专题02 平面直角坐标系中的距离公式与中点公式 -《数学》人教版基础模块下册《同步必备知识清单》

专题02 平面直角坐标系中的距离公式与中点公式 一、知识梳理 （1）平面直角坐标系中的距离公式 在坐标平面内，已知两点A（，）, B（），则A,B两点间的距离公式为： |AB|= （2）平面直角坐标系中的中点公式 在坐标平面内，已知两点A（，）, B（），点M（）是线段AB的中点，则有： ， 注：在用中点公式的时候要注意谁是中点。 二、题型精练 题型1 线段的中点坐标公式 【典例1】．已知点A（-2，2），N（2，-4），线段AN的中点坐标为（    ） A．8 B．4 C．0 D．-8 【典例2】．已知点A（1，），B（5，-4），线段AB的中点坐标为（，2），与的值为（    ） A．3 B．-3 C．0 D．-3或3 【典例3】．若点M与点N（-4，2）关于点A（1，3）对称，点M的坐标为（    ） A．2 B．8 C．-8 D．5 题型2 两点间距离公式 【典例1】．已知两点A（2，1），B（1，-4）两点间的距离为（    ） A．-1 B．-0.5 C．0 D．3 【典例2】. 已知点A（1，），B（-2，-3），且|AB|=5，的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型3两点间距离公式线段的中点坐标公式的合理运用 【典例1】．已知点P（4，7），Q（，-5），线段MN的中点到原点O的距离为，的值为（    ） A．8 B．4 C．0 D．-8 【典例2】．在中，已知三个顶点的坐标分别为A（1，0），B（1，4），C（-1，2），D是BC的中点，求AD的长. 三、知识检测 1．已知A（4，-1），B（1，3），则|AB|=（    ） A． 25 B．5 C． ±5 D． 2．点P（）关于坐标原点的对称点是（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 3．到点M（1，2）的距离等于5的坐标轴上的点有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．点A（3，2）关于点B（1，4）的对称点M为（    ） A．（2，-5） B．（1，-6） C．（-1，6） D．（-2，5） 5．已知点M（2，-5），N（5，-1），那么M，N两点之间的距离等于（    ） A．5 B．4 C．3 D．0 6．点M（1，2）关于轴的对称点N到原点的距离为（    ） A．2 B．1 C． D．5 7．已知直角坐标平面上连接点（-2，3）和点M的线段的中点是（1，0），则点M到原点的距离为（　　） A．13 B． C．5 D．25 8．已知A（1，2）和B（5，-2），在轴上求一点P，使它到点A和点B的距离相等，则点P的坐标为（    ） A．（3，0） B．（-3，0） C．（0，-3） D．（0，3） 9．已知点A（3，4），B（，6），P是AB的中点，O为原点，且|OP|=5，则实数的值为（    ） A．7 B．-13 C．7或13 D．7或-13 10．到点M（1，2）的距离等于的坐标轴上的点有（    ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 11．已知平面上三点A（1，-2），B（3，0），C（4，3），则点B关于AC中点的对称点的坐标是（    ） A．（1，4） B．（5，6） C．（-1，-4） D．（2，1） 12．点M（11，5）关于轴、轴的对称点分别是 与 . 13． 若点A（a，0），B（0，-12）的距离等于13，则a= ______。 14．已知的顶点A（1，0），B（9，2），C（0，13），则线段AB的中点坐标是 ______，AB边上的中线长是 ______。 15．在轴上求点P，使它到点（3，-1）的距离等于5. 16． 已知平行四边形ABCD的三个顶点A（1，2），B（-3，0），C(-5，6)，求顶点D的坐标. 17．线段AB的中点坐标为（2，3），点B（1，1），求点A的坐标. 18. 已知A（2，1），B（5，2）C（1，4）.证明：是等腰直角三角形. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平面直角坐标系中的距离公式与中点公式 一、知识梳理 （1）平面直角坐标系中的距离公式 在坐标平面内，已知两点A（，）, B（），则A,B两点间的距离公式为： |AB|= （2）平面直角坐标系中的中点公式 在坐标平面内，已知两点A（，）, B（），点M（）是线段AB的中点，则有： ， 注：在用中点公式的时候要注意谁是中点。 二、题型精练 题型1 线段的中点坐标公式 【典例1】．已知点A（-2，2），N（2，-4），线段AN的中点坐标为（    ） A．（0，-1） B．（0，-2） C．（0，2） D．（0，1） 答案：A 分析：本题考查平面直角坐标系中线段中点坐标公式，中点坐标等于两端点对应坐标的平均值。 详解：设 ，， 中点  的坐标公式为： 代入数据： 因此中点坐标为 。 【典例2】．已知点A（1，），B（5，-4），线段AB的中点坐标为（，2），与的值为（    ） A．3，8 B．3，4 C．2，4 D．3，6 答案：A 分析：本题考查平面直角坐标系中线段中点公式的应用，根据已知中点的两个坐标，分别建立方程求解。 详解：设 ，，中点 。 由中点坐标公式： 解方程求 ： 两边乘以 2： 所以 ，。 【典例3】．若点M与点N（-4，2）关于点A（1，3）对称，点M的坐标为（    ） A．（6，4） B．（6，-4） C．（-6，4） D．（-6，-4） 答案：A 分析：本题利用点关于点对称的性质：对称中心  是两对称点  和  的中点。因此可用中点坐标公式反求  的坐标。 详解：设 ，已知 ，对称中心 。 由对称性， 是  的中点： 解第一式： 解第二式： 因此点  坐标为 。 题型2 两点间距离公式 【典例1】．已知两点A（2，1），B（1，-4）两点间的距离为（    ） A．26 B． C．24 D． 答案：B 分析：本题考查平面直角坐标系中两点间距离公式的应用。 详解：设 ，，则  的距离公式为： 代入数据： 因此两点间距离为 。 【典例2】. 已知点A（1，），B（-2，-3），且|AB|=5，的值为（ ） A．1 B．1或7 C．1或-7 D．7 答案：B 分析：本题考查利用平面直角坐标系中两点距离公式建立方程，解出未知坐标值。 详解：设 ，， 由两点间距离公式： 已知 ，则 两边平方得： 解第一式： 解第二式： 所以  或 。 题型3两点间距离公式线段的中点坐标公式的合理运用 【典例1】．已知点P（4，7），Q（，-5），线段PQ的中点到原点O的距离为，的值为（    ） A．0或8 B．0或-8 C．0 D．-8 答案：B 分析：先求  的中点坐标，再利用中点到原点的距离为  列方程求解 。 详解：设  中点为 ，则 M（）=（） 已知  到原点  的距离为 ，则 两边平方： 第一式： 第二式： 所以  或 。 【典例2】．在中，已知三个顶点的坐标分别为A（1，0），B（1，4），C（-1，2），D是BC的中点，求AD的长. 答案： 分析：本题考查两步： 1. 利用中点公式求  的坐标； 2. 利用两点距离公式求  的长度。 详解：步骤 1：求  的中点  步骤 2：求  的长度 三、知识检测 1．已知A（4，-1），B（1，3），则|AB|=（    ） A． 25 B．5 C． ±5 D． 答案：B 分析：本题考查平面直角坐标系中两点距离公式的应用。 详解： 2．点P（）关于坐标原点的对称点是（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 答案：C 分析：关于原点对称的点的横坐标、纵坐标均变为原来的相反数。 详解：点  关于原点  对称的点  的坐标是： 3．到点M（1，2）的距离等于5的坐标轴上的点有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 答案：A 分析：分别设所求点为  轴上的  与  轴上的 ，利用距离公式列方程，均可得到两个实数解。 详解： 1. 设  轴上点  到  距离为 ： 得 2 个点。 2. 设  轴上点  到  距离为 ： 得 2 个点。 因此共有  个坐标轴上的点满足条件。 4．点A（3，2）关于点B（1，4）的对称点M为（    ） A．（2，-5） B．（1，-6） C．（-1，6） D．（-2，5） 答案：C 分析：点关于点对称时，对称中心  是  与对称点  的中点。利用中点坐标公式可求出  的坐标。 详解：设对称点 。 因为  是  与  的中点，所以： 解方程组： 因此对称点  为 。 5．已知点M（2，-5），N（5，-1），那么M，N两点之间的距离等于（    ） A．5 B．4 C．3 D．0 答案：A 分析：本题考查平面直角坐标系中两点间距离公式。 详解： 6．点M（1，2）关于轴的对称点N到原点的距离为（    ） A．2 B．1 C． D．5 答案：C 分析：先求对称点  的坐标，再利用两点距离公式计算  到原点的距离。 详解： 1. 点  关于  轴的对称点  的坐标为： 2.  到原点  的距离为： 7．已知直角坐标平面上连接点（-2，3）和点M的线段的中点是（1，0），则点M到原点的距离为（　　） A．13 B． C．5 D．25 答案：C 分析：先利用中点坐标公式求出点  的坐标，再计算  到原点的距离。 详解：设点 ，已知中点为 ，一端点为 。 由中点公式： 解得。 点  到原点  的距离为： 8．已知A（1，2）和B（5，-2），在轴上求一点P，使它到点A和点B的距离相等，则点P的坐标为（    ） A．（3，0） B．（-3，0） C．（0，-3） D．（0，3） 答案：C 分析： 在  轴上，可设 ，根据  列方程求解 。 详解： 设 ，则 由  得： 展开： 化简： 因此 。 9．已知点A（3，4），B（，6），P是AB的中点，O为原点，且|OP|=5，则实数的值为（    ） A．7 B．-13 C．7或13 D．7或-13 答案：D 分析：先由中点公式求出  的坐标（含 ），再利用  列方程解 。 详解： 1. 中点  的坐标 2. 由  10．到点M（1，2）的距离等于的坐标轴上的点有（    ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 答案：C 分析：分别考虑  轴上的点  和  轴上的点 ，利用距离公式列方程，判断实数解的个数。 详解： 1. 在  轴上的点  得 2 个点  和 ，但  也在  轴上吗？是的，但这里只算作  轴上的点之一，下面会算到重复吗？ 注意  在  轴也在  轴，所以之后要小心去重。 2. 在  轴上的点  得 2 个点  和 。 3. 去重 点  同时在  轴和  轴上，但题目问的是“坐标轴上的点”，应视为同一点（只是它同时在两轴上）。 因此不重复的点为3个 11．已知平面上三点A（1，-2），B（3，0），C（4，3），则点B关于AC中点的对称点的坐标是（    ） A．（1，4） B．（5，6） C．（-1，-4） D．（2，1） 答案：D 分析：先求  的中点 ，再根据点关于点的对称公式，计算点  关于  的对称点  详解： 1. 求  的中点  M（）=（） 2. 设  是  关于点  的对称点 根据中点公式： 3. 解方程 因此对称点  的坐标为 。 12．点M（11，5）关于轴、轴的对称点分别是 与 . 答案：（11，-5）；（-11，5） 分析：关于  轴对称时，横坐标不变，纵坐标变号；关于  轴对称时，纵坐标不变，横坐标变号。 详解： 1. 关于  轴对称点： 2. 关于  轴对称点： 13． 若点A（a，0），B（0，-12）的距离等于13，则a= ______。 答案： 分析：根据平面直角坐标系中两点距离公式建立方程，求解 。 详解： 因此  或 。 14．已知的顶点A（1，0），B（9，2），C（0，13），则线段AB的中点坐标是 ______，AB边上的中线长是 ______。 答案：（5，1）；13 分析：第一空：直接利用中点公式求  中点  的坐标。 第二空： 边上的中线是 ，先求  坐标，再用两点距离公式求  的长。 详解： 1. 求  的中点  2. 求中线  的长度 已知 ，： 15．在轴上求点P，使它到点（3，-1）的距离等于5. 答案：（0，3） 或  分析：设 ，利用两点距离公式建立关于  的方程，解方程即可。 详解： 设 ，， 两边平方： 因此点  坐标为  或 。 16． 已知平行四边形ABCD的三个顶点A（1，2），B（-3，0），C(-5，6)，求顶点D的坐标. 答案： 分析：平行四边形对边相等，利用  和  建立方程求解。 详解：设 。 由 ： 由 ： 联立 (1)(2) 得 17．线段AB的中点坐标为（2，3），点B（1，1），求点A的坐标. 答案：（3，5） 分析：利用中点坐标公式反推点  的坐标。 详解：设 ，已知中点 ，。 由中点公式： 解得： 因此点  的坐标为 （3，5）。 18. 已知A（2，1），B（5，2）C（1，4）.证明：是等腰直角三角形. 答案：见详解 分析：要证明  是等腰直角三角形，需要证明两条边相等，且满足勾股定理（两条短边的平方和等于最长边的平方）。 详解： 1. 计算各边长的平方 2. 判断三边关系 可得： 因此 ，即  是等腰三角形。 3. 验证是否直角三角形 两条较短的边为  与 ，较长边为 。 所以 ，满足勾股定理，因此 。 4. 结论  中 ，且 ，故  是等腰直角三角形。 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $