期末复习07图形的相似期末冲刺必备讲义(2)(核心考点+常考题型精析+压轴题型通关)2025-2026学年北师大版九年级数学上册

该初中数学讲义以“图形的相似”为核心，通过表格系统梳理知识体系，涵盖相似三角形性质（对应角边关系、周长面积比）、位似图形定义与性质、作图方法及坐标系变换规律，重点标注高频考点与易错点，构建清晰知识脉络。 讲义亮点在于分层设计11类常考题型，从基础计算到综合压轴，如动点问题分析、实际应用（测量路灯高度）等，培养推理意识与应用意识。配套典例与跟踪专练，附易错点警示，助力学生突破难点，教师可实施精准分层教学。

期末复习07图形的相似期末冲刺必备讲义(2) 1.熟练掌握相似三角形的各项性质，能灵活运用性质解决线段比例、角度计算、周长与面积相关问题。 2.理解位似图形的定义、性质，能准确判断位似图形，掌握位似作图方法及平面直角坐标系中的位似变换规律。 3.建立相似与位似的关联，能综合运用知识点解决几何证明、计算及实际应用问题，突破易错点。 期末必备 知识点梳理 1.相似三角形的性质 2.位似图形的定义与性质 3.位似图形的作图(期末实操考点) 4.平面直角坐标系中的位似变换(高频考点) 5.易错点警示 常考题型 精讲精炼 1.利用相似三角形性质的计算与求解 2.相似三角形的判定方法与性质综合应用 3.网格背景下相似三角形的作图技巧 4.相似三角形中动点问题的分析与求解 5.相似三角形重心的性质及应用 6.相似三角形的实际应用 7.相似三角形的多考点综合问题突破 8.位似图形相似比的计算方法 9.位似图形放大或缩小作图 10.求位似图形的坐标 11.坐标系内位似图形的相似比.周长比或面积比求解 期末备考 压轴通关 压轴题(16题) 【知识点01.相似三角形的性质】 1. 对应角与对应边 这是相似三角形最根本的性质，也是其定义的直接体现。 对应角相等：如果两个三角形相似，那么它们的对应角是相等的。 对应边成比例：如果两个三角形相似，那么它们的对应边的比值是相等的，这个比值就是相似比。 2. 对应高、对应中线、对应角平分线 相似三角形不仅边和角对应成比例，它们对应位置的 “三线”（高、中线、角平分线）也具有相同的比例关系。 性质：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。 对应高的比：若 △ABC ~ △A'B'C'，AD 和 A'D' 分别是它们的对应高，则 AD/A'D' = k。 对应中线的比：若 △ABC ~ △A'B'C'，AM 和 A'M' 分别是它们的对应中线，则 AM/A'M' = k。 对应角平分线的比：若 △ABC ~ △A'B'C'，AE 和 A'E' 分别是它们的对应角平分线，则 AE/A'E' = k。 3. 周长与面积 相似三角形的周长和面积与相似比有着密切的联系。 周长的比：相似三角形的周长比等于相似比。 例如：若 △ABC ~ △A'B'C'，相似比为 k，则 (AB + BC + AC) / (A'B' + B'C' + A'C') = k。 面积的比：相似三角形的面积比等于相似比的平方。 例如：若 △ABC ~ △A'B'C'，相似比为 k，则 S△ABC / S△A'B'C' = k²。 理解：这是因为面积的计算通常涉及到 “底 × 高”，而底和高都与相似比 k 成正比，所以面积就与 k² 成正比。 【知识点02.位似图形的定义与性质】 1.位似图形的定义 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。 关键点： 相似：位似图形首先必须是相似图形。 共点：所有对应点的连线都交于同一点，这个点叫做位似中心。 比例：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比（即位似图形的相似比）。 2. 位似图形的性质 (1)位似图形是相似图形：这是位似的前提，因此位似图形具有相似图形的一切性质（对应角相等，对应边成比例）。 (2)对应点连线共点：所有对应点和位似中心在同一条直线上。 (3)对应点到位似中心的距离之比等于位似比：若点 A 和点 A' 是位似图形上的一对对应点，O 是位似中心，则 OA / OA' = k（k 为位似比）。 (4)位似图形的对应线段平行或在同一直线上。 【知识点03.位似图形的作图】 利用位似可以将一个图形放大或缩小，作图步骤如下： 1.确定位似中心O。 2.连接图形上的关键点（如顶点）与位似中心 O。 3.根据位似比 k，在连接线上（或其延长线上）截取对应点。* *若 k > 1，图形被放大。 *若 0 < k < 1，图形被缩小。 *若 k < 0，对应点在位似中心的另一侧，得到的是原图形的镜像。 4.顺次连接这些对应点，得到放大或缩小后的位似图形。 【知识点04.平面直角坐标系中的位似变换】 1.以圆点O为位似中心(最基础.最常考) 以原点为位似中心，位似比为k（k≠0），原点点P(x, y)的对应点P'坐标分两种： *同向位似：P'(kx, ky)，图形与原图形在原点同侧，无镜像。 *反向位似：P'(-kx, -ky)，图形与原图形关于原点对称，有镜像。 备注：k>1放大，0<|k|<1缩小，k=-1时与原图形关于原点对称且全等。 2.以非原点为位似中心（难点、易错点） 位似中心为O'(a, b)（非原点），位似比为k，按“平移→变换→回移”三步求对应点坐标： 平移：P在新坐标系（原点为O'）的坐标为(x - a, y - b)； 变换：同向位似得(k(x - a), k(y - b))，反向位似得(-k(x - a), -k(y - b))； 回移：对应点P'坐标为(k(x - a)+a, k(y - b)+b)（同向）或(-k(x - a)+a, -k(y - b)+b)（反向）。 【知识点05.易错点警示】 1.对应关系混淆：务必按字母顺序找对应边、角、线段，对应错则计算全错。 2.面积比与相似比混淆：牢记“面积比=相似比的平方”，注意开方与平方运算。 3.位似判定误区：相似图形不一定是位似图形，需满足“对应点连线共点”。 4.坐标系位似错误：勿漏反向位似的负号，非原点位似不能直接套原点点规律。 5.作图不规范：需标注位似中心、位似比，精准截取对应点，避免图形偏差。 【题型1.利用相似三角形性质的计算与求解】 【典例】如图，，点在上，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形对应边成比例，解决本题的关键是找出相似三角形的对应边，再写出比例式子． 【详解】解：， ，，， 正确． 故选：C． 【跟踪专练1】小聪利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度．如图，身高的小聪从路灯灯泡A的正下方点B处，沿着平直的道路走到达点D处，测得影子长是，则路灯灯泡A离地面的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质综合，利用相似三角形的性质求解，相似三角形实际应用，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先证明，再列出比例式，然后求出相关线段，代入比例式求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵身高的小聪从路灯灯泡A的正下方点B处，沿着平直的道路走到达点D处，测得影子长是， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由A出发沿方向向点C匀速运动，速度为，连接．设运动的时间为，其中当和相似时，t的值为（   ） A．3或1 B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． 先利用勾股定理计算出，由于为公共角，根据相似三角形的判定方法，当时，∽，即；当时，∽，即，然后分别解方程得到t的值． 【详解】解：，，， ， 根据题意得，，则， ， 当时，∽， 即， 解得； 当时，∽， 即， 解得， 综上所述，t的值为或， 故选：． 【题型2.相似三角形的判定方法与性质综合应用】 【典例】.如图，在中，，是边上的高，，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据，是边上的高，证明，故，则，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 则 ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在平行四边形中，点是边上的一点，且，交对角线于点，则为（　　） A．60 B．45 C．18 D．15 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是证明． 先证，根据相似三角形的面积比等于边长比的平方求解． 【详解】解：∵平行四边形中，， ， ∴， ， ， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，长方形的边在的边上，顶点D、G分别在、上．已知的边长，高为，且长方形的长是宽的2倍，那么的长度是 ． 【答案】 【分析】此题重点考查矩形的性质、两条平行线之间的距离处处相等、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 设交于点I，由矩形的边在的边上，顶点D、G分别在、上，得，则，由矩形的长是宽的2倍，得，由是的高，得，，则，由，得，而，，所以，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点I， 矩形的边在的边上，顶点D、G分别在、上， ， ， 矩形的长是宽的2倍， ， 是的高， ， ， ， ， ，，， ， ， ，， ， 解得， 的长度是， 故答案为：． 【题型3.网格背景下相似三角形的作图技巧】 【典例】如图，都是方格纸中的格点．为使，则点应是四点中的（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质,为使,需满足对应边成比例和对应角相等的条件,通过分析的形状和比例,确定中点的位置,使得与,与,与成比例. 【详解】解：应该为; 当在时,若设每一个小正方形的边长为， 则的各边分别为， 原的各边长为， 此时对应边成比例且比例相等为， 则可得到两个三角形相似， 故选：C ． 【跟踪专练1】在每个小正方形的边长都为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图形中的格点三角形，则该图中所有与相似的格点三角形中，最大的三角形面积是 ．    【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质．根据相似三角形的性质，相似三角形中，最大的三角形的长边等于，画出这个相似三角形即可解决问题． 【详解】图中所有与相似的格点三角形中，最大的如图所示： ． 故答案为：． 【跟踪专练2】下列四个1×5的正方形网格中，均有两个涂色的三角形，其中在同一网格中的两个三角形相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，理解并掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形网格的特点和勾股定理，计算出对应的角度或者边长即可判定相似三角形． 【详解】解：．由图可知，两个三角形中都有一个的夹角，且该角的两边比例为，那么，两个涂色的三角形相似，该选项正确，符合题意； ．第一个三角形为等腰三角形，且边长为，第二个三角形边长分别为和3，那么，两个涂色的三角形不相似，该选项错误，不符合题意； ．第一个三角形三边长为1，和，第二个三角形边长分别为和3，那么，两个涂色的三角形不相似，该选项错误，不符合题意； ．第一个三角形三边长为1，2和，第二个三角形边长分别为和3，那么，两个涂色的三角形不相似，该选项错误，不符合题意； 故选：A． 【题型4.相似三角形中动点问题的分析与求解】 【典例】如图，在中，，，点M从点A开始沿边向点B以1个单位长度/秒的速度移动，点N从点B开始沿C边向点C以2个单位长度/秒的速度移动，如果点M，N分别从点A，B同时出发，经过 秒后，与相似． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据与相似，分两种情况：（1）当与是对应边时，（2）当与是对应边时，进行计算即可． 【详解】解：设经过x秒后，与相似， 则，， ∵， ∴（1）当与是对应边时， ，即，解得； （2）当与是对应边时， ，即，解得． 故经过或1秒后，与相似． 故答案为：1或． 【跟踪专练1】如图，在钝角三角形中，，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为/秒，点E运动的速度为/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（    ） A．3秒或4.8秒 B．3秒 C．4.5秒 D．4.5秒或4.8秒 【答案】A 【分析】此题考查了相似三角形的性质，解题时要注意此题有两种相似形式，别漏解；还要注意运用方程思想解题． 根据相似三角形的性质，由题意可知有两种相似形式，和，可求运动的时间是3秒或4.8秒． 【详解】解：根据题意得：设当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是x秒， ①若，则， ∴， 解得：； ②若，则， ∴， 解得：． ∴当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是3秒或4.8秒． 故选：A 【跟踪专练2】如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动；点从点开始沿边向点以的速度移动，且，两点同时出发，用表示移动的时间，当 时，与相似． 【答案】或 【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的性质，根据题意可得，则，利用勾股定理求出的长，可分和两种情况，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴只存在和这两种情况， 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 综上所述，或时，与相似． 故答案为：或． 【题型5.相似三角形重心的性质及应用】 【典例】如图，为边长为1个单位长度的正方形网格中的格点三角形，则其重心在（    ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】B 【分析】本题主要考查了重心的概念，掌握重心是三角形中线的交点是关键． 根据三角形的重心是三角形中线的交点即可判断重心的位置． 【详解】解：∵， ∴是的中线， ∵三角形的重心是三角形中线的交点， ∴它的重心在线段上． 故选：B． 【跟踪专练1】如图，中，，I为重心，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的重心、直角三角形斜边上的中线性质等知识点，掌握三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为是解题的关键． 如图：延长交于D，根据直角三角形斜边上的中线性质求出，根据重心的性质求出的长即可． 【详解】解：如图：延长交于D， ∵I为重心， ∴是的中线，，即 ∵， ， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在的正方形网格中，点，，，都在网格的格点上，点是的重心，则下列说法中正确的是（    ） ①连接，则；②连接，，则；③连接，则；④连接，，则． A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的外角的性质，三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，熟记三角形的重心的性质是解本题的关键．如图，连接并延长交于，连接，证明，再结合相似三角形的性质可判断①③④，再结合三角形的外角的性质可判断②，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接并延长交于，连接， ∵为的重心， ∴，， 由图形可得：，则， ∵， ∴， ∴，， ∴，，故③符合题意； ∴，故①符合题意； ∵，， ∴， ∴，故④不符合题意； ∵，， ∴，故②不符合题意； 故选：C． 【题型6.相似三角形的实际应用】 【典例】在数学活动课上，小东利用镜子、尺子等工具测量学校教学楼高度（如图所示），当他刚好在点处的镜子中看到教学楼的顶部时，测得小东的眼睛与地面的距离，同时测得，，则教学楼高度 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形的判定和性质列出比例式，即可求解． 【详解】解：由题意可知，，， ∴， ∴， 即， 解得， 则教学楼高度， 故答案为：． 【跟踪专练1】手电筒的灯泡位于点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处．点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点在同一水平面上，则灯泡到地面的高度为（   ） A．1m B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题关键是掌握相似三角形的判定和性质． 根据题意得出，然后利用对应边成比例进行求解即可． 【详解】解：根据题意得，，， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， 即， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，一个装有液体的锥形瓶轴截面是轴对称图形，底部，当处于水平位置时，液面宽，液体高度，此时往瓶中再倒入一些液体，液面上升到宽，则此时液体的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．利用轴对称的性质求得，，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：如图，由题意得，，，， ∵锥形瓶轴截面是轴对称图形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 故答案为：． 【题型7.相似三角形的多考点综合问题突破】 【典例】如图，与是位似图形，位似中心为，，下列结论正确的有（    ） ①与的相似比为；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查位似图形的性质、相似多边形的性质，根据位似图形的性质、相似多边形的性质判断即可；掌握位似图形的性质是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是位似图形，位似中心为， ∴ ∴与的相似比为，，故①正确，②错误； ∴，，故③正确，④错误． 故正确的个数是个， 故选：B． 【跟踪专练1】如图，已知，若，，则 . 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质； 根据，可得，，根据，，即可求解； 【详解】解：由， 可得，， 故，， 故， 即， 解得 故答案为： 【跟踪专练2】如图，在中，，，C、D在边上，且是边长为4的等边三角形，那么的长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，由等边三角形的性质可得，，再证明，利用相似三角形的性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵是边长为4的等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：或， 故的长是或， 故答案为：或． 【题型8.位似图形相似比的计算方法】 【典例】如图，和是位似三角形，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，位似图形的面积之比等于位似比的平方，据此可得答案． 【详解】解：∵和是位似三角形， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，已知，，与位似，原点是位似中心．若的周长表示为，则的周长表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据位似中心的性质，求出两三角形的位似比，然后根据相似三角形的周长之比等于位似比解答即可． 本题考查了位似图形的性质，相似三角形的性质，求得位似比是解题的关键． 【详解】解：∵，，与位似，原点是位似中心． ∴位似比为， ∵的周长表示为，则的周长表示为． 故选：A． 【跟踪专练2】如图， 在平面直角坐标系中， 四边形的顶点坐标分别是，，，，若四边形与四边形关于原点位似，且四边形的面积是四边形面积的倍，则点的坐标可能为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了位似变换的概念和性质，四边形的面积是四边形面积的倍，则四边形与四边形为，从而可得出点的坐标，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：∵四边形的面积是四边形面积的倍， ∴四边形与四边形为， ∵， ∴点的坐标为或，即或． 故答案为：或． 【题型9.位似图形的放大或缩小作图】 【典例】如图，在由小正方形组成的网格中，以点为位似中心，作与的相似比为的位似图形，则点的对应点可能为（   ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了作图-位似变换，连接并延长，使得，得到的对应点，即可求解． 【详解】解：如图所示连接并延长，使得，得到的对应点为，    故选：A． 【跟踪专练1】已知，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将在第一象限内按相似比2：1放大后得，若点的坐标为（2，3），则点的坐标为 ． 【答案】（4，6） 【分析】根据以原点为位似中心，将在第一象限内按相似比2：1放大后得，即可得出对应点的坐标应乘以2，即可得出点的坐标． 【详解】解：根据以原点为位似中心，将在第一象限内按相似比2：1放大后得， ∴对应点的坐标应乘以2， ∵点的坐标为（2，3）， ∴点的坐标为，即（4，6） 故答案为（4，6）． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的位似图形的性质，得出对应点的坐标乘以k或-k是解答本题的关键． 【跟踪专练2】已知在直角坐标系中的位置如图所示，以O为位似中心，把放大2倍得到，那么的坐标为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查位似变换和坐标与图形性质．根据点在平面直角坐标系中的位置得到点坐标，结合以原点为位似中心的位似变换放大2倍，那么位似图形对应点的坐标的比等于2或解答即可． 【详解】解：根据题意可得，， ∵以O为位似中心，把放大2倍得到， ∴则的坐标为或，即或， 故选：D． 【题型10.求位似图形的对应坐标】 【典例】如图，矩形中，，，已知矩形与矩形位似，位似中心为，矩形的面积等于，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似图形是相似图形以及相似多边形的性质是解题的关键．根据位似图形的概念得到矩形矩形，根据相似多边形的性质求出相似比，根据位似图形与坐标的关系计算，得到答案． 【详解】解：如图 矩形与矩形关于点位似， 矩形矩形， 矩形的面积等于矩形面积的， 矩形与矩形的相似比为， 矩形中，，，则点的坐标为， ∴点的坐标为或，即或． 故答案为：或． 【跟踪专练1】如图，中，两个顶点在轴上方，点的坐标是，以点为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，得到，并把放大到原来的2倍，设点的对应点的横坐标为2，则点的横坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形的性质、相似三角形的判定与性质、点坐标与图形、熟练掌握位似图形的性质是解题关键．过点作轴于点，过点作轴于点，先求出，，再根据位似图形的性质可得点在同一条直线上，且，然后证出，根据相似三角形的性质可得的长，则可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∵点的坐标是，点的对应点的横坐标为2， ∴，， ∵以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，得到，并把放大到原来的2倍， ∴点在同一条直线上，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 又∵点位于第二象限， ∴点的横坐标为， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，三个顶点的坐标分别为，，，点为的中点．以点为位似中心，把缩小为原来的，得到，点为的中点，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形、两点间距离公式、位似图形的性质，解本题的关键是熟练掌握位似图形的性质．根据中点坐标公式求出点，根据位似图形的性质得出点的坐标为或，根据两点间距离公式分别求出的长即可． 【详解】解：∵，，点为的中点， ∴点M的坐标为，即， ∵以点为位似中心，把缩小为原来的，得到，点为的中点， ∴点的坐标为或， 即点的坐标为或， ∴的长为：； 或； 故答案为：或． 【题型11.坐标系内位似图形的相似比.周长比或面积比求解】 【典例】如图，把放大后得到，则与的相似比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求两个位似图形的相似比，根据题意把放大后得到，则与位似，从而得到与的相似比等于对应点到位似中心线段的比，即，从而得到答案，掌握相似三角形的相似比与位似图形之间线段的比例关系是解题的关键． 【详解】解：∵放大后得到， ∴与位似， ∴与的相似比为， 故选：C． 【跟踪专练1】如图，五边形与五边形是位似图形，位似中心为点O，且，那么 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了位似变换的定义、相似图形的性质等知识点，掌握位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比是解题的关键． 根据已知条件求得两个图形的位似比，然后由位似图形的面积之比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴五边形与五边形的相似比为， ∴五边形是将五边形放大到原来的4倍， ∴． 故答案为：4． 【跟踪专练2】.如图，以某点为位似中心，将进行位似变换得到，记与对应边的比为，那么位似中心的坐标和的值分别为（   ） A．，2 B．， C．，2 D．，3 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形的知识；连接、，由位似图形的性质得为位似中心，结合题意计算即可得到答案． 【详解】解：连接、，并延长交点为， 则为位似中心，由图形知点的坐标为， ∴，即． 故选：B． 1．的三个顶点坐标分别为，，，关于的面积，下列说法正确的是（   ） A．只与的大小有关 B．只与的大小有关 C．与、的大小都无关 D．与、的大小都有关 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形，整式的混合运算，割补法求不规则图形的面积，三角形的面积公式，熟练掌握割补法求不规则图形面积的方法是解题的关键．先在坐标系中画出三角形，沿着三角形的顶点作关于坐标轴的垂线，构造矩形，根据割补法表示出三角形的面积，结合整式的混合运算，化简即可求解． 【详解】解：如图：过点作轴，过点作轴，与交于点；过点作轴，与交于点；过点作轴，与交于点； ∵，，， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 故，，， ，，， 的面积四边形的面积的面积的面积的面积， ， 即的面积是固定值，与与、的大小都无关． 故选： C． 2．如图，O是内任意一点，D、E、F分别为、、上的点，且与是位似三角形，位似中心为O．若，则与的面积比为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查位似图形的性质，掌握“位似图形的面积比等于位似比的平方”是解题的关键；先计算位似比再根据位似图形的面积比等于位似比的平方进行计算即可． 【详解】∵ ， ∴， ∴． ∵与是位似三角形，位似中心为O， ∴，且相似比为． ∵相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴与的面积比为． 3．设矩形的面积为2025，点在边上．则以、、的重心为顶点构成的三角形的面积为 ． 【答案】225 【分析】本题考查了三角形的重心的性质、矩形的性质，通过建立坐标系，设矩形边长，利用重心坐标公式求得三个重心点坐标，再计算所构成三角形的面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系， ， 设，，则矩形面积为， ∵点在上， ∴设点的坐标为． 由的顶点为，，，可得其重心坐标为，即． 由的顶点为，，，可得其重心坐标为，即． 由的顶点为，，，可得其重心坐标为，即； ∵点和的纵坐标相同， ∴线段平行于轴，其长度为， ∵点的纵坐标为，与的垂直距离为． 因此，的面积为． 代入，得面积为， 故答案为：． 4．如图，在太阳光照射下，电线杆的影子落在地面和墙壁上，同一时刻，小明在地面上竖立一根高的标杆，量得其影长为，此时他又量得电线杆落在地面上的影子长为，墙壁上的影子高为．小明用这些数据很快算出了电线杆的高为 m． 【答案】 【分析】在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程求解即可． 【详解】解：如图，假设没有墙，则影子落在点． 杆高与影长成正比例， ， ． ， ， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题关键是知道在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同这个结论． 5．如图，四边形中，对角线，交于点，若，则下列结论中正确的有 个（    ） ①                ②与的周长比为 ③        ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．解题关键是通过角的关系判定三角形相似，再利用相似三角形的性质（对应边成比例、周长比等于相似比、面积比与相似比的关系）分析各结论．易错点在于对相似三角形对应角、对应边的判断，以及对三角形角和边的关系的过度推导（如结论③中错误认为角相等）． 对于结论①，由和，判定，根据相似三角形对应边成比例，可得，故①正确． 对于结论②，相似三角形的周长比等于相似比，与的相似比为（或），因此周长比为，故②正确． 对于结论③，由变形得，结合，判定，得，但与无必然相等关系，故③错误． 对于结论④，利用“同高三角形面积比等于底的比”，结合相似三角形的比例关系，可推出，故④正确． 【详解】已知，且， ． ， 因此结论①正确． 与的周长比等于相似比，即（或）． 因此结论②正确． 由，可变形为， 又，所以，则． 但与不一定相等， 因此结论③错误． 设的面积为，的面积为，的面积为，的面积为． 因为与同高，所以； 因为与同高，所以，即， ． 因此结论④正确． 综上，结论①、②、④正确，共3个． 故选：C． 6．中国象棋是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂，如图所示的是中国象棋棋盘的一部分（设各个小正方形的边长均为1），根据“马走日”的规则“马”落在位置________（从①②③④中选择合适的序号填写）处，能使“马”“炮”“兵”所在位置的格点连接成的三角形与“帅”“车”“相”所在位置的格点连接成的三角形相似．（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】利用勾股定理求得三角形的各边的长，确定“帅”、“车”“相”所在位置的格点构成的三角形的三边的长，然后利用相似三角形的对应边的比相等确定第三个顶点的位置即可． 本题考查了勾股定理，相似三角形的判定，熟练掌握定理和相似的判定是解题的关键． 【详解】解：由图可知：“帅”、“车”、“相”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为4，2，， A. ①时，“马”“炮”“兵”所在位置的格点连接不成三角形，不符合题意；     B. ②时，“兵”、“炮”之间的距离为2，“炮”与②之间的距离为1，“兵”与②之间的距离为，能构成三角形，且，此时两个三角形满足相似，故马应该落在②的位置，符合题意； C. ③时，“兵”、“炮”之间的距离为2，“炮”与③之间的距离为3，“兵”与③之间的距离为，能构成三角形，且，此时两个三角形不满足相似，不符合题意； D. ④时，构成的三角形不是直角三角形，不满足三角形的相似，不符合题意， 故选：B． 7．如图：将等边三角形纸片折叠，使点落在边上的处，为折痕．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质，根据等边三角形的三个内角都是，可证，根据相似三角形的性质可知，设，，，可得，代入用含的代数式表示、，从而求出的值． 【详解】解：是等边三角形， ， 由折叠可知，，， ， 在中，， ， ， 又， ， ， ， ， 设，，， 则，， ， ，， ， ， 整理可得：， ，， ． 故选：A． 8．如图，在中，，，，动点，分别从点，同时开始移动，点的速度为，点的速度为．当点移动到点时，点也随之停止移动．若和相似，则点移动的时间为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质，设点移动的时间为，由题意得，，，然后求出，再分当时，当时两种情况分析即可，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：设点移动的时间为，由题意得，，， ∴， ∵， ∴， 当时， ∴， ∴，解得：，此时符合题意； 当时， ∴， ∴，解得：，此时不符合题意； 综上可得：， 故选：． 9．如图，在边长为的菱形中，，将菱形沿折叠，使点的对应点落在对角线上．若，则的长为 ，的长为 cm． 【答案】 / 【分析】由折叠的性质可知，，，则，因为四边形是菱形，则，，则推出为等边三角形，则，，推出，又因为，则，则，因为，推出，则，设，，，则，求出；又因为，即，解得，又因为，即，则；推出． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，， ∴， 即； 又∵， 即， 解得， ∵， 即， ∴； ∴）， 故答案为：，． 【点睛】本题考查翻折变换，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，相似三角形的判定及性质，解题的关键是掌握相关知识． 10．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标是，点A的坐标是，且线段是由线段以位于y轴右侧的点P为位似中心放大3倍得到的，则点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求位似图形对应点坐标，根据位似图形的性质可得，据此可得，即点的坐标是． 【详解】解：∵线段是由线段以点为位似中心放大3倍得到的， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标是， 故答案为：． 11．如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格点上． (1)在所给网格中，以点为位似中心，画出，使得与位似，且位似比为，点的对应点为点，点的对应点为点； (2)直接写出和的面积之比为___________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据位似的基本作图，解答即可； （2）根据面积之比等于位似比的平方解答即可． 本题主要考查作图—位似变换，解题的关键是掌握位似变换的定义与性质． 【详解】（1）解：根据题意，画图如下： 则即为所求． （2）解：面积之比等于位似比的平方， 和的面积之比为， 故答案为：． 12．如图，在平面直角坐标系中，与关于点P位似，其中顶点A，B，C的对应点依次为，，，且都在格点上． (1)请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心P； (2)写出点P的坐标为_____，与的面积比为_____，_____； (3)请在图中画出，使之满足如下条件： ①与关于点P位似，且与的位似比为； ②与位于点P的同侧． 【答案】(1)见解析 (2)；； (3)见解析 【分析】本题考查了位似图形的作图，位似图形的性质，求格点三角形的面积，熟练掌握位似图形的作图及位似图形的性质是解题的关键． （1）连接，，根据位似图形的性质，即知两线段的交点P即为所求； （2）由图可直接得到点P的坐标；根据位似图形的性质，即可求得与的面积比；用正方形的面积减去三个三角形的面积即可； （3）根据位似图形的性质，分别取，，的中点，，，连接，，即可． 【详解】（1）解：如图，点P就是位似中心； ； （2）解：由图可知，点P的坐标为； 根据图形可知，，， 与关于点P位似， 与的面积比为， ． 故答案为：；；． （3）解：如图，就是所求作的三角形． 13．综合与实践 【探究课题】确定匀质薄板的重心位置． 任务一：探究三角形匀质薄板的重心位置 如图1，用悬挂法确定三角形匀质薄板的重心位置，得出结论：三角形三边中线的交点是三角形匀质薄板的重心． 任务二：探究平行四边形匀质薄板的重心位置 如图2，用悬挂法确定平行四边形匀质薄板的重心位置，发现：平行四边形匀质薄板的重心在两条对角线（不相邻顶点所连线段）的交点处，且重心的坐标为，其中，表示点，的横坐标，，表示点，的纵坐标． 任务三：探究组合图形匀质薄板的重心位置 通过实验操作，得出结论：若一个平面图形组合图形匀质薄板的重心坐标为，面积为，被分成部分匀质薄板的重心坐标分别为，，，，面积分别为，，，，则，．如图，“”形匀质薄板中，，，，确定该薄板的重心位置的步骤：①先求出该薄板的面积；②将该薄板分为两个长方形薄板，，以为原点，以为单位长度建立平面直角坐标系（如图）；③确定长方形薄板的重心为，面积；长方形薄板的重心为，面积；④求出，，得到该匀质薄板的重心坐标为． 【解决问题】 (1)如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点，，，，，，均在小正方形的顶点上，则的重心是（   ） A．点    B．点    C．点    D．点 (2)如图，正方形中，，求正方形的重心坐标； (3)如图，多边形中，，，，，请以点为原点，为单位长度建立平面直角坐标系，并求出重心的坐标． 【答案】(1)A； (2)； (3)见解析，． 【分析】本题考查坐标与图形的应用、有理数的混合运算，解决本题的关键是读懂材料中重心定义和运算法则． 根据重心的定义，作出的三条中线，三条中线的交点即为的重心； 根据正方形的性质可知点的坐标是，根据正方形对角线的交点就是正方形的重心，可知正方形的重心是线段中点的坐标，根据平面直角坐标系中两点中点的坐标公式求解即可； 把多边形分成三个规则的矩形：正方形、长方形、正方形，根据重心的定义分别求出三个矩形的重心，再根据不规则图形重心的公式求解即可． 【详解】（1）解：如下图所示，三条中线的交点是点， 的重心是点， 故选：A； （2）解：四边形是正方形，点的坐标是， ， 点的坐标是， 线段中点的坐标是， 正方形的重心坐标为； （3）解：如下图所示，建立平面直角坐标系分割图形， 多边形的面积为， 点的坐标是，点的坐标是， 正方形的重心坐标是，， 点的坐标是，点的坐标是， 四边形的重心坐标是,， 点的坐标是，点的坐标是， 正方形的重心坐标是，， ，， ． 14．如图：与相交于点F，点E在线段上，且．若，． (1)求EF的值； (2)如果，求的长． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定等知识． （1）证明，得到，进而得到．证明，得到即可求出； （2）证明，得到，即可求出． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 即， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 15．瑞光塔位于江苏省苏州市区西南隅盘门内，始建于北宋景德元年．某数学兴趣小组决定利用所学知识测量瑞光塔的高度，如图，瑞光塔的高度为，在地面上取E，G两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且瑞光塔，标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，、、三点成一线；从标杆后退到处（即），从处观察点，、、三点也成一线．已知、、、、在同一直线上，，，，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出瑞光塔的高度（结果精确到）． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，设，则，证明，得到，，根据，得到 ，解方程即可得到答案． 【详解】解：设，则， ，，， ，， ，， ，， ， ， 即， 解得：， 经检验，是原方程的解， ， ， 答：瑞光塔的高度约为． 16．如图，在中，，点P从A点开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动． (1)如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，与相似？ (2)如果P、Q分别从A、B两点同时出发，并且P到B又继续在边上前进，Q到C后又继续在边上前进，经过几秒钟，的面积等于12厘米2？ 【答案】(1)经过秒或秒时，△与△相似 (2)经过秒或秒时，△的面积等于12厘米 【分析】此题是相似形的综合题，考查了三角形的面积，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）首先设经过秒，△与△相似，则，，，分两种情况，若△△和△△，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案； （2）设经过秒，分、或时，三种情况讨论，根据三角形的面积公式，列出一元二次方程，解方程即可得出的值． 【详解】（1）解：由题意得：，，， 设经过秒，△与△相似，则，，， ①若△△，则， 即， ， ②若△△，则， 即， 解得：， 经过秒或秒时，△与△相似； （2）解：，， ， 设时间为秒， 当时，点移动到上，点移动到上， 此时，，， 由题意得， 整理得， 解得或（舍去）； 当时，点移动到上，点移动到上，过作，垂足为， 此时， ，，， ，， ， △△， ，即，即：， 由题意得， 整理得， 解得：（舍去）或（舍去）； 当时，点移动到上，且有，点移动到上，且， 过作，垂足为， ，， ， △△， ， 即，即：， 由题意得， 整理得， 解得或（舍去）； 综上所述，经过秒或秒时，△的面积等于12厘米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习07图形的相似期末冲刺必备讲义(2) 期未复习目标 1.熟练掌握相似三角形的各项性质，能灵活运用性质解决线段比例、角度计算 周长与面积相关问题。 2.理解位似图形的定义、性质，能准确判断位似图形，掌握位似作图方法及平 面直角坐标系中的位似变换规律。 3.建立相似与位似的关联，能综合运用知识点解决几何证明、计算及实际应用 问题，突破易错点。 2 期末复习内容概览 期末必备 1.相似三角形的性质 2.位似图形的定义与性质 知识点梳理 3.位似图形的作图（期末实操考点 4.平面直角坐标系中的位似变换 (高频考点) 5.易错点警示 1.利用相似三角形性质的计算与求 2.相似三角形的判定方法与性质 解 综合应用 3.网格背景下相似三角形的作图技 4.相似三角形中动点问题的分析 常考题型 巧 与求解 精讲精炼 5.相似三角形重心的性质及应用 6相似三角形的实际应用 7.相似三角形的多考点综合问题突 8.位似图形相似比的计算方法 破 9.位似图形放大或缩小作图 10.求位似图形的坐标 11.坐标系内位似图形的相似比.周长比或面积比求解 期末备考 压轴题(16题) 压轴通关 试卷第1页，共3页 3 期末必备知识点梳理 【知识点O1.相似三角形的性质】 1.对应角与对应边 这是相似三角形最根本的性质，也是其定义的直接体现。 对应角相等：如果两个三角形相似，那么它们的对应角是相等的。 对应边成比例：如果两个三角形相似，那么它们的对应边的比值是相等的，这个 比值就是相似比。 2.对应高、对应中线、对应角平分线 相似三角形不仅边和角对应成比例，它们对应位置的“三线”（高、中线、角 平分线)也具有相同的比例关系。 性质：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。 对应高的比：若△ABC~△A'B'C,AD和A'D'分别是它们的对应高，则 AD/A'D'=ko 对应中线的比：若△ABC~△A'B'C,AM和A'M分别是它们的对应中线，则 AM/A'M=k。 对应角平分线的比：若△ABC~△A'B'C,AE和A'E分别是它们的对应角平 分线，则AE/A'E=k。 3.周长与面积 相似三角形的周长和面积与相似比有着密切的联系。 周长的比：相似三角形的周长比等于相似比。 例如：若△ABC~△A'BC',相似比为k,则(AB+BC+AC)/(A'B'+B'C ’+A'C)=k。 面积的比：相似三角形的面积比等于相似比的平方。 例如：若△ABC~△A'BC',相似比为k,则S△ABC/S△A'BC'=k2。 理解：这是因为面积的计算通常涉及到“底×高”，而底和高都与相似比k 成正比，所以面积就与k2成正比。 【知识点O2.位似图形的定义与性质】 1.位似图形的定义 试卷第1页，共3页 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那 么这样的两个图形叫做位似图形。 关键点： 相似：位似图形首先必须是相似图形。 共点：所有对应点的连线都交于同一点，这个点叫做位似中心。 比例：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比（即位似图 形的相似比)。 2.位似图形的性质 (1)位似图形是相似图形：这是位似的前提，因此位似图形具有相似图形的一切 性质（对应角相等，对应边成比例）。 (2)对应点连线共点：所有对应点和位似中心在同一条直线上。 (3)对应点到位似中心的距离之比等于位似比：若点A和点A’是位似图形上的 一对对应点，0是位似中心，则OA/OA’=k(k为位似比)。 (4)位似图形的对应线段平行或在同一直线上。 【知识点03.位似图形的作图】 利用位似可以将一个图形放大或缩小，作图步骤如下： 1.确定位似中心0。 2.连接图形上的关键点（如顶点）与位似中心0。 3.根据位似比k,在连接线上（或其延长线上）截取对应点。* *若k>1,图形被放大。 *若0<k<1,图形被缩小。 *若k〈0，对应点在位似中心的另一侧，得到的是原图形的镜像。 4.顺次连接这些对应点，得到放大或缩小后的位似图形。 【知识点04.平面直角坐标系中的位似变换】 1.以圆点0为位似中心（最基础.最常考） 以原点为位似中心，位似比为k(k≠0)，原点点P(x,y)的对应点P坐标分两 种： *同向位似：P'(kx,ky),图形与原图形在原点同侧，无镜像 *反向位似：P'(-kx,-ky),图形与原图形关于原点对称，有镜像。 试卷第1页，共3页 备注：k>1放大，0<k<1缩小，k=-1时与原图形关于原点对称且全等。 2.以非原点为位似中心（难点、易错点） 位似中心为0'(a,b)(非原点)，位似比为k,按“平移→变换→回移”三步求 对应点坐标： 平移：P在新坐标系（原点为0'）的坐标为(x-a,y-b); 变换：同向位似得(k(x-a),k(y-b),反向位似得(-k(x-a),-k(y-b); 回移：对应点P坐标为(k(x-a)+a,k(y-b)+b)(同向)或(-k(x-a)+a, k(y-b)+b)(反向)。 【知识点05.易错点警示】 1.对应关系混淆：务必按字母顺序找对应边、角、线段，对应错则计算全错。 2.面积比与相似比混淆：牢记“面积比=相似比的平方”，注意开方与平方运算。 3.位似判定误区：相似图形不一定是位似图形，需满足“对应点连线共点”。 4.坐标系位似错误：勿漏反向位似的负号，非原点位似不能直接套原点点规律。 5.作图不规范：需标注位似中心、位似比，精准截取对应点，避免图形偏差。 常考题型精讲精练 【题型1.利用相似三角形性质的计算与求解】 【典例】如图，△ABC∽△DBA,点D在BC上，则下列各式正确的是() D AB AD A. BD AC B.ABCD BC AB C. D.AB、BD AC CD 【跟踪专练1】小聪利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度.如图，身高1.68m的 小聪从路灯灯泡A的正下方点B处，沿着平直的道路走8m到达点D处，测得影子DE长是 2m,则路灯灯泡A离地面的高度AB为 试卷第1页，共3页 >E D 【跟踪专练2】如图，在RIAABC中，∠ACB=90°，AC=4cm,BC=3Cm,点P由点B 出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s,同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速 运动，速度为1cm/s,连接PQ.设运动的时间为t(s,其中0<t<4.当△ABC和△APQ相似 时，t的值为() A.3或1 B.20或9 4 C.23 D. 20或25 9 9 【题型2.相似三角形的判定方法与性质综合应用】 【典例】.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是边AB上的高， 8分则的 S 值是 B 【跟踪专练1】如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上的一点，且BC=3ED,EC 交对角线BD于点F,S.DEF=5,则SARCD为() A.60 B.45 C.18 D.15 【跟踪专练2】如图，长方形EDFG的边EF在ABC的边BC上，顶点D、G分别在AB、 AC上.已知ABC的边BC长120cm,高AH为40cm,且长方形DEFG的长DG是宽的2 试卷第1页，共3页 倍，那么DE的长度是」 E 【题型3.网格背景下相似三角形的作图技巧】 【典例】如图，A,B,C,P,Q,D,E,F,G都是方格纸中的格点.为使△PQR∽△ABC,则点R应 是D,E,F,G四点中的（) P DEFG B A.点D B.点E C.点F D.点G 【跟踪专练1】在每个小正方形的边长都为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点， 顶点都是格点的三角形称为格点三角形.如图，己知ABC是4×6的网格图形中的格点三 角形，则该图中所有与ABC相似的格点三角形中，最大的三角形面积是 【跟踪专练2】下列四个1×5的正方形网格中，均有两个涂色的三角形，其中在同一网格中 的两个三角形相似的是() A B 0 【题型4.相似三角形中动点问题的分析与求解】 【典例】如图，在ABC中，AB=4,BC=6,点M从点A开始沿AB边向点B以1个单 位长度/秒的速度移动，点N从点B开始沿C边向点C以2个单位长度/秒的速度移动，如 试卷第1页，共3页 果点M,N分别从点A,B同时出发，经过 秒后，△MBN与ABC相似， M 【跟踪专练1】如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm,AC=12cm,动点D从A点出发 到B点止，动点E从C点出发到A点止.点D运动的速度为lcm秒，点E运动的速度为 2cm/秒.如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似时，运动 的时间是（) B A.3秒或4.8秒 B.3秒 C.4.5秒 D.4.5秒或4.8秒 【跟踪专练2】如图，在AOB中，∠A0B=90°，0B=6cm,AB=6√5cm,点P从点O开 始沿边OA向点A以2cms的速度移动；点Q从点B开始沿边BO向点O以1cms的速度移动， 且P,Q两点同时出发，用(s表示移动的时间，当t= s时，△POQ与A0B 相似. 【题型5.相似三角形重心的性质及应用】 【典例】如图，ABC为边长为1个单位长度的正方形网格中的格点三角形，则其重心在() A.线段FG上B.线段DC上 C.线段EF上 D.线段DE上 试卷第1页，共3页 【跟踪专练1】如图，Rt△ABC中，LACB=90°，AB=8,I为ABC重心，则 C1= 【跟踪专练2】如图，在5×4的正方形网格中，点A,B,C,D都在网格的格点上，点G 是ABC的重心，则下列说法中正确的是() ①连接DG,则DG-BC:②连接BG,CG,则∠8GC=2∠4：③连接DG,则 DG∥BC:④连接AG,BG,则S6三4S4Bc· B A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 【题型6.相似三角形的实际应用】 【典例】在数学活动课上，小东利用镜子、尺子等工具测量学校教学楼高度（如图所示）， 当他刚好在点C处的镜子中看到教学楼的顶部D时，测得小东的眼晴与地面的距离 AB=1.6m,同时测得BC=3.6m,CE=28.8m,则教学楼高度DE=-」 D B E 【跟踪专练1】手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过 木板的边缘点F,落在墙上的点E处.点E到地面的高度ED=3.5m,点F到地面的高度 FC=1.5m,灯泡到木板的水平距离AC=5.4m,墙到木板的水平距离为CD=4m.已知光 在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A,B,C,D在同一水平面上，则灯泡到地面的高 度GA为() 试卷第1页，共3页 G 墙 木板、B 地面D C 平面镜A A.Im B.1.1m C.1.2m D.1.3m 【跟踪专练2】如图，一个装有液体的锥形瓶轴截面是轴对称图形，底部BC=20cm,当 BC处于水平位置时，液面宽AD=10cm,液体高度DE=6cm,此时往瓶中再倒入一些液体， 液面上升到宽GF=6cm,则此时液体的高度FH为 cm. B 图1 图2 【题型7.相似三角形的多考点综合问题突破】 【典例】如图，ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O,OA:AD=1:2,下列结论正确 的有() ①ABC与△DEF的相似比为；②4C=L 2D2:®08C的周长.】 o的周长子@’=】 4 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【跟踪专练1】如图，己知AB∥EF∥CD,若AB=6cm,CD=9cm,则EF= D E 【跟踪专练2】如图，在△PAB中，∠APB=120°，AB=14,C、D在边AB上，且△PCD是 边长为4的等边三角形，那么AC的长是一 试卷第1页，共3页 D 【题型8.位似图形相似比的计算方法】 【典例】如图，ABC和ADEF是位似三角形，AC=2DF,则S4Bc:S.DEF= 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，已知A2,0),D(6,0),ABC与aDEF位似， 原点O是位似中心，若ABC的周长表示为C,则△DEF的周长表示为() D A.3C B.6C C.9C D.12C 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O(0,0), A1,0),B(2,3),C(-1,2),若四边形0A'B'C'与四边形0ABC关于原点0位似，且四边形 OA'B'C'的面积是四边形OABC面积的4倍，则点B的坐标可能为 【题型9.位似图形的放大或缩小作图】 【典例】如图，在由小正方形组成的网格中，以点0为位似中心，作与ABC的相似比为2 试卷第1页，共3页