期末图形与几何专项04：综合·长方体和正方体中的四类典型问题-2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）苏教版

学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋] 期末图形与几何专项04：综合•长方体和正方体中的四类典型问题 昆日期： 日用时： 贝评价： 【第一部分】等积变形问题 1.有一个棱长4分米的正方体铁块熔铸成宽2.5分米，高1.6分米的长方体铁块，长方体铁块 的长是多少分米？ 2.用一根铁丝正好能焊接成一个棱长为8厘米的正方体，王叔叔打算用它焊接成一个长12 厘米、宽7厘米的长方体，这个长方体的高是多少厘米？（焊接损耗不计） 3.有一个正方体水箱，从里面量每边长4分米，如果把一满箱水倒入一个长8分米、宽4分 米的长方体水池内，水深多少分米？ 4.如图：A地的面积是24平方米，B地的面积是16平方米，A地比B地高5米。把A地的 土运到B地上面，使A,B两地同样高，这样B地可升高多少米？ 5米 B 第1页共5页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 5.在底面边长为60厘米的正方形的一个长方体的容器里，直立着一个长1米，底面为正方形， 边长15厘米的四棱柱铁棍。这时容器里的水半米深。现在把铁棍轻轻地向正上方提起24厘米， 露出水面的四棱柱切棍浸湿部分长多少厘米？ 【第二部分】排水法求体积问题 6.如图。如果长方体水箱的底面积是16平方分米，那么石块的体积是多少立方分米？ 放入石块后 2.8dm 3.5dm 7.一个长方体玻璃缸，底面是正方形且边长为3分米，里面装了半缸水，水里浸没着一个小 铁球，取出小铁球，水面下降了15厘米。这个铁球的体积是多少？ 8.一个长方体鱼缸里面放着几条观赏鱼、一些石子和植物。从内部测量，长8分米，宽5分 米，整个水面高度为5分米。将鱼、石子和植物全部取出后，水面高度变为3分米。这些鱼、 石子和植物占据了鱼缸多大的空间？ 9.一个长8分米、宽7分米、高5分米的水缸，水深38厘米。如果放入一块棱长为5分米的 正方体铁块，缸里的水溢出多少升？ 第2页共5页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 10.一个长3分米、宽2分米、高5分米的长方体水缸中有18升水，将一个正方体铁块全部 浸入水中，这时水面高度是3.8分米，那么水面上升了多少分米？ 【第三部分】切拼问题（表面积增减变化问题） 11.如图是一块长方体铸铁。（单位：厘米) (1)计算铸铁的体积。 (2)如果在这铸铁的上面正中间位置挖去一个棱长3厘米的小正方体，铸铁表面积增加多少 平方厘米？ 10 12.把一个正方体的6个面都涂上红色，然后把它锯两次，锯成4个同样的小长方体，如果没 有涂色的面积和是60平方厘米，涂色的面积和是多少平方厘米？ 13.数学课上，四名同学观察并测量了一个长方体。 小贺说：“如果高再增加3分米，它恰好是一个正方体。” 小花说：这个长方体的棱长总和是60分米。” 小叶说：“长方体的前、后、左、右四个面的面积之和是36平方分米。 小芳说：“长方体的底面周长是24分米。” 这四名同学测量的数据有一个是错的。 ()的测量数据是错的，请计算说明。 第3页共5页 品学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 14.贝贝用三个完全一样的小正方体拼成一个长方体（如下图)。拼成之后，梭长之和减少了 160厘米。原来每个小正方体的体积是多少立方厘米？ 15.想一想、画一画、算一算。 下面有两个相同的长方体教具，请你把这两个长方体教具拼成一个大长方体。 3cm 3cm 4cm 4cm 5cm 5cm (1)想一想，都可以怎么拼，请你画出表面积最大和表面积最小的两种拼法的草图。（或者 能用语言描述出拼成表面积最大的长方体的长宽高和表面积最小的长方体的长宽高也可以) (2)分别计算：拼出的大小两个长方体的表面积各是多少平方厘米？ 【第四部分】剪角折叠求体积问题 16.一块长方形铁板，长30厘米，宽25厘米，在它的4个角分别剪去一个边长为5厘米的小 正方形（如图所示），然后做成一个无盖水箱。这个水箱的容积是多少毫升？（铁板厚度忽略 不计) 25cm 30cm 第4页共5页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 17.要在一个边长是9分米的正方形铁皮的四个角上分别剪去一个正方形，随后将它焊接成一 个无盖的正方体盒子，想一想，这个正方体盒子的表面积和体积分别是多少？ 18.一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，在它的4个角各剪去一个边长为5厘米的小正 方形，加工成一个无盖的铁皮水箱，这个水箱的容积是多少毫升？ 19.一块长方形铁皮长50厘米，宽40厘米。现在要从这张铁皮的四角上各剪去一个边长10 厘米的正方形，制成一个无盖铁盒。如果焊接处和铁皮厚度忽略不计，这个长方体铁盒的容积 是多少升？表面积是多少平方厘米？ 10cm 40cm 50cm 20.学校组织五年级学生参加创意收纳盒手工制作比赛。张芳准备用一张长30厘米、宽24 厘米的长方形硬纸板，在四个角各剪去一个边长为5厘米的正方形，然后折成无盖长方体收纳 盒。 问题： (1)这个收纳盒的容积是多少立方厘米？（纸板厚度忽略不计） (2)如果要在收纳盒的内外表面都贴上装饰贴纸，贴纸的总面积至少是多少平方厘米？ 第5页共5页品学科网 www.zX×k.Com 让教与学更高效 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋] 期末图形与几何专项04：综合•长方体和正方体中的四类典型问题 昆日期： 日用时： 食评价： 【第一部分】等积变形问题 1.有一个棱长4分米的正方体铁块熔铸成宽2.5分米，高1.6分米的长方体铁块，长方体铁块 的长是多少分米？ 【答案】16分米 【分析】根据正方体的体积=棱长×棱长×棱长得出正方体的体积为64立方分米，就是熔铸后的 长方体铁块的体积，根据长方体的体积公式可得：长方体的长=体积：宽÷高，由此代入数据 即可计算得出正确答案。 【详解】4×4×4=64（立方分米) 64÷2.5÷1.6=16（分米) 答：长方体铁块的长是16分米。 2.用一根铁丝正好能焊接成一个棱长为8厘米的正方体，王叔叔打算用它焊接成一个长12 厘米、宽7厘米的长方体，这个长方体的高是多少厘米？（焊接损耗不计） 【答案】5厘米 【分析】根据正方体棱长总和公式：棱长总和=棱长×12，代入数据，求出正方体的棱长总和： 由于正方体棱长总和等于长方体棱长总和：根据长方体棱长总和公式：棱长总和=（长十宽十 高)×4，高=棱长总和÷4一长一宽，代入数据，即可解答。 【详解】8×12÷4-12-7 =96÷4一12一7 =24-12-7 =12-7 =5(厘米) 答：这个长方体的高是5厘米。 3.有一个正方体水箱，从里面量每边长4分米，如果把一满箱水倒入一个长8分米、宽4分 米的长方体水池内，水深多少分米？ 第1页共13页 画学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【答案】2分米 【分析】根据正方体体积=棱长×棱长×棱长，求出正方体水箱容积，求水池内水深相当于求 长方体的高，再根据长方体体积公式，长方体的高=体积÷长÷宽，列式解答即可。 【详解】4×4×4÷8÷4 =64÷8÷4 =2(分米) 答：水深2分米。 4.如图：A地的面积是24平方米，B地的面积是16平方米，A地比B地高5米。把A地的 土运到B地上面，使A,B两地同样高，这样B地可升高多少米？ 5米 B 【答案】3米 【分析】根据题意可知，面积为24平方米，高为5米的长方体土堆的土，铺到面积为(24+ 16)平方米地方，铺土的厚度就是B地可升高的高度，据此即可解答。 【详解】24×5÷（24+16) =120÷40 =3(米) 答：这样B地可升高3米。 5.在底面边长为60厘米的正方形的一个长方体的容器里，直立着一个长1米，底面为正方形， 边长15厘米的四棱柱铁棍。这时容器里的水半米深。现在把铁棍轻轻地向正上方提起24厘米， 露出水面的四棱柱切棍浸湿部分长多少厘米？ 【答案】25.6厘米 【分析】根据这时容器里的水半米深”，可知原来铁棍被水浸湿的部分是在50厘米处，后来 将铁棍提起24厘米，就会露出浸湿的24厘米，同时将铁棍提起，水位肯定是要下降的，据此 只要把水位下降的高度求出来（用长、宽都是15厘米，高是24厘米铁块的体积除以容器的底 面积)，注意容器的底面积=容器的底面积一铁棍的底面积。进而加上提起的24厘米，即为 露出水面的铁棍上被水浸湿的那部分的长度。 【详解】半米=50厘米 第2页共13页 画学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 15×15×24÷(60×60-15×15) =5400:(3600-125) =5400÷3375 =1.6(厘米) 24+1.6=25.6(厘米) 答：露出水面的铁棍上被水浸湿的部分长25.6厘米。 【第二部分】排水法求体积问题 6.如图。如果长方体水箱的底面积是16平方分米，那么石块的体积是多少立方分米？ 放入石块后 2.8dm 3.5dm 【答案】11.2立方分米 【分析】据题意可知，石块的体积等于上升的水的体积，用水箱的底面积乘上升的水的高度， 即可得解。 【详解】16x(3.5-2.8) =16×0.7 =11.2(立方分米) 答：石块的体积是11.2立方分米。 7.一个长方体玻璃缸，底面是正方形且边长为3分米，里面装了半缸水，水里浸没着一个小 铁球，取出小铁球，水面下降了15厘米。这个铁球的体积是多少？ 【答案】13.5立方分米 【分析】已知长方体玻璃缸的底面是正方形，根据正方形的面积=边长×边长，求出长方体的 底面积： 长方体玻璃缸的水里浸没着一个小铁球，取出小铁球，水面下降了5厘米，那么水面下降部 分的体积等于小铁球的体积，根据长方体的体积公式V=Sh,即可求出这个铁球的体积。注意 单位的换算：1分米=10厘米。 【详解】15厘米=1.5分米 3×3×1.5 第3页共13页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 =9×15 =13.5(立方分米) 答：这个铁球的体积是13.5立方分米。 8.一个长方体鱼缸里面放着几条观赏鱼、一些石子和植物。从内部测量，长8分米，宽5分 米，整个水面高度为5分米。将鱼、石子和植物全部取出后，水面高度变为3分米。这些鱼、 石子和植物占据了鱼缸多大的空间？ 【答案】80立方分米 【分析】水面下降的体积就是鱼、石子和植物的体积，根据长方体体积公式，长方体鱼缸的长 ×宽×水面下降的高度=鱼、石子和植物的体积，据此列式解答。 【详解】8×5×(5-3) =40×2 =80(立方分米) 答：这些鱼、石子和植物占据了鱼缸80立方分米的空间。 9.一个长8分米、宽7分米、高5分米的水缸，水深38厘米。如果放入一块棱长为5分米的 正方体铁块，缸里的水溢出多少升？ 【答案】57.8升 【分析】已知长方体水缸长8分米、宽7分米、高5分米，水深38厘米即3.8分米，则缸内 无水部分高(5一3.8)分米，根据长方体的体积（容积）公式V=abh,求出无水部分的容积： 如果放入一块棱长为5分米的正方体铁块，根据正方体的体积公式V=a,求出铁块的体积； 然后用铁块的体积减去无水部分的容积，即是缸里的水溢出的体积。 注意单位的换算：1分米=10厘米，1立方分米=1升。 【详解】38厘米=3.8分米 水缸里无水部分的容积： 8×7×(5-3.8) =8×7×1.2 =67.2(立方分米) 铁块的体积：5×5×5=125（立方分米) 水溢出的体积：125-67.2=57.8（立方分米） 57.8立方分米=57.8升 第4页共13页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 答：缸里的水溢出57.8升。 10.一个长3分米、宽2分米、高5分米的长方体水缸中有18升水，将一个正方体铁块全部 浸入水中，这时水面高度是3.8分米，那么水面上升了多少分米？ 【答案】0.8分米 【分析】先根据进率1升=1立方分米将18升换算成18立方分米：再根据长方体的高=体 积÷长÷宽，求出原有水在这个水缸中的高度； 将一个正方体铁块全部浸入水中，水面会升高，用这时水面的高度减去原有水的高度，即是水 面上升的高度。 【详解】18升=18立方分米 18÷3÷2 =6÷2 =3(分米) 3.8-3=0.8(分米) 答：水面上升了0.8分米。 【第三部分】切拼问题（表面积增减变化问题） 11.如图是一块长方体铸铁。（单位：厘米） (1)计算铸铁的体积。 (2)如果在这铸铁的上面正中间位置挖去一个棱长3厘米的小正方体，铸铁表面积增加多少 平方厘米？ 10 【答案】(1)240立方厘米；(2)36平方厘米 【分析】(1)根据长方体的体积公式：V=长×宽×高，把数据代入公式解答。 (2)根据表面积的意义可知，从这个长方体的上面的正中间挖去一个棱长是3厘米的小正方 体，铸铁的表面积增加小正方体的4个面的面积，根据正方形的面积公式：S=a,把数据代 入公式解答。 【详解】(1)10×4×6=240（立方厘米） 答：铸铁的体积是240立方厘米。 第5页共13页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (2)3×3×4 =9×4 =36(平方厘米) 答：铸铁的表面积增加36平方厘米。 12.把一个正方体的6个面都涂上红色，然后把它锯两次，锯成4个同样的小长方体，如果没 有涂色的面积和是60平方厘米，涂色的面积和是多少平方厘米？ 【答案】90平方厘米 【分析】据观察分析可知，锯一次会多出2个正方形，锯两次就会多出4个正方形，多出的正 方形的面积就是没有色的面积，可用没有涂色的面积除以4，得到每个正方形的面积，再乘6， 即可得解。 【详解】60÷4×6 =15×6 =90(平方厘米) 答：涂色的面积和是90平方厘米。 13.数学课上，四名同学观察并测量了一个长方体。 小贺说：“如果高再增加3分米，它恰好是一个正方体。” 小花说：这个长方体的棱长总和是60分米。” 小叶说：长方体的前、后、左、右四个面的面积之和是36平方分米。 小芳说：长方体的底面周长是24分米。 这四名同学测量的数据有一个是错的。 ()的测量数据是错的，请计算说明。 【答案】小叶；说明见详解 【分析】根据小贺说：如果高再增加3分米，它恰好是一个正方体。”说明这个长方体的上下 两个面是正方形，结合小芳说：“长方体的底面周长是24分米。可得长方体的长和宽就是底 面周长÷4，高=长一3，由此根据长方体棱长总和=（长+宽+高）×4，可以计算这个长方体 棱长总和，长方体的前、后、左、右四个面的面积之和=长×高×2十宽×高×2，根据以上计算 的数据，可以发现谁说的是正确的谁说的是错误的。 第6页共13页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【详解】长、宽：24÷4=6（分米) 高：6-3=3（分米） 棱长总和：(6+6+3)×4 =15×4 =60(分米) 长方体的前、后、左、右四个面的面积之和：6×3×2+6×3×2 =36+36 =72(平方分米) 除了小叶，其余三个人说法可以互相成立，所以小叶的测量数据是错的。 14.贝贝用三个完全一样的小正方体拼成一个长方体（如下图）。拼成之后，梭长之和减少了 160厘米。原来每个小正方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】 1000立方厘米 【分析】由题意可知，三个完全一样的小正方体拼成一个长方体，减少了4个面，即4×4条棱 长，已知拼成之后，梭长之和减少了160cm,即160cm是16条棱长的和，用除法计算出每条 棱长的长度，再根据正方体的体积=棱长×棱长×棱长，代入数据，即可得解。 【详解】160÷(4×4) =160÷16 =10(厘米) 10×10×10 =100x10 =1000(立方厘米) 答：原来每个小正方体的体积是1000立方厘米。 15.想一想、画一画、算一算。 下面有两个相同的长方体教具，请你把这两个长方体教具拼成一个大长方体。 3cm 3cm 4cm 4cm 5cm 5cm 第7页共13页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (1)想一想，都可以怎么拼，请你画出表面积最大和表面积最小的两种拼法的草图。（或者 能用语言描述出拼成表面积最大的长方体的长宽高和表面积最小的长方体的长宽高也可以) (2)分别计算：拼出的大小两个长方体的表面积各是多少平方厘米？ 【答案】(1)见详解 (2)最大164平方厘米；最小148平方厘米 【分析】(1)将长、宽分别为4cm,3cm的长方形拼接在一起时，拼成的长方体的表面积最 大：将长、宽分别为5c、4cm的长方形拼接在一起时，拼成的长方体的表面积最小，据此作 图。 (2)得到的表面积最大的长方体的长是(5+5)cm,宽是4cm,高是3cm:表面积是小的长方 体的长是5cm,宽是4cm,高是(3+3)cm。根据长方体的表面积公式：S=(ab+ah+bh)×2, 据此代入数值进行计算即可。 【详解】(1)将长、宽分别为4cm,3cm的长方形拼接在一起时，拼成的长方体的表面积最 大，如图： 3cm 3cm 4cm 5cm 5cm 将长、宽分别为5cm、4cm的长方形拼接在一起时，拼成的长方体的表面积最小，如图： 3cm 5cm 3cm 4cm 4cm 5cm (2)[(5+5)×4+(5+5)×3+4×3]×2 =[10×4+10×3+4×3]×2 =[40+30+12]×2 =82×2 =164(平方厘米) [5×4+5×(3+3)+4×(3+3)]×2 =[5×4+5×6+4×6]×2 =[20+30+24]×2 =74×2 第8页共13页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 =148(平方厘米) 答：表面积最大是164平方厘米，表面积最小是148平方厘米。 【第四部分】剪角折叠求体积问题 16.一块长方形铁板，长30厘米，宽25厘米，在它的4个角分别剪去一个边长为5厘米的小 正方形（如图所示），然后做成一个无盖水箱。这个水箱的容积是多少毫升？（铁板厚度忽略 不计) 25cm 30cm 【答案】1500毫升 【分析】先求出做成无盖水箱后的长、宽、高，再根据长方体容积公式V=abh(a为长，b为 宽，h为高)计算容积，据此解答。 【详解】计算水箱的长：原长方形铁板长30厘米，两个角各剪去一个边长5厘米的小正方形， 所以水箱的长为： 30-5×2 =30-10 =20(厘米) 计算水箱的宽：原长方形铁板宽25厘米，所以水箱的宽为： 25-5×2 =25-10 =15(厘米) 计算水箱的高：剪去的小正方形边长就是水箱的高，即5厘米。 计算水箱容积： 20×15×5 =300×5 =1500(立方厘米) 因为1立方厘米=1毫升，所以1500立方厘米=1500毫升。 第9页共13页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 答：这个水箱的容积是1500毫升。 17.要在一个边长是9分米的正方形铁皮的四个角上分别剪去一个正方形，随后将它焊接成一 个无盖的正方体盒子，想一想，这个正方体盒子的表面积和体积分别是多少？ 【答案】 表面积是45平方分米；体积是27立方分米 【分析】要在一个边长是9分米的正方形铁皮的四个角上分别剪去一个正方形，随后将它焊接 成一个无盖的正方体盒子，因为正方体的棱长相等，因此需要把9分米平均分成3份，即正方 体的棱长是9：3=3分米；因为该正方体盒子无盖，只有5个面，因此该正方体的表面积=棱 长×棱长×5：最后根据“正方体体积=棱长×棱长×棱长计算出该正方体的体积。 【详解】9：3=3（分米） 3×3×5 =9×5 =45（平方分米) 3×3×3 =9×3 =27（立方分米) 答：这个正方体盒子的表面积是45平方分米。这个正方体盒子的体积是27立方分米。 18.一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，在它的4个角各剪去一个边长为5厘米的小正 方形，加工成一个无盖的铁皮水箱，这个水箱的容积是多少毫升？ 【答案】1500毫升 【分析】先计算铁皮水箱的长，长为原长减去2个小正方形的边长，即40一5一5=30（厘米）： 再计算铁皮水箱的宽，宽为原宽减去2个小正方形的边长，即20一5一5=10（厘米）；高为5 厘米，最后根据公式：长方体的容积=长×宽×高，代入数据计算，即可求出这个水箱的容积， 据此解答。 【详解】40一5-一5=30（厘米） 20-5-5=10(厘米) 第10页共13页 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋」 期末图形与几何专项04：综合·长方体和正方体中的四类典型问题 【第一部分】等积变形问题 1．有一个棱长4分米的正方体铁块熔铸成宽2.5分米，高1.6分米的长方体铁块，长方体铁块的长是多少分米？ 2．用一根铁丝正好能焊接成一个棱长为8厘米的正方体，王叔叔打算用它焊接成一个长12厘米、宽7厘米的长方体，这个长方体的高是多少厘米？（焊接损耗不计） 3．有一个正方体水箱，从里面量每边长4分米，如果把一满箱水倒入一个长8分米、宽4分米的长方体水池内，水深多少分米？ 4．如图：A地的面积是24平方米，B地的面积是16平方米，A地比B地高5米。把A地的土运到B地上面，使A，B两地同样高，这样B地可升高多少米？ 5．在底面边长为60厘米的正方形的一个长方体的容器里，直立着一个长1米，底面为正方形，边长15厘米的四棱柱铁棍。这时容器里的水半米深。现在把铁棍轻轻地向正上方提起24厘米，露出水面的四棱柱切棍浸湿部分长多少厘米？ 【第二部分】排水法求体积问题 6．如图。如果长方体水箱的底面积是16平方分米，那么石块的体积是多少立方分米？ 7．一个长方体玻璃缸，底面是正方形且边长为3分米，里面装了半缸水，水里浸没着一个小铁球，取出小铁球，水面下降了15厘米。这个铁球的体积是多少？ 8．一个长方体鱼缸里面放着几条观赏鱼、一些石子和植物。从内部测量，长8分米，宽5分米，整个水面高度为5分米。将鱼、石子和植物全部取出后，水面高度变为3分米。这些鱼、石子和植物占据了鱼缸多大的空间？ 9．一个长8分米、宽7分米、高5分米的水缸，水深38厘米。如果放入一块棱长为5分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？ 10．一个长3分米、宽2分米、高5分米的长方体水缸中有18升水，将一个正方体铁块全部浸入水中，这时水面高度是3.8分米，那么水面上升了多少分米？ 【第三部分】切拼问题（表面积增减变化问题） 11．如图是一块长方体铸铁。（单位：厘米） （1）计算铸铁的体积。 （2）如果在这铸铁的上面正中间位置挖去一个棱长3厘米的小正方体，铸铁表面积增加多少平方厘米？ 12．把一个正方体的6个面都涂上红色，然后把它锯两次，锯成4个同样的小长方体，如果没有涂色的面积和是60平方厘米，涂色的面积和是多少平方厘米？ 13．数学课上，四名同学观察并测量了一个长方体。 小贺说：“如果高再增加3分米，它恰好是一个正方体。” 小花说：“这个长方体的棱长总和是60分米。” 小叶说：“长方体的前、后、左、右四个面的面积之和是36平方分米。 小芳说：“长方体的底面周长是24分米。” 这四名同学测量的数据有一个是错的。 （    ）的测量数据是错的，请计算说明。 14．贝贝用三个完全一样的小正方体拼成一个长方体（如下图）。拼成之后，梭长之和减少了160厘米。原来每个小正方体的体积是多少立方厘米？ 15．想一想、画一画、算一算。 下面有两个相同的长方体教具，请你把这两个长方体教具拼成一个大长方体。 （1）想一想，都可以怎么拼，请你画出表面积最大和表面积最小的两种拼法的草图。（或者能用语言描述出拼成表面积最大的长方体的长宽高和表面积最小的长方体的长宽高也可以） （2）分别计算：拼出的大小两个长方体的表面积各是多少平方厘米？ 【第四部分】剪角折叠求体积问题 16．一块长方形铁板，长30厘米，宽25厘米，在它的4个角分别剪去一个边长为5厘米的小正方形（如图所示），然后做成一个无盖水箱。这个水箱的容积是多少毫升？（铁板厚度忽略不计） 17．要在一个边长是9分米的正方形铁皮的四个角上分别剪去一个正方形，随后将它焊接成一个无盖的正方体盒子，想一想，这个正方体盒子的表面积和体积分别是多少？ 18．一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，在它的4个角各剪去一个边长为5厘米的小正方形，加工成一个无盖的铁皮水箱，这个水箱的容积是多少毫升？ 19．一块长方形铁皮长50厘米，宽40厘米。现在要从这张铁皮的四角上各剪去一个边长10厘米的正方形，制成一个无盖铁盒。如果焊接处和铁皮厚度忽略不计，这个长方体铁盒的容积是多少升？表面积是多少平方厘米？ 20．学校组织五年级学生参加“创意收纳盒”手工制作比赛。张芳准备用一张长30厘米、宽24厘米的长方形硬纸板，在四个角各剪去一个边长为5厘米的正方形，然后折成无盖长方体收纳盒。 问题： （1）这个收纳盒的容积是多少立方厘米？（纸板厚度忽略不计） （2）如果要在收纳盒的内外表面都贴上装饰贴纸，贴纸的总面积至少是多少平方厘米？ 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋」 期末图形与几何专项04：综合·长方体和正方体中的四类典型问题 【第一部分】等积变形问题 1．有一个棱长4分米的正方体铁块熔铸成宽2.5分米，高1.6分米的长方体铁块，长方体铁块的长是多少分米？ 【答案】16分米 【分析】根据得出正方体的体积为64立方分米，就是熔铸后的长方体铁块的体积，根据长方体的体积公式可得：长方体的长＝体积÷宽÷高，由此代入数据即可计算得出正确答案。 【详解】4×4×4＝64（立方分米） 64÷2.5÷1.6＝16（分米） 答：长方体铁块的长是16分米。 2．用一根铁丝正好能焊接成一个棱长为8厘米的正方体，王叔叔打算用它焊接成一个长12厘米、宽7厘米的长方体，这个长方体的高是多少厘米？（焊接损耗不计） 【答案】5厘米 【分析】根据正方体棱长总和公式：棱长总和＝棱长×12，代入数据，求出正方体的棱长总和；由于正方体棱长总和等于长方体棱长总和；根据长方体棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，高＝棱长总和÷4－长－宽，代入数据，即可解答。 【详解】8×12÷4－12－7 ＝96÷4－12－7 ＝24－12－7 ＝12－7 ＝5（厘米） 答：这个长方体的高是5厘米。 3．有一个正方体水箱，从里面量每边长4分米，如果把一满箱水倒入一个长8分米、宽4分米的长方体水池内，水深多少分米？ 【答案】2分米 【分析】根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出正方体水箱容积，求水池内水深相当于求长方体的高，再根据长方体体积公式，长方体的高＝体积÷长÷宽，列式解答即可。 【详解】4×4×4÷8÷4 ＝64÷8÷4 ＝2（分米） 答：水深2分米。 4．如图：A地的面积是24平方米，B地的面积是16平方米，A地比B地高5米。把A地的土运到B地上面，使A，B两地同样高，这样B地可升高多少米？ 【答案】3米 【分析】根据题意可知，面积为24平方米，高为5米的长方体土堆的土，铺到面积为（24＋16）平方米地方，铺土的厚度就是B地可升高的高度，据此即可解答。 【详解】24×5÷（24＋16） ＝120÷40 ＝3（米） 答：这样B地可升高3米。 5．在底面边长为60厘米的正方形的一个长方体的容器里，直立着一个长1米，底面为正方形，边长15厘米的四棱柱铁棍。这时容器里的水半米深。现在把铁棍轻轻地向正上方提起24厘米，露出水面的四棱柱切棍浸湿部分长多少厘米？ 【答案】25.6厘米 【分析】根据“这时容器里的水半米深”，可知原来铁棍被水浸湿的部分是在50厘米处，后来将铁棍提起24厘米，就会露出浸湿的24厘米，同时将铁棍提起，水位肯定是要下降的，据此只要把水位下降的高度求出来（用长、宽都是15厘米，高是24厘米铁块的体积除以容器的底面积），注意容器的底面积＝容器的底面积－铁棍的底面积。进而加上提起的24厘米，即为露出水面的铁棍上被水浸湿的那部分的长度。 【详解】半米＝50厘米 15×15×24÷（60×60－15×15） ＝5400÷（3600－125） ＝5400÷3375 ＝1.6（厘米） 24＋1.6＝25.6（厘米） 答：露出水面的铁棍上被水浸湿的部分长25.6厘米。 【第二部分】排水法求体积问题 6．如图。如果长方体水箱的底面积是16平方分米，那么石块的体积是多少立方分米？ 【答案】11.2立方分米 【分析】据题意可知，石块的体积等于上升的水的体积，用水箱的底面积乘上升的水的高度，即可得解。 【详解】 （立方分米） 答：石块的体积是11.2立方分米。 7．一个长方体玻璃缸，底面是正方形且边长为3分米，里面装了半缸水，水里浸没着一个小铁球，取出小铁球，水面下降了15厘米。这个铁球的体积是多少？ 【答案】13.5立方分米 【分析】已知长方体玻璃缸的底面是正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，求出长方体的底面积； 长方体玻璃缸的水里浸没着一个小铁球，取出小铁球，水面下降了15厘米，那么水面下降部分的体积等于小铁球的体积，根据长方体的体积公式V＝Sh，即可求出这个铁球的体积。注意单位的换算：1分米＝10厘米。 【详解】15厘米＝1.5分米 3×3×1.5 ＝9×15 ＝13.5（立方分米） 答：这个铁球的体积是13.5立方分米。 8．一个长方体鱼缸里面放着几条观赏鱼、一些石子和植物。从内部测量，长8分米，宽5分米，整个水面高度为5分米。将鱼、石子和植物全部取出后，水面高度变为3分米。这些鱼、石子和植物占据了鱼缸多大的空间？ 【答案】80立方分米 【分析】水面下降的体积就是鱼、石子和植物的体积，根据长方体体积公式，长方体鱼缸的长×宽×水面下降的高度＝鱼、石子和植物的体积，据此列式解答。 【详解】8×5×（5－3） ＝40×2 ＝80（立方分米） 答：这些鱼、石子和植物占据了鱼缸80立方分米的空间。 9．一个长8分米、宽7分米、高5分米的水缸，水深38厘米。如果放入一块棱长为5分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？ 【答案】57.8升 【分析】已知长方体水缸长8分米、宽7分米、高5分米，水深38厘米即3.8分米，则缸内无水部分高（5－3.8）分米，根据长方体的体积（容积）公式V＝abh，求出无水部分的容积； 如果放入一块棱长为5分米的正方体铁块，根据正方体的体积公式V＝a3，求出铁块的体积； 然后用铁块的体积减去无水部分的容积，即是缸里的水溢出的体积。 注意单位的换算：1分米＝10厘米，1立方分米＝1升。 【详解】38厘米＝3.8分米 水缸里无水部分的容积： 8×7×（5－3.8） ＝8×7×1.2 ＝67.2（立方分米） 铁块的体积：5×5×5＝125（立方分米） 水溢出的体积：125－67.2＝57.8（立方分米） 57.8立方分米＝57.8升 答：缸里的水溢出57.8升。 10．一个长3分米、宽2分米、高5分米的长方体水缸中有18升水，将一个正方体铁块全部浸入水中，这时水面高度是3.8分米，那么水面上升了多少分米？ 【答案】0.8分米 【分析】先根据进率“1升＝1立方分米”将18升换算成18立方分米；再根据长方体的高＝体积÷长÷宽，求出原有水在这个水缸中的高度； 将一个正方体铁块全部浸入水中，水面会升高，用这时水面的高度减去原有水的高度，即是水面上升的高度。 【详解】18升＝18立方分米 18÷3÷2 ＝6÷2 ＝3（分米） 3.8－3＝0.8（分米） 答：水面上升了0.8分米。 【第三部分】切拼问题（表面积增减变化问题） 11．如图是一块长方体铸铁。（单位：厘米） （1）计算铸铁的体积。 （2）如果在这铸铁的上面正中间位置挖去一个棱长3厘米的小正方体，铸铁表面积增加多少平方厘米？ 【答案】（1）240立方厘米；（2）36平方厘米 【分析】（1）根据长方体的体积公式：V＝长×宽×高，把数据代入公式解答。 （2）根据表面积的意义可知，从这个长方体的上面的正中间挖去一个棱长是3厘米的小正方体，铸铁的表面积增加小正方体的4个面的面积，根据正方形的面积公式：S＝a2，把数据代入公式解答。 【详解】（1）10×4×6＝240（立方厘米） 答：铸铁的体积是240立方厘米。 （2）3×3×4 ＝9×4 ＝36（平方厘米） 答：铸铁的表面积增加36平方厘米。 12．把一个正方体的6个面都涂上红色，然后把它锯两次，锯成4个同样的小长方体，如果没有涂色的面积和是60平方厘米，涂色的面积和是多少平方厘米？ 【答案】90平方厘米 【分析】据观察分析可知，锯一次会多出2个正方形，锯两次就会多出4个正方形，多出的正方形的面积就是没有色的面积，可用没有涂色的面积除以4，得到每个正方形的面积，再乘6，即可得解。 【详解】 （平方厘米） 答：涂色的面积和是90平方厘米。 13．数学课上，四名同学观察并测量了一个长方体。 小贺说：“如果高再增加3分米，它恰好是一个正方体。” 小花说：“这个长方体的棱长总和是60分米。” 小叶说：“长方体的前、后、左、右四个面的面积之和是36平方分米。 小芳说：“长方体的底面周长是24分米。” 这四名同学测量的数据有一个是错的。 （    ）的测量数据是错的，请计算说明。 【答案】小叶；说明见详解 【分析】根据小贺说：“如果高再增加3分米，它恰好是一个正方体。”说明这个长方体的上下两个面是正方形，结合小芳说：“长方体的底面周长是24分米。”可得长方体的长和宽就是底面周长÷4，高＝长－3，由此根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，可以计算这个长方体棱长总和，长方体的前、后、左、右四个面的面积之和＝长×高×2＋宽×高×2，根据以上计算的数据，可以发现谁说的是正确的谁说的是错误的。 【详解】长、宽：24÷4＝6（分米） 高：6－3＝3（分米） 棱长总和：（6＋6＋3）×4 ＝15×4 ＝60（分米） 长方体的前、后、左、右四个面的面积之和：6×3×2＋6×3×2 ＝36＋36 ＝72（平方分米） 除了小叶，其余三个人说法可以互相成立，所以小叶的测量数据是错的。 14．贝贝用三个完全一样的小正方体拼成一个长方体（如下图）。拼成之后，梭长之和减少了160厘米。原来每个小正方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】 1000立方厘米 【分析】由题意可知，三个完全一样的小正方体拼成一个长方体，减少了4个面，即条棱长，已知拼成之后，梭长之和减少了160cm，即160cm是16条棱长的和，用除法计算出每条棱长的长度，再根据，代入数据，即可得解。 【详解】 （厘米） （立方厘米） 答：原来每个小正方体的体积是1000立方厘米。 15．想一想、画一画、算一算。 下面有两个相同的长方体教具，请你把这两个长方体教具拼成一个大长方体。 （1）想一想，都可以怎么拼，请你画出表面积最大和表面积最小的两种拼法的草图。（或者能用语言描述出拼成表面积最大的长方体的长宽高和表面积最小的长方体的长宽高也可以） （2）分别计算：拼出的大小两个长方体的表面积各是多少平方厘米？ 【答案】（1）见详解 （2）最大164平方厘米；最小148平方厘米 【分析】（1）将长、宽分别为4cm，3cm的长方形拼接在一起时，拼成的长方体的表面积最大；将长、宽分别为5cm、4cm的长方形拼接在一起时，拼成的长方体的表面积最小，据此作图。 （2）得到的表面积最大的长方体的长是cm，宽是4cm，高是3cm；表面积是小的长方体的长是5cm，宽是4cm，高是cm。根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，据此代入数值进行计算即可。 【详解】（1）将长、宽分别为4cm，3cm的长方形拼接在一起时，拼成的长方体的表面积最大，如图： 将长、宽分别为5cm、4cm的长方形拼接在一起时，拼成的长方体的表面积最小，如图： （2）[（5＋5）×4＋（5＋5）×3＋4×3]×2 ＝[10×4＋10×3＋4×3]×2 ＝[40＋30＋12]×2 ＝82×2 ＝164（平方厘米） [5×4＋5×（3＋3）＋4×（3＋3）]×2 ＝[5×4＋5×6＋4×6]×2 ＝[20＋30＋24]×2 ＝74×2 ＝148（平方厘米） 答：表面积最大是164平方厘米，表面积最小是148平方厘米。 【第四部分】剪角折叠求体积问题 16．一块长方形铁板，长30厘米，宽25厘米，在它的4个角分别剪去一个边长为5厘米的小正方形（如图所示），然后做成一个无盖水箱。这个水箱的容积是多少毫升？（铁板厚度忽略不计） 【答案】1500毫升 【分析】先求出做成无盖水箱后的长、宽、高，再根据长方体容积公式V＝abh（a为长，b为宽，h为高）计算容积，据此解答。 【详解】计算水箱的长：原长方形铁板长30厘米，两个角各剪去一个边长5厘米的小正方形，所以水箱的长为： 30－5×2 ＝30－10 ＝20（厘米） 计算水箱的宽：原长方形铁板宽25厘米，所以水箱的宽为： 25－5×2 ＝25－10 ＝15（厘米） 计算水箱的高：剪去的小正方形边长就是水箱的高，即5厘米。 计算水箱容积： 20×15×5 ＝300×5 ＝1500（立方厘米） 因为1立方厘米＝1毫升，所以1500立方厘米＝1500毫升。 答：这个水箱的容积是1500毫升。 17．要在一个边长是9分米的正方形铁皮的四个角上分别剪去一个正方形，随后将它焊接成一个无盖的正方体盒子，想一想，这个正方体盒子的表面积和体积分别是多少？ 【答案】 表面积是45平方分米；体积是27立方分米 【分析】要在一个边长是9分米的正方形铁皮的四个角上分别剪去一个正方形，随后将它焊接成一个无盖的正方体盒子，因为正方体的棱长相等，因此需要把9分米平均分成3份，即正方体的棱长是9÷3＝3分米；因为该正方体盒子无盖，只有5个面，因此该正方体的表面积＝棱长×棱长×5；最后根据“正方体体积＝棱长×棱长×棱长”计算出该正方体的体积。 【详解】9÷3＝3（分米） 3×3×5 ＝9×5 ＝45（平方分米） 3×3×3 ＝9×3 ＝27（立方分米） 答：这个正方体盒子的表面积是45平方分米。这个正方体盒子的体积是27立方分米。 18．一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，在它的4个角各剪去一个边长为5厘米的小正方形，加工成一个无盖的铁皮水箱，这个水箱的容积是多少毫升？ 【答案】1500毫升 【分析】先计算铁皮水箱的长，长为原长减去2个小正方形的边长，即40－5－5＝30（厘米）；再计算铁皮水箱的宽，宽为原宽减去2个小正方形的边长，即20－5－5＝10（厘米）；高为5厘米，最后根据公式：长方体的容积＝长×宽×高，代入数据计算，即可求出这个水箱的容积，据此解答。 【详解】40－5－5＝30（厘米） 20－5－5＝10（厘米） 30×10×5＝1500（立方厘米） 1500立方厘米＝1500毫升 答：这个水箱的容积是1500毫升。 19．一块长方形铁皮长50厘米，宽40厘米。现在要从这张铁皮的四角上各剪去一个边长10厘米的正方形，制成一个无盖铁盒。如果焊接处和铁皮厚度忽略不计，这个长方体铁盒的容积是多少升？表面积是多少平方厘米？ 【答案】6升；1600平方厘米 【分析】已知长方形铁皮的长是50厘米，宽是40厘米，从四角各剪去一个边长10厘米的正方形，那么铁盒的长为50－10×2＝30厘米，宽为40－10×2＝20厘米，因为是从四角剪去边长10厘米的正方形来制作铁盒，所以铁盒的高就是剪去的正方形的边长，即10厘米；然后根据“长方体体积＝长×宽×高”计算出该长方体铁盒的容积，再根据1升＝1立方分米＝1000立方厘米，将立方厘米换算为升作单位。 该无盖长方体铁盒的表面积由底面积和四周四个面的面积组成，已知铁盒长30厘米、宽20厘米、高10厘米；再根据“长方形面积＝长×宽”分别计算出底面积、前后两个面的面积、左右两个面的面积，最后将这些面积相加即可得到表面积。 【详解】50－10×2 ＝50－20 ＝30（厘米） 40－10×2 ＝40－20 ＝20（厘米） 30×20×10 ＝600×10 ＝6000（立方厘米） 6000立方厘米＝6立方分米＝6升 答：这个长方体铁盒的容积是6升。 30×20＋30×10×2＋20×10×2 ＝600＋300×2＋200×2 ＝600＋600＋400 ＝1200＋400 ＝1600（平方厘米） 答：表面积是1600平方厘米。 20．学校组织五年级学生参加“创意收纳盒”手工制作比赛。张芳准备用一张长30厘米、宽24厘米的长方形硬纸板，在四个角各剪去一个边长为5厘米的正方形，然后折成无盖长方体收纳盒。 问题： （1）这个收纳盒的容积是多少立方厘米？（纸板厚度忽略不计） （2）如果要在收纳盒的内外表面都贴上装饰贴纸，贴纸的总面积至少是多少平方厘米？ 【答案】（1）1400立方厘米；（2）1240平方厘米 【分析】（1）长方形硬纸板长30厘米、宽24厘米，四个角各剪去边长为5厘米的正方形。折成无盖长方体后：长＝原来的长－两个剪去的正方形边长，即30－5×2＝30－10＝20（厘米）；宽＝原来的宽－两个剪去的正方形边长，即24－5×2＝24－10＝14（厘米）；高＝剪去的正方形边长，即5厘米。然后根据长方体容积公式：体积＝长×宽×高，代入数据即可解答 （2）无盖长方体的表面积＝底面积＋侧面积。底面积＝长×宽，即20×14＝280（平方厘米）；侧面积包括两个长×高的面和两个宽×高的面：先计算两个长×高的面的面积，即2×（20×5）＝200（平方厘米）；然后计算两个宽×高的面的面积，即2×（14×5）＝140（平方厘米）；所以一个面的表面积为280＋200＋140＝620（平方厘米）。因为要贴内外表面，所以总面积＝一个面的表面积×2，以此解答即可。 【详解】（1）30－5×2 ＝30－10 ＝20（厘米） 24－5×2 ＝24－10 ＝14（厘米） 20×14×5＝1400（立方厘米） 答：这个收纳盒的容积1400立方厘米。 （2）20×14＝280（平方厘米） 2×（20×5）＝200（平方厘米） 2×（14×5）＝140（平方厘米） 280＋200＋140＝620（平方厘米） 620×2＝1240（平方厘米） 答：贴纸的总面积至少是1240平方厘米。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $