浙江省余姚中学2025-2026学年高一上学期12月质量检测数学试卷

余姚中学2025学年第一学期12月质量检测高一数学学科答案 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选 项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 题号 2 3 5 6 8 答案 B D A B A C D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 题号 9 10 11 答案 ACD AD ABD 三、填空题： 本大题共3小题，每小题5分， 共15分. 12.(（-0,-2]U[0,+∞) 13.32(33也对) 4[- 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.【答案】(1)e (2)0 【小问1详解】 原式=e+4log,2×lo8,5-2×2i-e+2-2=e …6分 2 （3=e’10gs16 xlog5=2,8025x5=2各2分) 【小问2详解】 sn9+sm(径-0sn9+os0= 4 …7分 (in0+co0)=sin0+cos0+2sin0c+2sin0co=1, ……9分 4 所以2sna.coc0=子，所似sm29=4sm0cos0-分 …11分 所以cos40=1-2sin220=1-1=0 …13分 16.【答案】(1) 2》0sms或m=-之 【小问1详解】 A-0-x+0-吵-4减>} …2分 当m=2时，B={xeRx2-6x+5<0}={xl<x<5}, …3分 所以An8-唱< …6分 【小问2详解】由(C,A)nB=B,可得BcCA, …8分 第1页，共10页 B={xeR[x-(m-1x-(2m+1】<0}, ①当m-1=2m+1,即m=-2时，B=0,符合题意 …10分 ②当m-1<2m+l,即m>-2时，B={xERm-1<x<2m+, m>-2 m-1≥-1 此时需 ,解得0≤m≤ …12分 3 4 2m+1≤ 2 ③当m-1>2m+1,即m<-2时，B={x∈R2m+1<x<m-}, m<-2 此时需 2m+12-1 ,无解。 …14分 m-12 3 综上所述，0≤m≤或m=-2 …15分 4 17.【答案】(1)192（平方米）：(2)400-2003（平方米） 【小问1详解】 设OM=x米，由CM=CD 、、mx一6。得，ON=米. …2分 OM ON x ON 所以Sawm=OM.ON=8 -6′令t=x-6, …3分 得SOMPN 8-+6=8+ 36 +122192, …6分 t 36 当且仅当t=0,即x=12时等号成立， …7分 所以矩形花坛OMPN的面积的最小值是192平方米. 【小问2详解】 连接oF,设∠F00=90<0<) 因为0F=20,所以FI=20sin0=GH,O1=20cos0, 因为∠B00=,所以OH=Gh=20v5smn m ,所以Hl=20cos0-20V5sin0, …9分 S=(20cos0-203sin).20sin0=400sin0cos-4003sin2 …11分 =20sm20-50-ce291-2w2sn(20+写)-5 …3分 因为2+号（ 所以S≤200(2-√5)=400-200V5, …l4分 当日=云时取到最大值， …15分 所以补充门诊面积最大值为400-200√5（平方米）. 18.【答案】()f=3+: 3-1 2)m≥4：(3)16 sm≤1. 第2页，共10页 【小问1详解】 由3-a≠0知f(x)的定义域为{x≠log,a, 由于f(x)是奇函数，定义域关于原点对称，所以1oga=0,得a=1. 3+b -+b 再由f()=-f(-1)得， 解得b=1.经检验，f()=+是奇函数 …4分 3-1 -1 3x-1 (a=1,b=1各2分，若按上述解法未检验扣1分) 【小问2详解】 由题意得，g()的值域是f(2)的值域的子集 …5分 f=1+与品在0上单调速减。f)的值越为，o）. …7分 g(x)=(log2x-1)log2x+log2m-2),令log2x=t∈[2,3]，log2m=n, 设h(t)=(t-1)t+n-2),则问题转化为h()=(t-1)(t+n-2),t∈[2,3]的值域是[2，+∞)的子集 ①当2-n≥2，即n≤0时，0必然在(t)的值域内，所以此时不符合题意 …8分 ②当2-n<2,即n>0时，ht)在[2,3]上单调递增，只需h(2)之2，解得n≥2.…9分 综上所述，n≥2，则m24. …10分 【小问3详解】 由题意得，f(x)mx之g(:)mx-8(x)min …l1分 f-1+写名在2上单湖送减，所以=0=2. …12分 3-n 则问题转化为h(t)mm-h(t)mn≤2，其中te[2,3].h()的对称性为t= ①当3，”≤2，即n≥-1时，0)在[2,3]上单调递增，所以 2 h0)m-h0n=h(3)-h(2)=(2n+2)-n=n+2≤2，解得-1≤n≤0. …13分 ②当2”即-2n-1时，M0在2]上单调减， 在 [ 上单调递增，所以 0-h0-M-42-em+2+ag52, 即n2+6n+1≤0，解得-3-2V2≤n≤-3+22，所以-2≤n<-1 …14分 @当3<，即-3<m<2时，k0在[2]上单洞减在[”3】 上单调递增，所以 22 0=-0=2-A2）+a:2, 4 即n2+2n-7≤0，解得-1-2√2≤n≤-1+25，所以-3<n<-2, …15分 ④当3-”≥3，即n≤-3时，)在[2,3]上单调递减，所以 2 h(0)-h(0mn=h(2)-h(3)=n-(2n+2)=-n-2≤2，解得-4≤n≤-3. …l6分 综上所述，4≤ns0,则G≤m≤1 …17分 第3页，共10页 19.【答案】(1)证明见解析： (3)证明见解析. 【小问1详解】 f(x)为R上的下凸函数.设x,∈(0,1)， 2 =父≥0，即f(色)f片位，所以f为取上的下3函数 …4分 4 2 【小问2详解】 因为s)在(@，)上为下凸函政，所以通数4()：产文-1在@)上也为下凸函数 由定义2，得 (3+五++x）s(G)+h(s)++h(x n …6分 所以w=,+++≥n 1-x1-x2 中一元之一当且仅当X=名=…=x=时取等号， 故W的最小值为” …8分 -1 【小问3详解】 设5=e，因为≥1，所以x≥0(i=1,2,3,,n), 1+1++1 +1 要证中与中…+本产5…7+，只需证。中e中 。+1e”+1 由定义1，只需证()。中在®+o上为下凸函数 ……l0分 1+1 设620，则结）百立。 2 e 2+12 1 2 …12分 即e学+e1+e+小22e+e+. 第4页，共10页 化商得e+e-2学e宁-小上0，即e2-到e学-小上o0m15分 又+立≥0，e学≥1()式显然成立， 2 所以)之气兰成立，M在@+)上为上B函数， …16分 2 则、1 1 n+1 …方+得证. …17分 选择填空详解 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选 项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1.如图所示的曲边三角形（图中实线）是机械加工使用的某种钻头的横截面，它是 分别以正△ABC(图中虚线)的三个顶点为圆心，以其边长a为半径所作的三段圆 弧AB,BC,CA构成的封闭图形，则该图形的周长为 B A.2πa πa B.πa C. πa 2 D 3 【答案】B 【解新】每一段圆弧所对的圆心角为，故每一段圆弧长度为·，故周长为和 3 2.设集合A={L,2,3,4},B={y|y=log2(x2-5x+6)},则A∩B= A.(1 B.{1,4} C.{2,3} D.{1,2,3,4} 【答案】D 【解析】函数的y=log2(x2-5x+6)的定义域为(-∞，2)U(3,+∞)，值域为R, 所以B=R,A∩B={L,2,3,4} 3.设函数f(x)是定义在[0,1]上的函数，那么“f(x)在区间[0,1]上单调递增”是“函数f(x)在区 间[0，]上的最大值为f()”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若f(x)在区间[0,1]上单调递增，那么f(x)在区间[0,1]上的最大值为f(),但反之不一定 成立，如函数∫(x)=x(x-1)在区间[0，]上的最大值为f(),但f(x)在区间[0，]上并不单调递增， 4.已知a=e,b=ln2.3,c=logo82.3,那么a,b,c大小关系是 第5页，共10页 A.c<a<b B.c<b<a C.a<c<b D.b<c<a 【答案】B 【解析】由a=e7>1,0<b=ln2.3<l,c<0,故c<b<a. 5.设方程3+x-4=0的零点为a,方程l0g3x+x-4=0的零点为B,则3+l0g3B的值是 A.4 B.2 C.0 D.-4 【答案】A 【解析】在同一坐标系中画出函数，y=3,y=log3x,y=4-x的图象，故y=3与y=4-x的交 点为(a,4-a),y=log3x与y=4-x的交点为(B,4-),由y=3,y=1ogx互为反函数，有 a=4-B,故3+log3B=4-a+4-B=4. 6.已知定义域为R的函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y)+f(x)f(y)=0,且f0+,则下列说法 错误的是 A.f(x)是周期函数 B.f(x)是偶函数 e。 D.f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2025)=0 【答案】C 【解析】取x=1,y=0,有2f(I)+f(1)f(0)=0,故f(0)=-2: 取x=0,y=-x,有f(-x)+f(x)-2f(-x)=0,即f(x)-f(-x)=0, 故f(x)是偶函数，B正确： 取y=1,有f(x+1)+f(x)+f(x-1)=0,用x+1代替x可得f(x+1)+f(x)+f(x+2)=0, 故f(x-1)=f(x+2),故f(x)是周期函数，周期为3，A正确： 由2025=3×675，得f()+f(2)+f(3)+…+f(2025)=0,D正确： 令x=y=房有f+0+f[=0,做r[)=4,[)0,c错误 7.已知函数f(x)=sinx,g(x)=cosx,则两个函数的图象仅通过平移就可以重合的是 A.y=f(x)-g(x)y=f(x) B.y=[f(x)-[g(x y=f(x)g(x) C.y=f[f(x]与y=g[f(x] D.y=f[f(x】与y=f[g(x] 【答案】D 【解折1对于Ay=f-g=5in-6osx=反n(x-蓝）】 因为y=f(x)与y=f(x)-g(x)的最值不同，所以无法通过平移重合 1 B,[f(x)2-[g(x)2=sin2x-cos2x=-cos2x,f(x)g(x)=sinxcosx=sin2x, 因为y=[f(x)]-[g(x]与y=f(x)g(x)的最值不同，所以无法通过平移重合 第6页，共10页 对于c,f[f(x=sin(sinx,g[f(x]=cos(sinx),注意到sinx的取值范围为[-l,刂， 若要重合，需要使括号内s血x变成+s血x,显然两个函数无法通过平移重合 对FD.f儿Ue=inin=n()=-sin in(+》】 所以第一个函数向左平移严个单位长度得到第二个函数】 8.已知函数f(x)=2025-2025-2,若关于x的不等式 f（2-a+f(N-2a-a）+4>0恒成立，则a的取值范围是 a(-3ojuo,号)a←3ouo)c(20(到n-3ouo 【答案】D 【解析】g(x)=f(x)+2=2025-2025x是定义域为R的增函数，且为奇函数， 故f2反-a0+f小W-2a-a2）+4>0即g（2-a)+gW-2a-a2）>0, 即g-a0>-sWf-2a-a）=8a2-V-2a,故pf-a>a2-W压-2a, 即l2-a+NF-2a>a2,令1=F,故t20, 原不等式可化为21-d+-2d>a2对任意1≥0恒成立. 令h)=2t-d+k-2d,下面就a分类讨论： ()当a=0时，不等式化为31>0，当t=0不符合条件，舍去： (的当a>0时，讨论a与t的大小关系可得： 3t-3a,t>2a h0=+a1≤2a,做0=A)-受>，此时a0引 3a-30s1号 (im)当a<0时，ht)=3t-3a,由1≥0，h(0)mm=h(0)=-3a>a2,故a∈(-3,0) 综上所述(-3,0)U0,2 D正确 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.设函数f(x)=2cosx(5sinx-cosx),则下列结论正确的是 A.f(x)的最小正周期是π B.f(x)的图象关于点 1π，0对称 12 C.f(x)的图象过片 D.f()的图象的对称轴是x=?+kπ +2.kez 第7页，共10页 【答案】ACD 【解析】f(x)=2√5 sinxcosx-2cos2x=V5sin2x-cos2x-1=2sin 最小正周期T 2刀=π，A正确： f(x)=2sin ②x-石山的对称中心的纵坐标应为-，B错误 由f学=2n2写君}1=1得，c正确： π 由2x-Z=工+kπ，k∈Z,得对称轴为x=了 62 3+《7,k∈乙，D正确。 10.若函数f(x)满足：对任意m,n∈(0，+)，有f(m+n)<f(m)+f(n),则称函数f(x)具有严 格次可加性，下列结论正确的是 A.f(x)=√无，xE(0,+o)具有严格次可加性 B.f(x)=e*-x-l,x∈(0，∞)具有严格次可加性 C.f5(x)=ln(x2+I),x∈(0，+o)具有严格次可加性 D.若函数f(x)具有严格次可加性，那么f(2)<2·f),k∈N 【答案】AD 【解析】对于A,f(m+n)=Vm+n,f(m)+fn)=√m+Vn,由 (m+n=m+n<m+n+2mn=(m+同，fm+n)<fm+f),A正确： B,f(m+n)=emm-m-n-1,fa(m)+f (n)=em+e"-m-n-2, 故fm+m)-f5(m)+f(m)=e*"-e”-e+1=(e"-l）(e”-l), 由m,n∈(0，+oo),故f(m+n)-f方(m)+f(n)=（e"-)(e-1)>0,B错误。 对于C,取m=n=1,f(I+1)=ln5,f(I)+f()=ln2+ln2=ln4,不满足题设，c错误； 对于D,f(2*)<2f(2-)<4f(2-2)<…<2f(1),k∈N”,D正确. 11.已知定义域为R的函数f(x)=2ax2-3bx+1在区间(0,2)内恰有一个零点，下列结论正确的是 7 1 A.若a=-1,则b>- B.若b=0,则a<- 6 1 5 9 c若a=五则b> D.若b=1,则a≤ a-号 【答案】ABD 【解析】对于A,此时f(x)=-2x2-3bx+1,图象开口朝下，且f(0)=1>0, 故只需f2)=-8-6b+1<0,即b>-A正确： 第8页，共10页 时于B,此时f因=2+山，可知a<0,故因需f2)=&a+l<0,即a<B正确 对于C,此时f(x)=x2-3bx+1,要满足其在区间(0,2)内恰有一个零点， 由f(0)=1>0,有以下种情形： 5 (①)f(2)=4-6b+1=5-6b<0,即b>二： 6 ①f(2)=4-6b+1=5-6b=0,即b=5,另-零点在(0,2）内， 6 此时由韦达定理可知此零点为二，符合题意： 2 励4=96-4=0，此时b=2或-号 ,此时函数零点分别为1或-山，故b=2满足条件 2 综上所述b≥。或b=专C错误： 6 D.此时f(x)=2ax2-3x+1,要满足其在区间(0,2)内恰有一个零点， 由f(0)=1>0,有以下种情形： 5 ()f(2)=8a-6+1=8a-5<0,即a<。 8 (imf(2)=8a-6+1=8a-5=0,即a= 无8，另一零点在(0,2)内， 此时由韦达定理可知此零点为 ,符合题意： (m)△=9-8a=0,此时a=9,此时函数零点为2， 9 符合题设： 8 8'D正确 9 综上所述a≤三或a= 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 1+sinx的值域是 12.函数y=1-2sinx 【答案】(-0，-2]U[0,+∞) 【解析】令t=sinx, 则e[-》G, 则y=2-24-2 故函数在-时利仔别 单调递增， 故当t=1时，y=-2,当t=-1时，y=0,故值域为(-o,-2]U[0,+o). 13.一个小朋友买了一个体积为的大气球，由于气球密封性不好，经过t天后气球体积变为 2 V=ae若经过12天后，气球体积变为二a,则至少经过天后，气球的体积不超过原来的 (1g3≈0.48，lg2≈0.3，结果保留整数). 【答案】32(33也对) 第9页，共10页 【解析】有2=e,故k=一n子，放设至少经过，天后气球的体积不超过原来的 2 3 12“3 In 故写e，= 1.1 -In =12 k 3 由换底公式h0=log,b= ga (a,b>0), Inb In Igb 1 故，=12】=12e3 In =12 0.48 =12x8=32天 0.48-0.3 3 In 1g3-1g2 3 (考虑到ln2≈0.7，ln3≈1.1使用此近似值计算的结果为33，认为正确) 14.若对任意的p∈ 函数f(x)=sin(ox+p)在区间 π， 上单调递增，则实数0的取值 范围是 【答案】 [- 【解析】显然o≠0，由函数f(x)=sin(ox+p)在区间 上单调递增， 则函数的周期T= o 受散0<ols2 π 由于对任意的p∈0， 函数f(x)=sin(ox+p)在区间 单调递增， 4 按0的正负分以下两种情形讨论： 则+92-2 +2kπ ()当0>0时：设t(x)=ox+p单调递增，k是整数，则有 3π w+p≤+2kr 2 化商得2水-2≤o≤整+片架对任意的0e[0引 2π 恒成立，故不等式左边取0=0，右边取 333π 2 6 其他整数时没有符合条件的0： (i间0<0时，f(x)=-sin(-0x-p),设s(x)=-ox-p单调递增， -π0-p≥元+2k元 故同理有 ,化简得-4-1-29≤0≤-2k-】_2对任意的0∈[0]恒 3π 3 3 3π 2π 04 0-p +2kπ 2 2 成立，故不等式左边取0=0，右边取0=及得-华-1≤0≤-2k-3 4 3 ,又因为-2≤0<0，取k=0 得-1≤0≤-3，k取其他整数时没有符合条件的0： 综上所述0 [-卧 第10页，共10页余姚中学2025学年第一学期12月质量检测高一数学学科试卷 一、选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.年小题给出的四个选项中，只有一个选 项是正确的、请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上， 1.如图所示的曲边三角形（图中实线）是机械加工使用的某种钻头的横截面，它是 分别以正△ABC(图中虚线)的三个顶点为圆心，以其边长a为半径所作的三段圆 弧5B,A构成的封闭图形，则该图形的周长为 πa A.2πa B.za C.Ta D. 2 3 2.设集合A=1,2,3,4},B={y川y=1og2(-x2+5x-6)},则A∩B= A.码 B.1,4} c.{2,3} D.{1,2,3,4 3.设函数f(x)是定义在[0，】上的函数，那么“f(x)在区间[0，]上单调递增”是“函数f(x)在区 间[0,1]上的最大值为f)”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知a=e7,b=n2.3,c=logo82.3,那么a,b,c大小关系是 A c<a<b B.c<b<a C.a<c<b D.b<c<a 5.设方程3+x-4=0的零点为a,方程10g3x+x-4=0的婴点为B,则3°+log,B的值是 A4 B.2 c.0 D.4 6.已知定义域为R的函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y)+f(x)f0y)=0,且f(I)=1,则下列说法 错误的是 A(x)是周期函数 B.f(x)是偶函数 =0 D.f()+f(2)+f(3)++f(2025)=0 7.已知函数f(x)=si山x,g(x)=cosx,则两个函数的图象仅通过平移就可以重合的是 Ay=f(x)-g(x)与y=f(x) B.y=[f(x)]-[g(x)y=f(x)g(x) c.y=f[f(x]与y=g[f(x] D.y=f[fx]与y=f[g(x] 8.已知函数f(x)=2025-2025*-2,若关于x的不等式 f2:-a+f(八N-2a-a）+4>0恒成立，则a的取值范围是 (-).(3,uc(2o[)3,uo) 第1页，共4页 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.设函数f()=2cosx(W3sinx-cosx),则下列结论正确的是 A.f()的最小正周期是π B.∫(x)的图象关于点 对称 C.f()的图象过点 32,ke2 D.∫(x)的图象的对称轴是x=卫+k红 10.若函数f(x)满足：对任意m,n∈(0，+oo),有(m+n)<f(m)+f(n),则称函数f(x)具有严 格次可加性，下列结论正确的是 A.x)=V,x∈(0，+o)具有严格次可加性 B.f2(x)=e-x-l,x∈(0，oo)具有严格次可加性 C.(x)=ln(x2+1),x∈(0，+o)具有严格次可加性 D.若函数f(x)具有严格次可加性，那么f(2)<2*.f),k∈N 11.已知定义域为R的函数f(x)=2ax2-3br+1在区间(0,2)内恰有一个零点，下列结论正确的是 4若a=-l,则b>-乃 B.若b=0,则a<-8 1 9 C.若a=片，则b? D.若b=1,则a≤ 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.函数y= 1+sinx的值域是 1-2sinx 13.一个小朋友买了一个体积为a的大气球，由于气球密封性不好，经过t天后气球体积变为 2 V=ae也若经过12天后，气球体积变为亏0，则至少经过 天后，气球的体积不超过原来的 (1g3≈0.48,1g2≈0.3，结果保留整数). 14.若对任意的p∈ 函数f(x)=sin(awx+p)在区间 3π π， 上单调递增，则实数)的取值 范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.1)求值：3+1og16x1og25-8025×5. a)已知血0+ar(竖-小-至 求cos40的值 第2页，共4页 16.设全集U=R,集合A= 子>0，B=e4-3+2m-m-1c0 (1)当m=2时，求A∩B: (2)若(CA)∩B=B,求实数m的取值范围。 17、近期某高中将迎来建校100周年庆祝活动，为了迎接即将到来的校友们，学校计划对原有的校友 活动中心进行改造，如图所示，原校友活动中心是以OA为半径的扇形区域AOB,旁边是一个矩形花 因0CDB,可利用部分是扇形区域B00和花园周边.共中，点C在01上，∠A00=受，∠A0B=号， OA=20米，OC=6米，OE=8米 (1)现将花坛扩建成一个更大的矩形花园OMPN,要求M在射线OC上，N在射线OE上，且对 角线MW过点D,求矩形花园OMPN的面积的最小值： (2)在可利用区域BO2中，设置一块矩形FGⅢ作为休息室，求休息室面积的最大值 0 数内=，十Ca,b是实数且a>0)是奇函数，8因=1og2og,四 (1)求f(x)的解析式： (2)若对任意的41∈[4,8]，总存在t2∈(0,1]，使得g(G)=f(2)成立，求m的取值范围： (3)若存在∈[1,2]，使得不等式f(:)≥g(x2)-g(3对任意x2,为∈[4,8]恒成立，求m的取 值范围。 第3页，共4页 19.函数的凹凸性是硒数的谊奖稚质之一，下而给出函数凸性的定义： 定义1：设硒数)在区间1上有定义，(x)称为1上的下凸函数.一名，名∈/，有 2 出)4，当且仅当名=名时号成立. 2 定义2：投函数(x)在区间1上有定义，(x)称为1上的下凸函数.一，2，，，∈I,有 /5+西++五）≤)+出)++儿3，当且仅当名==…=x,时等号成立. 将定义1和定义2中的“≤”改为“≥”，则相应地称函数(x)为I上的上凸函数， 可以证明定义1与定义2等价.试运用以上信息解答下面的问题： (1)若f()=x2+ax+b,试根据定义判断f(x)在R上的凸性： 2)已知g树=主为@)上的下凸诱藏，设”>≥0伽≥2刃，且名+名++名=1， 求印=名+立+十名的最小值： 1-x1-x21-xn (3)设5,2，…，n为大于或等于1的实数，试根据定义证明： 片+1'2+1'n+12n+1 (提示：可设=e) 命题人：杜钇浩 审题人：徐杨溢 第4页，共4页