专题06 直线与直线的位置关系 -《数学》人教版基础模块下册《同步必备知识清单》（原卷版）

专题06 直线与直线的位置关系 一、知识梳理 （1）两条直线的位置关系 平面内，两条直线位置关系有三种：相交、平行、重合。 1)两条直线平行 设直线，直线 ①当直线和直线的斜率都存在时，若且，则。 ②若且，则和重合. 【注意】若直线斜率都不存在，则 2)两条直线相交 ①若同一平面内两条直线和的斜率都存在且 ，则直线 和直线 相交. ②若直线的斜率不存在，而直线的斜率存在，则直线和直线相交. ③两条直线垂直 a.当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线垂直. b.两条直线和的斜率都存在且不等于0时， （2）两条直线的交点 求两条直线的交点，就是解由两条直线方程联立组成的方程组 这个方程组的解就是两条直线的交点的坐标. 二、题型精练 题型1 两直线平行的条件 【典例1】．判断直线l1：y=2x+1与直线l2： 2x+ y+2 =0是否平行或重合。 答案：不平行也不重合（相交） 分析：比较两条直线的斜率与截距可以判断它们的位置关系。 详解：直线 ，斜率 ， 轴截距 。 直线  化为斜截式： 斜率 ， 轴截距 。 因为 ，所以两直线不平行也不重合，它们相交。 题型2 与直线Ax+By+C= 0平行的直线可表示为Ax+By+D=0(D≠C) 【典例1】. 求过点（2,1)，且与2x+y+5=0平行的直线l的方程. 答案： 分析：与已知直线平行的直线斜率相同，可先用点斜式求方程。 详解：已知直线  化为斜截式： 斜率 。 所求直线  与它平行，所以  的斜率也是 ，且过点 。 由点斜式： 整理得： 题型3 两条直线的交点 【典例1】．判断直线和 +y+2=0的位置关系，如果相交，求出交点坐标. 答案：两直线相交，交点坐标为 。 分析：先判断两直线的斜率是否相等，若不等则相交；然后联立方程求交点坐标。 详解：直线  化为斜截式： 斜率 。 直线  化为斜截式： 斜率 。 因为 ，所以两直线相交。 联立方程： 由 (2) 得 ，代入 (1)： 代入 ： 所以交点坐标为 。 题型4 两条直线垂直的条件 【典例1】．已知直线，与直线.若，则实数a的值为( ) A． B． C． 6 D．1或2 答案：D 分析：两条直线垂直的充要条件是它们的斜率的乘积为 ，或直接利用一般式垂直条件 。 详解： ，斜率 。 ，斜率 。 由  得 ： 所以  或 。 【典例2】. 已知直线mx-2y+1=0与直线互相垂直，求m的值. 答案： 分析：利用两条直线垂直的充要条件：在一般式  与  下，有，代入两直线的系数，解关于  的方程即可。 详解：直线  ⇒  直线  ⇒  由垂直条件： 解得  或 。 检验：  时，（水平线），（竖直线），垂直。  时，两直线斜率之积为 ，垂直。 因此  或 。 题型5 与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0）垂直的直线可表示为Bx-Ay+D=0(D≠C) 【典例1】．求经过两条直线和的交点，且与直线2x-y-1=0垂直的直线方程. 答案： 分析：先求两条直线的交点，再求与已知直线垂直的直线的斜率，最后用点斜式求方程。 详解： 1. 求  与  的交点 联立： 相加得 。 代入  得 。 交点 。 2. 求与已知直线垂直的斜率 已知直线  化为 ，斜率 。 设所求直线斜率为 ，则 。 3. 用点斜式求方程 过 ，斜率 ： 整理： 化为一般式（乘 2）： 【典例2】. 以A(-2,1)、B(4,3）为端点的线段的垂直平分线的方程是 . 答案： 分析：垂直平分线需要过线段  的中点，且与  垂直。先求中点  与  斜率，再求垂直平分线的斜率，最后用点斜式写出方程。 详解： 中点  线段  的斜率 垂直平分线的斜率  方程（点斜式） 过点 ，斜率 ： 化简： 三、知识检测 1．直线ax+2y-1=0与x+(a-1)y+2=0平行，则a等于（    ） A． B．-1 C． 2 D．2或-1 答案：D 分析：两直线平行⇔斜率相等（且截距不等）或两直线均为竖直线/水平线。分情况讨论。 详解： 化为斜截式 直线 ，斜率 。 直线 。 当  时 两直线平行时  且截距不等： 解得  或 。 检验截距： ： 截距 ， 截距 ，不重合，平行成立。 ： 截距 ， 截距 ，不重合，平行成立。 当  即  时 （竖直线）  不是竖直线，不平行。 综上， 或 。 2．在y轴上截距为4，且与直线2x+3y+1=0垂直的直线方程是（   ） A．2x-3y+7=0 B. 3x-2y+8=0 C．2x+3y+1=0 D．3x+2y+4=0 答案：B 分析：由  轴截距为  可知直线过点 。再求与已知直线垂直的斜率，用点斜式求方程。 详解： 直线  化为 ，斜率 。 所求直线斜率  满足 ，即 截距为  ⇒ 过点 ，用斜截式： 化为一般式（乘 2）： 3．过点（2,3)，且与直线5x+2y-1=0平行的直线方程为（    ） A．5x+2y-16=0 B．5x-2y+16=0 C．2x-5y+16=0 D．2x+5y-19=0 答案：A 分析：两直线平行则斜率相同。已知直线斜率求出后，用点斜式求方程。 详解：直线  化为 ，斜率 。 所求直线平行于它，斜率也为 ，过点 ： 化简： 化为一般式（乘 2）： 4．若直线4x-2ay-3=0与直线x+4y+1=0互相垂直，则实数a的值是（    ） A．8 B．-8 C． D．- 答案：C 分析：两条直线垂直的充要条件是它们的法向量点积为零，即一般式方程中 。 详解：直线  中，。 直线  中，。 代入垂直条件： 5．过两直线2x-y=0与x+y=3的交点，且斜率是的直线方程是（    ） A．2x-5y-12=0 B．2x+5y-12=0 C．5x-2y-1=0 D．5x+2y-1=0 答案：B 分析：先求两直线的交点坐标，再利用点斜式写出方程，最后化为一般式。 详解： 求交点： 相加得 ，代入得 ，交点 。 已知斜率 ，由点斜式： 化为一般式（乘 5）： 6．直线3x-y-1=0和6x-2y+1=0的位置关系是（    ） A．平行 B．重合 C．或重合 D． 答案：A 分析：比较两直线方程的系数，判断是否成比例。若对应  系数成比例但常数项不成比例，则两直线平行；若常数项也成比例，则重合。 详解：直线  ⇒  直线  ⇒   比较系数比例：  系数成比例，但常数项比例： 因此两直线平行且不重合。 7．过点P(-2,1)，且斜率为k=2的直线一定不过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：D 分析：先写出直线方程，再分析它与坐标轴的交点，从而判断它经过的象限。 详解： 点斜式方程： 整理得： 与坐标轴交点：  轴截距：，即点  在第一象限上方。  轴截距：，即点  在  轴负半轴。 直线经过点 （第二象限），且与  轴交于正半轴 （第一象限），与  轴交于负半轴 （第二、三象限交界）。画出大致图像可知，该直线从左下方（第三象限）延伸至右上方（第一象限），必定经过第一、二、三象限，但不会经过第四象限（因为  时 ，始终为正，不会到  的第四象限）。 8．若直线(2a+5)x+(a-2)y+4=0 与直线(2-a)x+(a+3)y-1=0相互垂直，则a的值为（    ） A． B． C． D．2，0，-2 答案：C 分析：两直线垂直的一般式条件： 详解： 直线  ⇒  直线  ⇒  垂直条件： 化简： 第一项： 第二项： 相加： 9．若两条直线的方程分别为只有一个公共点，则（    ） A．=0 B．≠0 C． D． 答案：B 分析：两条直线只有一个公共点 ⇔ 它们相交 ⇔ 不平行（且不重合）。 在一般式下，直线  与  相交（包括垂直）的充要条件是 若该式为 0，则两直线平行或重合。 详解： 选项 A： 不是平行或相交的判别式，没有几何意义，故排除。 选项 B：正是相交（有一个公共点）的条件，正确。 选项 C：当  或  时，此式可能无意义（分母为零），虽然在不考虑分母为零时可化为 ，但表述上不如 B 严谨通用。 选项 D：同样存在分母可能为零的问题，且即使分母非零，该式成立也不一定保证相交（例如两直线平行且  时，该不等式不成立，但平行无公共点；若不等，能推出相交，但存在分母为零无意义情况）。 因此最一般、无歧义的充要条件是 。 10．直线2x+y+m=0和x+2y+n=0的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D. 不能确定，与m，n的取值有关 答案：C 分析：比较两直线的斜率，判断它们的位置关系。当两直线斜率不等时，它们相交；当斜率之积为  时垂直。 详解： 直线  ⇒ 斜率  直线  ⇒ 斜率  因为 ，所以不平行。 又 ，所以不垂直。 因此两直线相交但不垂直，且  的值只影响直线的具体位置（平行移动），不影响它们的相对方向（斜率不变），因此位置关系与  无关。 11．过点P(1,4）和Q(a,2a+2)的直线与直线2x -y-3=0平行，则（    ） A． B． C． D． 答案：B 分析：两条直线平行，则它们的斜率相等。先求已知直线的斜率，再求过点  的直线斜率，令其相等，注意要排除两点重合（斜率不存在或直线退化为一个点）的情况。 详解： 直线  化为 ，斜率 。 过点  和  的直线斜率为 两直线平行，则 ： 当  时，等式左边化简： 恒成立，所以只要 ，斜率就等于 2，与已知直线平行。 当  时，分母为 0，点  与  重合（因为  时 ），直线退化为一个点，不构成与已知直线平行的直线（或说直线方程无法确定）。因此 。 12．以点A(1,3),B(-5,1）为端点的线段的垂直平分线方程是（　　） A． B． C． D． 答案：B 分析：垂直平分线过  的中点，且与  垂直。先求中点坐标和  的斜率，再求垂直平分线的斜率，最后用点斜式求方程。 详解： 中点  斜率  垂直平分线的斜率  方程（点斜式） 过 ，斜率 ： 化简： 13． 如果直线ax+by+1=0平行于x轴，则下列结论正确的是 （ ） A． B． C． D． 答案：D 分析：平行于  轴的直线方程为 （常数），即  的系数为 。 详解：将  化为 。 若平行于  轴，则  为常数 ⇒ 斜率 0 ⇒  的系数为 0。 化为斜截式：当  时，。 斜率为 0 ⇒ 。 同时 ，否则  项消失，方程可能不表示直线或退化成不可能形式（若 ,方程变为  不成立）。 所以  14．过点（2,1)，且倾斜角为直线的倾斜角2倍的直线方程为 ______。 答案： 分析：先求已知直线倾斜角，再求2倍角的正切值（即斜率），然后用点斜式求直线方程。 详解：已知直线  的斜率 ，设其倾斜角为 ，则 所求直线的倾斜角为 ，斜率 过点 ，由点斜式： 化简得： 15．与直线2x+3y+5=0平行，且在两轴上截距之和为的直线l方程为 ______ 。 答案： 分析：平行⇒可设 ，分别求出截距，利用截距和建立方程解出 。 详解：设 。 截距：，截距：。 截距和： 解得 ，方程为 ，化为整数系数： 检验：代数和 ，满足。 16． 已知直线ax+2y-1=0与直线2x-5y+C =0垂直相交于点（1,m)，则a= , C =______,m=______。 答案： 分析：利用点在直线上和两直线垂直斜率乘积为  列方程组求解。 详解： 点  在两条直线上： 两直线垂直： 第一条斜率 ，第二条斜率 ， 代入  到 (1)： 代入  到 (2)： 17．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y轴上的截距为，求m,n 的值. 答案： 分析：两直线平行时系数成比例；再利用  轴截距为  的条件，可确定比例系数。 详解： 平行条件（斜率相等） 直线  化为 ，斜率 。 直线  化为（若 ） ，斜率 。 平行则  轴截距条件 直线  的  轴截距：令 ，得 已知截距为 （即截距是纵坐标 ）： 求  由 。 检验 直线：，化简： ⇒  ⇒ 。 斜率为 ，与已知直线斜率相同。  截距为 ，满足。 且不与  重合（常数项不同），故为平行不重合。 18. 平行于直线4x-3y+5=0的直线l，与坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l的方程. 答案： 分析：与已知直线平行的直线可设为 ，求截距后用面积条件解 。 详解：设直线  方程与  平行 ⇒ 可设 （，若  则重合，但面积可能成立吗？面积成立时  且三角形面积计算和具体值有关，下面单独判断）。 求截距 截距：令 ， ⇒ 长度 。  截距：令 ， ⇒ 长度 。 三角形面积 已知 ： 得方程 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 直线与直线的位置关系 一、知识梳理 （1）两条直线的位置关系 平面内，两条直线位置关系有三种：相交、平行、重合。 1)两条直线平行 设直线，直线 ①当直线和直线的斜率都存在时，若且，则。 ②若且，则和重合. 【注意】若直线斜率都不存在，则 2)两条直线相交 ①若同一平面内两条直线和的斜率都存在且 ，则直线 和直线 相交. ②若直线的斜率不存在，而直线的斜率存在，则直线和直线相交. ③两条直线垂直 a.当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线垂直. b.两条直线和的斜率都存在且不等于0时， （2）两条直线的交点 求两条直线的交点，就是解由两条直线方程联立组成的方程组 这个方程组的解就是两条直线的交点的坐标. 二、题型精练 题型1 两直线平行的条件 【典例1】．判断直线l1：y=2x+1与直线l2： 2x+ y+2 =0是否平行或重合。 题型2 与直线Ax+By+C= 0平行的直线可表示为Ax+By+D=0(D≠C) 【典例1】. 求过点（2,1)，且与2x+y+5=0平行的直线l的方程. 题型3 两条直线的交点 【典例1】．判断直线和 +y+2=0的位置关系，如果相交，求出交点坐标. 题型4 两条直线垂直的条件 【典例1】．已知直线，与直线.若，则实数a的值为( ) A． B． C． 6 D．1或2 【典例2】. 已知直线mx-2y+1=0与直线互相垂直，求m的值. 题型5 与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0）垂直的直线可表示为Bx-Ay+D=0(D≠C) 【典例1】．求经过两条直线和的交点，且与直线2x-y-1=0垂直的直线方程. 【典例2】. 以A(-2,1)、B(4,3）为端点的线段的垂直平分线的方程是 . 三、知识检测 1．直线ax+2y-1=0与x+(a-1)y+2=0平行，则a等于（    ） A． B．-1 C． 2 D．2或-1 2．在y轴上截距为4，且与直线2x+3y+1=0垂直的直线方程是（   ） A．2x-3y+7=0 B. 3x-2y+8=0 C．2x+3y+1=0 D．3x+2y+4=0 3．过点（2,3)，且与直线5x+2y-1=0平行的直线方程为（    ） A．5x+2y-16=0 B．5x-2y+16=0 C．2x-5y+16=0 D．2x+5y-19=0 4．若直线4x-2ay-3=0与直线x+4y+1=0互相垂直，则实数a的值是（    ） A．8 B．-8 C． D．- 5．过两直线2x-y=0与x+y=3的交点，且斜率是的直线方程是（    ） A．2x-5y-12=0 B．2x+5y-12=0 C．5x-2y-1=0 D．5x+2y-1=0 6．直线3x-y-1=0和6x-2y+1=0的位置关系是（    ） A．平行 B．重合 C．或重合 D． 7．过点P(-2,1)，且斜率为k=2的直线一定不过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．若直线(2a+5)x+(a-2)y+4=0 与直线(2-a)x+(a+3)y-1=0相互垂直，则a的值为（    ） A． B． C． D．2，0，-2 9．若两条直线的方程分别为只有一个公共点，则（    ） A．=0 B．≠0 C． D． 10．直线2x+y+m=0和x+2y+n=0的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D. 不能确定，与m，n的取值有关 11．过点P(1,4）和Q(a,2a+2)的直线与直线2x -y-3=0平行，则（    ） A． B． C． D． 12．以点A(1,3),B(-5,1）为端点的线段的垂直平分线方程是（　　） A． B． C． D． 13． 如果直线ax+by+1=0平行于x轴，则下列结论正确的是 （ ） A． B． C． D． 14．过点（2,1)，且倾斜角为直线的倾斜角2倍的直线方程为 ______。 15．与直线2x+3y+5=0平行，且在两轴上截距之和为的直线l方程为 ______ 。 16． 已知直线ax+2y-1=0与直线2x-5y+C =0垂直相交于点（1,m)，则a= , C =______,m=______。 17．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y轴上的截距为，求m,n 的值. 18. 平行于直线4x-3y+5=0的直线l，与坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l的方程. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $