4.3.4数列通项公式的求法 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦数列求通项公式的常用方法，从通项公式定义及注出发，通过“有的数列无通项、有的有多个”引发思考，搭建从概念理解到方法探究的学习支架，衔接数列基础概念与后续求和等内容。 其亮点在于“例练结合”设计，如观察法中例1将9,99...变形为10ⁿ-1，练1对应3,5...为2ⁿ+1，培养数学思维与运算能力。构造法通过例7将a(n+1)=2a(n)+1转化为等比数列，发展抽象与模型意识，助力学生掌握推理方法，也为教师提供清晰教学路径。

4.3.4 数列求通项的方法 注： ① 有的数列没有通项公式，如： 3，π，e，6； ②有的数列有多个通项公式，如： ﹣1，1，﹣1，1，... 我们来一起研究一下数列通项公式的常用求法： 如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式．即an=f(n) 数列的通项公式 112 2 求数列通项公式的常用方法： 1. 观察法 4. 累乘法 3. 累加法 5. 构造数列法 2. 已知Sn求an 一、观察法（猜想法，不完全归纳法） 观察数列中各项与其序号间的关系，分解各项中的变化部分与不变部分，再探索各项中变化部分与序号间的关系，从而归纳出构成规律写出通项公式. 解：变形为：101－1, 102―1, 103―1, 104―1,… ∴ 通项公式为： 例1 求数列 9，99，999，9999，…的通项. 练1 求数列3，5，9，17，33，…的通项. 解：变形为：21+1，22+1，23+1，24+1， 25+1，…… 联想与转化是由已知认识未知的两种有效的思维方法. ∴通项公式为： 二、已知Sn求an 注意： 要先分n=1和n>1两种情况分别进行运算，然后验证能否统一. 解：①当n=1时， ； ②当n时， n=1时，有a1=﹣1≠﹣2，则a1不符合上式 . ∴ 例2 已知数列{an}的前n项和Sn的公式为 ，求{an}的通项公式. 类型一：已知Sn表达式求an 解：①当n=1时， ， ； ②当n时， 两式相减： 即 ∴{an}是以3为首项，3为公比的等比数列， ∴= 例3 已知数列{an}的前n项和为Sn，若 ，求{an}的通项公式. 类型二：已知Sn和an关系式求an 解：①当n=1时， ， ； ②当n时， 两式相减： 即 ∴{an}是以1为首项，为公比的等比数列， ∴= 练2 已知数列{an}的前n项和为Sn，若 ，求an. 类型二：已知Sn和an关系式求an 解：(1)记{an}的前n项和为Sn，则Sn=2n-1 . ①当n=1时，a1 =S1=21-1=1； ②当n时， n=1时，有a1=20=1，则a1符合上式 . ∴ = 2n-1 . 例4 在数列{an}中, a1+a2+...+an=2n-1. (1)求an ; (2)求a12+a22+...+an2. 类型三：已知a1+a2+...+an=f(n)求an 解：(2) 记bn=an2=(2n-1)2=4n-1，b1=40=1 ∴{bn}是以1为首项，以4为公比的等比数列. 记{bn}的前n项和为Tn， ∴ . 例4 在数列{an}中, a1+a2+...+an=2n-1. (1)求an ; (2)求a12+a22+...+an2. 类型三：已知a1+a2+...+an=f(n)求an 练3 数列{an}满足a1+2a2+3a3+...+nan=2n，求an . 类型三：已知a1+a2+...+an=f(n)求an 解：记{nan}的前n项和为Sn，则Sn=2n . ①当n=1时，a1 =21=2； ②当n时， ∴ n=1时，有a1=1≠2，则a1不符合上式 . ∴ =. 三、累加法 当所给数列每相邻两项之差为关于n的式子时，就可用累加进行消元. 例5 数列{an}满足a1=1，an+1﹣an=2n+1，求an . 解： ∴ 两边相加得： ∴ ∴ an+1﹣an=f(n) 当n=1时，a1=1满足上式. 练4 数列{an}满足a1=1，an+1﹣an=2n，求an . 解： ∴ 两边相加得： ∴ 当n=1时，a1=1满足上式. ∴ 练5 数列{an}满足a1=﹣1, an+1=an+ , 求an . 解： 提示：累加后用裂项相消求和 . 四、累乘法 当一个数列每相邻两项之比为关于n的式子时，就可用累乘法进行消元. 例6 已知数列{an}中， ， ， 求通项公式an. 解：由已知 ， ，得： 把1，2，…，n分别代入上式得： ， ，… ， 把上面n-1个式子左右两边同时相乘得： = f(n) 例6 已知数列{an}中， ， ， 求通项公式an. 解：把上面n-1个式子左右两边同时相乘得： 当n=1时，a1=2满足上式. ∴ 练6 已知数列{an}中， ， ， 求通项公式an. 解： 五、构造数列法 已知递推关系式an+1=kan+p (k≠0,1)时，主要通过构造数列an+1+m=k(an+m)，转化成等比数列的形式. ∴数列{bn}是公比q=2，首项b1=a1+1=2的等比数列，即 ∴ 例7 已知数列{an}的递推关系为 ， 且 求通项公式 an. 解：∵ ∴ ∴ 令 ∴ 练7 已知数列{an}的递推关系为 ， 且 ，求通项公式 an. 解： 六、因式分解法 已知an+1与an的二次递推式，通常要对二次式因式分解. 例8 数列{an}各项均为正数，且满足a1=2，a2n+1﹣3an+1an﹣4a2n=0，求an. 解：依题可得(an+1+an)(an+1﹣4an)=0 ∵an＞0，∴an+1﹣4an=0， 即 = 4 ∴{an}是以2为首项，为公比的等比数列 ∴an=2×4n-1 练8 数列{an}各项均为正数，且满足a1=1， a2n﹣(2an+1﹣1)an﹣2an+1=0，求an . 解：an=2n-1. $