版）-2025-2026学年高二上学期《数学期末考点大串讲》

编写说明：2025-2026学年高二上学期《数学期末考点大串讲》精准覆盖期末考试核心考点，紧密贴合职教高考题型，专辑内包含章节复习讲义（配课件）和4份训练卷，旨在为学生提供全方位、高效的期末复习解决方案。 2025-2026学年高二上学期《数学期末考点大串讲》 综合训练卷解析版（4） 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 测试范围：《数学 拓展模块上册》（高教版）教材一至五章。 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设，，则“”是“”的 （ ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】充分条件与必要条件、向量模长计算 【详解】由，可得，把条件和结论中看看伯是集合中的元素来比较可知条件集合小，结论集合大，故为充分不必要条件 故选：C 2．对于实数则“”是“”的 （ ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】充分条件与必要条件、不等式性质 【详解】当时，，故不能推出（充分性不成立） 若则能推出（必要性成立） 故选：B 3．依据下列条件，能判断四边形ABCD是菱形的是 ( ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】向量与四边形形状判定（菱形定义） 【详解】菱形的定义是有一组邻边相等的平行四边形； 由可知是一组对边平行且相等，是平行四边形； 由可知两组对边平行的四边形是平行四边形； 由可知是平行四边形，又由得邻边是相等的是菱形 由条件是重复的两边平行的，没有邻边相等条件 故选：C 4．已知，且，则锐角（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】向量平行的坐标性质、三角函数特殊值 【详解】由得即解得 故选：A 5．已知向量，若，则的取值范围是 ( ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】向量加法、向量模长不等式、二次不等式求解 【详解】由可得即解得取值范围是 故选：C 6．在复平面内，复数对应的点位于( ) A．第一象限内 B．第二象限内 C．第三象限内 D．第四象限内 【答案】B 【分析】复数运算、复平面内点的坐标判定 【详解】由，复平面内的点为，横坐标为负，纵坐标为正，位于第二象限 故选：B 7．空间两条直线与平面所成的角相等，则的关系是( ) A．平行 B．相交 C．异面 D．以上三种情况都有可能 【答案】D 【分析】直线与平面所成角、空间直线位置关系 【详解】空间直线与平面所成角相等时，直线位置关系不确定．平行：如两条平行线与同一平面所成角相等；相交：如正方体一个顶点出发的三条棱与底面所成角均为 45°，任意两条相交； 异面：如正方体中面对角线与体对角线（异面）与底面所成角可能相等。 故选：D 8．若抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，则抛物线的准线方程是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】椭圆焦点坐标、抛物线焦点与准线关系 【详解】椭圆中，故左焦点为由抛物线系数与焦点关系以及焦点与准线得且 故选：B 9．下列四个结论，其中正确的个数为 ( ) ①两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行； ②两条直线没有公共点，则这两条直线平行； ③两条直线都和第三条直线垂直，这两条直线平行； ④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直线与平面平行、直线位置关系的判定 【详解】① 两条直线都平行于同一平面，可能平行、相交或异面（如正方体中两条侧棱都平行于底面，可能平行或相交），错误；② 两条直线无公共点，可能平行或异面（如正方体中异面直线），错误； ③ 两条直线都垂直于第三条直线，可能平行、相交或异面（如正方体中三条棱），错误； ④ 一条直线与平面内无数条直线无公共点，可能直线与平面平行或直线在平面内（无数条直线为平行直线），错误；那么正确个数为 0，选 A。 故选：A 10．已知双曲线的焦点为，以为直径的圆与双曲线的渐进线的一个交点为，则此双曲线的方程为 ( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】双曲线渐近线、圆的方程、双曲线标准方程 【详解】由为直径的圆和双曲线的渐进线的一个交点为可得解得，双曲线方程为 故选：B 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分). 11．设向量的夹角为，，则____________． 【答案】 【分析】向量坐标运算、向量夹角公式 【详解】由，得由夹角公式得 12．在长方体中，与棱AB垂直的棱是_________________． 【答案】 【分析】长方体棱的位置关系（垂直） 【详解】长方体中，与棱AB垂直的棱包括：同一平面内：AD，BC （垂直于AB的底边棱） 垂直平面内： （侧棱垂直于底面，故垂直于AB） 对面底边：（与AD，BC平行，故垂直于AB） 那么共有8条，分别为 13．等轴双曲线，一个焦点坐标为，则它的实轴长是________________． 【答案】 【分析】等轴双曲线性质、焦点坐标 【详解】等轴双曲线满足，焦点坐标为故双曲线焦点在轴上，且解得 14．已知复数，则________________． 【答案】 【分析】复数运算（平方、除法）、复数模长 【详解】由，由模长公式得 15．焦点都在轴上的椭圆和双曲线的离心率分别为，若，则双曲线的渐近线方程为___________． 【答案】 【分析】椭圆与双曲线离心率、双曲线渐近线与系数之间的关系 【详解】由得解得，那么双曲线的渐进线方程为 三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．已知是同一平面内的三个向量，其中 （1）若且∥，求的坐标； （2）若，且与垂直，求与的夹角． 【分析】向量平行的坐标性质、向量垂直的性质、向量夹角公式 【详解】（1）设由题意可组成方程组是解之得故 （2）由得，由且与垂直得，共同组成得解得 由向量夹角公式得：故夹角 17．已知平行四边形的三个顶点分别为，，． （1）求点的坐标；（2）若点E是AD的中点，求的坐标． 【分析】向量用点的坐标表示、平行四边形向量相等的条件。 【详解】 (1) 设向量， ，由平行四边形，得解得 故 (2) 设则 那么，故 18．点O是平行四边形ABCD对角线AC和BD的交点，点P在平面ABCD外，且PA=PC、PB=PD，求证： （1）；（2）． 【分析】线面垂直的判定定理、平行四边形的性质。 【详解】解答： (1) 证明：因为 O 是平行四边形 ABCD 对角线交点，所以 O 是 AC、BD 的中点，故 AO=OC ， BO=OD 。 已知 PA=PC ，所以 △PAC 是等腰三角形，O 是 AC 中点，故 PO⊥AC （等腰三角形三线合一）。 同理， PB=PD ， △PBD 是等腰三角形，O 是 BD 中点，故 PO⊥BD 。 又 AC∩BD=O ，AC、BD 在平面 ABCD 内，所以 PO⊥ 平面 ABCD（线面垂直判定定理）。 (2) 由(1)可得PO⊥平面ABCD， 又因为PO平面PAC， 所以平面PAC⊥平面ABCD. 19．已知双曲线的焦点在轴上，且渐近线方程为，又过点． （1）求双曲线C的标准方程； （2）设双曲线C的两个焦点为，求的面积． 【分析】双曲线的渐近线、标准方程、焦点坐标、三角形面积。 【详解】 解： (1) 双曲线渐近线方程为，设双曲线方程为 ，把点代入曲线方程得 ，故双曲线标准方程为 （2）双曲线中的 ， ；点 P 到 x 轴的距离为=3 就是三角形的高），故的面积为 20．已知抛物线的焦点． （1）求抛物线C的标准方程；（2）已知M是抛物线上的点和直线，求到直线的距离最小的点M的坐标． 【答案】 【分析】抛物线的焦点、标准方程、点到直线的距离公式。 【详解】解： (1) 依据抛物线的定义得 解得： 故抛物线C的标准方程为。 (2) 设抛物线上点 ，点 M 到直线 y=2x−4 （即 2x−y−4=0 ）的距离公式为 当 x=1 时，分子取得最小值 3，此时 d min ​ = ​ 。 当 x=1 时， y=1 ，故点 M 的坐标为 (1,1) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2025-2026学年高二上学期《数学期末考点大串讲》精准覆盖期末考试核心考点，紧密贴合职教高考题型，专辑内包含章节复习讲义（配课件）和4份训练卷，旨在为学生提供全方位、高效的期末复习解决方案。 2025-2026学年高二上学期《数学期末考点大串讲》 综合训练卷（4） 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 测试范围：《数学 拓展模块上册》（高教版）教材一至五章。 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设，，则“”是“”的 （ ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．对于实数则“”是“”的 （ ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．依据下列条件，能判断四边形ABCD是菱形的是 ( ) A． B． C． D． 4．已知，且，则锐角（ ） A． B． C． D． 5．已知向量，若，则的取值范围是 ( ) A． B． C． D． 6．在复平面内，复数对应的点位于 A．第一象限内 B．第二象限内 C．第三象限内 D．第四象限内 ( ) 7．空间两条直线与平面所成的角相等，则的关系是( ) A．平行 B．相交 C．异面 D．以上三种情况都有可能 8．若抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，则抛物线的准线方程是( ) A． B． C． D． 9．下列四个结论，其中正确的个数为 ( ) ①两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行； ②两条直线没有公共点，则这两条直线平行； ③两条直线都和第三条直线垂直，这两条直线平行； ④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行 A． B． C． D． 10．已知双曲线的焦点为，以为直径的圆与双曲线的渐进线的一个交点为，则此双曲线的方程为 ( ) A． B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分). 11．设向量的夹角为，，则____________． 12．在长方体中，与棱AB垂直的棱是_________________． 13．等轴双曲线，一个焦点坐标为，则它的实轴长是________________． 14．已知复数，则________________． 15．焦点都在轴上的椭圆和双曲线的离心率分别为，若，则双曲线的渐近线方程为___________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．已知是同一平面内的三个向量，其中 （1）若且∥，求的坐标； （2）若，且与垂直，求与的夹角． 17．设平面三点，，，试求： （1）向量与的夹角； （2）与垂直的单位向量的坐标． 18．点O是平行四边形ABCD对角线AC和BD的交点， 点P在平面ABCD外，且PA=PC、PB=PD． （1）求证：； （2）求． 19．已知双曲线的渐近线方程为，且过点． （1）求双曲线C的标准方程； （2）设双曲线C的两个焦点为，求的面积． 20．已知抛物线的焦点． （1）求抛物线C的标准方程；（2）已知M是抛物线上的点和直线，求到直线的距离最小的点M的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $