【湖南专用】90分钟综合训练卷（2）（高教版）-2025-2026学年高二上学期《数学期末考点大串讲》

编写说明：2025-2026学年高二上学期《数学期末考点大串讲》精准覆盖期末考试核心考点，紧密贴合职教高考题型，专辑内包含章节复习讲义（配课件）和4份训练卷，旨在为学生提供全方位、高效的期末复习解决方案。 2025-2026学年高二上学期《数学期末考点大串讲》 综合训练卷（2） 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 测试范围：《数学 拓展模块上册》（高教版）教材一至五章。 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设，则“”是“”的 （ ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】充分条件、必要条件的定义，一元二次不等式解法 【详解】解不等式，的解集为，条件关系分析： 若 “ x(x−2)<0 ” 成立，则 “ 0<x<2 ” 一定成立（充分性）。 若 “ 0<x<2 ” 成立，则 “ x(x−2)<0 ” 一定成立（必要性）。 结论：两者互为充分必要条件， 故选：A 2．“”是“”的 （ ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 对数的定义域与性质，充分条件、必要条件 【详解】若，则，可推出；充分条件成立，但时，若，无意义，不能推出，必要性不成立，故为充分不必要条件 故选：C 3．矩形中，相交于点，则向量是 ( ) A．相等向量 B．相反向量 C．模相等的向量 D．平行向量 【答案】C 【分析】矩形的性质，向量的模、相等向量、相反向量、平行向量的定义 【详解】矩形对角线相等且互相平分，相等向量需大小和方向都相同： AO 与 CO 方向相反， BO 与 DO 方向相反，故 A 错误。 相反向量需大小相等、方向相反： AO 与 BO 方向不相反，故 B 错误。 模相等：由矩形性质， ∣ AO ∣=∣ BO ∣=∣ CO ∣=∣ DO ∣ ，故 C 正确。 平行向量需方向相同或相反： AO 与 BO 方向既不相同也不相反，故 D 错误。 故选C。 4．已知，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】向量坐标的数量积运算，向量的线性和的模计算 【详解】向量数量积得，解得 ，而，则，所以 故选：C 5．设是两个不共线的向量，若向量，与向量共线，则 ( ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平面向量共线的充要条件（非零向量） 【详解】共线向量满足，即对应系数相等得解得 故选：D 6．下列复数是复数的三角形式的是 ( ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】复数三角形式为（要求是实部为虚部为且和同角且符号一致 【详解】复数三角形式为（要求是实部为虚部为且和同角且符号一致， 选项分析： A： −2(cos 5 π ​ +isin 5 π ​ ) ， r=−2<0 ，不符合三角形式要求（ r>0 ），错误。 B： 2(cos 2 π ​ −isin 2 π ​ ) ，应为 “ +isinθ ”，不符合三角形式结构，错误。 C： 2(cos 4 π ​ +isin 4 π ​ ) ，满足 r=2>0 ，形式为 r(cosθ+isinθ) ，正确。 D： 2(sin 6 π ​ +icos 6 π ​ ) ，应为 “ cosθ+isinθ ”，不是 “ sinθ+icosθ ”，错误。 故选D。 7．设是两条不同直线，是两个不同平面，下列说法中正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则⊥ 【答案】D 【分析】直线与平面平行、垂直的性质与判定，平面与平面垂直的性质与判定 【详解】 A：若 a∥α ， b∥α ，则 a 与 b 可能平行、相交或异面，错误。 B：若 a⊥α ， a⊥b ，则 b∥α 或 b⊂α ，错误。 C：若 α⊥β ， a⊥α ，则 a∥β 或 a⊂β ，错误。 D：若 b∥β ，则存在直线 b ′ ⊂β ，使得 b∥b ′ ；又 b⊥α ，故 b ′ ⊥α ；由面面垂直判定定理， α⊥β ，正确。 故选：D 8．已知抛物线上横坐标为6的点到焦点的距离为8，则( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】抛物线的定义（抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离） 【详解】抛物线的焦点为 由抛物线定义，横坐标为 6 的点到焦点的距离等于到准线的距离，即 ，解得 故选：B 9．①分别在两个平面内的直线就是异面直线； ②在平面内一个角的两边分别平行于另一个角的两边，这两个角必相等； ③如果一条直线平行于平面内一条直线，那么这条直线和这个平面平行； ④如果两条直线都垂直于同一平面，那么这两条直线平行． 则下列命题正确的个数是 ( ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】异面直线定义、等角定理、线面平行判定、线面垂直性质 【详解】①：分别在两个平面内的直线可能平行、相交或异面，错误；​ ②：两角可能相等或互补，错误；​ ③：需直线在平面外，否则直线在平面内，错误；​ ④：垂直于同一平面的两条直线平行，正确；故正确个数为 1。 故选：A 10．椭圆的离心率为，则 ( ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】椭圆的标准方程与离心率的数量关系 【详解】椭圆方程化为标准形式为 ，焦点在两条坐标上，分类来讨论，焦点在轴上，有得焦点在轴上上有 得 故选：C 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分). 11．直角中，，则____________． 【答案】9 【分析】平面向量数量积的几何意义（ a ⋅ b =∣ a ∣⋅∣ b ∣cosθ ， θ 为两向量夹角） 【详解】 在 Rt△ABC 中， ∠C=90 ∘ ， AC=3 ， BC=4 ，由勾股定理得 AB=5 。 AB 与 AC 的夹角为 ∠BAC ， cos∠BAC= ，数量积计算： AB ⋅ AC =∣ AB ∣⋅∣ AC ∣cos∠BAC=5×3× =9 12．空间四边形四边AB、BC、CD、DA的中点分别是E、F、G、H若四边形EFGH是矩形，则异面直线AC与BD所成的角的大小是_________________． 【答案】90° 【分析】三角形中位线定理，异面直线所成角的定义 【详解】 E 、 F 、 G 、 H 分别为 AB 、 BC 、 CD 、 DA 的中点，由中位线定理得： EF∥AC ， EF= AC ； GH∥AC ， GH= AC ，故 EF∥GH ， EF=GH ，四边形 EFGH 为平行四边形。 同理， EH∥BD ， EH= BD 。 矩形条件：平行四边形 EFGH 为矩形，故 EF⊥EH 。 异面直线所成角：因 EF∥AC ， EH∥BD ，故 AC⊥BD ，异面直线 AC 与 BD 所成角为 90 ∘ 13．若方程表示双曲线，则的取值范围________________． 【答案】(−∞,1)∪(3,+∞) ​ 【分析】双曲线的标准方程（分母异号） 【详解】方程 表示双曲线的充要条件是 A⋅B<0 。 列不等式： (k−1)(3−k)<0 ，即 (k−1)(k−3)>0 。 解不等式得： k<1 或 k>3 。 不等式的解集为(−∞,1)∪(3,+∞) 14．已知复数，则复数的三角形式为________________． 【答案】 【分析】复数的模、辐角，三角形式转化（ z=r(cosθ+isinθ) ， r>0 ） 【详解】 ①计算模 r ： 对于 z=1− 3 ​ i ， ； ②计算辐角 θ ： 复数对应点在第四象限， tanθ=，又因点在第四象限，故辐角为。 ③三角形式： 15．已知M，N为圆内两点，过M，N的直线与圆O交于A，B两点，若，则的面积为___________． 【答案】4 【分析】圆的弦长公式，点到直线的距离，三角形面积计算 【详解】 已知条件：圆 ，半径 R= ； ∣MN∣=4 ， ∣AB∣=8，求圆心到直线 AB 的距离 d 由弦长公式 ，代入得 d=2 。 计算 △OMN 的面积： MN 在直线 AB 上，圆心 O 到直线 AB 的距离 d=2 ，即为 △OMN 中 MN 边上的高，那么面积 三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．已知在△ABC中，，且D为线段BC的中点． （1）求； （2）向量，若，求的值． 【分析】中点坐标公式，向量坐标表示，向量垂直的坐标条件（数量积为 0） 【详解】 (1) 求 ： 第一步：求 D 点坐标。 B(2,4) ， C(4,0) ，由中点坐标公式) ， 向量坐标公式 ，(2) 求 m 的值： 第一步：求 CD 的坐标。 C(4,0) ， D(3,2) ，故 CD =(3−4,2−0)=(−1,2) 。 第二步：利用垂直条件列方程。 若 ，则 又 ，故 (−1)×1+2×m=0 ，解得 ​ 17．已知向量，它们的夹角为． （1）若时，求实数的值； （2）若为锐角时，求的取值范围． 【分析】向量数量积与夹角的关系（垂直时数量积为 0，锐角时数量积为正且不共线） 【详解】 (1) 当 θ=90 ∘ 时，求 m ： 垂直条件： ，代入坐标： 4×1+(−2)×m=0 ，即 4−2m=0 ，解得 m=2 。 (2) 当 θ 为锐角时，求 m 的取值范围： 条件 1：数量积为正，即 a ⋅ b >0 。 4×1+(−2)×m>0 ，解得 m<2 。 条件 2： a 与 b 不共线（避免夹角为 0 ∘ ）。 共线条件： 4m−(−2)×1=0 ，即 4m+2=0 ，解得 ，故不共线时 ；综上所述， m 的取值范围为 18．如图，在四棱锥中，底面为边长为2的正方形，，与面所成的角为，E为线段PA的中点． （1）求证：； （2）求所成角的正切值． 【分析】直线与平面平行的判定，斜线与平面所成的角的概念 【详解】（1）证明：连结AC交BD于点O，再连结OE，在△PAC中，ABCD为正方形，点O为AC的中点，E为PA的中点，有OE//PC 而 故 （2）因为，所以∠PBD是所成角；在直角△PAD中点，与面所成的角为有PD=AD=2，正方形ABCD中，在直角△PBD中， 19．已知椭圆的的左、右焦点分别为，且过点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点，倾斜角为的直线与椭圆相交于两点，求的长． 【分析】椭圆的定义与标准方程，直线与椭圆的位置关系，弦长公式 【详解】(1) 求椭圆 C 的标准方程： 第一步：确定 c 的值。 ， 第二步：利用椭圆定义求 a 。 椭圆上点 P 到两焦点距离之和为 2a ，即 即 a=1 ， 第三步：求 ； 椭圆中 故标准方程为 (2) 求 ∣MN∣ 的长： 第一步：求直线方程，过倾斜角为 45 ∘则斜率 k=tan45 ∘ =1 ，直线方程为， 第二步：联立直线与椭圆方程。 ，整理得： 第三步：，利用弦长公式计算。 设 M(x 1 ，y 1 ) ，N(x 2 ，y 2 ) ，，弦长公式 20．过抛物线的焦点且垂直于的直线与C相交于A，B两点，若． （1）求抛物线C的标准方程；（2）设直线与抛物线C相交于两点，求证：． 【分析】抛物线的性质，直线与抛物线的交点，向量垂直的判定（数量积为 0） 【详解】 (1) 求抛物线 C 的标准方程： 第一步：确定焦点与直线方程。 抛物线 的焦点 F(0, p /2​ ) ，过 F 且垂直于 y 轴的直线为 y= p /2​ 。 第二步：求交点 A 、 B 的坐标。 联立 故 x=±p ，即 A(−p, 2 p ​ ) ， B(p, 2 p ​ ) 。 第三步：求 p 的值。 ∣AB∣=p−(−p)=2p=2 ，解得 p=1 。 标准方程为 (2) 证明：设，联立直线与抛物线方程 化简整理得 ；，而，数量积 因此， 故 OP ⊥ OQ ​ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 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14．已知复数，则复数的三角形式为________________． 15．已知M，N为圆内两点，过M，N的直线与圆O交于A，B两点，若，则的面积为___________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．已知在△ABC中，，且D为线段BC的中点． （1）求； （2）向量，若，求的值． 17．已知向量，它们的夹角为． （1）若时，求实数的值； （2）若为锐角时，求的取值范围． 18．如图，在四棱锥中，底面为边长为2的 正方形，，与面所成的角为， E为线段PA的中点． （1）证明：； （2）求所成角的正切值． 19．已知椭圆的的左、右焦点分别为，且过点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点，倾斜角为的直线与椭圆相交于两点，求的长． 20．过抛物线的焦点且垂直于的直线与C相交于A，B两点，若． （1）求抛物线C的标准方程；（2）设直线与抛物线C相交于两点，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $