专题05 直线方程的几种形式 -《数学》人教版基础模块下册《同步必备知识清单》

专题05 直线方程的几种形式 一、知识梳理 （1）点斜式方程 直线上一点P（）且斜率为的直线方程为. 注：此方程表示的直线不包括垂直于轴的直线，当直线的斜率不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时直线平行于轴或与轴重合，直线的方程可以写成，与轴重合的直线方程为0. （2）斜截式方程 由直线的斜率和直线在轴上的截距确定的直线方程为. 注：①此方程表示的直线不包括垂直于轴的直线，这是一次函数所表示的解析式.直线在轴上的截距是直线与轴交点的纵坐标，它的取值可正、可负，也可以为0. ②利用点斜式和斜截式研究直线方程时，要考虑斜率存在与不存在两种情况，否则可能会产生漏解. （3）一般式方程 任何关于的二元一次方程的图像都是一条直线.在平面直角坐标系中，任意一条直线都可以用二元一次方程来表示 二、题型精练 题型1 求直线的点斜式方程 【典例1】．根据下列条件求直线方程： （1） 直线经过点P（-1，3），斜率为2； （2） 倾斜角为45°，直线经过点（0，-2）； （3） 直线经过点A（1，3），B（3，7）. （1） 答案： 分析：已知一点和斜率，用点斜式方程。 详解：点斜式： 代入  整理得： (2) 答案： 分析：倾斜角 ，斜率 。点  是  轴截距点。 详解：由斜截式： 代入  (3) 答案： 分析：先求斜率，再用点斜式。 详解：斜率： 用点  和点斜式： 整理得： 【典例2】．已知直线的方程为,直线的斜率是直线的2倍，且过点（-2，2）则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 答案：A 分析：先由  的方程求得其斜率，从而得  的斜率，再代入所过点，用点斜式求方程。 详解： 1. 直线 ：，斜率 。 2. 直线  的斜率 。 3.  过点 ，由点斜式： 整理： 因此直线  的方程为 。 题型2 求直线的斜截式方程 【典例1】．根据下列条件求直线方程： （1）设直线的斜率为2，在轴上的截距为-1，求直线的斜截式方程； （2）已知直线的倾斜角为45°，直线l截轴的负半轴的长度为5，求直线的方程. （1）答案： 分析：已知斜率 ，截距 ，直接代入斜截式 。 详解： （2）答案： 分析：倾斜角  ⇒ 斜率 。 截  轴负半轴的长度为  ⇒  轴截距 。 详解： 【典例2】. 已知直线l的方程为，则其在轴上的截距为 ，在轴的截距为 . 答案：  轴截距：  轴截距： 分析：直线  是斜截式，可直接得  轴截距。 令  可求  轴截距。 详解： 1.  轴截距： 直线方程  中，常数项  即为  轴截距（当  时 ）。 2.  轴截距： 令 ： 所以  轴截距为 。 题型3 求直线的一般式方程 【典例1】．直线方程，A，B，C满足什么条件时，方程表示的直线: （1）平行于x轴； （2）平行于y轴； （3）与y轴重合； （4）与x轴重合； （5）直线在两坐标轴上的截距相等； 答案：A=0，B≠0 分析：平行于  轴的直线方程形式为 ，在  中即  且 。 详解：直线  可写为 。 平行于  轴时斜率 ，故  且 （保证分母不为零），方程为 。 （2）答案：B=0，A≠0 分析：平行于  轴的直线方程为 ，对应  且 。 详解：若 ，方程化为 ，当  时 ，平行于  轴。 （3）答案：B=0,C=0, A≠0 分析：与  轴重合的直线方程为 ，即 ，且 ，常数项 。 详解：当 ，方程变为 。与  轴重合则 ，故 ，且  以保证方程为 。 （4）答案：A=0,C=0, B≠0 分析：与  轴重合的直线方程为 ，对应 ，，且 。 详解:当 ，方程变为 。与  轴重合则 ，故 ，且  以保证方程为 。 （5）答案:C=0或A=B（当A,B,C≠0时） 更严谨的写法：直线截距相等，包括同号相等或都为 0。 分析： 截距 ， 截距 。截距相等 ⇒ 。 详解： 1. 若 ，直线过原点，两截距均为 0，相等。 2. 若  且 ，则 此时截距非零且相等。 综合为： 或 （且  与  使截距存在）。 题型4 直线方程的一般式与斜截式相互转化 【典例1】．已知直线的斜率是1，则的值是 . 答案： 分析：将直线方程化为斜截式 ，可得斜率 ，利用已知斜率求 。 详解：原方程： 将  移到另一边： 若 ，则 斜率 。 已知斜率 ，即 检验： 成立，方程化为 ，斜率确为 。 【典例2】. 已知直线l的方程为，求直线l的倾斜角。 答案：60°） 分析：直线的倾斜角  是其与  轴正方向所成的最小正角（），斜率 。先求斜率，再求对应的倾斜角。 详解：将方程  化为斜截式： 斜率 。 由 ，且 ，得 三、知识检测 1．过点P(-1,0)，斜率为2的直线的方程是( ) A.y=2x-1 B.y=2x+1 C.y=2(x-1) D.y=2(x+1) 答案：D 分析：利用点斜式 y−y1=k(x−x1) 直接写出方程。 详解：由点斜式得 y−0=2(x−(−1))，即 y=2(x+1)。 2．直线2x+y-3=0在y轴上的截距是 ( ) A. B. C.3 D.-3 答案：C 分析：在 y 轴上的截距是直线与 y 轴交点的纵坐标。 详解：令 x=0，得 y−3=0⇒y=3，即 y 轴截距为 3。 3．直线的倾斜角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 答案：B 分析：将直线方程化为斜截式，求出斜率 ，再根据  求出倾斜角 （范围 ）。 详解：原方程： 化为斜截式： 斜率 。 由 ，且 ： 4．直线2x-y+4=0在两坐标轴上的截距之和是( ) A.6 B.4 C.3 D.2 答案：D 分析：分别求直线在 x轴和 y轴上的截距，再求和。 详解： x 截距：令 y=0，得 2x+4=0⇒x=−2，即 x截距为 −2。 y 截距：令 x=0，得 −y+4=0⇒y=4，即 y 截距为 4。 截距之和：(−2)+4=2。 5．已知直线l经过点A(1,-2),B(-3,2），则直线l的方程为( ) A.x+y+1=0 B.x-y+1=0 C.x+2y+1=0 D.x+2y-1=0 答案：A 分析：先求过两点的直线的斜率，再用点斜式求方程并化为一般式。 详解：斜率= -1，选择点 A(1,−2)，由点斜式得 y+2=−1(x−1)，化简得 y+2=−x+1，即 x+y+1=0。 6．已知直线l经过点（5,4）且垂直于y轴，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 答案：B 分析：垂直于  轴的直线平行于  轴，其方程为 （常数）。 详解：设直线方程为 。 直线过点 ，代入得 。 因此方程为 。 7．直线方程为2x-y+7=0，则直线的斜率和在y轴上的截距分别为（　　） A．2，7 B．-2，-7 C．7，2 D．-7，2 答案：A 分析：将直线方程化为斜截式 ，则  是斜率， 是  轴截距。 详解：原方程： 化为： 所以斜率 ， 轴截距 。 8．过点P(2,1）且在y轴上的截距为-3的直线方程为（    ） A． B． C． D． 答案：B 分析：由  轴截距为  可知直线过点 ，因此已知直线上两点  和 ，可用两点式或斜截式求方程。 详解： 1. 已知  轴截距为  ⇒ 直线过点 。 设直线斜率为 ，由  得斜截式： 2. 过点  代入： 3. 直线方程为： 化为一般式： 9．过点P(3,-1)且斜率为2的直线方程为（    ） A． B． C． D． 答案：A 分析：已知一点和斜率，用点斜式方程，再化为一般式。 详解： 点斜式： 化简： 化为一般式： 10．直线Bx+Ay=AB(A<B,B<0)的斜率为（    ） A． B．- C． D．- 答案：B 分析：将直线方程化为斜截式 ，可直接得到斜率 。 详解;方程 ， 两边除以 （已知 ，因  且  可推出 ）： 斜率 。 11．直线的倾斜角（    ） A． B．- C． D． 答案：C 分析：先将直线方程化为斜截式得到斜率 ，再根据  求倾斜角 。 详解：原方程： 化为： 斜率 。 设倾斜角为 ，则 。 在  范围内： 且 ，符合倾斜角定义。 因此倾斜角为 。 12．已知过点A(-2,m+1),B(m,3)的直线与直线y=-2x+1的斜率相等，则m的值为（　　） A．0 B．-6 C．2 D．10 答案：B 分析：先由两点  求直线  的斜率 ，再令  等于已知直线  的斜率，解出 。 详解：直线  的斜率 。 直线  的斜率： 由题意 ： 交叉相乘： 13． 直线ax+by-1=0(ab≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积是 （ ） A． B． C． D． 答案：D 分析：先求直线在  轴和  轴上的截距，再求三角形面积。 详解：方程  化为截距式。  截距：令 ，得 ，所以  截距长度为 。  截距：令 ，得 ，所以  截距长度为 。 围成的直角三角形面积： 14．过x-y-1=0与x+y-1=0的交点，且斜率为的直线方程是 ______。 答案： 分析：先求两直线的交点，再用点斜式求直线方程。 详解：解方程组： 相加得 ，代入得 ，交点 。 已知斜率 ，由点斜式： 整理得： 化为一般式： 15．直线y=4x+3与坐标轴围成的三角形的面积是 ______ 。 答案： 分析：求直线在  轴、 轴上的截距，再求面积。 详解：直线   截距：令 ， 长度为 。  截距：令 ，得 ，长度为 。 三角形面积： 16． 斜率是-2且在y轴上的截距为2的直线方程为 ______。 答案： 分析：直接代入斜截式 。 详解：,所以方程为 。 17．已知直线l与直线的斜率相同且过点A（2，1），求直线l的方程 答案： 分析：两条直线斜率相同则斜率相等。先求已知直线的斜率，再用点斜式求  的方程。 详解：直线  化为斜截式： 斜率 。 所求直线  与已知直线斜率相同，所以 ，且过 。 由点斜式： 化为一般式（去分母乘以 3）： 18. 已知三个顶点的坐标分别为A（2，-1），B（1，3），C（-3，-1）. 求：（1）BC边上中线所在的直线方程； （2）BC边上高线所在的直线方程. （1）答案： 分析：先求  的中点 ，再求  与  确定的直线方程。 详解：，，中点 ： 中线为 ，斜率： 过点 ，由点斜式： 化为一般式（去分母乘 3）： （2）答案： 分析：高线经过  且垂直于 ，先求  的斜率，再求垂直的斜率。 详解： 斜率： 高线垂直于 ，斜率 。 高线过 ，由点斜式： 化为一般式： 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 直线方程的几种形式 一、知识梳理 （1）点斜式方程 直线上一点P（）且斜率为的直线方程为. 注：此方程表示的直线不包括垂直于轴的直线，当直线的斜率不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时直线平行于轴或与轴重合，直线的方程可以写成，与轴重合的直线方程为0. （2）斜截式方程 由直线的斜率和直线在轴上的截距确定的直线方程为. 注：①此方程表示的直线不包括垂直于轴的直线，这是一次函数所表示的解析式.直线在轴上的截距是直线与轴交点的纵坐标，它的取值可正、可负，也可以为0. ②利用点斜式和斜截式研究直线方程时，要考虑斜率存在与不存在两种情况，否则可能会产生漏解. （3）一般式方程 任何关于的二元一次方程的图像都是一条直线.在平面直角坐标系中，任意一条直线都可以用二元一次方程来表示 二、题型精练 题型1 求直线的点斜式方程 【典例1】．根据下列条件求直线方程： （1） 直线经过点P（-1，3），斜率为2； （2） 倾斜角为45°，直线经过点（0，-2）； （3） 直线经过点A（1，3），B（3，7）. 【典例2】．已知直线的方程为,直线的斜率是直线的2倍，且过点（-2，2）则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 题型2 求直线的斜截式方程 【典例1】．根据下列条件求直线方程： （1）设直线的斜率为2，在y轴上的截距为-1，求直线的斜截式方程； （2）已知直线的倾斜角为45°，直线l截y轴的负半轴的长度为5，求直线的方程. 【典例2】. 已知直线l的方程为，则其在y轴上的截距为 ，在x轴的截距为 . 题型3 求直线的一般式方程 【典例1】．直线方程，A，B，C满足什么条件时，方程表示的直线: （1）平行于x轴； （2）平行于y轴； （3）与y轴重合； （4）与x轴重合； （5）直线在两坐标轴上的截距相等； （6）直线过第一、二、三、象限？ 题型4 直线方程的一般式与斜截式相互转化 【典例1】．已知直线的斜率是1，则的值是 . 【典例2】. 已知直线l的方程为，求直线l的倾斜角。 三、知识检测 1．过点P(-1,0)，斜率为2的直线的方程是( ) A.y=2x-1 B.y=2x+1 C.y=2(x-1) D.y=2(x+1) 2．直线2x+y-3=0在y轴上的截距是 ( ) A. B. C.3 D.-3 3．直线的倾斜角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 4．直线2x-y+4=0在两坐标轴上的截距之和是( ) A.6 B.4 C.3 D.2 5．已知直线l经过点A(1,-2),B(-3,2），则直线l的方程为( ) A.x+y+1=0 B.x-y+1=0 C.x+2y+1=0 D.x+2y-1=0 6．已知直线l经过点（5,4）且垂直于y轴，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 7．直线方程为2x-y+7=0，则直线的斜率和在y轴上的截距分别为（　　） A．2，7 B．-2，-7 C．7，2 D．-7，2 8．过点P(2,1）且在y轴上的截距为-3的直线方程为（    ） A． B． C． D． 9．过点P(3,-1)且斜率为2的直线方程为（    ） A． B． C． D． 10．直线Bx+Ay=AB(A<B,B<0)的斜率为（    ） A． B．- C． D．- 11．直线的倾斜角（    ） A． B．- C． D． 12．已知过点A(-2,m+1),B(m,3)的直线与直线y=-2x+1的斜率相等，则m的值为（　　） A．0 B．-6 C．2 D．10 13． 直线ax+by-1=0(ab≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积是 （ ） A． B． C． D． 14．过x-y-1=0与x+y-1=0的交点，且斜率为的直线方程是 ______。 15．直线y=4x+3与坐标轴围成的三角形的面积是 ______ 。 16． 斜率是-2且在y轴上的截距为2的直线方程为 ______。 17．已知直线l与直线的斜率相同且过点A（2，1），求直线l的方程 18. 已知三个顶点的坐标分别为A（2，-1），B（1，3），C（-3，-1）. 求：（1）BC边上中线所在的直线方程； （2）BC边上高线所在的直线方程. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $