数学期末复习讲义（函数）-2025-2026学年高一上学期《数学期末考点大串讲》

编写说明：2025-2026学年高一上学期《数学期末考点大串讲》精准覆盖期末考试核心考点，紧密贴合职教高考题型，专辑内包含章节复习讲义（配课件）和4份训练卷，旨在为学生提供全方位、高效的期末复习解决方案。 2025-2026学年高一上学期《数学期末考点大串讲》 期末复习讲义—函数 核心考点 复习目标 考情规律 求函数值 会求各种函数的函数值 基础考点，常出现在填空题中 函数定义域 会求具体函数的定义域，做到“定义域优先”，看到函数先想定义域 必考考点，常出现在选择题、填空题中 函数的解析式 掌握待定系数法求函数的解析式 高频考点，常出现在选择题、填空题中，注意一次函数、二次函数、反比例函数的熟练掌握 分段函数 能求出分段函数的函数值或已知函数值求自变量的值 高频考点，一般出现在填空题中，常与各种函数结合 函数的奇偶性 会判断函数的奇偶性；能根据函数的奇偶性求参数；能熟练运用性质分析函数，做到“数形结合”，用草图辅助思考 重难高频考点，常出现在选择题、填空题中. 函数的单调性 会求函数单调区间；能根据函数单调性求参数 重难高频考点，求函数单调区间较容易，根据函数单调性求参数属难点 常见函数的性质 对每个常见函数的图象特征和核心性质了如指掌，能准确进行图象识别与变换 高频考点，一般出现在选择题、填空题中，二次函数问题也出现在解答题中. 函数的应用 能将实际问题抽象为函数模型（如最值问题） 重难高频考点，一般出现在解答题中. 第3章 函数 知识点1 函数的概念 定义 一般地，设D是非空的__数集__，如果对于集合D中的__任意一个数x__，按照某种确定的对应法则f，在集合B中都有__唯一确定__的值y和它对应，那么就称f为x的一个函数，记作y＝f(x)，x∈D 两要素 对应法则 y＝f(x)，x∈D 定义域 __x__的取值集合 知识点2 函数相等 1.函数的两要素: 定义域、对应法则.  2.如果两个函数的定义域相同,并且对应法则完全相同, 我们就称这两个函数相同. 知识点3 函数的三种表示法 1.解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系  2. 图像法：用图像表示两个变量之间的对应关系  3. 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系  函数的表示法：解析法、图象法、列表法． 知识点4 分段函数 在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是几个函数． 知识点5 函数的单调性 1．单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果对于定义域I内某个区间I上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 2．单调性与单调区间 如果函数y=f(x)在区间I上是增函数或减函数,那么就说函数f(x)在这一区间具有单调性,区间I叫作y=f(x)的单调区间.  知识点6 奇偶函数的图像与性质 奇函数的图像关于原点对称.反过来,若一个函数的图像关于原点对称,那么这个函数是奇函数.  偶函数的图像关于y轴对称.反过来,若一个函数的图像关于y轴对称,那么这个函数是偶函数.  知识点7二次函数 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 R R 值域 __[，＋∞)__ __(－∞，]__ 单调性 在__(－∞，－)__上单调递减，在[－，＋∞)上单调递增 在__(－∞，－)__上单调递增，在[－，＋∞)上单调递减 顶点坐标 __(－，)__ 奇偶性 当__b＝0__时为偶函数 对称轴 函数的图象关于直线x＝－成轴对称 一、单选题 1．（24-25高一下·河北沧州·期中）已知函数，则（    ） A． B． C．4 D．2 2．（2025高三·广东·专题练习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．（2025高三下·河北·学业考试）的图象为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·陕西宝鸡·模拟预测）下列函数中，在区间上为增函数的是（    ）． A． B． C． D． 5．（24-25高一上·江西赣州·期末）函数在上是增函数，则正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025高三·河北·专题练习）下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 7．（2025高三·河北·专题练习）下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（24-25高一下·河南郑州·期末）已知函数，则 . 9．（2025高三·河北·专题练习）设为实数，函数是偶函数，则的值为 ． 10．（2025高三·河北·专题练习）某城市出租车按如下方法收费：起步价6元，可行3km（含3km），3km后到10km（含10km）每多走1km（不足1km按1km计）加价0.5元，10km后每多走1km加价0.8元，某人坐出租车走了13km，他应交费 元. 答案 1．C 【分析】由函数解析式，直接代入计算即可. 【详解】函数， 则. 故选：C. 2．A 【分析】根据二次根式被开方数大于等于，分母不为求定义域即可. 【详解】要使函数有意义，则， 即，所以函数的定义域为． 故选：A. 3．C 【分析】利用在与上的取值范围即可得解. 【详解】对于， 当时，，排除AB； 当时，，排除D；而C满足上述性质. 故选：C. 4．C 【分析】由一次函数和反比例函数的性质判断即可. 【详解】对于A，在区间上为减函数，故A错误， 对于B，在区间上为减函数，故B错误， 对于C，在区间上为增函数，故C正确， 对于D，在区间上为减函数，故D错误. 故选：C. 5．B 【分析】根据题意，结合增函数的概念，即可求解. 【详解】因为函数在上是增函数， 又，所以. 故选：B. 6．C 【分析】结合奇函数的定义逐一判断选项即可. 【详解】A，已知的定义域为不关于原点对称， 所以不是奇函数，故A错误， B，已知的定义域为， 令函数， 得， 所以不是奇函数，故B错误， C，已知的定义域为， 令函数，得， 所以是奇函数，故C正确， D，已知的定义域为， 令函数，得， 所以不是奇函数，故D错误. 故选：C. 7．C 【分析】根据函数单调性以及奇偶性的判定即可求解. 【详解】对于A，为增函数，不符合题意； 对于B，为奇函数，但是该函数在定义域内不符合单调递减的定义，错误； 对于C，，故为奇函数， 当时，在上单调递减，当时，在单调递减， 且，所以在定义域上单调递减，故C符合题意； 对于D，为偶函数，且在定义域内不单调，故错误， 故选：C. 8． 【分析】将的值代入分段函数对应的解析式，计算即可. 【详解】因为，所以， 故答案为：. 9．0 【分析】根据偶函数的定义计算即可得解. 【详解】因为函数是偶函数，则， 即，变形得，所以， 故答案为：0. 10．11.9 【分析】结合已知条件列出式子即可得解. 【详解】结合已知条件可知，某人坐出租车走了所交费为： （元）. 故答案为：11.9. 题型一 函数的概念及表示 【典例1】（2025高三·全国·专题练习）如图可作为函数的图像的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的定义，逐个判断选项得到答案. 【详解】函数的图像，对于每一个确定的值，只有唯一确定的值对应， 选项A，圆形区域内的值，对应两个值，该选项错误； 选项B，两段曲线区域内的值，对应两个值，该选项错误； 选项C，两段直线区域内的值，对应两个值，该选项错误； 选项D，对于每一个确定的值，只有唯一确定的值对应，该选项正确， 故选：D. 【典例2】（25-26高一上·江苏·期中）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同一函数的概念即可求解. 【详解】对A，定义域为，定义域为，故A错误. 对B，定义域均为R，又，函数对应法则相同，故B正确. 对C，定义域为，定义域为，故C错误. 对D，定义域为定义域为，故D错误. 故选：B. 解｜题｜技｜巧 一、判断是否为同一函数 标准：必须“三要素”完全相同，但最关键是定义域和对应法则。 1．即使解析式化简后相同，但定义域不同，就不是同一函数。如 f(x)=x (x∈R) 与 g(x)=x (x>0) 不同． 2．定义域相同，但对应法则不同（化简后表达式不同），也不是同一函数． 二、运用“唯一性”原则检验 1. 是函数：对于D内每一个x，都能找到唯一的y 2．不是函数：只要存在一个x，能对应两个或两个以上的y值 【变式1】（2026高三·四川·专题练习）设集合，，给出下列四个图形，其中能表示以集合M为定义域，N为值域的函数关系的是（　  　） A．   B．   C．   D．   【变式2】（2025高三·河北·专题练习）下列四个函数：①，②，③，④，其中为同一函数的是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 答案 1、【答案】B 【分析】根据题意结合定义域及值域的定义即可得解. 【详解】选项A中，定义域为，故错误； 选项中，定义域为，值域为，符合题意； 选项C不是函数图象，故错误； 选项D中，定义域为，值域不是，故错误， 故选：. 2、【答案】A 【分析】根据同一函数的概念判断. 【详解】两个函数只有当定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才相同. ①，②， ③，④函数的定义域是， ①③定义域和对应法则都分别相同，是同一函数，故A正确； ①④定义域不相同，不是同一函数，故B错误； ②③定义域相同，但对应法则不相同，不是同一函数，故C错误； ②④定义域不相同，不是同一函数，故D错误， 故选：A. 题型二 函数的定义域 【典例1】（24-25高三下·辽宁·对口/高职单招）函数 的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合根式有意义需满足的条件，即可求解. 【详解】因为， 所以，解得， 即函数的定义域是. 故选：B. 【典例2】（2024高一上·全国·专题练习）已知等腰△ABC的周长为10，则底边长y关于腰长x的函数关系为，此函数的定义域为（    ） A．R B． C． D． 【答案】D 【分析】利用底边长一定大于0和三角形两边之和大于第三边，列出式子，联立得到答案. 【详解】△ABC的底边长显然大于0， 即，∴. 又三角形的两边之和大于第三边， ∴，解得. ∴此函数的定义域为. 故选：D. 解｜题｜技｜巧 一、常规代数函数 函数形式 关键限制条件 定义域求法 分式形式 分母 不等于 零 解方程 分母 = 0，取其补集 偶次根式 (√， 四次根等) 被开方数 大于等于 零 解不等式 被开方数 ≥ 0 零次幂 (x⁰) 底数 不等于 零 解不等式 底数 ≠ 0 二、实际应用问题定义域 除了使解析式有意义，还必须符合 实际背景 1．长度、面积、体积为正数． 2. 时间通常为非负数． 3. 数量、价格等为非负整数或有特定范围． 4. 人数为自然数等． 【变式1】（25-26高三上·河南·月考）函数的定义域是（    ）. A．且 B．且 C．} D． 【变式2】（20-21高一上·上海·期末）山药营养丰富，是人们喜爱的素菜，已知一根山药苗长为2厘米，从苗长开始，每天生长厘米，生长期为天.设山药生长期间每天的长度（厘米）是生长天数（天）的函数，则其函数关系式是（    ）. A． B． C． D． 答案 1、【答案】A 【分析】根据分式和二次根式的性质求解定义域即可. 【详解】要使函数有意义， 则，解得且， 故函数的定义域是且. 故选：A. 2、【答案】B 【分析】山药生长期间每天的长度等于初始苗长加上后天生长长度，再根据实际意义确定的取值范围，即可求解. 【详解】因为山药苗长为2厘米，且每天生长厘米， 所以天就生长厘米， 所以. 故选：B 题型三 函数的解析式 【典例1】（24-25高三下·河北·对口/高职单招）已知是一次函数，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用待定系数法求出，进而可得的值． 【详解】由题意，设， ∵， ∴，即， ∴且，解得， ∴，∴． 故选：A． 【典例2】（23-24高三上·浙江金华·期中）已知二次函数顶点坐标为，且过点，则此函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的顶点设出函数的解析式，再将点代入即可求解. 【详解】因为二次函数顶点坐标为， 所以设二次函数的解析式为， 因为过点，代入有， 所以函数解析式为. 故选：A. 【典例3】（2025高三·全国·专题练习）已知，则的表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元法即可得解. 【详解】对于， 令，则， 所以， 则. 故选：A. 解｜题｜技｜巧 一、待定系数法 特征：已知函数类型（如一次、二次、指数、对数等） 步骤： 设出含待定系数的函数解析式（如二次函数设 f(x)=ax²+bx+c, a≠0）。 根据已知条件（如函数值、顶点、零点、对称轴等）列出关于系数的方程（组）。 解方程（组）确定系数。 代回所设解析式。 二、换元法 特征：已知 f(g(x)) 的解析式，求 f(x)。关键是抓住“括号内的整体” 换元法步骤： 令 t = g(x)。 用 t 表示出 x（即反解 x = h(t)）。 代入原式，得到 f(t) 的表达式。 将 t 换回 x，得 f(x)。． 【变式1】（2025高三·安徽·专题练习）已知一次函数过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高一下·云南玉溪·阶段练习）下列经过点的反比例函数是（   ）. A． B． C． D． 【变式3】（2025高三·四川·专题练习）已知函数，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 答案 1、【答案】A 【分析】通过待定系数法求一次函数解析式即可求解. 【详解】由题意，设一次函数， 又函数经过点，所以， 解得，所以. 故选：A. 2、【答案】C 【分析】根据点的坐标求出反比例函数解析式即可. 【详解】设反比例函数的解析式为, 把点代入得， 函数的解析式为. 故选：C. 3、【答案】A 【分析】用换元法，令，则，代入原解析式，解得，即可得的解析式． 【详解】令，则， 所以， 所以. 故选：A. 题型四 分段函数 【典例1】（25-26高一上·江苏·期中）已知函数，则（    ） A． B．10 C． D． 【答案】A 【分析】根据函数解析式求出函数值即可得解. 【详解】函数，则， 故选：. 【典例2】（2025高三·河北·专题练习）已知函数则（   ） A． B．2 C．4 D．11 【答案】C 【分析】将代入合适的解析式中求出，再将的值代入合适的解析式中求值即可. 【详解】函数 ， . 故选：C. 【典例3】（2025高三·河北·专题练习）已知函数，则使函数值为3的的值是（   ） A．或2 B．2或 C． D．2或或 【答案】C 【分析】根据题意，结合分段函数的解析值，代入即可求解. 【详解】因为函数， 当时，令，得，解得或（舍）； 当时，令，得，解得，不符合题意，舍去. 综上所述，. 故选：C. 解｜题｜技｜巧 1．求函数值 方法：判断自变量所属区间，代入相应解析式计算。 注意：若自变量是表达式（如f(a)中的a是代数式），需先计算表达式的值，再判断区间． 2．求自变量（解方程f(x)=a） 方法：分别在各段上解方程，然后检验解是否属于该分段区间。 易错：解出的x必须落在该段定义域内，否则舍去 【变式1】（2025高三·河北·专题练习）已知函数，则（   ） A．0 B． C． D．1 【变式2】（2025高三·四川·专题练习）已知函数，若，则的值是（    ） A．或5 B．3或5 C．或 D．3或 答案 1、【答案】C 【分析】根据分段函数解析式求出函数值即可得解. 【详解】函数， ， ， 故选：C. 2、【答案】A 【分析】根据题意，结合分段函数求函数值，即可求解. 【详解】因为， 当时，，得，又，所以； 当时，，得； 综上所述，或. 故选：A. 题型五 函数的单调性 【典例1】（2025高三·全国·专题练习）函数，的图像如图所示，则的增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合单调增函数的定义，即可判断求解. 【详解】由图像可知，函数的增区间为. 故选：C. 【典例2】（2025高三·全国·专题练习）下列函数中，在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据常见函数的单调性求解即可. 【详解】选项A.在区间上单调递减，该选项错误. 选项B.的对称轴为，且开口向上，所以函数在单调递增，该选项正确. 选项C.在区间上单调递减，该选项错误. 选项D.，在区间上单调递减，该选项错误. 故选：B. 【典例3】（2025高三·安徽·专题练习）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的单调性即可求解. 【详解】因为二次函数开口向下，对称轴为， 所以在上单调递增. 故选：A. 解｜题｜技｜巧 已知解析式求单调区间 特征：给出具体函数表达式． 注意定义域限制 复杂函数先化简或分解 【变式1】（2025高三·四川·专题练习）如图是定义在区间上的函数，则下列关于函数的说法错误的是（    ）    A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上单调递增 C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上没有单调性 【变式2】（21-22高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025高三·河北·专题练习）下列函数中，在上为增函数的是（ ） A． B． C． D． 答案 1.【答案】C 【分析】根据图像特征，利用函数的单调区间的定义判断即可. 【详解】由图可知，函数在区间上单调递增；在区间上单调递增； 在区间上没有单调性，故ABD正确； 单调区间不能用“”连接，故C错误， 故选：C． 2. 【答案】C 【分析】根据函数解析式判断函数单调区间即可. 【详解】函数在定义域内单调递减， 所以函数的单调递减区间为， 故选：C 3. 【答案】D 【分析】对四个选项逐一分析函数的单调性，由此得出正确选项. 【详解】对于A选项，函数在上递减. 对于B选项，函数在和上递减. 对于C选项，函数开口向上，对称轴为，所以在上递减，在上递增. 对于D选项，函数开口向上，对称轴为， 所以在上递减，在上递增，故也在上递增，符合题意. 故选：D. 题型六 已知单调性求参数取值范围 【典例1】（2025高三·河北·专题练习）若函数为上的减函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一次函数的单调性得到，再由二次不等式的解法，即可得解. 【详解】函数为上的减函数， 则，解得， 故选：C. 【典例2】（2025高三·全国·专题练习）若函数是上的减函数，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合二次函数的单调性，即可求解. 【详解】因为函数是上的减函数， 又函数图像开口向上，对称轴为， 所以，解得， 所以的取值范围为. 故选：A. 【典例3】（20-21高三上·广东东莞·期中）已知函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则m的值是（　　） A．8 B． C．16 D． 【答案】C 【分析】利用二次函数对称轴公式可求 【详解】由题意知二次函数的对称轴方程为， ∴，解得.； 故选：C. 解｜题｜技｜巧 已知单调性求参数范围 利用一次函数、二次函数等单调性来求解． 【变式1】（24-25高三下·陕西·对口/高职单招）若函数在上是增函数， 则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025高三·全国·专题练习）若函数在上是增函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 答案 1.【答案】A 【分析】根据一次函数的单调性即可求解. 【详解】因为函数在上是增函数， 所以. 故选：A. 2. 【答案】C 【分析】根据二次函数的单调性求解即可. 【详解】函数开口向上，对称轴为. 因为函数在上是增函数，所以，解得，则的取值范围是. 故选：C. 题型七 函数的奇偶性 【典例1】（23-24高一下·四川成都·阶段练习）判断下列函数的奇偶性． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)非奇非偶函数 (2)奇函数 (3)非奇非偶函数 (4)奇函数 【分析】根据函数奇偶性的定义判断. 【详解】（1）因为的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以，且， 所以函数是非奇非偶函数； （2）因为的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以是奇函数； （3）因为的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以，且， 所以函数是非奇非偶函数； （4）因为的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以是奇函数. 【典例2】（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）函数是偶函数，则a的值是（    ） A．0 B．2 C．4 D．0.5 【答案】B 【分析】根据偶函数的性质来求解的值. 【详解】因为二次函数是偶函数， 所以， 即， 即，解得. 故选：B. 解｜题｜技｜巧 1．定义法（基础方法） 直接计算f(−x)，与)f(x) 比较。 步骤： 1.求定义域，验证对称性 2.计算f(−x) 3.比较： 若 f(−x)=f(x) ⇒ 偶函数 若 f(−x)=−f(x) ⇒ 奇函数 若均不成立 ⇒ 非奇非偶 若均成立 ⇒ 既奇又偶（仅零函数） 图象法 2．观察函数图象的对称性： 关于y轴对称 ⇒ 偶函数 关于原点对称 ⇒ 奇函数 适用：已知图象或易画图象的函数 3．性质法（运算规则） 利用已知奇偶函数的运算性质： 记忆口诀： 加减法：同奇偶可合并，异奇偶则非 乘法/除法：同偶异奇（同号为偶，异号为奇） 【变式1】（23-24高一上·云南昆明·期末）判断下列函数的奇偶性 (1)； (2) 【变式2】（24-25高一上·全国·课堂例题）若一次函数为奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D． 答案 1.【答案】(1)偶函数 (2)奇函数 【分析】根据奇偶性的定义即可求解. 【详解】（1）由题意得，函数的定义域为，又， 所以函数是偶函数. （2）由题意得，函数的定义域为，又， 所以函数是奇函数. 2. 【答案】B 【分析】根据一次函数的图象和性质可求解. 【详解】因为一次函数是奇函数， 所以函数过原点，即：． 故选：B 题型八 函数的单调性与奇偶性综合问题 【典例1】（19-20高三下·山西太原·三模）下列函数中是偶函数且在上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由常见的基本初等函数的单调性，奇偶性判断即可. 【详解】A选项，二次函数是非奇非偶函数，在上是减函数，在上是增函数，故A错误； B选项，函数是偶函数，在上是增函数，在上是减函数，故B正确； C选项，指数函数是非奇非偶函数，故C错误； D选项，函数是奇函数，故D错误. 故选：B. 【典例2】（2024高三·专题练习）若函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则满足不等式的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合抽象函数的奇偶性，单调性和，画出简图，求解即可． 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减，， 所以在上单调递减，且， 作出简图，如图所示，    当时，由得，即， 当时，由得，即， 当时，不合题意， 所以满足不等式的的取值范围是， 故选：C． 解｜题｜技｜巧 奇偶性与单调性结合 重要性质： 奇函数在对称区间上的单调性相同 偶函数在对称区间上的单调性相反 【变式1】（23-24高一上·江苏·期末）若偶函数在上单调增加，且，则的解集为（   ） A． B． C． D．或 【变式2】（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且在上是增函数，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 答案 1.【答案】B 【分析】由已知条件和偶函数的对称性，作出的大致图像，从而求解. 【详解】由于可知，函数经过点， 又函数在上单调增加， 根据偶函数图像的对称性，可作出函数的大致图像如下. 由图可得的解集为. 故选：B 2. 【答案】B 【分析】由在上是增函数可知，；又因函数是定义在上的奇函数，可得，从而可得结果. 【详解】因为在上是增函数， . 又函数是定义在上的奇函数， 所以， 故. 即. 故选：B 题型九 函数的应用 【典例1】（25-26高三上·四川·一模）某商场在春节期间举行促销特价大型活动，规定如下： ①若所购商品总价不超过500元，则不给予优惠； ②若所购商品总价超过500元但不超过1000元，其中500元按9折优惠，超过500元的部分给予8折优惠； ③若所购商品总价超过1000元，其1000元内（含1000元）的部分按第（2）条给予优惠，超过1000元的部分给予6折优惠. (1)写出节省钱数（元）与所购商品的总价（元）的函数关系式； (2)若某客户来该商场购买商品时优惠了402元，则该客户购买商品总价按标价应付多少元？ 【答案】(1) (2)1630元 【分析】（1）根据商场不同的促销规定，分情况讨论所购商品总价x的范围，进而得出节省钱数y与所购商品总价x的函数关系式； （2）先判断优惠402元时商品总价所在的区间，再代入相应的函数关系式求解． 【详解】（1）当时，； 当时，； 当时，， 所以. （2）当，不合题意； 当时，，不合题意； 所以，此时， 令，解得， ∴该客户购买商品总价按标价应付1630元. 【典例2】（2025高三·全国·专题练习）园林工人计划使用的栅栏材料，在靠墙的位置围出一块长方形的花圃（如图），设与墙平行的栅栏的长度为，花圃面积为． (1)试写出与的函数关系，并求出定义域； (2)要求不小于，试确定的范围； (3)当取何值时，最大． 【答案】(1)，定义域为. (2). (3)时，面积最大. 【分析】（）根据题意列出函数解析式即可得解. （）根据题意列出一元二次不等式即可得解. （）根据题意结合二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）由题意可知，栅栏材料为， 设与墙平行的栅栏的长度为，则与墙垂直的栅栏的长度为， 则， 因为，解得， 所以，定义域为. （2）由题意可知，， 解得， 所以的取值范围为. （3），定义域为， 图像为开口下的抛物线，对称轴为， 所以当时，面积最大. 解｜题｜技｜巧 数学建模一般步骤 审题：理解实际问题，明确已知量和未知量 设变量：确定自变量和因变量，设出未知数 建立函数模型：根据数量关系或几何关系列出函数解析式 求解模型：利用函数性质求解问题（如求最值、求特定函数值等） 回归实际：将数学解转化为实际问题的答案，并检验合理性 【变式1】（2025高三·河北·专题练习）某考生计划步行前往考场，出发走了，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车又经过提前赶到了考场，设出租车的平均速度为. (1)写出考生经过的路程与时间的函数关系； (2)作出函数图像； (3)求考生出行时所经过的路程. 【变式2】（25-26高三上·广西南宁·一模）某商店购进了一批成本为4元/本的笔记本．当每本笔记本售价为元时，平均每周能售出本，为了扩大销售量，减少库存，商店决定降价促销，调查发现，笔记本售价每降价1元，该商店平均每周可多售出本． (1)设售价降低了x元，用含x的代数式表示降价后每周可售出笔记本的数量； (2)商家要想平均每周盈利元，每本笔记本应该降价多少元？ (3)商家要想获得最大收益，每本笔记本应该降价多少元？最大收益是多少元？ 答案 1. 【答案】(1) (2)作图见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，结合分段函数求解析式，及分段函数的应用，即可求解； （2）根据题意，结合一次函数图像的做法，分别作出和两个范围内的图像，即可求解； （3）根据题意，结合函数解析式，将代入，即可求解. 【详解】（1）因为考生步行的速度为，故步行时的路程为； 改乘出租车后为； 故考生经过的路程与时间的函数关系为； （2）当时，，取点，即可作出此范围的函数图像如图所示； 当时，，取点，即可作出此范围的函数的图像，如图所示；      （3）由于， 故考生出行所经过的路程为. 2. 【答案】(1)本 (2)3元 (3)当售价降价2元时，商家获得收益最大，最大收益是元 【分析】（1）根据题意列代数式即可. （2）设每本纪念册应降价y元，根据题意列方程得，最后解方程即可. （3）设每本纪念册应降价z元，商家获得收益最大为W元，再根据题意建立二次函数模型，最后由二次函数的顶点式求最值即可. 【详解】（1）已知平均每周能售出本， 每降价1元，该商店平均每周可多售出本， 所以当售价降低了x元，每周可售出纪念册本. （2）设每本纪念册应降价y元，商家平均每周盈利元， 已知成本为4元，售价为元，每本盈利元， 根据题意得，， 整理得，， 解得，，， 因为商店扩大销售量，减少库存， 所以应舍去， 所以，即每本纪念册应降价3元. （3）设每本纪念册应降价z元，商家获得收益最大为W元， 已知成本为4元，售价为元，每本盈利元， 根据题意，得 ， 所以，当售价降价2元时，商家获得收益最大，最大收益是元. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！31 / 34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $