重难点05 函数图形变化类问题及创新类问题（2大类型8种题型）（复习讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习资料聚焦函数核心考点，系统整合函数图形变化（平移、旋转、对称等）与创新问题（新定义、跨学科融合等）两大模块共8种题型。通过考点梳理、方法归纳、真题精讲构建知识网络，助力学生突破函数变换与几何结合的难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于“分层锤炼”与“真题情境化”设计，如以二次函数平移后图形面积计算为例，渗透数学眼光与创新意识，培养学生用数学思维分析动态问题。设基础巩固、能力提升、挑战突破三级练习，配合即时反馈机制，高效提升学生应考能力，为教师精准把控复习节奏提供有力支持。

第三章 函数 重难点05 函数图形变化类问题与创新问题 （2大类8种题型） 目 录 01 深挖重难·固根基 1 02 分层锤炼·验成效 23 固·重难考点 拓·创新能力 重难点一 函数图形变化类问题 函数图形变化类问题是初中数学核心考点之一，覆盖一次函数、反比例函数、二次函数，常以综合题形式考查 “函数图像的变换（平移、旋转、对称）与几何图形的结合分析能力”，核心是研究 “函数图像经过变换后，新图像的性质、与原图像的关系，以及变换后满足特定条件的点 / 图形”，重难点如下： 一、一次函数的图形变化问题 核心要求：结合一次函数的直线特征，分析直线经过平移、旋转、对称后的新直线性质，及变换后满足条件的点 / 图形。 关联难点： 1. 平移变换：如 “直线y = kx + b向上平移m个单位后，是否经过某定点”“平移后的直线与原直线及坐标轴围成的图形面积”； 2. 旋转变换：如 “直线绕某点逆时针旋转90°后，新直线的解析式”“旋转后直线与原反比例函数的交点存在性”； 3. 对称变换：如 “直线关于x轴、y轴、某点对称后的解析式”“对称直线与原直线的夹角计算”。 二、反比例函数的图形变化问题 核心要求：结合反比例函数的双曲线特征，分析双曲线经过平移、旋转、对称后的新图像性质，及变换后满足条件的点 / 图形。 关联难点： 1. 平移变换：如 “双曲线向右平移a个单位后，新双曲线的解析式（如”“平移后双曲线与原一次函数的交点坐标”； 2. 旋转变换：如 “双曲线绕原点旋转180°后的解析式（与原双曲线重合）”“绕某点旋转90°后，新双曲线与原直线的交点存在性”； 3. 对称变换：如 “双曲线关于x轴 / 直线y = x对称后的解析式”“对称双曲线与原抛物线的公共点个数”。 三、二次函数的图形变化问题 核心要求：结合二次函数的抛物线特征，分析抛物线经过平移、旋转、对称后的新抛物线性质，及变换后满足条件的点 / 图形。 关联难点： 1. 平移变换：如 “抛物线向左平移h个单位、向上平移k个单位后的解析式（顶点式变换）”“平移后抛物线的顶点落在某直线上时，平移距离的计算”“平移后抛物线与原抛物线的交点坐标”； 2. 旋转变换：如 “抛物线绕顶点旋转180°后的解析式（开口方向改变，顶点不变）”“绕原点旋转90°后，新抛物线的解析式”“旋转后抛物线与原直线的夹角为45°的点存在性”； 3. 对称变换：如 “抛物线关于x轴、y轴、某点对称后的解析式”“对称抛物线与原抛物线围成的图形面积”“对称后抛物线上满足‘到某定点距离最小’的点坐标”； 4. 综合变换：如 “抛物线先平移再旋转后，新抛物线经过某定点时的变换参数”“变换后抛物线与原函数构成特殊图形（如平行四边形）的点存在性”。 四、多函数综合的图形变化问题 核心要求：结合一次、反比例、二次函数的图像特征，分析多个函数分别经过变换后，新图像之间的关系及满足条件的点 / 图形。 关联难点： 1. 跨函数变换：如 “一次函数平移后，与反比例函数旋转后的图像的交点存在性”； 2. 变换后图形关系：如 “二次函数平移后，与原一次函数对称后的直线围成的三角形为等腰直角三角形的点存在性”。 题型01 平移变化类 1．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，过点，的直线向上平移3个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河南·中考真题）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 1 … (1)求二次函数的表达式． (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值． 3．（2025·四川泸州·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位，与反比例函数的图象相交于点，求的值． 4．（2025·江苏南京·中考真题）（1）将函数的图象向右平移2个单位长度，平移后的函数图象与轴交点的纵坐标是___________； （2）平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上．设平移后的函数图象的顶点的横坐标为，与轴交点的纵坐标为，随的变化而变化． ①若，当时，求的取值范围． ②设函数的图象与轴、轴的交点分别为，，点在线段上．当取不同值时，下列关于的变化趋势的描述：（a）随的增大而增大；（b）随的增大而减小；（c）随的增大先增大后减小；（d）随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是__________．（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分） 5．（2025·山东济南·中考真题）二次函数的图象经过，两点，顶点为G． (1)求二次函数的表达式和顶点G的坐标． (2)如图1，将二次函数的图象沿x轴方向平移个单位长度得到一个新函数的图象，当时，新函数的最大值是8，求n的值． (3)如图2，将二次函数的图象沿直线平移，点A，G的对应点分别为，，连接，，线段与交于点M．若，请直接写出点的坐标． 题型02 对称变化类 6．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标； (3)在线段上是否存在点Q，使存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由． 7．（2025·四川眉山·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点，与x轴交于点C，点D与点A关于点O对称，连接． (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)点P在x轴的负半轴上，且与相似，求点P的坐标． 8．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，已知二次函数（是常数，且）的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求点，点的坐标； (2)如图2，二次函数（是常数，且）的图象为，图象中位于轴右侧的部分作关于轴的对称图象，该对称图象记为图象．若直线：（是常数）交图象于点，（点在点的右侧），并与图象交于点，若，求与的数量关系； (3)抛物线的图象与轴分别交于，两点，将抛物线沿轴向下翻折，所得新抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）恰好有13个整点（点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为“整点”），求的取值范围． 题型03 旋转变化类 9．（2025·四川自贡·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，点是线段上异于端点的一点，过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点． (1)求的值； (2)若，求点坐标； (3)双曲线关于轴对称的图象为，直接写出射线绕点旋转后与的交点坐标． 10．（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，过点B的直线与抛物线的另一个交点为点D，点M为抛物线对称轴上的一点，连接，设点M的纵坐标为n，当时，求n的值； (3)如图2，点N是抛物线的顶点，点P是x轴上一动点，将顶点N绕点P旋转后刚好落在抛物线上的点H处，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 11．（2025·四川绵阳·一模）如图所示，抛物线的解析式为． (1)若抛物线经过点，求抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，抛物线与x轴相交于两点（点A在点B的左侧），若将直线绕点A按顺时针方向旋转后与抛物线相交于点P，求点P的坐标； (3)如图1所示，若直线与抛物线相交于两点（M在N的左侧）O为坐标系原点，直接写出的最小值． 12．（2025·江苏苏州·二模）【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于、B两点，交y轴于点C，抛物线对称轴交x轴于点D，抛物线与双曲线交于点，把点P绕点D顺时针旋转得到的对应点为Q． 【构建联系】 （1）分别求出抛物线和双曲线的解析式，并说明点Q是否在双曲线上． （2）如图2，双曲线与抛物线对称轴交于点E，连接，，求证：． 【深入探究】 （3）如图3，连接、，将绕着点旋转得到，其中点、分别是、两点的对应点，在旋转的过程中，当与重叠部分恰好是一个点时，求出此时点的坐标． 13．（2025·福建泉州·模拟预测）国家的强大离不开国防的保障．近几年，科技的发展越来越多地应用到国防军事方面，其中无人机和导弹防御系统成为各国竞争的热点．梅石数学小组借助项目式学习研究了如下问题：某军事游戏模型截面图中，导弹防御系统雷达固定向上时的覆盖范围可视为二次函数（如图1），并且可确保击落进入覆盖区域内超过10分钟（含10分钟）的无人机．（已知直角坐标系的单位长度均为1km．） (1)当点在该二次函数图象上时，求的值； (2)①若雷达可绕点左右旋转形成全方位覆盖（如图2）．若已知图2中的图象绕点向右旋转形成的曲线满足：，请直接写出图象绕点向左旋转后、满足的关系式：__________； ②如图1，若该军事游戏模型中，某型号攻击无人机飞行高度为，携带导弹后速度为10米/秒，为摧毁雷达需飞行到点正上方进行投弹．当该导弹防御系统雷达固定向上时，其覆盖范围所视为的二次函数的要调整到什么范围才能抵挡这次攻击？（投弹时间忽略不计） 题型04 翻折变化类 14．（2025·广东深圳·三模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，且与一次函数的图象交于点A和点． (1)求抛物线的解析式； (2)某学习小组发现，将抛物线在直线上方的部分沿翻折，会得到一个漂亮的“心形图”（包含A、B两点），如图2，现小组想探究恰好将心形图框住的最小矩形面积． ①组员小聪想到了方案一：如图3所示，矩形的边与抛物线相切于（即只有一个公共点）顶点C______（填坐标），边与心形图右边缘相切于点D，点D与点C关于直线对称；请你帮小聪计算出矩形的面积； ②组员小颖提出了方案二：如图4所示，矩形的边过点A，边与心形图的左边缘相切，边与心形图的右边缘相切，边与心形图的左、右边缘各相切于一点，此时矩形的面积为______． 15．（2025·山东东营·中考真题）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； (3)如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 16．（2025·江西·模拟预测）如图，将反比例函数 的图象沿直线向下翻折，翻折后的图象与轴交于点，点在该反比例函数图象上，以为边在上方作正方形，点恰好落在轴上，已知点的纵坐标为2， (1)求的值． (2)设边与反比例函数 的图象的交点为，求点的坐标． 17．（2025·甘肃酒泉·二模）如图，已知二次函数的图象经过两点与，且与轴相交于、两点，其顶点为． (1)求点的坐标； (2)求的面积； (3)在二次函数图象上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)把二次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变．得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时，的取值范围是什么？ 18．（2025·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴正半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与双曲线的交点为，D（C在D的左边），且C，D恰好是线段的三等分点． (1)求a，k的值； (2)P是线段上一点，连接． ①若将的面积分成两部分，求点P的坐标； ②将直线沿直线进行翻折，与双曲线交于另一点E，连接，若，求点P的坐标． 19．（2025·江苏淮安·一模）“求索”兴趣小组对函数图象的翻折变换进行了讨论，请你完成下列相关问题． (1)思源同学提出从最简单的一次函数图象开始：如图1，的图象与x轴、y轴交于点、，把直线AB沿y轴翻折交x轴于点C，可得，所以点C坐标为______，由此可求得直线BC的表达式． 承宇同学提出新的思路：从点的变换考虑，任取直线上一点，沿y轴翻折得点，则，，即，代入得翻折后所得直线的表达式为______． (2)请你选用（1）中两位同学其中一种方法求二次函数的图象沿直线翻折后所得图象的表达式． (3)下列说法中正确的有______填序号 ①将一次函数的图象沿直线翻折得到直线的表达式为；②将反比例函数的图象沿直线翻折所得图象的表达式为；③将二次函数的图象沿y轴翻折得到图象的表达式为；④将函数的图象沿直线翻折得到图象的表达式为 (4)将抛物线沿直线翻折得到图象G，直线与图象G有两个公共点，，且，求b的取值范围． 题型05 多函数综合的图形变化 20．（2025年山东省滨州市中考数学试卷）在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)点在抛物线上，若点N到y轴的距离小于4，请直接写出b的取值范围． (3)把直线向下平移个单位长度后与抛物线的两个交点都在第四象限，求n的取值范围． 21．（2024·四川广元·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F：经过点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在直线上方抛物线上有一动点C，连接交于点D，求的最大值及此时点C的坐标； (3)作抛物线F关于直线上一点的对称图象，抛物线F与只有一个公共点E（点E在y轴右侧），G为直线上一点，H为抛物线对称轴上一点，若以B，E，G，H为顶点的四边形是平行四边形，求G点坐标． 22．（2025·四川成都·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），其对称轴交x轴于点C，P为抛物线第四象限上一点，连接交y轴于点E． (1)求点C的坐标及线段的长； (2)当时，若点E将线段分成两部分，求点E的坐标； (3)Q为线段中点，直线交y轴于点F，现将抛物线L绕平面内一点旋转得到抛物线，使得点A，P都落在抛物线上，记抛物线与y轴相交于G．当时，试探究是否存在a的值，使是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 重难点二 函数创新类问题 函数创新类问题是初中数学的拓展性考点，以一次、反比例、二次函数为基础，结合新定义、实际情境、跨学科背景等设计 “非常规问题”，核心考查 “知识迁移、逻辑推理、创新应用能力”，重难点如下： 一、“新定义” 型函数创新问题 核心要求：根据题目给出的新定义（如 “新函数概念、新运算规则”），结合函数性质解决问题。 关联难点： 1. 新函数概念：如 “定义‘对勾函数’，求其最小值”“定义‘折叠函数’：抛物线沿某直线折叠后的新解析式”； 2. 新运算规则：如 “定义f(x) * g(x) = f(x) + 2g(x)，已知f(x) = 2x、g(x) = ，求f(x) * g(x)的顶点坐标”； 3. 新图形关联：如 “定义‘函数的伴随图形’：抛物线与某直线围成的区域，求该区域内的整点个数”。 二、“跨学科融合” 型函数创新问题 核心要求：结合物理、几何、统计等学科知识，以函数为工具解决跨学科创新问题。 关联难点： 1. 物理融合：如 “物体做平抛运动，水平位移是一次函数、竖直位移是二次函数，求‘落地时的速度方向（与水平方向的夹角）’”； 2. 几何融合：如 “平面内点P在抛物线上，点Q在圆上，求Q的最小距离”； 3. 统计融合：如 “某数据的分布满足反比例函数关系，求数据的中位数对应的函数值（结合统计量与函数的关联）”。 三、“动态探究” 型函数创新问题 核心要求：以函数图像上的动点为载体，探究动态过程中的创新结论（如特殊图形、极值、规律）。 关联难点： 1. 动点轨迹创新：如 “抛物线上的点P，与定点A(0,1)连接，PA的中点Q的轨迹是哪种函数图像”； 2. 动态图形创新：如 “一次函数上的动点P，与反比例函数上的动点Q，使△OPQ为等边三角形，求‘满足条件的\(P、Q\)坐标’”； 3. 动态规律创新：如 “抛物线上的点，连接，求线段的长度的变化规律”。 题型01 与函数有关的新定义问题 新定义问题是数学考试中必考的题型,无论在哪个阶段,都会出现此类问题,但究其本质都是“新瓶装旧酒”“新瓶”就是新的定义,“旧酒”就是学过的知识,然后设计出具有针对性的考题来考查学生的知识迁移应用能力. 23．（2025·辽宁铁岭·三模）定义：是自变量的函数，当时，函数，当时，将函数沿直线翻折，得函数，函数合起来称为函数关于直线的“折美函数”．例如：图1为函数的图象，当时，得函数，函数，函数和函数合起来称为函数关于直线的“折美函数”，其图象如图2所示． (1)请直接写出函数关于直线的“折美函数”表达式，并写出相应的自变量的取值范围； (2)直线与函数关于直线（即轴）“折美函数”图象的两个交点之间的距离为4，求的值； (3)函数关于直线的“折美函数”中． ①请求出的值及的自变量取值范围． ②若直线与函数关于直线的“折美函数”有两个交点，请求出的取值范围． 24．（2025·甘肃兰州·中考真题）在平面直角坐标系中，对于图上或内部有一点（不与原点重合），及平面内一点，给出如下定义：若点关于直线的对称点在图上或内部，则称点是图的“映射点”． (1)如图1，已知图：线段，，．在，中，__________是图的“映射点”； (2)如图2，已知图：正方形，，，，．若直线：上存在点是图的“映射点”，求的最大值； (3)如图3，已知图：，圆心为，半径为．若轴上存在点是图的“映射点”，请直接写出的取值范围． 25．（2025·江苏宿迁·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，到两个坐标轴的距离都小于或等于的点叫“阶近轴点”，所有的“阶近轴点”组成的图形记为图形．如图所示，所有的“1阶近轴点”组成的图形是以坐标原点为中心，2为边长的正方形区域． (1)下列函数图像上存在“1阶近轴点”的是___________； ①；②；③． (2)若一次函数的图像上存在“3阶近轴点”，求实数的取值范围； (3)特别地，当点在图形上，且横坐标是纵坐标的倍时，称点是图形的“阶完美点”，若二次函数的图像上有且只有一个“2阶完美点”，求实数的取值范围． 26．（2025·湖北·中考真题）抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，是抛物线的顶点，是抛物线上一动点，设点的横坐标为． (1)求的值； (2)如图1，若点在对称轴左侧，过点作对称轴的垂线，垂足为，求的值； (3)定义：抛物线上两点M，N之间的部分叫做抛物线弧（含端点和）．过，分别作轴的垂线，过抛物线弧的最高点和最低点分别作轴的垂线，直线与围成的矩形叫做抛物线弧的特征矩形．若点在第四象限，记抛物线弧的特征矩形的周长为． ①求关于的函数解析式； ②过点作轴，交抛物线于点，点与点不重合．记抛物线弧的特征矩形的周长为．若，直接写出的长． 27．（2025·江西·中考真题）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． 探究1 （1）对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且不动点是； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是________（填写正确结论的序号）． （2）若一次函数是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件； 探究2： （3）对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． 探究3： （4）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义． 28．（2025·湖南湘西·模拟预测）【定义】在平面直角坐标系中，我们给出一个“积值”的定义： 点是函数图象上任意一点，横坐标与纵坐标的乘积称为点在函数图象上的“积值”； 【举例】已知点在函数的图象上，点在函数图象上的“积值”为． 【问题】根据定义，解答下列问题： (1)已知点是函数图象上一点，则点在该函数图象上的“积值”为______； (2)求点在函数图象上的“积值”； (3)已知点在函数（为常数，且）的图象上，当时，点在函数图象上的“积值”的最小值为，求的值． 题型02 与函数有关的材料阅读问题 阅读理解型问题以能力立意为目标，综合考核数学素养与数学应用能力。阅读理解型问题，可以是阅读某个(新) 概念、(新) 知识或某种(新) 方法，理解概念、知识的本质或者是掌握新方法，然后利用概念、方法去解决问题；也可以是设计一个新的数学背景，让学生在阅读的基础上，理解其中的内容、方法与思想，然后在把握本质、理解实质的基础上作答。这类题目往往可以考察出学生的阅读能力、分析推理能力、数据( 信息) 处理能力、表达能力、知识迁移能力，综合性强，灵活度高。因此，近些年来，阅读理解型问题频频出现在全国各地的中考试题中。 29．（2025·甘肃兰州·中考真题）综合与实践 在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题． 【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽．探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决． 【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x（标准单位）为自变量，种子的发芽率y（%）为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据： 生长素浓度：x（标准单位） 0 0.6 1 1.7 2 2.5 2.7 3 3.3 4 4.2 发芽率y（%） 35.00 49.28 56.00 62.37 63.00 61.25 59.57 56.00 51.17 35.00 29.12 【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点． 说明：①当生长素浓度时，种子的发芽率为自然发芽率； ②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽； ③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验． 【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题： (1)观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式； (2)请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围． 30．（2025·上海徐汇·二模）已知：在直角坐标系中直线与轴、轴相交于点、．当的值小于0时，的值大于4，且该直线与轴的夹角为．抛物线经过点和点． (1)【问题提出】如何求抛物线解析式 观察条件“当的值小于0时，的值大于4”，可得当的值小于4时，的值__________（选填“大于”或“小于”）0，该条直线的大致图像可能是__________（选填“A”或“B”），其中与轴交点的坐标为__________．继续阅读条件，“该直线与轴的夹角为”告诉我们其与轴的交点的坐标是__________，最终带入抛物线，列出方程组__________，解得__________，__________． (2)【综合运用】 是线段上一点，过点作直线的平行线，与轴相交于点，把沿直线翻折，点的对应点是点，如果点在抛物线上，求点的坐标． 31．（2025·山东潍坊·二模）小亮喜欢思考，善于运用信息化工具研究数学问题．在中考复习中，他运用和几何画板研究了动点最值问题．以下为研究笔记的部分内容：梳理了初中常见的动点最值问题，从“距离”这一核心概念出发整理出下列表格，请阅读材料并完成下列问题． 分类 项目 点到点的距离 点到直线的距离 点到圆的距离 基本原理 两点之间，线段最短 直线外一点到直线上各点的所有连线中，垂线段最短 点到的距离为，则有 基本图形 【直接应用】 （1）已知在中，，，，点为边上一动点． ①线段的最小值为________； ②若点为的中点，则线段绕点顺时针旋转，的最小值为________； 【迁移运用】 （2）如图，一次函数和二次函数．一次函数的图象与坐标轴分别交于点，点．若为二次函数图象上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点．求最小值； 【问题解决】 （3）在矩形中，，，，．小亮使用几何画板探究发现：四边形为平行四边形；四边形与矩形重合时周长最大，最大值为28．请证明四边形为平行四边形，并用模型观念探究其周长的最小值． 32．（2025·宁夏·模拟预测） 阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应任务． 函数是从数量的角度反映变化规律和对应关系的数学模型，初中阶段学习的函数有一次函数、二次函数、反比例函数，学习时可以从数量特征和几何特征（图象）来研究函数的性质．下面是研究三大函数图象沿y轴向下平移的特征． 一次函数图象的平移： 如图①，一次函数分别与轴，轴交于点，，将直线沿轴向下平移个单位，分别与轴，轴交于点，．分别将，代入，求得，，则，，由平移的性质得，，∴，，∵，∴（依据），∴，∵，，，∴，∴，设直线的函数表达式为，分别将，代入，解得，，直线的函数表达式为． 猜想1：将直线：沿轴向下平移个（）单位后，所得直线的函数表达式为：． 证明1：设点为上的任意一点，沿轴向下平移个单位后的对应点为，将代入，得，∵点为上的点，∴，∴，∴，∴点在直线上． 结论：猜想正确． 二次函数图象的平移： 猜想：将二次函数的图象沿轴向下平移 个单位后，所得二次函数的函数表达式为：． 证明：…… 反比例函数图象的平移： …… （1）任务一：填空：证明的依据是： ， （2）任务二：请完成猜想的证明； （3）任务三：如图②，直线与反比例函数的图象交于点，将反比例函数的图象沿y轴向下平移个单位后与直线交于点，直接写出线段的长． 题型03 与函数有关的新考法类问题 33．（2025·山西忻州·模拟预测）【创新考法】综合与实践 【问题情境】在校园运动会开幕式中，如图1（示意图），运动会火炬手小明负责用火种点燃箭头，然后准确射向距离发射点水平距离为70米、距地面的竖直高度为20米处的一个点火台上，已知点火台是一个弓形，其中米，且垂直平分．这支箭（大小忽略不计）飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分．记这支箭飞行的水平距离为（单位：），距地面的竖直高度为（单位：）．获得的数据如表： 0 10 20 30 40 50 60 70 1.5 10.5 17.5 22.5 25.5 26.5 25.5 【问题解决】 (1)的值为________． (2)根据表中的各对对应值，在图2所示的平面直角坐标系中完成描点，并用平滑的曲线连接． (3)只要小明射出的箭的运动轨迹与线段有公共点，那么这支箭就可以射入点火台内，请结合函数图象分析，小明射出的箭是否射入了点火台内？ (4)由于点火台较小，将箭射进点火台内较为困难．于是学校调整了点火台内的可燃材料，只要小明射出的箭降落时能够进入距离点火台上方4米的范围内（即正方形包含边界），都可以成功点火．在研究这个问题的过程中还发现：如果发射箭的初始角度和力量不变的情况下，小明还可以通过调整与点火台的水平距离改变这支箭的飞行轨迹（即沿着横轴左右平移原抛物线），如果保证点火成功，请结合函数图象分析，小明沿横轴（水平方向）向左移动的最大距离与向右移动的最大距离分别为多少？（结果保留根号） 34．（2024·山西大同·一模）中考新考法：注重过程性学习，某数学小组在研究函数时，对函数的图象进行了探究，探究过程如下： … 1 2 3 … … 3 4 6 1 …    (1)①与的几组对应值如下表，请补全表格； ②在上图平面直角坐标系中，描出上表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点画出该函数的图象； (2)我们知道，函数的图象是由二次函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到的．类似地，请直接写出将的图象经过怎样的平移可以得到的图象； (3)若一次函数的图象与函数的图象交于两点，连接，求的面积． 35．（2025·江西吉安·二模）初中学考即将来临，同学们正全力准备着最后的决战，马超同学近期在复习函数时遇到了一类典型的函数：这类函数由已学过的一次函数、二次函数或反比例函数相结合，并要求得到其函数值的变化范围，马超同学遇到的这类函数问题的探究如下： 已知函数，该函数是否存在最值（最大值或最小值），若存在，求出其最值；若不存在，请说明理由． 思路分析： 显然，该函数是二次函数与反比例函数的结合，因此，可先从反比例函数入手研究． 请回答下列问题： （1）对于函数，当时，y随x的增大而______________（填“增大”或“减小”），当且时，该函数______________最值（填“有”或“无”）； （2）函数有______________值（填“最大”或“最小”），其最值为______________； （3）此时，若将替换成u，函数是否存在最值，若存在，请求出其最值，若不存在，请说明理由； 变式训练： （4）函数是否存在最值，若存在，求出其最值，若不存在，请说明理由． 36．（2025·辽宁抚顺·一模）如图1，函数的图象与轴交于点A，B与轴交于点，连接，点为线段上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为．直线交的图象于点，连接，； (1)求直线的解析式； (2)当的面积等于3时，求点的横坐标； (3)定义：将函数的表达式取绝对值，得到一个新函数，称新函数为原函数的绝对函数．例如：函数的绝对函数为， ①直接写出函数（）的绝对函数的解析式（化简到去掉绝对值符号）； ②如图2，是函数当时的图象，交轴于点．连接，点是直线上的两点，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的平行线，交函数图象于点．过点作轴的平行线，交函数图象于点，若点H，J，I，G构成的四边形是平行四边形，求的值．37．（2025·上海·模拟预测）分段函数，就是对于自变量不同的取值范围，有不同的函数解析式与之对应的函数．如函数就是一个分段函数． 现有分段函数． 已知该分段函数的图像是连续的，且在给出的这四个二次函数中，其只经过函数图像的顶点． (1)试确定这个分段函数的解析式，并在所给平面直角坐标系中作出其大致图像； (2)若直线与此分段函数的图像有5个不同的交点，请直接写出的取值范围． 1．（2025·山东德州·中考真题）如图，，点M在线段上，将沿直线折叠，点B恰好落在点处． (1)求a的值； (2)求直线的解析式； (3)若直线与直线的交点在直线的左侧，请直接写出t的取值范围． 2．（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)问在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为． ①求旋转角度的正切值； ②当时，求原抛物线平移的距离． 3．（2025·江苏常州·中考真题）如图：在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段上一点，C与B不重合．二次函数（a，b，c是常数，且）的图像经过点B，顶点是C．将该二次函数的图像平移后得到新抛物线，、分别是B、C的对应点，且点落在x轴正半轴上，点的纵坐标为． (1)______； (2)求点C的坐标； (3)已知新抛物线与y轴交于点，点、在新抛物线上，若对于满足的任意实数，总成立，求实数m的取值范围． 4．（2025·吉林·中考真题）【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的 密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． 总结公式：当小铝块位于液面上方时，； 当小铝块浸入液面后，． 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示． 【解决问题】 (1)当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数． (2)当时，求弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式． (3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块浸入的深度为，直接写出m，n的值． 5．（2025·内蒙古·中考真题）问题背景： 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示． 外形参数： 如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点，在抛物线上，点，在抛物线上． 问题解决： 如图2，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴．建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： (1)直接写出，，三点的坐标； (2)直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和的函数表达式； (3)为满足矩形电子显示屏的空间要求，需要边的长为，求此时边的长． 1．（2025·四川·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线过原点，顶点为P，直线l过原点和点P． (1)求抛物线和直线l的解析式； (2)如图2，将抛物线的顶点沿射线平移，抛物线也随之移动得到抛物线，设顶点为A，其横坐标为，抛物线与抛物线交于点B． ①当时，求点B的横坐标； ②若点B的横坐标为n，请猜想并写出n与t的关系（不写推理过程）； ③如图3，若点B在第一象限内，设与y轴正半轴的夹角为，当时，求点B的坐标． 2．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若上存在两个不同的点，，对于上任意满足的两个不同的点，，都有，则称点是的关联点，称的大小为点与的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角） (1)如图，的半径为． ①在点，，中，点_______是的关联点且其与的关联角度小于，该点与的关联角度为； ②点在第一象限，若对于任意长度小于的线段，上所有的点都是的关联点，则的最小值为_______； (2)已知点，经过原点，线段上所有的点都是的关联点，记这些点与的关联角度的最大值为．若，直接写出的取值范围． 3．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，点关于原点对称．该函数图象上另有两点，它们的横坐标分别为，其中．依次作直线与轴分别交于点，直线与轴分别交于点．记，． (1)若，求的长； (2)求代数式的值； (3)当，时，求点关于直线对称的点的坐标． 4．（2025·广西·中考真题）综合与实践 树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1） 初始时，矩形义卖区与遮阳伞投影的平面图如图2所示，在上，，，，，，由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，也随之移动（始终在边所在直线上），且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图3为移动到落在上的情形． 【问题提出】 西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时的位置． 设遮阳区的面积为，从初始时向右移动的距离为． 【直观感知】（1）从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大如何变化？ 【初步探究】（2）求图3情形的与的值； 【深入研究】（3）从图3情形起右移至与重合，求该过程中关于的解析式； 【问题解决】（4）当遮阳区面积最大时，向右移动了多少？（直接写出结果） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 重难点05 函数图形变化类问题与创新问题 （2大类8种题型） 目 录 01 深挖重难·固根基 1 02 分层锤炼·验成效 91 固·重难考点 拓·创新能力 重难点一 函数图形变化类问题 函数图形变化类问题是初中数学核心考点之一，覆盖一次函数、反比例函数、二次函数，常以综合题形式考查 “函数图像的变换（平移、旋转、对称）与几何图形的结合分析能力”，核心是研究 “函数图像经过变换后，新图像的性质、与原图像的关系，以及变换后满足特定条件的点 / 图形”，重难点如下： 一、一次函数的图形变化问题 核心要求：结合一次函数的直线特征，分析直线经过平移、旋转、对称后的新直线性质，及变换后满足条件的点 / 图形。 关联难点： 1. 平移变换：如 “直线y = kx + b向上平移m个单位后，是否经过某定点”“平移后的直线与原直线及坐标轴围成的图形面积”； 2. 旋转变换：如 “直线绕某点逆时针旋转90°后，新直线的解析式”“旋转后直线与原反比例函数的交点存在性”； 3. 对称变换：如 “直线关于x轴、y轴、某点对称后的解析式”“对称直线与原直线的夹角计算”。 二、反比例函数的图形变化问题 核心要求：结合反比例函数的双曲线特征，分析双曲线经过平移、旋转、对称后的新图像性质，及变换后满足条件的点 / 图形。 关联难点： 1. 平移变换：如 “双曲线向右平移a个单位后，新双曲线的解析式（如”“平移后双曲线与原一次函数的交点坐标”； 2. 旋转变换：如 “双曲线绕原点旋转180°后的解析式（与原双曲线重合）”“绕某点旋转90°后，新双曲线与原直线的交点存在性”； 3. 对称变换：如 “双曲线关于x轴 / 直线y = x对称后的解析式”“对称双曲线与原抛物线的公共点个数”。 三、二次函数的图形变化问题 核心要求：结合二次函数的抛物线特征，分析抛物线经过平移、旋转、对称后的新抛物线性质，及变换后满足条件的点 / 图形。 关联难点： 1. 平移变换：如 “抛物线向左平移h个单位、向上平移k个单位后的解析式（顶点式变换）”“平移后抛物线的顶点落在某直线上时，平移距离的计算”“平移后抛物线与原抛物线的交点坐标”； 2. 旋转变换：如 “抛物线绕顶点旋转180°后的解析式（开口方向改变，顶点不变）”“绕原点旋转90°后，新抛物线的解析式”“旋转后抛物线与原直线的夹角为45°的点存在性”； 3. 对称变换：如 “抛物线关于x轴、y轴、某点对称后的解析式”“对称抛物线与原抛物线围成的图形面积”“对称后抛物线上满足‘到某定点距离最小’的点坐标”； 4. 综合变换：如 “抛物线先平移再旋转后，新抛物线经过某定点时的变换参数”“变换后抛物线与原函数构成特殊图形（如平行四边形）的点存在性”。 四、多函数综合的图形变化问题 核心要求：结合一次、反比例、二次函数的图像特征，分析多个函数分别经过变换后，新图像之间的关系及满足条件的点 / 图形。 关联难点： 1. 跨函数变换：如 “一次函数平移后，与反比例函数旋转后的图像的交点存在性”； 2. 变换后图形关系：如 “二次函数平移后，与原一次函数对称后的直线围成的三角形为等腰直角三角形的点存在性”。 题型01 平移变化类 1．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，过点，的直线向上平移3个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的平移性质，求一次函数的解析式，先根据点，，求出这条直线的解析式为，结合平移的性质，得平移后的直线解析式为，再将每个选项进行验证，即可作答． 【详解】解：设过点，的直线解析式为， 把点，分别代入， 得， ∴， ∴， ∵过点，的直线向上平移3个单位长度， ∴平移后的直线解析式为， 当时，则， 即在直线上，故B选项符合题意，故A选项不符合题意； 当时，则， 即在直线上，故D选项不符合题意； 当时，则， 即在直线上，故C选项不符合题意； 故选：B 2．（2025·河南·中考真题）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 1 … (1)求二次函数的表达式． (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)；见解析 (3)或 【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）利用配方法把解析式变形为顶点式，即可求解； （3）分四种情况解答，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：， ∴二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为， 画出函数图象，如图， （3）解：根据题意得：平移后的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线的对称轴为直线， 当，即时， 最大值在，最小值在 ，差为： 当时，，当时，， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴ 解得故舍去 当，即时， 当平移后抛物线的对称轴在y轴和直线左侧时，此时最小值为， 当时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴， 解得：或（舍去）； 当，即时，此时最小值为，， 当时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴， 解得：或（舍去）， 当平移后抛物线对称轴在直线右侧时，，即， 最小值在，最大值在 ，差为： 当时，，当时，， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴ 解得故舍去 综上所述，n的值为或． 3．（2025·四川泸州·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位，与反比例函数的图象相交于点，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数图象的问题，熟知待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）把点A坐标分别代入两个函数解析式中计算求解即可得到答案； （2）根据“上加下减，左减右加”的平移规律可得直线解析式为，则可求出，过点A作轴交直线于T，则，再根据列式求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为； ∵反比例函数的图象经过， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位，与反比例函数的图象相交于点， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴； 如图所示，过点A作轴交直线于T， ∵， ∴点T的横坐标为2， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴ ． 4．（2025·江苏南京·中考真题）（1）将函数的图象向右平移2个单位长度，平移后的函数图象与轴交点的纵坐标是___________； （2）平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上．设平移后的函数图象的顶点的横坐标为，与轴交点的纵坐标为，随的变化而变化． ①若，当时，求的取值范围． ②设函数的图象与轴、轴的交点分别为，，点在线段上．当取不同值时，下列关于的变化趋势的描述：（a）随的增大而增大；（b）随的增大而减小；（c）随的增大先增大后减小；（d）随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是__________．（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分） 【答案】 （1） （2）① ② (a)(b) 【分析】（1）根据“左加右减”的原则写出新函数解析式，由解析式求得平移后的图象与轴交点的坐标． （2）由题意平移后的函数解析式为，则， ①若，则，利用二次函数的增减性即可求解； ②求得线段的两个端点，分两种情况讨论，利用二次函数的性质判断即可． 【详解】解：（1）由“左加右减”的原则可知，将函数的图象向右平移2个单位长度，所得函数的解析式为， 令，则，即平移后的图象与轴交点的坐标为． 故答案为；； （2）平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上，设平移后的函数图象的顶点的横坐标为， 则平移后得到的顶点为， 平移后的函数解析式为， 当时，与轴交点的纵坐标， ①若，则， 是关于的二次函数，二次函数的开口向下，对称轴为直线， 时，，时，， 当时，的取值范围是； ②函数的图象与轴、轴的交点分别为，， ，， 当时，， ， 对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， ， 随的增大而减小， 当时，， ， 对称轴为直线， ， 随的增大而增大， 故可能的序号是(a)(b)． 故答案为：(a)(b)． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，一次函数性质，二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解答此题的关键． 5．（2025·山东济南·中考真题）二次函数的图象经过，两点，顶点为G． (1)求二次函数的表达式和顶点G的坐标． (2)如图1，将二次函数的图象沿x轴方向平移个单位长度得到一个新函数的图象，当时，新函数的最大值是8，求n的值． (3)如图2，将二次函数的图象沿直线平移，点A，G的对应点分别为，，连接，，线段与交于点M．若，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)，顶点G的坐标为 (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解析式，将二次函数一般式化为顶点式，可得顶点坐标； （2）分两种情况进行讨论，抛物线向左平移或者向右平移，根据平移规律可得新抛物线解析式为：或，根据对称轴与区间范围的中轴线之间的关系分类讨论即可； （3）分成两种情况进行讨论，抛物线沿射线方向或射线方向平移．沿射线方向平移，求出直线的解析式为，由直线性质可知图象沿上下方向与左右方向平移相同的单位，设向上、向右平移了m个单位，可得，，由平移性质可证四边形是平行四边形，推出交点M坐标为，可证明为直角三角形且，根据，可得四点共圆，是在以为直径的圆上，可求中点，根据列方程即可求得的值，则题目可解； 抛物线沿射线方向，作关于点对称点，方法同上． 【详解】（1）解：将，代入， ， 解得， ， ， 当时，取最小值，最小值为， 顶点G的坐标为． （2）解：Ⅰ、当抛物线向右平移时： 根据平移规律可得新抛物线解析式为：， 对称轴为直线， ， ， 当时，即时，如图： 直线与抛物线交点M纵坐标最大， 将，代入解析式得， 解得，与矛盾，不合题意； 当时，即时，如图： 直线与抛物线交点N纵坐标最大， 将，代入解析式得， 解得，与矛盾，不合题意； ，符合题意； Ⅱ、当抛物线向左平移时， 根据平移规律可得新抛物线解析式为：， 对称轴为直线， ， ， ∴当时，y取最大值8，代入解析式得： ， 解得：，（舍）， 综上可知，或； （3）解： 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得， 直线的解析式为， 令，则, ∴直线与轴交于， 直线与坐标轴围成的是一个等腰直角三角形， ∴图象沿直线平移时，上下方向与左右方向平移的距离相等， 设向上、向右平移了m个单位， ，， 由平移得，， 四边形是平行四边形， 线段与交于点M， ∴为线段的中点， ， Ⅰ、如图，抛物线沿射线平移， ∵，，G， ∴由勾股定理可得， ， ，且， ∵， ∴， ∴四点共圆，是在以为直径的圆上， 中点， 则， ， 即 解得：或（舍） ∴； Ⅱ、如图，抛物线沿射线平移， 作关于点对称点， 则可同理证明，且， ∵， ∴， ∴四点共圆，在以为直径的圆上， 中点， 则， ， 即 解得：或（舍） ∴； 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查求二次函数解析式，二次函数图象的平移，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，求一次函数解析式，平行四边形的判定和性质等，难度较大，解题的关键是综合应用上述知识点，正确作出辅助线． 题型02 对称变化类 6．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标； (3)在线段上是否存在点Q，使存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，，的最小值为 【分析】（1）对称性求出点坐标，两点式写出函数解析式即可； （2）设对称轴与轴交于点，设，，分点在轴上方和点在轴下方两种情况进行讨论求解即可； （3）在轴上取点，连接，过点作于点，交轴于，过点作于点，易得为等腰直角三角形，进而得到，推出，得到当点与点重合时，的值最小为的长，等积法求出的长，证明为等腰直角三角形，求出点坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点， ∴， ∴抛物线的解析式为：； （2）∵点在对称轴上，设对称轴与轴交于点 ∴设，； ∵旋转， ∴， 当点在轴上方时， ∵关于对称轴对称， ∴， ∴当时，满足题意，此时点与点重合，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当点在轴下方时，如图，作对称轴于点，则：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 把代入，得：， 解得：或（舍去）； ∴； 综上：或； （3）存在； 在轴上取点，连接，过点作于点，交轴于，过点作于点，则：，， ∵， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当点与点重合时，的值最小为的长， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 在中，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 综上：，的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 7．（2025·四川眉山·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点，与x轴交于点C，点D与点A关于点O对称，连接． (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)点P在x轴的负半轴上，且与相似，求点P的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为：，反比例函数解析式为． (2)点P的坐标为或 【分析】（1）利用系数待定法分别求出一次函数和反比例函数的解析式即可． （2）先求出点C的坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特点求出点D，设，再根据直角坐标系两点之间的距离公式分别求出，，，由对顶角相等得出，再根据相似三角形的性质分两种情况或代入求解即可． 【详解】（1）解：把代入反比例函数，则， 则反比例函数解析式为：， 把代入， 则， ∴， 再把，代入， 则， 解得：， 则一次函数的解析式为：． （2）解：令时，则， ∴， ∵点D与点A关于点O对称， ∴ 设点， ∵， ∴ 又∵，， ∴，，， ∵与相似，， ∴分两种情况：或， 当时， 即， 解得：， 此时，点， 当， 即， 解得：， 此时， 综上：当点P在x轴的负半轴上，且与相似，点P的坐标为或 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合问题，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，关于原点对称的点的坐标特点，相似三角形的性质，直角坐标系中两点之间的距离等知识，掌握这些知识是解题的关键． 8．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，已知二次函数（是常数，且）的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求点，点的坐标； (2)如图2，二次函数（是常数，且）的图象为，图象中位于轴右侧的部分作关于轴的对称图象，该对称图象记为图象．若直线：（是常数）交图象于点，（点在点的右侧），并与图象交于点，若，求与的数量关系； (3)抛物线的图象与轴分别交于，两点，将抛物线沿轴向下翻折，所得新抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）恰好有13个整点（点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为“整点”），求的取值范围． 【答案】(1)、 (2) (3) 【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到一次函数、二次函数和反比例函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）令，解方程即可得解； （2）由二次函数知，其对称轴为直线，故设设点，则点，点，则，，由得，即可求解； （3）如图，抛物线经过、，对称轴为直线，围成的区域关于x轴对称，x轴上有5个“整点”，则x轴的上下部分各有四个“整点”，只用考虑x轴上方的四个整点，只能是，当抛物线恰好经过时，刚好有13个“整点”，进而求解． 【详解】（1）解：令 ∴， 则或， ∴点、； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点，则点，点， ∴，， ∵， ∴，则， ∴ ； （3）解：如图，抛物线经过、，对称轴为直线，围成的区域关于x轴对称，x轴上有5个“整点”，则x轴的上下部分各有四个“整点”， 只用考虑x轴上方的四个整点，只能是，当抛物线恰好经过时，刚好有13个“整点”， 此时． 根据对称性，当抛物线经过点时必然会经过点，因此抛物线不能经过这两个点， 此时是临界位置，， 所以． 题型03 旋转变化类 9．（2025·四川自贡·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，点是线段上异于端点的一点，过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点． (1)求的值； (2)若，求点坐标； (3)双曲线关于轴对称的图象为，直接写出射线绕点旋转后与的交点坐标． 【答案】(1) (2) (3)射线绕点旋转后与的交点坐标为或. 【分析】（1）点在反比例函数上，可得，即，将代入正比例函数中，进一步求解即可； （2）设，结合过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点．可得，可得，再解方程进一步求解即可； （3）求解，如图，由旋转可得：，，过作轴于，过作轴于，证明，可得，证明在的图象上；结合反比例函数是中心对称图形可得：，从而可得答案. 【详解】（1）解：∵点在反比例函数上， ∴，即， 将代入正比例函数中， 得， 解得：； （2）解：∵在直线上， 设， ∵过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点． ∴， ∵， ∴， 整理得：， 解得：或（不符合题意舍去）， ∴； （3）解：∵双曲线关于轴对称的图象为， ∴， 如图， 由旋转可得：，， 过作轴于，过作轴于， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 当时，， ∴在的图象上； 由反比例函数是中心对称图形可得：， ∴射线绕点旋转后与的交点坐标为或. 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解函数解析式，一元二次方程的解法，轴对称的性质，中心对称的性质，全等三角形的判定与性质，熟练的作出图形利用函数性质解题是关键. 10．（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，过点B的直线与抛物线的另一个交点为点D，点M为抛物线对称轴上的一点，连接，设点M的纵坐标为n，当时，求n的值； (3)如图2，点N是抛物线的顶点，点P是x轴上一动点，将顶点N绕点P旋转后刚好落在抛物线上的点H处，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）直接由待定系数法即可求解； （2）先联立抛物线与直线求出交点的坐标，再求出对称轴，则得到点的坐标表示，再由两点间距离公式建立方程求解即可； （3）顶点，设，由旋转得，当时，过点作轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为点，证明，表示出，将点代入，得，解方程即可；当时，作出同样的辅助线，同理可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：联立， 解得：， ∴， ∵， ∴对称轴为直线，顶点为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为； （3）解：由（2）得顶点，设， 由旋转得， 当时， 过点作轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 将点代入， 得， 整理得：， 解得：， ∴或； 当时，过点作轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 将点代入， 得， 整理得：， 解得：， 或， 综上所述：所有符合条件的点P的坐标为：或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，两点间距离公式等知识点，难度较大，解题的关键在于构造“三垂直”全等模型． 11．（2025·四川绵阳·一模）如图所示，抛物线的解析式为． (1)若抛物线经过点，求抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，抛物线与x轴相交于两点（点A在点B的左侧），若将直线绕点A按顺时针方向旋转后与抛物线相交于点P，求点P的坐标； (3)如图1所示，若直线与抛物线相交于两点（M在N的左侧）O为坐标系原点，直接写出的最小值． 【答案】(1)该抛物线的解析式为 (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数的综合、旋转的性质、勾股定理、轴对称的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的综合、旋转的性质、勾股定理、轴对称的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）把点代入函数进行求解即可； （2）设直线与y轴的交点为D，过点D作于点E，由（1）可得，然后可得，则有，进而可得，则可求出直线的解析式为，最后联立函数关系式即可求解； （3）由题意易得，则有，，然后可得的和可看作是动点到定点距离之和，且动点在直线上运动，进而问题可求解． 【详解】（1）解：把点代入得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：设直线与y轴的交点为D，过点D作于点E，如图所示： 由（1）可知：抛物线的解析式为，点， ∴令时，则有，解得：， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质可知：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线与抛物线的解析式得：， 解得：， ∴； （3）解：由题意可联立得：， 解得：， ∴， ∴，， ∴根据两点距离公式的几何意义可知：的和可看作是动点到定点距离之和，且动点在直线上运动，如图， 作点关于直线的对称点H，根据轴对称的性质可知直线垂直平分，所以，即点，连接，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知：当动点是直线与线段的交点时，有最小值，最小值为． 12．（2025·江苏苏州·二模）【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于、B两点，交y轴于点C，抛物线对称轴交x轴于点D，抛物线与双曲线交于点，把点P绕点D顺时针旋转得到的对应点为Q． 【构建联系】 （1）分别求出抛物线和双曲线的解析式，并说明点Q是否在双曲线上． （2）如图2，双曲线与抛物线对称轴交于点E，连接，，求证：． 【深入探究】 （3）如图3，连接、，将绕着点旋转得到，其中点、分别是、两点的对应点，在旋转的过程中，当与重叠部分恰好是一个点时，求出此时点的坐标． 【答案】（1）双曲线的解析式为；抛物线的解析式为；点在双曲线上；（2）见解析；（3）点的坐标为或 【分析】（1）待定系数法先求出k的值，即可得到反比例的函数解析式，再将，代入中，解方程组即可得到抛物线的解析式；进而得到点D的坐标，分别作轴，轴，分别交轴于、两点，证明，得到点Q的坐标，即可判断； （2）证明，即可得到结论； （3）分与重叠部分是点，与重叠部分是点，两种情况讨论即可． 【详解】解：（1）把代入中， ∴ ∴双曲线的解析式为 把，代入中，可得方程组 ， 解得 ∴抛物线的解析式为 ∴抛物线的对称轴为直线 ∴ 点在双曲线上，理由如下： 分别作轴，轴，分别交轴于、两点，如图 ∴ ∵把点绕点顺时针旋转得到的对应点 ∴， ∴，， ∴ ∵，， ∴ ∴，， ∴ ∴点在双曲线上． （2）∵双曲线与抛物线对称轴交于点， ∴， ∴ ∵，抛物线对称轴为直线，、关于对称轴对称， ∴， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ （3）①当与重叠部分是点时，如图 分别作轴，轴，分别交轴于、两点 ∵ ∴， ∴ ∵， ∴， 点的坐标为． ②当与重叠部分是点时，如图 ∴点在线段上 ∵抛物线解析式为， ∴ ∵， 设的解析式为， 把和代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， ∴设的坐标为 ∵， ∴ 解得，（舍去） ∴点的坐标为． 综上：点的坐标为或． 【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握并综合应用有关性质进行求解． 13．（2025·福建泉州·模拟预测）国家的强大离不开国防的保障．近几年，科技的发展越来越多地应用到国防军事方面，其中无人机和导弹防御系统成为各国竞争的热点．梅石数学小组借助项目式学习研究了如下问题：某军事游戏模型截面图中，导弹防御系统雷达固定向上时的覆盖范围可视为二次函数（如图1），并且可确保击落进入覆盖区域内超过10分钟（含10分钟）的无人机．（已知直角坐标系的单位长度均为1km．） (1)当点在该二次函数图象上时，求的值； (2)①若雷达可绕点左右旋转形成全方位覆盖（如图2）．若已知图2中的图象绕点向右旋转形成的曲线满足：，请直接写出图象绕点向左旋转后、满足的关系式：__________； ②如图1，若该军事游戏模型中，某型号攻击无人机飞行高度为，携带导弹后速度为10米/秒，为摧毁雷达需飞行到点正上方进行投弹．当该导弹防御系统雷达固定向上时，其覆盖范围所视为的二次函数的要调整到什么范围才能抵挡这次攻击？（投弹时间忽略不计） 【答案】(1) (2)①②当时，才能抵挡这次攻击 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）①根据对称性，结合开口大小不变，得到，即可得出结果；②求出无人机到达点上方正好为10分钟时的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：把代入，得：， ∴； （2）①观察可知：图象绕点向左旋转后的图象和的图象绕点向右旋转的图象，顶点相同，开口大小相同，只是方向相反， ∴图象绕点向左旋转后、满足的关系式：； 故答案为：； ②当无人机到达点上方正好为10分钟时，则飞行距离为， 假设无人机从左往右飞， ∵无人机飞行高度为， 则，当过点时，， ∴， ∴当时，才能抵挡这次攻击． 题型04 翻折变化类 14．（2025·广东深圳·三模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，且与一次函数的图象交于点A和点． (1)求抛物线的解析式； (2)某学习小组发现，将抛物线在直线上方的部分沿翻折，会得到一个漂亮的“心形图”（包含A、B两点），如图2，现小组想探究恰好将心形图框住的最小矩形面积． ①组员小聪想到了方案一：如图3所示，矩形的边与抛物线相切于（即只有一个公共点）顶点C______（填坐标），边与心形图右边缘相切于点D，点D与点C关于直线对称；请你帮小聪计算出矩形的面积； ②组员小颖提出了方案二：如图4所示，矩形的边过点A，边与心形图的左边缘相切，边与心形图的右边缘相切，边与心形图的左、右边缘各相切于一点，此时矩形的面积为______． 【答案】(1)； (2)①，81；②． 【分析】（1）将点和代入抛物线，利用待定系数法求解即可； （2）①将抛物线化为顶点式，可得到顶点坐标；连接抛物线和直线，得到，分别过点、作轴、轴的平行线相交于点，根据轴对称的性质，得到，从而得到，即可求出矩形的面积； ②作直线分别交、于点、，令直线与的交点为，则，求出，再根据平行设直线的解析式为，根据边与心形图的左、右边缘各相切于一点，利用，求出，进而得出，求出，从而得到，同理可求，，即可求出矩形的面积． 本题考查了二次函数的图象和性质，轴对称的性质，一次函数的图象和性质以及一次函数的平移，二次函数与一元二次方程的关系，勾股定理，矩形的性质等知识，掌握二次函数的性质是解题关键． 【详解】（1）将点，代入， ， 解得， ； （2）①， 顶点C的坐标为； 抛物线经过点，且与一次函数的图象交于点A和点， 联立，解得：或（舍）， ， 分别过点、作轴、轴的平行线相交于点， 当时，，则， ， ， 点D与点C关于直线对称， ， ， ∴，， 矩形的面积； ②如图，作直线分别交于点、，令直线与的交点为，则， 由①可知，， ， 由题意可知，， 则， 直线的解析式为， 直线的解析式为， 边与心形图的左、右边缘各相切于一点， 即直线与抛物线只有一个交点， 联立， 整理得：， ， 解得：， 直线的解析式为， 联立，解得：， ， ， ， ，， ， 设直线的解析式为， 边与心形图的左边缘相切，即直线与抛物线只有一个交点， 联立， 整理得：， ， 解得：， 直线的解析式为， 同理可求， ， 矩形的面积为． 故答案为：． 15．（2025·山东东营·中考真题）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； (3)如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）设抛物线的解析式为，把代入解析式，解方程求出的值即可； （2）设，则，表示出四边形的周长，根据二次函数的最值即可求解； （3）过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K，证明，再求解，求出直线的解析式为，得到，设，求出，，，分两种情况：①当时，②当时，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， 设抛物线的解析式为， 把代入解析式，得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：，即； （2）解：∵抛物线的解析式为：， ∴抛物线图象的对称轴为：， 设， ∵轴， ∴， ∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴， ∴四边形是矩形， ∴四边形的周长 ， ∵， ∴当时，四边形的周长最大，则， ∴当四边形的周长最大时，点D的坐标为； （3）解：过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K， ∴， 由翻折得， ∵． ∴， ∴， ∵对称轴于H， ∴轴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵抛物线的解析式为：， ∴对称轴为， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 将代入，则， ∴， 设， ∴，，， 分两种情况： ①当时，， ∴， 解得：， ∴； ②当时，， ∴ 解得：， ∴点的坐标为； 综上，所有符合条件的点P的坐标为或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标问题，二次函数的性质，对称轴的性质，二次函数与直角三角形，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 16．（2025·江西·模拟预测）如图，将反比例函数 的图象沿直线向下翻折，翻折后的图象与轴交于点，点在该反比例函数图象上，以为边在上方作正方形，点恰好落在轴上，已知点的纵坐标为2， (1)求的值． (2)设边与反比例函数 的图象的交点为，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过设交点坐标表示出线段的长度，再利用勾股定理求出点的坐标，将点的坐标代入函数解析式即可求出的值； （2）过点作轴于点，则点的横坐标是线段的长度，纵坐标是线段的长度，利用可以求出点的坐标． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点，则． 又 ， ． 设，则点关于直线对称的点的坐标为，点的坐标为， 又点 关于直线 对称的点和点 都在反比例函数上， ，解得， ． （2）由（1）知， 在正方形中，， 又 （点拨：也可通过证，求的值）．                                   如图，过点作轴于点，则． ， ， ． 又， （提示：“一线三直角”相似模型）， ， 设，则，， （点拨：根据的几何意义建立方程）， 解得 ，（舍去）， 点的坐标为 【点睛】本题是一道反比例函数与几何综合题，主要考查了求反比例函数的解析式、勾股定理、正方形的性质和用相似三角形求点的坐标等，熟练掌握勾股定理、三角形相似求点的坐标是解题的关键． 17．（2025·甘肃酒泉·二模）如图，已知二次函数的图象经过两点与，且与轴相交于、两点，其顶点为． (1)求点的坐标； (2)求的面积； (3)在二次函数图象上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)把二次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变．得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时，的取值范围是什么？ 【答案】(1) (2) (3)存在，或 (4) 【分析】本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用待定系数法求函数的解析式，抛物线顶点坐标的求法，三角形面积公式的运用，抛物线与直线的交点情况的关系． （1）利用待定系数法将点、点的坐标代入解析式就可以求出抛物线的解析式，再化为顶点式就可以求出其顶点坐标． （2）当时，求出抛物线与轴的交点坐标就可以求出的值，的高就是的纵坐标的高的绝对值．利用三角形的面积公式就可以求出其面积． （3）设出点的坐标为，根据条件建立等量关系就可以求出点的坐标． （4）当直线经过点时，可以求出的值，当直线经过点时可以求出的值，再根据图象就可以求出的取值范围． 【详解】（1）解：∵点与在二次函数的图象上， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∴ ∴ ； （2）解：当时，则， 解得，， ，， ， ∴； （3）解：设点的坐标为，当点在轴的上方时， ∴， 解得：，， ∴或， 当点在轴的下方时的点不存在． ∴或； （4）解：如图，当直线经过点时， ∴， ， 当直线经过点时， ∴， ， 由图象得：． 18．（2025·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴正半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与双曲线的交点为，D（C在D的左边），且C，D恰好是线段的三等分点． (1)求a，k的值； (2)P是线段上一点，连接． ①若将的面积分成两部分，求点P的坐标； ②将直线沿直线进行翻折，与双曲线交于另一点E，连接，若，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)①或；② 【分析】（1）过点C作轴于点M，把代入求得，证明，得，求得，进而得，再分别把点代入、求解即可； （2）①把代入求得，进而求得，由题意进行分类讨论：当时，，当时，，进行求解即可； ②直线沿直线进行翻折后点P的对应点为点Q，连接，过点E作轴于点F，证明是等腰直角三角形，则，由折叠的性质得是线段的垂直平分线，得，进而得是等腰三角形，则，由此得，根据平行线分线段定理得，则，进而得，则，设点，得，再根据，可得，解得，进而求解即可． 【详解】（1）解：过点C作轴于点M， 把代入得，， ∴， ∴， ∵点C，D恰好是线段的三等分点， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵直线经过点， ∴，解得， ∵双曲线经过点， ∴； （2）解：由（1）得，直线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴， ①∴， ∵将的面积分成两部分，， 当时，， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴； ②直线沿直线进行翻折后点P的对应点为点Q，连接，过点E作轴于点F，如图， ， 是等腰直角三角形， ， 由折叠的性质得，，， ∴是线段的垂直平分线， ， 是等腰三角形， ， ， ， 轴， ，， ， ， 轴，轴，轴， ， 根据平行线分线段定理得，， 由（1）得，反比例函数表达式为，， ， ， ， ， 即， ， ∴点E的横坐标为20， ∵点E在反比例函数图象上， ， ， 设点P的坐标为， ， ， ， ， 整理得，， ， 由，解得， ， 由，解得， ∴， 此时沿翻折后与双曲线没有交点，故不符合题意，舍去， ． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、折叠的性质、平行线分线段定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握图形的翻折变换与性质、相似三角形的判定与性质及三角形的面积公式是解题的关键． 19．（2025·江苏淮安·一模）“求索”兴趣小组对函数图象的翻折变换进行了讨论，请你完成下列相关问题． (1)思源同学提出从最简单的一次函数图象开始：如图1，的图象与x轴、y轴交于点、，把直线AB沿y轴翻折交x轴于点C，可得，所以点C坐标为______，由此可求得直线BC的表达式． 承宇同学提出新的思路：从点的变换考虑，任取直线上一点，沿y轴翻折得点，则，，即，代入得翻折后所得直线的表达式为______． (2)请你选用（1）中两位同学其中一种方法求二次函数的图象沿直线翻折后所得图象的表达式． (3)下列说法中正确的有______填序号 ①将一次函数的图象沿直线翻折得到直线的表达式为；②将反比例函数的图象沿直线翻折所得图象的表达式为；③将二次函数的图象沿y轴翻折得到图象的表达式为；④将函数的图象沿直线翻折得到图象的表达式为 (4)将抛物线沿直线翻折得到图象G，直线与图象G有两个公共点，，且，求b的取值范围． 【答案】(1) (2)二次函数的图象沿直线翻折后所得图象的表达式为 (3)①③④ (4)b的取值范围为 【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及一次函数，反比例函数，对称变换等知识，解题的关键是掌握关于某直线对称的两点的坐标关系． （1）由，即得，由，可得； （2）任取二次函数的图象上一点，沿直线翻折得点，故，即可得； （3）设一次函数的图象上一点为，点沿直线翻折得到点，可得，从而，知，判断①正确；同理判断②错误，③正确，④正确； （4）任取二次函数的图象上一点，沿直线翻折得点，即可得图象G的表达式为，联立，可得，由直线与图象G有两个公共点，有，故，解得，又，可得，即，得，解得；即知b的取值范围为 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：，； （2）解：任取二次函数的图象上一点，沿直线翻折得点， ， ， ； 二次函数的图象沿直线翻折后所得图象的表达式为； （3）解：①设一次函数的图象上一点为， 点沿直线翻折得到点， ， ， ，故①正确； ②设反比例函数的图象上一点为， 点沿直线翻折得到点， ， ， ，故②错误； ③设二次函数的图象上一点为， 点沿y轴翻折得到点， ， ， ∴，故③正确； ④设函数的图象上一点为， 点沿直线翻折得到点， ∴，， ，故④正确； 正确的有①③④， 故答案为：①③④； （4）解：任取二次函数的图象上一点，沿直线翻折得点， ， 将代入得， 图象G的表达式为， 联立， ∴， 整理得 直线与图象G有两个公共点， ， ∴\， 解得， ， ， ， ， ， ， ， 解得； 的取值范围为 题型05 多函数综合的图形变化 20．（2025年山东省滨州市中考数学试卷）在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)点在抛物线上，若点N到y轴的距离小于4，请直接写出b的取值范围． (3)把直线向下平移个单位长度后与抛物线的两个交点都在第四象限，求n的取值范围． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为 (2) (3) 【分析】本题考查二次函数图象和性质，二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）把点代入函数解析式，进行求解即可； （2）根据点N到y轴的距离小于4，得到，根据二次函数的增减性，进行求解即可； （3）由题意，得到平移后的直线的解析式为，联立两个解析式，得到，根据直线与抛物线有2个交点，得到，再根据时，直线和抛物线的两个交点恰好在对称轴上，即可得出结果． 【详解】（1）解：把代入抛物线，得 解得． ∴． ∴抛物线的顶点坐标为． （2）∵， ∴抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵点在抛物线上，点N到y轴的距离小于4， ∴， ∴当时，最小为，当时，最大为， ∴； （3）∵直线向下平移个单位长度， ∴平移后直线解析式为． 由得，即． ∵直线与抛物线有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根． ∴． 解得． 又当时，， 解得， ∴直线与抛物线的两个交点为，恰好在坐标轴上， ∴的取值范围为． 21．（2024·四川广元·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F：经过点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在直线上方抛物线上有一动点C，连接交于点D，求的最大值及此时点C的坐标； (3)作抛物线F关于直线上一点的对称图象，抛物线F与只有一个公共点E（点E在y轴右侧），G为直线上一点，H为抛物线对称轴上一点，若以B，E，G，H为顶点的四边形是平行四边形，求G点坐标． 【答案】(1)； (2)最大值为，C的坐标为； (3)点G的坐标为，，． 【分析】（1）本题考查了待定系数法解抛物线分析式，根据题意将点坐标分别代入抛物线解析式，解方程即可； （2）根据题意证明，再设的解析式为，求出的解析式，再设，则，再表示出利用最值即可得到本题答案； （3）根据题意求出，再分情况讨论当为对角线时，当为边时继而得到本题答案． 【详解】（1）解：，代入， 得：，解得：， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：如图1，过点C作x轴的垂线交于点M． ∴轴， ∴， ∴， 设的解析式为， 把，代入解析式得， 解得：， ∴． 设，则， ∴， ∵，， ∴当时，最大，最大值为． ∴的最大值为，此时点C的坐标为． （3）解：由中心对称可知，抛物线F与的公共点E为直线与抛物线F的右交点， ∴， ∴（舍），， ∴． ∵抛物线F：的顶点坐标为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线． 如图2，当为对角线时，由题知， ∴， ∴． 如图3，当为边时，由题知， ∴， ∴． 如图4，由题知， ∴， ∴， 综上：点G的坐标为，，． 22．（2025·四川成都·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），其对称轴交x轴于点C，P为抛物线第四象限上一点，连接交y轴于点E． (1)求点C的坐标及线段的长； (2)当时，若点E将线段分成两部分，求点E的坐标； (3)Q为线段中点，直线交y轴于点F，现将抛物线L绕平面内一点旋转得到抛物线，使得点A，P都落在抛物线上，记抛物线与y轴相交于G．当时，试探究是否存在a的值，使是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点C的坐标为； (2)E的坐标为或 (3)存在a的值，使是以为斜边的直角三角形，此时 【分析】（1）利用抛物线的对称轴公式即可求得点的坐标，令，解出点的坐标即可求解的长； （2）过点作轴，垂足为点，由此可知，当时，，由（1）可知，再分为①，②，两种情况分别讨论，利用相似比分别求解出的长，即可求解出点E的坐标； （3）设点P为，由于点P在第四象限，则，，即，由中点坐标公式可得点Q的坐标为，设直线的表达式为，将点C和点Q坐标代入求解出直线的表达式为，由此可得点的坐标与的长，设直线的表达式为，将点和点的坐标代入求解出直线的表达式为，由此可得点的坐标与的长，由，可解得，即可分别得出点的坐标，由题意可知的顶点与L的顶点关于旋转中心对称，且开口方向相反，则设的表达式为，将点A，P的坐标代入可得的表达式为，由此可求解出点的坐标，再求解出的长利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：对称轴为x， 点C的坐标为， 当y时， ， 解得：，， 即点A坐标为，点B坐标为， ； （2）如图，过点作轴，垂足为点， ， 当时，， 由（1）可知， 由于点E将线段分成两部分，则 ①当时， ， ， 则点的横坐标为3， ， ， 则， ， 则点E的坐标为； ②当时， 同理可得：， ， 此时，点的横坐标为， ， ， 则， ， 则点E的坐标为； 综上，点E的坐标为或； （3）存在a的值，使是以为斜边的直角三角形，理由如下： 由题意知设点P为 由于点P在第四象限，则，， 即， ， 则的中点Q的坐标为， 由（1）可知，点C的坐标为， 设直线的表达式为， 将点C和点Q坐标代入得： ， ， 化简得：， ， 则直线的表达式为， ∴点坐标为， 则，， 设直线的表达式为， 将点和点的坐标代入得： ， 解得：，， 则直线的表达式为， 令,则， ∴点的坐标为， 则， 由，可得：， 解得：， ， ， ， 抛物线L绕平面内一点旋转得到抛物线， 则的顶点与L的顶点关于旋转中心对称，且开口方向相反， 所以设的表达式为， 因为点A，P都落在抛物线上， 则， 解得：，， 则的表达式为， 令，则， ∴点G的坐标为， 因为是以为斜边的直角三角形， 由勾股定理可得：， 而， ， ， 代入可得：， 化简得：， ， ， 综上，存在a的值，使是以为斜边的直角三角形，此时． 【点睛】本题主要考查了抛物线的性质，旋转的性质，中点坐标公式，待定系数法求函数表达式、勾股定理、相似三角形的判定与性质、抛物线对称轴公式等，熟练掌握相关知识，灵活运用抛物线与旋转的性质是解题的关键． 重难点二 函数创新类问题 函数创新类问题是初中数学的拓展性考点，以一次、反比例、二次函数为基础，结合新定义、实际情境、跨学科背景等设计 “非常规问题”，核心考查 “知识迁移、逻辑推理、创新应用能力”，重难点如下： 一、“新定义” 型函数创新问题 核心要求：根据题目给出的新定义（如 “新函数概念、新运算规则”），结合函数性质解决问题。 关联难点： 1. 新函数概念：如 “定义‘对勾函数’，求其最小值”“定义‘折叠函数’：抛物线沿某直线折叠后的新解析式”； 2. 新运算规则：如 “定义f(x) * g(x) = f(x) + 2g(x)，已知f(x) = 2x、g(x) = ，求f(x) * g(x)的顶点坐标”； 3. 新图形关联：如 “定义‘函数的伴随图形’：抛物线与某直线围成的区域，求该区域内的整点个数”。 二、“跨学科融合” 型函数创新问题 核心要求：结合物理、几何、统计等学科知识，以函数为工具解决跨学科创新问题。 关联难点： 1. 物理融合：如 “物体做平抛运动，水平位移是一次函数、竖直位移是二次函数，求‘落地时的速度方向（与水平方向的夹角）’”； 2. 几何融合：如 “平面内点P在抛物线上，点Q在圆上，求Q的最小距离”； 3. 统计融合：如 “某数据的分布满足反比例函数关系，求数据的中位数对应的函数值（结合统计量与函数的关联）”。 三、“动态探究” 型函数创新问题 核心要求：以函数图像上的动点为载体，探究动态过程中的创新结论（如特殊图形、极值、规律）。 关联难点： 1. 动点轨迹创新：如 “抛物线上的点P，与定点A(0,1)连接，PA的中点Q的轨迹是哪种函数图像”； 2. 动态图形创新：如 “一次函数上的动点P，与反比例函数上的动点Q，使△OPQ为等边三角形，求‘满足条件的\(P、Q\)坐标’”； 3. 动态规律创新：如 “抛物线上的点，连接，求线段的长度的变化规律”。 题型01 与函数有关的新定义问题 新定义问题是数学考试中必考的题型,无论在哪个阶段,都会出现此类问题,但究其本质都是“新瓶装旧酒”“新瓶”就是新的定义,“旧酒”就是学过的知识,然后设计出具有针对性的考题来考查学生的知识迁移应用能力. 23．（2025·辽宁铁岭·三模）定义：是自变量的函数，当时，函数，当时，将函数沿直线翻折，得函数，函数合起来称为函数关于直线的“折美函数”．例如：图1为函数的图象，当时，得函数，函数，函数和函数合起来称为函数关于直线的“折美函数”，其图象如图2所示． (1)请直接写出函数关于直线的“折美函数”表达式，并写出相应的自变量的取值范围； (2)直线与函数关于直线（即轴）“折美函数”图象的两个交点之间的距离为4，求的值； (3)函数关于直线的“折美函数”中． ①请求出的值及的自变量取值范围． ②若直线与函数关于直线的“折美函数”有两个交点，请求出的取值范围． 【答案】(1)当时，，当时， (2) (3)①，的自变量取值范围；②或 【分析】本题为函数综合大题，考查了一次函数，二次函数，反比例函数的图象性质与变换，熟悉掌握坐标点的特征和函数变化特征是解题的关键． （1）根据翻折变换解答即可； （2）利用函数图象设直线与函数的交点坐标为，再利用距离列式运算求解即可； （3）①利用函数交点的特征列方程运算即可； ②利用根的判别式和交点情况，结合图象列式运算即可． 【详解】（1）解：函数沿直线翻折， 当时，；时，； （2）解：如图，设直线与函数的交点坐标为，则直线与函数 关于直线”折美函数”图象的交点坐标为， ∵直线与函数关于直线（即轴）“折美函数”图象的两个交点之间的距离为4， ∴，将代入，解得，， ∴； （3）解：①∵， 函数关于直线的“折美函数”中． ∴，． ∴，整理得，，解得：，， ∴的自变量取值范围． ②如图1，直线与没有交点 即， ， 如图2，直线与有交点 所以直线与函数关于直线的“折美函数”有两个交点， 将代入，得， 代入，得， ∴此时直线与函数关于直线的“折美函数”有两个交点， 的取值范围是，或． 24．（2025·甘肃兰州·中考真题）在平面直角坐标系中，对于图上或内部有一点（不与原点重合），及平面内一点，给出如下定义：若点关于直线的对称点在图上或内部，则称点是图的“映射点”． (1)如图1，已知图：线段，，．在，中，__________是图的“映射点”； (2)如图2，已知图：正方形，，，，．若直线：上存在点是图的“映射点”，求的最大值； (3)如图3，已知图：，圆心为，半径为．若轴上存在点是图的“映射点”，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，轴对称的性质，直线与圆的位置关系，切线长定理的应用，一次函数与结合图形，熟练掌握轴对称的性质，找到临界值是解题的关键； （1）根据定义，观察，，经过对称后，判断对称点是否在上，即可求解； （2）根据正方形的顶点到的距离为，则对称之前的点到原点的距离为，进而求得的最大值，将代入得，，即可求解； （3）根据新定义，找到临界值，即为的切线时的情形，求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：如图，当重合时，关于的对称点为，在线段上 ∴是图的“映射点”； 而关于的对称点不在上，则不是图的“映射点”； 故答案为：． （2）解：依题意，正方形的顶点到的距离为， ∴当上存在点是图的“映射点”，则点到的距离为 ∴当经过点时，的值最大， 将代入得， 解得：， ∴的最大值； （3）解：如图，分别为的切线， 当为的“映射点”， ∴， 又∵， 设，则 ∴ ∴ 解得： ∴， ∵， ∴, 当减小时，关于的“映射点”，在即的内部，符合题意， ∴ 当时，根据对称性可得 综上所述，． 25．（2025·江苏宿迁·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，到两个坐标轴的距离都小于或等于的点叫“阶近轴点”，所有的“阶近轴点”组成的图形记为图形．如图所示，所有的“1阶近轴点”组成的图形是以坐标原点为中心，2为边长的正方形区域． (1)下列函数图像上存在“1阶近轴点”的是___________； ①；②；③． (2)若一次函数的图像上存在“3阶近轴点”，求实数的取值范围； (3)特别地，当点在图形上，且横坐标是纵坐标的倍时，称点是图形的“阶完美点”，若二次函数的图像上有且只有一个“2阶完美点”，求实数的取值范围． 【答案】(1)① (2) (3)或 【分析】（1）根据“1阶近轴点”的定义，结合函数的性质逐个分析判断即可得出结论； （2）设一次函数的图像上“3阶近轴点”的坐标为，根据题意列出不等式组，进而得出关于的不等式组有解，列出关于的不等式，即可求解； （3）设“2阶完美点”的坐标为，由题意得，得出“2阶完美点”在函数上，分析可知函数与函数只有一个交点，设函数，则函数与轴的交点的横坐标有且只有一个满足，根据函数与轴的交点个数分情况讨论，再结合二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：经过点，点是“1阶近轴点”，故①符合题意； 设存在“1阶近轴点”，设此点的坐标为， 由题意得，， ∴不等式组无解， ∴图像上不存在“1阶近轴点”，故②不符合题意； ∵， ∴函数的最小值为2， ∴函数图像上的点到轴的距离大于等于2， ∴函数不存在“1阶近轴点”，故③不符合题意； ∴函数图像上存在“1阶近轴点”的是①； 故答案为：①； （2）解：设一次函数的图像上“3阶近轴点”的坐标为， 由题意得，， 解得：， ∵一次函数的图像上存在“3阶近轴点”， ∴关于的不等式组有解， ∴或或， 解得：或或，即， ∴实数的取值范围为； （3）解：设“2阶完美点”的坐标为， 由题意得，， ∴“2阶完美点”在函数上， ∵二次函数的图像上有且只有一个“2阶完美点”， ∴函数与函数只有一个交点， 令，整理得， 设函数，则函数与轴的交点的横坐标有且只有一个满足， 当时，， 若函数与轴有2个交点，则当时，有， ∴， 解得：； 若函数与轴只有1个交点，则， 整理得：， 解得：或， 当时，则与轴的交点的横坐标为， ∵， ∴符合题意； 当，则与轴的交点的横坐标为，不符合题意，舍去； 综上所述，实数的取值范围为或． 【点睛】本题考查了新定义，涉及一次函数、反比例函数、二次函数的图像与性质，理解“阶近轴点”和“阶完美点”的定义是解题的关键．本题属于函数综合题，需要较强的理解应用和数形结合能力，适合有能力解决压轴题的学生． 26．（2025·湖北·中考真题）抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，是抛物线的顶点，是抛物线上一动点，设点的横坐标为． (1)求的值； (2)如图1，若点在对称轴左侧，过点作对称轴的垂线，垂足为，求的值； (3)定义：抛物线上两点M，N之间的部分叫做抛物线弧（含端点和）．过，分别作轴的垂线，过抛物线弧的最高点和最低点分别作轴的垂线，直线与围成的矩形叫做抛物线弧的特征矩形．若点在第四象限，记抛物线弧的特征矩形的周长为． ①求关于的函数解析式； ②过点作轴，交抛物线于点，点与点不重合．记抛物线弧的特征矩形的周长为．若，直接写出的长． 【答案】(1) (2)2 (3)①②或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法进行求解即可； （2）一般式化为顶点式，求出点坐标，根据点横坐标，得到，进而求出，进行求解即可； （3）①求出点，点坐标，分，，三种情况，分别求出矩形的两条邻边长，利用周长公式，列出函数关系式即可； ②根据轴，得到关于对称轴对称，进而求出点坐标，分分，，三种情况，求出的函数关系式，再根据，分别求出满足题意的的值，进而求出的长即可． 【详解】（1）解：把代入，得：， ∴； （2）由（1）可知：， ∴， ∵是抛物线上一动点，设点的横坐标为， ∴， ∵过点作对称轴的垂线，垂足为， ∴，， ∴； （3）①当时，，当时，， ∴，， 由（2）可知：，，对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为 ∵在第四象限， ∴， 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：， ∴； 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：， ∴； 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：， ∴； 综上：； ②∵轴， ∴关于对称轴对称， ∴， 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：， ∴； ∵， ∴，解得：（舍去）或； ∴； 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：， ∴； ∵， ∴，解得：或（舍去）； ∴； 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：， ∴； ∵， ∴，解得：（舍去）或； ∴ 综上：或． 27．（2025·江西·中考真题）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． 探究1 （1）对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且不动点是； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是________（填写正确结论的序号）． （2）若一次函数是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件； 探究2： （3）对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． 探究3： （4）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义． 【答案】（1）③；（2）当且时，为任意实数；当时，；（3）；（4）该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等． 【分析】（1）根据“不动点函数”的定义，代入点，计算即可判断； （2）根据“不动点函数”的定义，代入点，计算即可得解； （3）先求得顶点坐标为，根据“不动点函数”的定义，即可得到； （4）根据题意得，，令，解方程即可求解． 【详解】解：（1）①对于， 由于， 所以不是“不动点函数”，原说法错误； ②对于，代入点， 得， 解得， 所以是“不动点函数”，且不动点是，原说法错误； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点，说法正确． 故答案为：③； （2）∵一次函数是“不动点函数”， ∴代入点， 得， 整理得， 当即且时，为任意实数； 当即时，； （3）由抛物线得， 顶点坐标为， ∵抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点， ∴； （4）根据题意得，， ∴令， 整理得， 解得，， ∴该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数和一元二次方程的应用．正确理解“不动点函数”的定义是解题的关键． 28．（2025·湖南湘西·模拟预测）【定义】在平面直角坐标系中，我们给出一个“积值”的定义： 点是函数图象上任意一点，横坐标与纵坐标的乘积称为点在函数图象上的“积值”； 【举例】已知点在函数的图象上，点在函数图象上的“积值”为． 【问题】根据定义，解答下列问题： (1)已知点是函数图象上一点，则点在该函数图象上的“积值”为______； (2)求点在函数图象上的“积值”； (3)已知点在函数（为常数，且）的图象上，当时，点在函数图象上的“积值”的最小值为，求的值． 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】本题考查了新定义，二次函数的图象性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用反比例函数的性质以及积值的定义，得，即可作答． （2）依题意，把代入得，再结合积值的定义，即可作答． （3）先表达出，运用二次函数的性质，得函数开口向上，则对称轴为，再根据当时，随的增大而减小，即可作答． 【详解】（1）解：∵点B是函数图象上任意一点， ∴， ∴点B在该函数图象上的“积值”为； 故答案为：； （2）解：∵点在函数图象上， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 则点在函数图象上的“积值”为； （3）解：已知点在函数（b为常数，且）的图象上， ∴， ∵当时，点P在函数图象上的“积值”的最小值为， ∴， ∵， 函数开口向上，则对称轴为， ∵， ∴对称轴， ∴当时，随的增大而减小， ∴时，有最小值，最小值为， ∴， 即． 题型02 与函数有关的材料阅读问题 阅读理解型问题以能力立意为目标，综合考核数学素养与数学应用能力。阅读理解型问题，可以是阅读某个(新) 概念、(新) 知识或某种(新) 方法，理解概念、知识的本质或者是掌握新方法，然后利用概念、方法去解决问题；也可以是设计一个新的数学背景，让学生在阅读的基础上，理解其中的内容、方法与思想，然后在把握本质、理解实质的基础上作答。这类题目往往可以考察出学生的阅读能力、分析推理能力、数据( 信息) 处理能力、表达能力、知识迁移能力，综合性强，灵活度高。因此，近些年来，阅读理解型问题频频出现在全国各地的中考试题中。 29．（2025·甘肃兰州·中考真题）综合与实践 在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题． 【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽．探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决． 【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x（标准单位）为自变量，种子的发芽率y（%）为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据： 生长素浓度：x（标准单位） 0 0.6 1 1.7 2 2.5 2.7 3 3.3 4 4.2 发芽率y（%） 35.00 49.28 56.00 62.37 63.00 61.25 59.57 56.00 51.17 35.00 29.12 【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点． 说明：①当生长素浓度时，种子的发芽率为自然发芽率； ②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽； ③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验． 【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题： (1)观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式； (2)请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围． 【答案】(1)y关于x的函数是二次函数，； (2)． 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）先判断出y关于x的函数是二次函数，再利用待定系数法求解即可； （2）先计算出种子自然发芽率为35，令和时，分别求得x的值，再结合图象求解即可． 【详解】（1）解：观察上述各点的分布规律， y关于x的函数是二次函数， 设该二次函数的解析式为， 将，，代入得， ， 解得， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：当时，， ∴种子自然发芽率为35， ∴当时，， 解得，， 当时，， 解得（舍去），， ∴抑制种子发芽时的生长素浓度范围为． 30．（2025·上海徐汇·二模）已知：在直角坐标系中直线与轴、轴相交于点、．当的值小于0时，的值大于4，且该直线与轴的夹角为．抛物线经过点和点． (1)【问题提出】如何求抛物线解析式 观察条件“当的值小于0时，的值大于4”，可得当的值小于4时，的值__________（选填“大于”或“小于”）0，该条直线的大致图像可能是__________（选填“A”或“B”），其中与轴交点的坐标为__________．继续阅读条件，“该直线与轴的夹角为”告诉我们其与轴的交点的坐标是__________，最终带入抛物线，列出方程组__________，解得__________，__________． (2)【综合运用】 是线段上一点，过点作直线的平行线，与轴相交于点，把沿直线翻折，点的对应点是点，如果点在抛物线上，求点的坐标． 【答案】(1)（1）大于，，，，，1，4 (2)点是坐标是 【分析】（1）根据图象和已知条件可得，，随的增大而减小，再将点和的坐标代入抛物线的解析式，解方程组即可解答； （2）设点的坐标为，证明是等腰直角三角形，则，再证明四边形是正方形，得，代入抛物线的解析式即可解答． 【详解】（1）解：∵当的值小于0时，的值大于4， 则与轴交点的坐标为， ∵该直线与轴的夹角为，且 ， 是等腰直角三角形， ∴， ∴与轴的交点的坐标是， 可得当的值小于4时，的值大于0， 即随的增大而减小， ∴该条直线的大致图象可能是B， 将，代入抛物线中得： ， 解得：； 故答案为：大于，B，，，，1，4； （2）解：设点的坐标为， ， ， 是等腰直角三角形， ， 由折叠得：，， ， ， 四边形是正方形， ， 点在抛物线上， ， 解得：， ∵是线段上一点， ． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，待定系数法的应用，正方形的性质和判定，等腰直角三角形，利用数形结合的思想是解题的关键． 31．（2025·山东潍坊·二模）小亮喜欢思考，善于运用信息化工具研究数学问题．在中考复习中，他运用和几何画板研究了动点最值问题．以下为研究笔记的部分内容：梳理了初中常见的动点最值问题，从“距离”这一核心概念出发整理出下列表格，请阅读材料并完成下列问题． 分类 项目 点到点的距离 点到直线的距离 点到圆的距离 基本原理 两点之间，线段最短 直线外一点到直线上各点的所有连线中，垂线段最短 点到的距离为，则有 基本图形 【直接应用】 （1）已知在中，，，，点为边上一动点． ①线段的最小值为________； ②若点为的中点，则线段绕点顺时针旋转，的最小值为________； 【迁移运用】 （2）如图，一次函数和二次函数．一次函数的图象与坐标轴分别交于点，点．若为二次函数图象上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点．求最小值； 【问题解决】 （3）在矩形中，，，，．小亮使用几何画板探究发现：四边形为平行四边形；四边形与矩形重合时周长最大，最大值为28．请证明四边形为平行四边形，并用模型观念探究其周长的最小值． 【答案】（1）①②；（2）最小值为；（3）见解析 【分析】（1）①在直角三角形中，求斜边上一点到直角顶点线段的最小值，需根据“点到直线的距离，垂线段最短”这一原理，利用三角形面积公式求解； ②先确定点绕点旋转后的轨迹，再根据“点到圆的距离”相关原理求最小值； （2）通过作辅助线构造等腰直角三角形，将的长度与建立联系，利用二次函数的性质求最小值，进而得到最小值； （3）先通过三角形全等证明四边形是平行四边形，再利用“将军饮马”模型或勾股定理结合几何直观求其周长最小值． 【详解】解：（1）①在中，当时，最短， 由三角形面积公式， ∵，，， ∴， 解得， 故答案为：； ②∵点为中点，， ∴， 线段绕点顺时针旋转，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆．当，，三点共线且在线段上时，最小， 此时，由①知最小值为， ∴最小值为； 故答案为： （2）过点作轴，交直线于点， 由题意得，点， ∴， ∴三角形为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴三角形为等腰直角三角形， 设的横坐标为，则，则， ∴， ∴，当时，取最小值为， 此时，取最小值，值为． （3）∵四边形为矩形， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可得，， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形周长为邻边之和的2倍， ∴平行四边形周长最小时，即是邻边之和最小． 作点关于的对称点，连接，则， ∴当三点共线时，取最小值， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴四边形周长最小值为20． 【点睛】本题综合考查了初中几何中距离相关的多个知识点，包括点到直线的距离、点到圆的距离，三角形全等、等腰直角三角形的性质、二次函数的最值以及平行四边形的判定和“将军饮马”模型等．解题关键在于准确理解各种距离的基本原理，合理运用几何图形的性质和判定定理，通过作辅助线、建立函数关系等方法将问题转化为可求解的形式． 32．（2025·宁夏·模拟预测） 阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应任务． 函数是从数量的角度反映变化规律和对应关系的数学模型，初中阶段学习的函数有一次函数、二次函数、反比例函数，学习时可以从数量特征和几何特征（图象）来研究函数的性质．下面是研究三大函数图象沿y轴向下平移的特征． 一次函数图象的平移： 如图①，一次函数分别与轴，轴交于点，，将直线沿轴向下平移个单位，分别与轴，轴交于点，．分别将，代入，求得，，则，，由平移的性质得，，∴，，∵，∴（依据），∴，∵，，，∴，∴，设直线的函数表达式为，分别将，代入，解得，，直线的函数表达式为． 猜想1：将直线：沿轴向下平移个（）单位后，所得直线的函数表达式为：． 证明1：设点为上的任意一点，沿轴向下平移个单位后的对应点为，将代入，得，∵点为上的点，∴，∴，∴，∴点在直线上． 结论：猜想正确． 二次函数图象的平移： 猜想：将二次函数的图象沿轴向下平移 个单位后，所得二次函数的函数表达式为：． 证明：…… 反比例函数图象的平移： …… （1）任务一：填空：证明的依据是： ， （2）任务二：请完成猜想的证明； （3）任务三：如图②，直线与反比例函数的图象交于点，将反比例函数的图象沿y轴向下平移个单位后与直线交于点，直接写出线段的长． 【答案】任务一：两角分别相等的两个三角形相似（2）证明见解析；（3） 【分析】本题考查相似三角形，反比例函数和二次函数的综合，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，反比例函数的图象和性质，二次函数的图象和性质． （1）根据相似三角形的判定，待定系数法确定函数的表达式体现的数学思想，即可； （2）设点是函数上的一点，点是函数平移后对应的点，根据（1）中的方法进行验证，即可； （3）由（1）（2）得平移后的函数表达式为：，根据题意，求出点，点的坐标，即可求出的值． 【详解】（1）由题意得：， ∴， 依据为：两角分别相等的两个三角形相似； 故答案为：两角分别相等的两个三角形相似； （2）设点是函数上的一点，沿轴向下平移个单位后对应点， 当时，， ∵点为上的点， ∴， ∴， ∴点在函数上， ∴平移后的表达式为：； （3）由（1）（2）得，平移后的函数的表达式为：， ∵直线与反比例函数的图象交于点， ∴， 解得：， ∴点， ∵平移后的函数与直线交于点， ∴， 解得：， ∴点， ∴． 题型03 与函数有关的新考法类问题 33．（2025·山西忻州·模拟预测）【创新考法】综合与实践 【问题情境】在校园运动会开幕式中，如图1（示意图），运动会火炬手小明负责用火种点燃箭头，然后准确射向距离发射点水平距离为70米、距地面的竖直高度为20米处的一个点火台上，已知点火台是一个弓形，其中米，且垂直平分．这支箭（大小忽略不计）飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分．记这支箭飞行的水平距离为（单位：），距地面的竖直高度为（单位：）．获得的数据如表： 0 10 20 30 40 50 60 70 1.5 10.5 17.5 22.5 25.5 26.5 25.5 【问题解决】 (1)的值为________． (2)根据表中的各对对应值，在图2所示的平面直角坐标系中完成描点，并用平滑的曲线连接． (3)只要小明射出的箭的运动轨迹与线段有公共点，那么这支箭就可以射入点火台内，请结合函数图象分析，小明射出的箭是否射入了点火台内？ (4)由于点火台较小，将箭射进点火台内较为困难．于是学校调整了点火台内的可燃材料，只要小明射出的箭降落时能够进入距离点火台上方4米的范围内（即正方形包含边界），都可以成功点火．在研究这个问题的过程中还发现：如果发射箭的初始角度和力量不变的情况下，小明还可以通过调整与点火台的水平距离改变这支箭的飞行轨迹（即沿着横轴左右平移原抛物线），如果保证点火成功，请结合函数图象分析，小明沿横轴（水平方向）向左移动的最大距离与向右移动的最大距离分别为多少？（结果保留根号） 【答案】(1)22.5 (2)见解析 (3)小明射出的箭没有射入点火台内，见解析 (4)小明沿水平方向向左移动的最大距离为，向右移动的最大距离为 【分析】本题考查二次函数的实际应用，考查抛物线的对称性，描点法画函数图象，二次函数图象的平移，根据函数图象获取信息解题的关键． （1）由数据表确定函数的对称轴，即可求解； （2）描点，连线即可作图； （3）先求得抛物线的解析式，再求出当和时的所对应的h的值，再和20作比较即可； （4）利用已求得抛物线的解析式，根据题意，先求得正方形左下角的点A的坐标和右上角的点C的坐标，再根据抛物线的平移列出方程，求得平移的距离，即可求解． 【详解】（1）解：由数据表可得，当和时，竖直高度均为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当和时的竖直高度一样，为，即， 故答案为：； （2）解：如答图，即为所求作的曲线： （3）解：二次函数的解析式为： ∵当时，， ∴， 解得：， ∴函数解析式为：； 当时，， 当时，， ∴小明射出的箭没有射入点火台内； （4）解：由（3）可知二次函数表达式为：， ∵点火台上方4米的范围内(即正方形)，都可以成功点火，且射箭的初始角度和力量不变的情况下，小明可以通过调整与点火台的水平距离来改变这支箭的飞行轨迹，即相当于将二次函数的图象沿着横轴进行左右平移可以保证点火成功，依题意可得正方形左下角的点A的坐标为，右上角的点C的坐标为， 设沿着水平方向后退米，即抛物线沿着横轴向左平移m米， 当抛物线经过正方形的左下角的点时， ∴， 解得：（舍）， 设沿着水平方向前进米，即抛物线沿着横轴向右平移n米， 当抛物线经过正方形的右上角的点时， ∴， 解得：（舍）， ∴小明沿水平方向向左移动的最大距离为，向右移动的最大距离为． 34．（2024·山西大同·一模）中考新考法：注重过程性学习，某数学小组在研究函数时，对函数的图象进行了探究，探究过程如下： … 1 2 3 … … 3 4 6 1 …    (1)①与的几组对应值如下表，请补全表格； ②在上图平面直角坐标系中，描出上表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点画出该函数的图象； (2)我们知道，函数的图象是由二次函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到的．类似地，请直接写出将的图象经过怎样的平移可以得到的图象； (3)若一次函数的图象与函数的图象交于两点，连接，求的面积． 【答案】(1)见解析， (2)向左平移1个单位，向上平移2个单位 (3) 【分析】本题主要考查的是反比例函数的图象与性质，理解题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． （1）求出时的函数值，利用描点法画出函数图象即可； （2）根据平移的方式即可解答； （3）根据函数的图象即可解答； 【详解】（1）当时，， 补全表格为： … 1 2 3 … … 3 4 6 1 … 图象如下：    （2）的图象向左平移1个单位，向上平移2个单位可以得到的图象； （3）一次函数的图象，如图，可知， ∴的面积为．    35．（2025·江西吉安·二模）初中学考即将来临，同学们正全力准备着最后的决战，马超同学近期在复习函数时遇到了一类典型的函数：这类函数由已学过的一次函数、二次函数或反比例函数相结合，并要求得到其函数值的变化范围，马超同学遇到的这类函数问题的探究如下： 已知函数，该函数是否存在最值（最大值或最小值），若存在，求出其最值；若不存在，请说明理由． 思路分析： 显然，该函数是二次函数与反比例函数的结合，因此，可先从反比例函数入手研究． 请回答下列问题： （1）对于函数，当时，y随x的增大而______________（填“增大”或“减小”），当且时，该函数______________最值（填“有”或“无”）； （2）函数有______________值（填“最大”或“最小”），其最值为______________； （3）此时，若将替换成u，函数是否存在最值，若存在，请求出其最值，若不存在，请说明理由； 变式训练： （4）函数是否存在最值，若存在，求出其最值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）减小，无；（2）最小，3；（3）存在最大值，最大值为；（4）无最值，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数和反比例函数的性质，利用类比思想解答是解题的关键． （1）根据反比例函数的性质解答即可； （2）根据二次函数的性质解答即可； （3）根据二次函数和反比例函数的性质解答即可； （4）根据二次函数和反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴对于函数，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而减小， ∴当且时，该函数无最值； 故答案为：减小，无； （2）∵，， ∴当时，函数有最小值，其最值为3； 故答案为：最小；3； （3）存在最大值，最大值为； 根据题意得：，此时， ∴y随u的增大而减小， ∴当时，函数存在最大值，最大值为； （4）函数不存在最值，理由如下： 令，则， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为4， 即， ∵当时，y随u的增大而减小，当时，y随u的增大而减小， ∴函数无最值， 即函数不存在最值． 36．（2025·辽宁抚顺·一模）如图1，函数的图象与轴交于点A，B与轴交于点，连接，点为线段上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为．直线交的图象于点，连接，； (1)求直线的解析式； (2)当的面积等于3时，求点的横坐标； (3)定义：将函数的表达式取绝对值，得到一个新函数，称新函数为原函数的绝对函数．例如：函数的绝对函数为， ①直接写出函数（）的绝对函数的解析式（化简到去掉绝对值符号）； ②如图2，是函数当时的图象，交轴于点．连接，点是直线上的两点，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的平行线，交函数图象于点．过点作轴的平行线，交函数图象于点，若点H，J，I，G构成的四边形是平行四边形，求的值． 【答案】(1) (2)1或2 (3)①；②或或或 【分析】本题主要考查一次函数、二次函数与几何综合的问题，分类讨论是解题的关键． （1）根据函数与坐标轴交点问题，得到点坐标，再根据待定系数法得到方程即可； （2）作垂直于，垂足为，设点，则的坐标为，利用求解即可； （3）①根据函数图象关系写出解析式即可； ②由，则当时，点H，J，I，G构成的四边形是平行四边形，再分，，，四种情况求解即可． 【详解】（1）解：当时，即， 解得，， ， 当时，即， 设直线的解析式为将点和点代入， 得 解得 的解析式为. （2）如图1，作垂直于，垂足为， 设点，则的坐标为， ， ， ， 或. （3）①由图可知，当或时，， ， 当时，， ， ②∵， 当时，点H，J，I，G构成的四边形是平行四边形. 如图2，当时， ， 解得或（舍） 如图3当时， ， 解得或（舍） 如图4，当时， ， 解得 如图5，当时， ， 解得或（舍）； 综上， 的值为或或或． 37．（2025·上海·模拟预测）分段函数，就是对于自变量不同的取值范围，有不同的函数解析式与之对应的函数．如函数就是一个分段函数． 现有分段函数． 已知该分段函数的图像是连续的，且在给出的这四个二次函数中，其只经过函数图像的顶点． (1)试确定这个分段函数的解析式，并在所给平面直角坐标系中作出其大致图像； (2)若直线与此分段函数的图像有5个不同的交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)分段函数为，图象见解析 (2) 【分析】本题考查了画的图象，的图象与性质，抛物线与x轴的交点问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）依次求出分段函数中相邻两函数的交点坐标，再结合只经过函数图像的顶点求解，然后画了函数图象； （2）结合函数图象，根据函数间的交点求解． 【详解】（1）解：如图． ，解得：或， 即两函数的交点坐标为，， 函数的对称轴为， 因为只经过函数图像的顶点， 所以函数的图象在函数的左边， 所以点为它们的交点，且在分段函数上， 所以函数必须满足； ，解得：或， 即两函数的交点坐标为，， 因为只经过函数图像的顶点， 函数的对称轴为， 所以函数在函数的右边， 即在及右边， 所以此时， ，解得：或， 即两函数的交点为和， 因为只经过函数图像的顶点， 所以函数的图象在函数的右边， 也在函数的对称轴为右边， 所以在的右边， 所以此时， 综上所述，可画出图象如图， 结合分段函数， 可得出，，， 所以这个分段函数为 （2）如图， 结合图象，我们知道，当时，有4个不同交点， 在点处， 也就是时，也有4个不同交点， ∵直线与此分段函数的图像有5个不同的交点， ∴当时，直线与此分段函数的图像有5个不同的交点． 1．（2025·山东德州·中考真题）如图，，点M在线段上，将沿直线折叠，点B恰好落在点处． (1)求a的值； (2)求直线的解析式； (3)若直线与直线的交点在直线的左侧，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】题目主要考查坐标与图形，勾股定理解三角形，翻折的性质，确定一次函数解析式及一次函数的性质，理解题意，结合图象求解是解题关键． （1）根据题意得出，再由勾股定理及折叠的性质求解即可； （2）设，根据折叠的性质，得，，根据勾股定理确定点M的坐标，再利用待定系数法计算解析式即可． （3）根据题意作出相应草图，结合图象得出，代入一次函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵将沿直线折叠，点B恰好落在点处， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）设， 根据折叠的性质，得，， 由（1）得， ∵， ∴， 解得， 故， 设直线的解析式为， ∴， 解得， 故直线的解析式为． （3）由（1）得：， ∴直线与直线的交点在直线的左侧， 如图所示： 当时，， ∴， ∵直线与直线的交点在直线的左侧， ∴直线经过点N时恰好是临界点， ∴， 解得：， ∴t的取值范围为． 2．（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)问在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为． ①求旋转角度的正切值； ②当时，求原抛物线平移的距离． 【答案】(1) (2)或 (3)①3；②抛物线的平移距离为 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）求出点坐标，作的中垂线交轴于点，连接，则：，得到，设，则：，勾股定理求出的值，进而得到点坐标，求出直线的解析式，作，得到，求出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式求出点坐标，再根据对称性，求出满足题意的另一个点的坐标即可； （3）①求出直线的解析式，根据题意，得到旋转角为，作，交轴于点，作于点，则：，求出直线的解析式，进而求出点的坐标，等积法求出的长，勾股定理求出的长，再利用正切的定义进行求解即可； ②设抛物线沿着水平方向和竖直方向均移动个单位，根据平移规则求出新的抛物线的解析式，求出点的坐标，联立两个抛物线的解析式求出点坐标，作轴，交的延长线于点，证明，列出比例式求出的值，进而求出平移距离即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴相交于，两点，将两点坐标代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的表达式， （2）∵， ∴当时，， ∴， 作的中垂线交轴于点，连接，则：， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设，则：， 在中，由勾股定理，得， 解得， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得，解得， ∴， 过点作，交轴于点，交抛物线于点，则：， 设直线的解析式为，把代入，得，解得， ∴， 联立， 解得或， ∴； ∵， ∴当时，， ∴， 作点关于轴的对称点，连接，则：，， ∴直线与抛物线的交点也满足题意， 同法可得：直线的解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上：或； （3）①∵， ∴， ∵， 同法可得直线的解析式为， 由题意，即为旋转角，作，交轴于点，作于点，则：， ∴， 同法可得直线的解析式为， ∴当时，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②将抛物线沿直线平移，等同于将抛物线沿直线平移， ∵， ∴抛物线在水平方向和竖直方向上的移动距离相等， 设将抛物线向右和向上分别平移个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的解析式为， ∴， 联立， 解得：， ∴， 作轴，交的延长线于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）或（舍去）； ∴抛物线在水平方向和竖直方向的平移距离均为， ∴抛物线的平移距离为； 当抛物线沿直线向下移动时，同理可得抛物线的平移距离为； 综上：抛物线的平移距离为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数图象的平移等知识点，综合性强，难度大，属于中考压轴题，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 3．（2025·江苏常州·中考真题）如图：在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段上一点，C与B不重合．二次函数（a，b，c是常数，且）的图像经过点B，顶点是C．将该二次函数的图像平移后得到新抛物线，、分别是B、C的对应点，且点落在x轴正半轴上，点的纵坐标为． (1)______； (2)求点C的坐标； (3)已知新抛物线与y轴交于点，点、在新抛物线上，若对于满足的任意实数，总成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)3 (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，二次函数图像的平移，二次函数的图像和性质，正确的求出二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图像和性质，是解题的关键． （1）求出时，函数的函数值，得到点坐标，即可得出结果； （2）根据点落在x轴正半轴上，得到点向下平移了个单位，进而得到点向下平移个单位后，与的纵坐标相同，进而求出的纵坐标，代入函数解析式，求出点坐标即可； （3）待定系数法求出二次函数的解析式，设抛物线向右平移个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线，得到新的抛物线的解析式为：，把点坐标代入，求出解析式，进而根据二次函数的图像和性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∴， ∴； 故答案为：3； （2）解：∵，点的对应点落在x轴正半轴上， ∴点向下平移个单位， ∴点向下平移个单位后，与的纵坐标相同， ∵点的纵坐标为， ∴点的纵坐标为； ∵点在线段上，即点在直线上， ∴当时，， ∴； （3）解：∵，，二次函数（a，b，c是常数，且）的图像经过点B，顶点是C． ∴，把代入，得：， ∴， ∴， ∵平移后点的对应点落在x轴正半轴上， ∴设抛物线向右平移个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线， ∴新的抛物线的解析式为：， 把代入，得：， 解得：或（舍去）； ∴， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，点关于对称轴的对称点为， ∵对于满足的任意实数，总成立， ∴或， ∴或． 4．（2025·吉林·中考真题）【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的 密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． 总结公式：当小铝块位于液面上方时，； 当小铝块浸入液面后，． 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示． 【解决问题】 (1)当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数． (2)当时，求弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式． (3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块浸入的深度为，直接写出m，n的值． 【答案】(1)弹簧测力计A的示数为，弹簧测力计B的示数为； (2)； (3)，． 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）直接根据图②作答即可； （2）设当时，弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式为，别将，代入计算即可； （3）由题意可知小铝重为，将代入得，将变形即可求出，求出当时，弹簧测力计B的示数关于x的函数解析式为，将代入计算即可． 【详解】（1）解：由图②可知，当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为，弹簧测力计B的示数为； （2）解：设当时，弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式为， 由图可知经过， 分别将，代入得： ， 解得：， ∴； （3）解：由题意可知小铝重为， 将代入得， 则，即； 则使乙液体中的小铝块所受的浮力为， ∴， 设当时，弹簧测力计B的示数关于x的函数解析式为， 由图可知经过， 分别将，代入得： ， 解得：， 即， 将代入得：， 解得：， ∴深度为． 5．（2025·内蒙古·中考真题）问题背景： 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示． 外形参数： 如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点，在抛物线上，点，在抛物线上． 问题解决： 如图2，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴．建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： (1)直接写出，，三点的坐标； (2)直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和的函数表达式； (3)为满足矩形电子显示屏的空间要求，需要边的长为，求此时边的长． 【答案】(1)，， (2)抛物线和的顶点坐标分别为，， 的表达式为；的表达式为； (3) 【分析】（1）由矩形性质可得，，，，即可得出坐标； （2）由装置整体图案为轴对称图形，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，交矩形于，，结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，，由矩形中，抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴，即可得出抛物线和的顶点坐标分别为，，分别设抛物线和的表达式为，，分别将将和代入求解即可； （3）由装置整体图案为轴对称图形，得出，，证明轴，设，则，，则，求得，由抛物线对称性可得． 【详解】（1）解：∵矩形的边，， ∴，，，， ∴，，； （2）解：∵装置整体图案为轴对称图形， 如图，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，交矩形于，， 结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴， ∴，， ∴抛物线和的顶点坐标分别为，， 分别设抛物线和的表达式为，， 将代入， 解得， 则抛物线的表达式为； 将代入， 解得； 则抛物线的表达式为； （3）解：∵装置整体图案为轴对称图形， ∴，， ∵轴， ∴轴， ∵是矩形， ∴， ∴轴， ∴， 设， ∴，， ∴， 解得：或（在对称轴右侧，舍）， ∴， 由抛物线对称性可得． 【点睛】本题考查二次函数的图象与几何综合，矩形的性质，平面直角坐标系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 1．（2025·四川·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线过原点，顶点为P，直线l过原点和点P． (1)求抛物线和直线l的解析式； (2)如图2，将抛物线的顶点沿射线平移，抛物线也随之移动得到抛物线，设顶点为A，其横坐标为，抛物线与抛物线交于点B． ①当时，求点B的横坐标； ②若点B的横坐标为n，请猜想并写出n与t的关系（不写推理过程）； ③如图3，若点B在第一象限内，设与y轴正半轴的夹角为，当时，求点B的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为，直线l的解析式为 (2)①点的横坐标为5；②；③点B的坐标为 【分析】（1）将代入求出值，再根据和求出直线的解析式； （2）①根据题意可得，再将代入求解即可； ②参考①思路联立解析式即可； ③设抛物线的解析式为，则可得点的坐标为，点B的坐标为，先求出的表达式，作交直线于点C，求出直线和直线的解析式并联立，进而求出，结合题意求出t的值即可． 【详解】（1）解：抛物线：过原点， 将代入抛物线解析式可得 ， 解得， 抛物线的解析式为 ， ∵抛物线的解析式为， ∴顶点的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入可得：， 解得， 直线的解析式为； （2）解：①：抛物线的顶点沿射线平移得到抛物线的顶点， 抛物线的解析式为， 当时，抛物线的解析式为， 联立抛物线与的解析式得， ， 解得， 点的坐标为； ②联立抛物线与的解析式得， ， 解得， 点的横坐标为， ∴， ∴； ③设抛物线的解析式为， 由②知点A的横坐标是点B的两倍， ∴点的坐标为，点B的横坐标为， 将代入得， ， ∴点B的坐标为， ∴ ， 作交直线于点C，过点B作轴于点D， ∵直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为，， 联立直线和直线的解析式为， 解得， ∴点C的坐标为， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴ 解得（舍去）， ∴点B的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数交点问题、二次函数平移、二次函数点的坐标特征、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 2．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若上存在两个不同的点，，对于上任意满足的两个不同的点，，都有，则称点是的关联点，称的大小为点与的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角） (1)如图，的半径为． ①在点，，中，点_______是的关联点且其与的关联角度小于，该点与的关联角度为； ②点在第一象限，若对于任意长度小于的线段，上所有的点都是的关联点，则的最小值为_______； (2)已知点，经过原点，线段上所有的点都是的关联点，记这些点与的关联角度的最大值为．若，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2)或或 【分析】本题考查了新定义，直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，理解新定义是解题的关键； （1）①根据新定义可得的是的关联点且其与的关联角度小于，进而根据切线的性质，解,即可求得，即可求解． ②根据定义可得为外一点，由，的半径为，得出，进而当时，勾股定理求得的值，即可求解； （3）由（1）可得，当在圆的外部时，且为圆的切线时，最大，且距离圆心越近，根据，得出，根据已知可得，上距离最近的点在的圆环内，根据是固定线段，让移动，分四种情况讨论，求得的临界值，即可求解． 【详解】（1）解：①根据定义可得：当在上时，不存在都有，当在内部时，过的直径使得的关联角度为，当在的外部时，且为的切线时，最大； 如图，是的关联点且其与的关联角度小于，与的关联角度为，与的关联角度大于， ∵，的半径为， ∴，且是的切线， ∴， ∴ ∴，即与的关联角度为 故答案为：，． ②根据定义可得为外一点， ∵，的半径为， ∴，当时， 如图，取点，则， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． （2）解：由（1）可得，当在圆的外部时，且为圆的切线时，最大，且距离圆心越近， ∵， ∴当时，由，如图， ∴四边形是矩形， 由∵ ∴四边形是正方形， ∴ 当时， ∵点，经过原点，线段上所有的点都是的关联点，则， ∴上距离最近的点在的圆环内， ①和的圆相切，如图， ∴ 解得： ②和半径为的圆相切时，如图， ∴（不包含临界值） ∴ ③当在半径为的圆，如图 解得：（不包含临界值） ∴时，都在内部，此时 ④当在半径为的圆，如图 设的半径为，则， ∵， 解得：， ∴时，此时， 综上所述，或或． 3．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，点关于原点对称．该函数图象上另有两点，它们的横坐标分别为，其中．依次作直线与轴分别交于点，直线与轴分别交于点．记，． (1)若，求的长； (2)求代数式的值； (3)当，时，求点关于直线对称的点的坐标． 【答案】(1)； (2)10； (3)． 【分析】（1）先确定反比例函数解析式，得到坐标，再求直线解析式，进而确定点坐标，算出 ． （2）设出直线、解析式，求出、表达式，化简计算得结果 ． （3）利用已知条件求出、，确定、直线等相关点和解析式，结合对称性质求解 ． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， ∵在函数图象上， ∴， ∴， ∴． 设直线的解析式为， ∵， ∴，解得， ∴， ∴点的坐标为， ∴； （2）解：设直线的解析式为， ∵， ∴的解析式为， 设直线的解析式为， ∵， ∴的解析式为， ∴， ∴．同理，． ∴； （3）解：∵， ∴ 由（2）得， ∴ ∵， ∴． ∴，， ∴， ∵， ∴的解析式为，的解析式为． ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 又∵点关于直线对称的点， ∴线段的中点为， ∴点关于直线对称的点的坐标为即． 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合应用，涉及函数解析式求解、点坐标计算、对称性质等，熟练掌握反比例函数性质、一次函数解析式求法及对称点坐标特征是解题关键． 4．（2025·广西·中考真题）综合与实践 树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1） 初始时，矩形义卖区与遮阳伞投影的平面图如图2所示，在上，，，，，，由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，也随之移动（始终在边所在直线上），且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图3为移动到落在上的情形． 【问题提出】 西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时的位置． 设遮阳区的面积为，从初始时向右移动的距离为． 【直观感知】（1）从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大如何变化？ 【初步探究】（2）求图3情形的与的值； 【深入研究】（3）从图3情形起右移至与重合，求该过程中关于的解析式； 【问题解决】（4）当遮阳区面积最大时，向右移动了多少？（直接写出结果） 【答案】（1）随的增大而增大；（2），；（3）；（4） 【分析】（1）根据矩形的性质得，根据平行四边形的面积公式得，然后分别求出当时，当时，关于的解析式，即可得出结论； （2）根据（1）的结论可得答案； （3）当时，如图，设向右移动后得到，设交于点，交于点，交于点，则，， 此时遮阳区的面积为六边形的面积，推出，，得，，再根据即可得出结论； （4）分别确定：当时，当时，当时，各个范围内的最大值，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形，四边形是平行四边形，，，，在边所在直线上， ∴，，， 又∵如图2，在上，，， ∴， ， 当时，如图，设交于点，交于点，则， 此时遮阳区的面积为的面积， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，随的增大而增大，的值从增大到； 当时，如图，设交于点，则，，， 此时遮阳区的面积为四边形的面积， ∵， ∴四边形为梯形， ∴， ∴当时，随的增大而增大，的值从增大到； 综上所述，从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大而增大； （2）如图3，此时点落在上，则， 由（1）知：当时，； ∴图3情形时，，； （3）当时，如图，设向右移动后得到，设交于点，交于点，交于点，则，， 此时遮阳区的面积为六边形的面积， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴从图3情形起右移至与重合，该过程中关于的解析式为； （4）当时，， 当时，的最大值为：； 当时，， 当时，的最大值为：； 当时，， ∵ ∴当时，的最大值为：， 综上所述，当时，取得最大值，最大值为， ∴当遮阳区面积最大时，向右移动了． 【点睛】本题考查平移的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，锐角三角函数的定义，列函数关系式，二次函数的最值，等积变换等知识点，利用分类讨论的思想及数形结合的思想解决问题是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $