4.4 数学归纳法（第一课时）课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦“数学归纳法（第一课时）”，核心讲解与正整数n有关命题的证明步骤，从数列通项公式未证明问题导入，通过多米诺骨牌游戏类比，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接归纳奠基与递推的逻辑关系。 其亮点是以多米诺骨牌模型发展数学眼光（抽象游戏条件）和数学思维（递推推理），结合数列、等差数列证明实例，用数学语言精确表述步骤。学生能深化逻辑推理能力，教师可借类比模型降低抽象概念难度，提升教学效率。

4.4 数学归纳法(第一课时) 人教A版选择性必修二第四章 数列 检查预习 人教A版选择性必修二第四章 数列 本节我们就来介绍一种重要的证明方法——数学归纳法. 在数列的学习过程中,我们已经用归纳的方法得出了一些结论,例如等差数列 的通项公式 等,但并没有给出严格的数学证明.那么,对于这类与正整数n有关的命题,我们怎样证明它对每一个正整数n都成立呢? 引入课题 人教A版选择性必修二第四章 数列 如何证明这个猜想呢? 通过有限个步骤的推理,证明取所有正整数n时命题都成立. 合作探究 人教A版选择性必修二第四章 数列 合作探究 人教A版选择性必修二第四章 数列 可以看出,使所有骨牌都能倒下的条件有两个: (1)第一块骨牌倒下; (2)任意相邻的两块骨牌,前一块倒下一定导致后一块倒下. 合作探究 人教A版选择性必修二第四章 数列 这样,只要第1块骨牌倒下,其他所有的骨牌就能够相继倒下.事实上,无论有多少块骨牌,只要保证(1)(2)成立,那么所有的骨牌一定可以全部倒下. 合作探究 人教A版选择性必修二第四章 数列 合作探究 人教A版选择性必修二第四章 数列 合作探究 人教A版选择性必修二第四章 数列 合作探究 人教A版选择性必修二第四章 数列 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: 合作探究 人教A版选择性必修二第四章 数列 合作探究 人教A版选择性必修二第四章 数列 证明: 根据等差数列的定义,有 ① 学以致用 人教A版选择性必修二第四章 数列 证明: 于是 ① 学以致用 人教A版选择性必修二第四章 数列 用数学归纳法证明等式: 牛刀小试 人教A版选择性必修二第四章 数列 牛刀小试 人教A版选择性必修二第四章 数列 用数学归纳法证明不等式: 牛刀小试 人教A版选择性必修二第四章 数列 1.这节课学习了哪些知识? 2.用到了哪些数学方法和思想? 课堂小结 人教A版选择性必修二第四章 数列 2. 完成对应的课时训练并预习下一课时内容. 1.课本第47页习题第1、2题; 布置作业 人教A版选择性必修二第四章 数列 引入课题 人教A版选择性必修二第四章 数列 用数学归纳法证明“凸 边形的内角和等于 ”时,归纳奠基中 的取值应为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 用数学归纳法证明等式 时,第一步验证 时,左边应取的项是( ) A.1 B. C. D. 已知数列 满足 , ( ),计算 , , ,猜想其通项公式,并证明你的猜想. 计算可得 , , .再结合 ,由此猜想: ( ). 我们自然会想到从 开始一个个往下验证.一般来说,与正整数 有关的命题,当 比较小时可以逐个验证,但当 较大时,验证起来会很麻烦.特别是证明 取所有正整数都成立的命题时,逐一验证是不可能的.因此,我们需要另辟蹊径,寻求一种方法: 我们先从多米诺骨牌游戏说起.码放骨牌时,要保证任意相邻的两块骨牌,若前一块骨牌倒下,则一定导致后一块骨牌倒下.这样,只要推倒第 块骨牌,就可导致第 块骨牌倒下;而第 块骨牌倒下,就可导致第 块骨牌倒下; 总之,不论有多少块骨牌,都能全部倒下. 可以看出,条件(2)实际上是给出了一个递推关系:第 块骨牌倒下 第 块骨牌倒下. 显然,如果能得到一个类似于“第 块骨牌倒下 第 块骨牌倒下”的递推关系,那么猜想的正确性也就得到证明了.为此,我们先回顾一下猜想的获得过程: 由 ,利用递推关系,推出 ; 由 ,利用递推关系,推出 ; 由 ,利用递推关系,推出 ; 我们发现,上述过程蕴含着一个与多米诺骨牌游戏的条件(2)类似的递推结构: 以 成立为条件,推出 也成立. 它相当于命题:当 时猜想成立,则 时猜想也成立. 只要能够证明这个命题,我们就可以在 的条件下,由这个命题得到:对任意正整数 , 成立. 即当 时,猜想也成立. 事实上,如果 时猜想成立,即 ,那么 这样,对于猜想“ ”,由 成立,就有 成立;由 成立,就有 成立; 所以,对于任意正整数 ,猜想都成立,即数列 的通项公式是 ( ). (1)(归纳奠基)证明当 ( )时命题成立; (2)(归纳递推)以“当 ( , )时命题成立”为条件,推出“当 时命题也成立”. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从 开始的所有正整数 都成立,这种证明方法称为数学归纳法(mathematical induction). 若 为真,则 也为真. 完成这两步,就有 真, 真 真, 真 从而完成证明. 记 是一个关于正整数 的命题.我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下: 条件:(1) 为真;(2)若 ( , )为真,则 也为真. 结论: 为真. 在数学归纳法的两步中,第一步验证(或证明)了当 时结论成立,即命题 为真;第二步是证明一种递推关系,实际上是要证明一个新命题: 例1:用数学归纳法证明:如果 是一个公差为 的等差数列,那么 对任何 都成立. 分析:因为等差数列的通项公式涉及全体正整数,所以用数学归纳法证明的第一步应证明当 时命题成立.第二步要明确证明的目标,即要证明一个新命题:如果当 时①式是正确的,那么当 时①式也是正确的. (1)当 时,左边 ,右边 ,①式成立. (2)假设当 ( )时,①式成立,即 例1:用数学归纳法证明:如果 是一个公差为 的等差数列,那么 对任何 都成立. 分析:因为等差数列的通项公式涉及全体正整数,所以用数学归纳法证明的第一步应证明当 时命题成立.第二步要明确证明的目标,即要证明一个新命题:如果当 时①式是正确的,那么当 时①式也是正确的. 即当 时,①式也成立. 由(1)、(2)可知,①式对任何 都成立. 用数学归纳法证明: ,其中 . 设 为数列 的前 项和,且对于 ,都有 成立. (1)求 ; (2)猜测数列 的通项公式并用数学归纳法证明. 用数学归纳法证明: . $