专题03 直线的方程 - 《数学》人教版基础模块下册《同步必备知识清单》

专题03 直线与方程 一、知识梳理 直线与方程 （1） 一次函数的图象是一条直线，代数方程可以用几何图形表示，几何图形也可以用代数方程表示. （2） 在平面直角坐标系中，给定一条直线，如果直线上点的坐标都满足某个方程，而且满足这个方程的坐标所表示的点都在给定的直线上，那么这个方程称为这条直线的方程. 二、题型精练 题型1 直线与方程 【典例1】．直线m平行于轴，且通过点（-4，4），则直线m的方程为（    ） A． B． C． D． 【典例2】．直线m垂直于轴，且通过点（-3，2），则直线m的方程为（    ） A． B． C． D． 题型2 根据直线方程求参数 【典例1】．已知直线和的交点坐标为（1，a），a,b的值为（    ） A． -1，-3 B．1，3 C．2，4 D．-2，-4 【典例2】. 已知点（m，0）在直线上，则m为（ ） A．-1 B．-2 C．-3 D．-4 3、 知识检测 1． 下列关于直线方程的说法中，正确的是（ ） A. 所有满足方程的点都在图形上，这个方程就是该图形的方程。 B. 图形上所有点的坐标都满足的方程，就是这个图形的方程。 C. 直线上所有点的坐标都满足某个方程，且满足这个方程的点都在该直线上，这个方程才是直线的方程。 D. 如果一个图形是直线，那么它的方程一定是一次函数。 2．直线平行于轴，且通过点（2，3），则直线的方程为（    ） A． B．3 C． D． 3．直线垂直于轴，且通过点（4，-2），则直线的方程为（   ） A． B．4 C． D． 4．在直线上的点是（    ） A．（0，0） B．（1，1） C．（2，2） D．（- ，1） 5．轴所在的直线方程是（    ） A． B．0 C． D． 6．直线的交点坐标是（    ） A． B．10 C．-5 D．13或-5 7．垂直于轴，且过点（8，-2）的直线方程是（    ） A．-2 B．4 C．-4 D．8 7．点A(1, 3)和B(2, 5)在直线上，下列方程一定是直线的方程的是（ ） A． B． C． D．以上都不一定是 8． 已知直线的方程为 ，点P(2, a)在上，点Q(b, 2)也在上，则a+b的值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 9．一次函数 的图像与坐标轴的交点坐标分别是（ ） A. (0, -3) 和 (1.5, 0) B. (0, 3) 和 (1.5, 0) C. (0, -3) 和 (-1.5, 0) D. (0, 3) 和 (-1.5, 0) 10．在平面直角坐标系中，方程 = 3 所表示的图形是（ ） A. 一个点 B. 一条平行于轴的直线 C. 一条平行于轴的直线 D. 一条斜线 11． 某汽车行驶过程中，剩余油量（升）与行驶里程（千米）的关系可以近似用直线表示，当=0时=60，当=300时=0，则该关系的方程可能是（ ） A. B. C. D. 12． 已知直线 的方程为 ，则点 A(1,____)在直线 上. 13． 若点 B(2,5) 在方程为 的直线上，则常数=____. 14．方程 表示一条与 ______ 轴平行的直线，这条直线上的所有点的纵坐标都是 ____. 15．直线   上的所有点的横坐标都是 ____，这条直线与 ____ 轴平行. 16．直线经过A（-2，0），B（0，2），则直线的方程是 . 17．过A（-2，0），且平行于轴的直线方程是 . 18．写出垂直于轴，且过点（- ，4）的直线的方程. 19. 已知点（1，a）在方程为3的直线上，求a的值 20. 已知点（b，-2）在方程为+1的直线上，求b的值 21. 已知点（,0）在直线上，直线轴的距离等于9，求的值 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 直线与方程 一、知识梳理 直线与方程 （1） 一次函数的图象是一条直线，代数方程可以用几何图形表示，几何图形也可以用代数方程表示. （2） 在平面直角坐标系中，给定一条直线，如果直线上点的坐标都满足某个方程，而且满足这个方程的坐标所表示的点都在给定的直线上，那么这个方程称为这条直线的方程. 二、题型精练 题型1 直线与方程 【典例1】．直线平行于轴，且通过点（-4，4），则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 答案：B 分析:与 轴平行的直线方程为 （常数）。 详解:由于直线  平行于 轴，所以它的方程形式为  。 已知直线过点 (−4,4)，即  时  成立，所以 。 因此直线 的方程为 。 【典例2】．直线垂直于轴，且通过点（-3，2），则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 答案：C 分析：垂直于 轴的直线是水平线，方程为 =b（常数）。 详解：垂直于 轴的直线与轴平行，其方程为 =b。 已知直线过点 (−3,2)，即=−3 时=2，所以b=2。 因此直线的方程为 =2，对应选项 C。 题型2 根据直线方程求参数 【典例1】．已知直线和的交点坐标为（1，），,的值为（    ） A．-1，-3 B．1，3 C．2，4 D．-2，-4 答案：A 分析：将交点(1,) 分别代入两条直线的方程，建立关于 ,的方程组，解出即可。 详解：将(1,) 代入： 1−a−2=0⇒−a−1=0⇒a=−1 将 (1,)=(1,−1) 代入 ： 2(1)−(−1)+=0⇒2+1+=0⇒=−3 因此 =−1，=−3。 【典例2】. 已知点（，0）在直线上，则为（ ） A．-1 B．-2 C．-3 D．-4 答案：C 分析：直线表示所有横坐标为 −3 的点，即 恒成立。 详解：因为点 (,0) 在直线 上，所以 = −3。 3、 知识检测 1． 下列关于直线方程的说法中，正确的是（ ） A. 所有满足方程的点都在图形上，这个方程就是该图形的方程。 B. 图形上所有点的坐标都满足的方程，就是这个图形的方程。 C. 直线上所有点的坐标都满足某个方程，且满足这个方程的点都在该直线上，这个方程才是直线的方程。 D. 如果一个图形是直线，那么它的方程一定是一次函数。 答案：C 分析：本题考查曲线（图形）与方程关系的定义。一个图形（曲线）的方程必须满足两个条件：图形上任意一点的坐标满足方程；坐标满足方程的任意一点都在图形上。 详解： A 错：A缺“图形上所有点满足方程”的条件。 B 错：只说“图形上所有点满足方程”，但未要求“满足方程的点都在图形上”。 C 对：完整给出了曲线方程的定义的两个条件。 D 错：直线方程可以是（与 轴平行），此时它不是一次函数形式，而且当直线平行于 轴时虽然是函数，但平行于 轴时不是函数，所以“一定是一次函数”不对。 2．直线平行于轴，且通过点（2，3），则直线的方程为（    ） A． B．3 C． D． 答案：D 分析：平行于 轴的直线方程是 （常数）。 详解：平行于  轴的直线方程形式为 。 已知直线过点(2,3)，即 =2 时  =3，所以 =3。 因此直线的方程为 =3。 3．直线垂直于轴，且通过点（4，-2），则直线的方程为（   ） A． B．4 C． D． 答案：B 分析：垂直于 轴的直线与 轴平行，方程为 （常数）。 详解：垂直于轴的直线方程形式为 。 已知直线过点(4,−2)，即 =4 时 =−2，所以 =4。 因此直线的方程为 =4。 4．在直线上的点是（    ） A．（0，0） B．（1，1） C．（2，2） D．（- ，1） 答案：B 分析：将各点的坐标代入直线方程 ，若等式成立，则该点在直线上。 详解：对于 A(0,0)：2×0−3×0+1=1≠0，不在直线上。 对于 B(1,1)：2×1−3×1+1=2−3+1=0，在直线上。 对于C(2,2)：2×2−3×2+1=4−6+1=−1≠0，不在直线上。 对于 D(−12,1)：2×(−12)−3×1+1=−1−3+1=−3≠0，不在直线上。 5．轴所在的直线方程是（    ） A． B．0 C． D． 答案：D 分析：轴是平面上纵坐标为 0的所有点构成的直线。 详解：在 轴上，任意点的纵坐标=0，横坐标  可以取任意实数。 因此  轴的直线方程为=0。 6．直线的交点坐标是（    ） A．（-1，2） B．（1，2） C．（1，-2） D．（-1，-2） 答案：A 分析：联立两条直线的方程即可得到交点坐标。 详解：由， 交点坐标为 (−1,2)。 7．垂直于轴，且过点（8，-2）的直线方程是（    ） A．-2 B．4 C．-4 D．8 答案：D 分析：垂直于 轴的直线平行于  轴，其方程形式为 ，其中 为常数。 详解：因为直线垂直于 轴，所以设直线方程为  已知直线经过点 (8,−2)，代入得8= 因此直线方程为=8 7．点A(1, 3)和B(2, 5)在直线上，下列方程一定是直线的方程的是（ ） A． B． C． D．以上都不一定是 答案：A 分析：将两点坐标代入各选项方程中检验是否同时满足，若两点都满足某方程，且该方程是一次方程，则它可能是直线 的方程。但严格来说，还要判断满足该方程的所有点是否都在直线上，但这里两点确定唯一直线，所以一次方程若通过这两点，就是的方程。 详解：A．：代入 A：3=2×1+1 成立；代入 B：5=2×2+1成立。 B．：代入 A：3=3×1成立，但代入 B：5≠3×2=6，不成立。 C．：代入 A：3≠2×1−1=1，不成立。 因此一定是直线 的方程是。 8． 已知直线的方程为 ，点P(2, )在上，点Q(, 2)也在上，则的值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 答案：B 分析：利用点在直线上，点的坐标满足直线方程，分别求出  和 b，再求。 详解：由 P(2,) 在 上得：=−2+4=2 由 Q(,2) 在 上得：2=−+4=2 因此=2+2=4 9．一次函数 的图像与坐标轴的交点坐标分别是（ ） A. (0, -3) 和 (1.5, 0) B. (0, 3) 和 (1.5, 0) C. (0, -3) 和 (-1.5, 0) D. (0, 3) 和 (-1.5, 0) 答案：A 分析：与轴的交点：令 =0，得 ；与轴的交点：令 =0，得 。 详解：与轴的交点：令 =0，=2×0−3=−3所以交点为 (0,−3)。 与 轴的交点：令=0，0=2−3⇒2=3⇒=1.5所以交点为 (1.5,0)。 10．在平面直角坐标系中，方程 = 3 所表示的图形是（ ） A. 一个点 B. 一条平行于轴的直线 C. 一条平行于轴的直线 D. 一条斜线 答案：B 分析：方程 = 3 表示所有横坐标为 3 的点组成的图形，该图形与 轴平行（垂直于  轴）。 详解：对于任意实数 ，点 (3,)都满足方程 = 3。 这些点的集合是一条垂直于   轴（平行于 轴）的直线。 11． 某汽车行驶过程中，剩余油量（升）与行驶里程（千米）的关系可以近似用直线表示，当=0时=60，当=300时=0，则该关系的方程可能是（ ） A. B. C. D. 答案：B 分析：两点 (0,60)与 (300,0) 确定一条直线。 详解：A． ：代入 =0和=60，=300和=0不成立。 B．：代入 =0和=60，=300和=0成立。 C． ：代入=0和=60，=300和=0不成立。 D． ：代入=0和=60，=300和=0不成立。 12． 已知直线 的方程为 ，则点 A(1,____)在直线 上. 答案：1 分析：点在直线上，则点的坐标满足直线方程。将 = 代入方程求 。 详解：将=代入  ： =3×1−2=3−2=1 因此点 A(1,1) 在直线 上。 13． 若点 B(2,5) 在方程为 的直线上，则常数=____. 答案：2 分析：点在直线上，则点的坐标满足方程，代入即可解出 。 详解：将 B(2,5)代入 ： 5=×2+1 2=5−1=4 =2 13． 方程 表示一条与 ______ 轴平行的直线，这条直线上的所有点的纵坐标都是 ____. 答案：与 轴平行的直线，纵坐标都是 4。 分析：=4是平行于 轴的水平线，该线上任意点的纵坐标恒为 4。 详解：直线=4 上任意一点 (,4)满足方程，横坐标 任意，纵坐标恒为 4。 这条直线与 轴平行（垂直于轴）。 14．直线   上的所有点的横坐标都是 ____，这条直线与 ____ 轴平行. 答案：横坐标都是 −5，这条直线与 轴平行。 分析：直线 =−5垂直于 x 轴（平行于 轴），其上所有点的横坐标恒为 −5。 详解：对于直线上任意点 (−5,)，横坐标恒为 −5。 直线 =−5 与 轴平行（垂直于 轴）。 15．过A（-2，0），且平行于轴的直线方程是 . 答案：=0 分析：平行于  轴的直线方程为 ，其中 为常数。 详解：平行于  轴的直线方程形式为 。 已知直线过点 A(−2,0)，即 =0，因此 =0。 所以直线方程为 =0。 17．过A（-2，0），且平行于轴的直线方程是 . 答案：=−2 分析：平行于 轴的直线方程为，其中  为常数。 详解：平行于 轴的直线方程形式为。 已知直线过点 A(−2,0)，即 =−2，因此 =−2。 所以直线方程为 =−2。 18．写出垂直于轴，且过点（- ，4）的直线的方程. 答案： 分析：垂直于  轴的直线平行于  轴，其方程为，其中 a为常数。 详解：已知直线垂直于 轴，设方程为 。 直线过点 (− ,4)，代入得： = 因此直线方程为： ​ 19. 已知点（1，）在方程为3的直线上，求的值 答案：=3 分析：直线 =3上所有点的纵坐标恒为 3，横坐标任意。 详解：因为直线方程为 =3，所以直线上任意点的纵坐标都等于 3。 已知点 (1,)在该直线上，所以 =3 20. 已知点（，-2）在方程为+1的直线上，求的值 答案： 分析：点在直线上，则点的坐标满足直线方程。代入已知  值，解出 （即 ）。 详解：将点 (,−2) 代入+1： −2=4+1 ⟹   4=−2−1=−3 ⟹   ​ 21. 已知点（,0）在直线上，直线轴的距离等于9，求的值 答案：=−27或=27 分析：代入 (,0)求 ；直线与轴的距离为 ∣∣，求出 ；计算 。 详解：代入 (,0)： 2−0+6=0  ⟹  =−3 由题意： ∣∣=9  ⟹  =9 或 =−9 计算：当 =9 时=−27,当 =−9 时 =27 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $