精品解析：广东省深圳市南山实验教育集团华侨城高级中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷

华侨城高级中学2024级高二12月月考试卷 数学 2025.12 命题人：杨文武 审题人：郑炎 注意事项： 1.本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码. 3.作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑. 4.非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液. 5.考试结束后，考生上交答题卡. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 经过点和的直线斜率为（ ） A. 2 B. C. D. 2. 在等差数列中，，，则（ ） A. 10 B. 17 C. 21 D. 35 3. 已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含 4. 如图所示，在正方体中，为线段的中点，记，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若实数满足，则双曲线与的（ ） A. 实轴长相等 B. 虚轴长相等 C. 焦距相等 D. 离心率相等 6. 已知直线与直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知圆，直线，若圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点，则下列选项中结论正确的是（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 若，则 C. 的最大值为16 D. 为钝角 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，向量，，，且，，则下列正确的（ ） A. B. C. 6 D. 10. 等差数列中，为其前项和，，则以下说法正确是（ ） A B. C. 的最大值为 D. 使得成立的最大整数 11. 已知、是椭圆的左、右焦点，点在上，是上的动点，轴，垂足为，且为的中点，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 点轨迹方程为 D. 的最小值为 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 在等差数列中，，则__________. 13. 已知平面过坐标原点，且一个法向量为，则点到的距离为__________. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，，则双曲线的离心率________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在等差数列中，已知． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前n项和为，求的值． 16 已知圆． （1）若点，求过点的圆的切线方程； （2）若点为圆的弦的中点，求弦的长． 17. 已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为3 ，直线 与抛物线 交于 ， 两点， 为坐标原点． (1)求抛物线的方程； (2)求的面积. 18. 如图，三棱柱中，侧面为菱形，. （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 19. 已知椭圆的焦距为2，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为. （1）求椭圆的方程； （2）设A，B为椭圆的左右顶点，过右焦点的直线交椭圆于M，N两点，直线AM，BN交于点. （i）求证点定直线上； （ii）设，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华侨城高级中学2024级高二12月月考试卷 数学 2025.12 命题人：杨文武 审题人：郑炎 注意事项： 1.本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码. 3.作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑. 4.非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液. 5.考试结束后，考生上交答题卡. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 经过点和的直线斜率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用斜率公式可求得结果. 【详解】因为直线点和，所以直线的斜率为. 故选：A. 2. 在等差数列中，，，则（ ） A. 10 B. 17 C. 21 D. 35 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出公差，再应用等差数列通项公式即可求出. 【详解】设等差数列的公差为，则， 所以. 故选：B 3. 已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆心距，与半径之和，半径之差的绝对值比较大小即可判断. 【详解】由题可得：,,,,所以， 则，则这两个圆的位置关系为相交； 故选：C 4. 如图所示，在正方体中，为线段的中点，记，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算，结合正方体的几何性质，可得答案. 【详解】在正方体中，易知，由为的中点，则， 所以. 故选：B. 5. 若实数满足，则双曲线与的（ ） A. 实轴长相等 B. 虚轴长相等 C. 焦距相等 D. 离心率相等 【答案】C 【解析】 【分析】由题意根据双曲线的标准方程确定焦距，实轴长与虚轴长的关系后可判断． 【详解】由，得，所以两双曲线的焦点均在轴上， 因为，所以两双曲线的焦距相等，故C正确， 而实轴长前者为8，后者为，虚轴长前者为，后者为6，均无法相等， 离心率前者为，后者为，也不相等，故ABD错误， 故选：C． 6. 已知直线与直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由垂直关系求出a的值，再结合充分、必要条件的概念即可得答案. 【详解】若，则，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A 7. 已知圆，直线，若圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合图形，将题意要求转化为使圆心到直线的距离等于1，由距离公式计算即得. 【详解】 如图，因圆的半径为，要使圆上恰有三个点到直线的距离等于1， 等价于圆心到直线的距离等于即可， 即，解得. 故选：B. 8. 已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点，则下列选项中结论正确的是（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 若，则 C. 的最大值为16 D. 为钝角 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线方程和定义可直接验证A，B选项；设出直线方程将其与抛物线方程联立，由韦达定理、焦半径公式即可判断C；由向量的数量积公式结合韦达定理结果计算，即可判断D． 【详解】对于A：由题意抛物线的准线方程为，故A错误； 对于B：因为抛物线的准线方程为，由抛物线的定义可知，所以，故B错误； 对于C：由题意直线斜率不为0且过点， 所以不妨设，将其与抛物线方程联立消去，得， 而，，， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立，所以最小值为16，故C错误； 对于D：由C选项分析可知 ， 由于不共线，所以是钝角，即为钝角，故D正确． 故选：D． 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，向量，，，且，，则下列正确的（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由条件结合垂直向量的坐标表示和平行向量的坐标关系求，进而逐项判断即可. 【详解】对于A，因为，，，所以，所以，A正确； 对于B，因为，，，所以，所以，B错误； 对于C，，，可得，所以，C正确； 对于D，，D错误， 故选：AC. 10. 等差数列中，为其前项和，，则以下说法正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 使得成立的最大整数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，再逐项计算判断即可. 【详解】在等差数列中，由，得，则， 因此，而，则， 对于A，公差，A正确； 对于B，，因此，B正确； 对于C，，数列单调递减，其前8项均为正数，从第9项起为负数， 因此的最大值为，C错误； 对于D，，由，得， 因此使得成立的最大整数，D正确. 故选：ABD 11. 已知、是椭圆的左、右焦点，点在上，是上的动点，轴，垂足为，且为的中点，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 点的轨迹方程为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出椭圆的方程，利用椭圆的定义结合基本不等式可判断A选项；由椭圆定义可得，将与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，可判断B选项；设点、，可得出点，代入椭圆方程可得出点的轨迹方程，可判断C选项；利用圆的几何性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，将点的坐标代入椭圆方程可得，因为，解得， 由椭圆定义可得，因为，则， ， 因为，且函数在上单调递减， 故的最大值为，A对； 对于B选项，不妨设点，则， 则 ， 因为， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为，B错； 对于C选项，设点，则点，设点， 由中点坐标公式可得，则， 因为点在椭圆上，则，即，化简得， 故点的轨迹方程为，C对； 对于D选项，圆的圆心为原点，半径为， 因为，故点在圆外， 所以，， 当且仅当为线段与圆的交点时，取最小值，D对. 故选：ACD. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 在等差数列中，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的性质即可求解. 【详解】因为， . 故答案为： 13. 已知平面过坐标原点，且一个法向量为，则点到距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】运用点到平面距离的向量求法即可. 【详解】由题可知，在平面内，，. 故答案为：. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，，则双曲线的离心率________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，由双曲线定义求出，求出，，由余弦定理求出，得到离心率. 【详解】设，，由双曲线定义可得， 即，所以，， 又，， 在中，由余弦定理得， 即，解得，故离心率， 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在等差数列中，已知． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前n项和为，求的值． 【答案】（1）；（2）165. 【解析】 【分析】（1）联立题干两条件，可求出，即可求出； （2）令，求出即可 【详解】（1）因为是等差数列，， 所以． 解得 则； （2）∵， ∴. 16. 已知圆． （1）若点，求过点的圆的切线方程； （2）若点为圆的弦的中点，求弦的长． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）求出圆的圆心与半径，分过点的直线的斜率不存和存在两种情况，利用圆心到直线距离等于半径，即可求出切线方程； （2）由点为圆的弦的中点，所以先求，根据弦长计算即可. 【小问1详解】 由题意知圆心的坐标为，半径， 当过点的直线的斜率不存在时，方程为， 由圆心到直线的距离为：， 此时，直线与圆相切，满足题意， 当过点的直线的斜率存在时， 设方程为，即， 由题意知直线与圆相切可得：， 解得：， 所以切线方程为， 故过点的圆的切线方程为或． 【小问2详解】 由点为圆的弦的中点，且， 所以. 17. 已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为3 ，直线 与抛物线 交于 ， 两点， 为坐标原点． (1)求抛物线的方程； (2)求的面积. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由题意可设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），运用抛物线的定义，可得23，解得p＝2，进而得到抛物线的方程； （2）由题意，直线AB方程为y＝x﹣1，与y2＝4x消去y得：x2﹣6x+1＝0．再用一元二次方程根与系数的关系和弦长公式，算出|AB|；利用点到直线的距离公式算出点O到直线AB的距离，即可求出△AOB的面积 【详解】（1）抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上， 且过一点P（2，m）， 可设抛物线方程为y2＝2px（p＞0）， P（2，m）到焦点的距离为3， 即有P到准线的距离为6，即23， 解得p＝2， 即抛物线的标准方程为y2＝4x； （2）联立方程化简，得x2﹣6x+1＝0 设交点为A（x1，y1），B（x2，y2） ∴x1+x2＝6，x1x2＝1 可得|AB||x1﹣x2|＝8 点O到直线l的距离d， 所以△AOB的面积为S|AB|•d82． 【点睛】本题考查抛物线的方程的求法及抛物线定义的应用，考查待定系数法的运用，考查求焦点弦AB与原点构成的△AOB面积，属于中档题． 18. 如图，三棱柱中，侧面为菱形，. （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，证明平面，从而得到，根据垂直平分即可证明； （2）根据已知条件证明两两垂直，从而建立空间直角坐标系，求出和平面法向量，利用向量法即可求解. 【小问1详解】 证明：连接交于，连接， 由侧面为菱形，可得，为的中点， 又， 而，平面， 所以平面， 而平面，故， 又为的中点，所以垂直平分， 所以 【小问2详解】 因为，且为的中点，所以， 又因为，所以，故， 由菱形，故，故，故， 从而两两垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以，， 因为，所以为等边三角形， 所以， 则， 则，， 设是平面的法向量， 则，取，则，故， 设直线与平面所成角为， ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19. 已知椭圆的焦距为2，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为. （1）求椭圆的方程； （2）设A，B为椭圆的左右顶点，过右焦点的直线交椭圆于M，N两点，直线AM，BN交于点. （i）求证点在定直线上； （ii）设，求的最大值. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析（ii）1 【解析】 【分析】（1）由题意求出的值，即得答案； （2）（i）设直线方程为，联立椭圆方程可得根与系数关系，写出直线，的方程，联立化简，即可证明结论；（ii）由可得的表达式，化简，即可求得答案. 【小问1详解】 依题意，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为， 椭圆方程为 【小问2详解】 （i）证明：由（1）知可设直线方程为， 联立和， 得，直线l过椭圆焦点，必有， ， ，直线方程为， 直线方程为， 联立两方程得， ，即点在定直线上； （ii）依（i）有.设，若， 则，则， . 故当时，的最大值为1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $