专题04 直线的倾斜角和斜率 -《数学》人教版基础模块下册《同步必备知识清单》

专题04 直线的倾斜角和斜率 一、知识梳理 （1）直线的倾斜角 当直线与轴相交时，直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，倾斜角的取值范围： 注：平行于（或重合于）轴的直线，它的倾斜角为0°. （2）直线的斜率 在平面直角坐标系中，若直线的倾斜角，称倾斜角（）的正切值为直线的斜率，用小写字母表示，即. （3）直线的倾斜角与斜率的关系 当时，直线的倾斜角和直线的斜率的关系是. 当倾斜角=90°时，直线的斜率不存在. 当0°＜＜90°时，＞0，直线的倾斜角越大，直线的斜率也越大. 当90°＜＜180°时，＜0，直线的倾斜角越大，直线的斜率也越大. （4）用两点的坐标表示直线的斜率公式 （5）已知直线过两点A（）,B（）,则直线的斜率为（）；当时，直线与轴垂直，斜率不存在. 注：同一直线上任意两点所确定的斜率都相等. 二、题型精练 题型1 根据已知条件求直线的斜率 【典例1】．求直线的斜率： （1） 直线的倾斜角为60°； （2） 已知直线过点A(1,-4),B(2,-2)． （1）答案：k=​ 分析：斜率k=tan，其中  是直线的倾斜角。 详解：k=tan60°=​ （2）答案：k=2 分析：由两点 A(x1,y1)，B(x2,y2) 得斜率公式：k = ​ 详解: k = =2 【典例2】．如果过点P(-2,m)和Q(m,4）的直线的斜率等于1，则m的值为 ( ) A.2 B.1 C.0 D.不存在 答案：B 分析： 利用斜率公式 k = ，列方程 k=1 解出 m，注意分母不能为零。 详解：斜率公式：=1 解得m=1。 题型2 根据已知条件求直线的倾斜角 【典例1】．求直线的倾斜角： （1）已知直线斜率为1，求该直线的倾斜角； （2）已知直线过点A(4,-4),B(2,-6)，求直线的倾斜角. （1）答案： 分析：由斜率公式  求倾斜角 （）。 详解：。 （2）答案： 分析：先求斜率，再用  求倾斜角。 详解：斜率 ，所以 。 【典例2】．已知B(1,0)，），则直线BC的倾斜角等于（ ） A.30° B.60° C.120° D.150° 答案：B 分析：先求直线  的斜率，再由斜率求倾斜角。 详解：斜率 ，由  且  得 。 三、知识检测 1．已知直线的倾斜角为60°，则它的斜率为（    ） A． B． C． 1 D．3 答案：A 分析：斜率 ，其中  是直线的倾斜角。 详解：由公式： 因此斜率为 。 2．下列点在直线3x-y-5=0上的是（   ） A．（2，1） B． （2，-1） C．（1，2） D．（-1，-2） 答案：A 分析：将各点坐标代入直线方程 ，若方程成立则点在直线上。 详解：对于 A ： 3．直线的倾斜角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 答案：B 分析：将直线方程化为斜截式，求出斜率 ，再根据  求出倾斜角 （范围 ）。 详解：原方程： 化为斜截式： 斜率 。 由 ，且 ： 4．已知直线过点A(-2,-2),B(4,-8)，则直线AB的倾斜角为（    ） A．45° B．30° C．135° D．150° 答案：C 分析：先由两点坐标求斜率，再根据斜率求倾斜角（注意倾斜角范围 ）。 详解：斜率公式： 由 ，且 ： 5．一条直线过点P(3,a),Q(4,3)，若该直线PQ 的斜率为3，则a的值为（    ） A．1 B．2 C．0 D．3 答案：C 分析：利用斜率公式 ，代入已知数据解方程求 。 详解： 已知斜率 ， 6．若直线l的斜率不存在，则它的倾斜角是 ( ) A.0° B.45° C.90° D.180° 答案：C 分析：直线的斜率不存在，意味着直线垂直于  轴。 详解：垂直于  轴的直线的倾斜角为 。 7．若直线的倾斜角等于120°，则它的斜率是 ( ) A.0 B. C.1 D. 答案：D 分析：斜率 。 详解：。 8．过点（-1,2),(x,8）的直线的斜率为3，则x=( ) A.1 B.0 C.-1 D.3 答案：A 分析：利用斜率公式 ，代入已知点列方程求解。 详解：斜率 9．下列说法错误的是 ( ) A.平面直角坐标系内，每一条直线都有一个确定的倾斜角 B.每一条直线的斜率都是一个确定的值 C.没有斜率的直线是存在的 D.同一直线的斜率与倾斜角不是一一对应的 答案：B 分析： A 正确：倾斜角 ，任何直线都有唯一的倾斜角（包括垂直于  轴时 ）。 B 错误：垂直于  轴的直线斜率不存在，所以并非每一条直线斜率都是一个确定的值。 C 正确：垂直于  轴的直线没有斜率。 D 正确：对于倾斜角  的直线，斜率不存在，所以斜率与倾斜角不是一一对应关系（多对一也不行，因为  无斜率，无法对应）。 详解：B 的说法忽略了垂直于  轴（倾斜角 ）的直线斜率不存在的情况，因此错误。 10．已知直线的斜率为1，直线的倾斜角比直线的倾斜角小15°，则直线的斜率为( ) A.-1 B. C. D.1 答案：C 分析：先由  斜率求其倾斜角，再算  倾斜角，最后求  斜率。 详解：  倾斜角 。  的倾斜角 。 斜率 。 11．若经过A(1-a,1+a)和B(3,a)的直线的倾斜角为锐角，则实数a的值不可能是( ) A．-3 B．-5 C．-4 D．2 答案：D 分析：倾斜角锐角 ⇔ 斜率 。先求斜率，再解不等式。 详解：斜率 。 由  得 。 选项 D  不满足 ，故不可能。 12．点A(a,b）既在直线x=2上，又在直线2x-y =0上，则a,b的值为 ( ) A.a=2,b=-4 B.a=2,b=4 C.a=4,b=2 D.a=-4,b=2 答案：B 分析：由  得 ，代入  求 。 详解： 在直线  上 ⇒ 。 在直线  上 ⇒ ，代入  得 。 13．直线y=1的倾斜角是 . 答案： 分析：直线  平行于  轴。 详解：平行于  轴的直线的倾斜角为 。 14．直线, 的倾斜角分别是和，若 ， ，则 . 答案： 分析：两直线平行 ⇒ 倾斜角相等（若均不为 ）。 详解：因为 ，且 ，所以 。 15．过点A(-2，6）与B(1,3）的直线的倾斜角是 . 答案： 分析：先求斜率，再根据斜率求倾斜角。 详解：斜率 。 由  且 ，得 。 16． 经过A(-2,-1),B(2,3）两点的直线的倾斜角为 . 答案： 分析：先求斜率，再根据斜率求倾斜角。 详解：斜率 ，由  得 。 17．在直角坐标系xOy中，A(-1,4),B(-4,1)，点C在直线x=1上，若A,B,C三点共线，则点C的坐标为 . 答案： 分析：三点共线 ⇒ 点  在直线  上，利用斜率相等列方程。 详解：直线  斜率 ，方程：。 点  在  上，代入得 ，所以 。 18. 设P为x轴上的一点，A(-3,8）、B(2,14)，若PA的斜率是PB的斜率的两倍，则点P的坐标为 . 答案： 分析：设 ，利用斜率公式列方程并求解。 详解： 由题意 ： 化简得： 交叉相乘： 所以 。 19. 求证：A（1，5），B（0，2），C（2，8）三点共线 答案：三点共线 分析：证明任意两点确定的直线斜率相等，从而三点共线。 详解： 计算斜率 。 计算斜率 。 因为 ，且  为公共点，所以  三点共线。 20. 已知直线l的倾斜角为45°，且过点A(3,4)， B(0,m)，求m的值. 答案： 分析：倾斜角  ⇒ 斜率 ，利用斜率公式列方程求解。 详解：斜率 ，解得 ，即 。 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 直线的倾斜角和斜率 一、知识梳理 （1）直线的倾斜角 当直线与轴相交时，直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，倾斜角的取值范围： 注：平行于（或重合于）轴的直线，它的倾斜角为0°. （2）直线的斜率 在平面直角坐标系中，若直线的倾斜角，称倾斜角（）的正切值为直线的斜率，用小写字母表示，即. （3）直线的倾斜角与斜率的关系 当时，直线的倾斜角和直线的斜率的关系是. 当倾斜角=90°时，直线的斜率不存在. 当0°＜＜90°时，＞0，直线的倾斜角越大，直线的斜率也越大. 当90°＜＜180°时，＜0，直线的倾斜角越大，直线的斜率也越大. （4）用两点的坐标表示直线的斜率公式 （5）已知直线过两点A（）,B（）,则直线的斜率为（）；当时，直线与轴垂直，斜率不存在. 注：同一直线上任意两点所确定的斜率都相等. 二、题型精练 题型1 根据已知条件求直线的斜率 【典例1】．求直线的斜率： （1） 直线的倾斜角为60°； （2） 已知直线过点A(1,-4),B(2,-2)． 【典例2】．如果过点P(-2,m)和Q(m,4）的直线的斜率等于1，则m的值为 ( ) A.2 B.1 C.0 D.不存在 题型2 根据已知条件求直线的倾斜角 【典例1】．求直线的倾斜角： （1）已知直线斜率为1，求该直线的倾斜角； （2）已知直线过点A(4,-4),B(2,-6)，求直线的倾斜角. 【典例2】．已知B(1,0)，），则直线BC的倾斜角等于（ ） A.30° B.60° C.120° D.150° 三、知识检测 1．已知直线的倾斜角为60°，则它的斜率为（    ） A． B． C． 1 D．3 2．下列点在直线3x-y-5=0上的是（   ） A．（2，1） B． （2，-1） C．（1，2） D．（-1，-2） 3．直线的倾斜角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 4．已知直线过点A(-2,-2),B(4,-8)，则直线AB的倾斜角为（    ） A．45° B．30° C．135° D．150° 5．一条直线过点P(3,a),Q(4,3)，若该直线PQ 的斜率为3，则a的值为（    ） A．1 B．2 C．0 D．3 6．若直线l的斜率不存在，则它的倾斜角是 ( ) A.0° B.45° C.90° D.180° 7．若直线的倾斜角等于120°，则它的斜率是 ( ) A.0 B. C.1 D. 8．过点（-1,2),(x,8）的直线的斜率为3，则x=( ) A.1 B.0 C.-1 D.3 9．下列说法错误的是 ( ) A.平面直角坐标系内，每一条直线都有一个确定的倾斜角 B.每一条直线的斜率都是一个确定的值 C.没有斜率的直线是存在的 D.同一直线的斜率与倾斜角不是一一对应的 10．已知直线的斜率为1，直线的倾斜角比直线的倾斜角小15°，则直线的斜率为( ) A.-1 B. C. D.1 11．若经过A(1-a,1+a)和B(3,a)的直线的倾斜角为锐角，则实数a的值不可能是( ) A．-3 B．-5 C．-4 D．2 12．点A(a,b）既在直线x=2上，又在直线2x-y =0上，则a,b的值为 ( ) A.a=2,b=-4 B.a=2,b=4 C.a=4,b=2 D.a=-4,b=2 13．直线y=1的倾斜角是 . 14．直线, 的倾斜角分别是和，若 ， ，则 . 15．过点A(-2，6）与B(1,3）的直线的倾斜角是 . 16． 经过A(-2,-1),B(2,3）两点的直线的倾斜角为 . 17．在直角坐标系xOy中，A(-1,4),B(-4,1)，点C在直线x=1上，若A,B,C三点共线，则点C的坐标为 . 18. 设P为x轴上的一点，A(-3,8）、B(2,14)，若PA的斜率是PB的斜率的两倍，则点P的坐标为 . 19. 求证：A（1，5），B（0，2），C（2，8）三点共线 20. 已知直线l的倾斜角为45°，且过点A(3,4)， B(0,m)，求m的值. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $