精品解析：四川省广安市字节精准教育联盟2026届高三上学期第一次诊断性考试模拟测评数学试题

GAS高2023级第一次诊断性考试模拟测评 数学试题 本试卷满分150分，考试时间120分钟，全卷共6页. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0. 5mm黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔记清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 6.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：共8小题，每小题5分，满分40分. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，，若，则=（ ） A. B. 2 C. D. 4 4. 某班级学生到工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，cm，且，则下列说法错误的是（ ） A. 该圆台轴截面面积为 B. 该圆台的高为1cm C. 该圆台的侧面积为6 D. 该圆台的体积为 5. 某初中为了了解本校学生的体重情况，该校医务室从学生中随机抽取200名学生，测量他们的体重（单位：千克），根据测量数据，按分成六组，得到的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 估计这200名学生的平均体重为56.45千克（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） C. 估计该校中学生体重的第65百分位数是56.25 D. 从该校所有学生中随机抽取一名学生，其体重不低于60千克的概率为0.4 6. 已知函数的值域为，实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于轴对称，则实数可以是（　　） A. B. C. 2 D. 8. 若不等式（，且）在内恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：共3小题，每小题6分，全选得满分，漏选得部分分，错选得0分，满分18分. 9. 某体育器材厂生产一批篮球，设单个篮球的质量为X（单位：克）．若，其中，则（ ） A. B. C. D. σ越小，越大 10. 已知函数，则（ ） A. 在区间上单调递减 B. 在区间上单调递增 C. 图象在处的切线方程为 D. 的极小值为 11. 在数学中有“四瓣花”系列曲线，下列结论正确的有（ ） A. 曲线恰好经过9个竖点（即横、纵坐标均为整数的点） B. 曲线夹在直线和直线之间 C. 曲线所围成区域面积是所围成区域面积的5倍 D. 曲线上任意两点距离都不超过 三、填空题：共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 在我市的一项竞赛活动中，某县的三所学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生排成一排合影，要求同校的任意2名学生不能相邻，那么不同的排法有______种．（用数字作答） 13. 若函数满足且在区间上单调递减．则的取值范围是_______． 14. 一个箱子里有5个相同的球，分别以1∼5标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少被取出一次的球的个数为，则数学期望________． 四、解答题：共5小题，15题13分，16-17题每小题15分，18-19题每小题17分，共77分. 15. 某兴趣小组为宣传传统非遗文化制定了两种宣传方法，为了解两种宣传方法的宣传效果，该小组在人群中随机对84人进行了宣传（宣传前所有人均未了解过），其中42人采用宣传方法一，其余采用宣传方法二，宣传后的人群对传统非遗文化的了解程度分为“比较了解”和“有点了解”.经统计发现，采用宣传方法一宣传后的人中有30人是“比较了解”，采用宣传方法二宣传后的人中有18人是“比较了解”. （1）以频率估计概率，现给2人采用宣传方法一宣传传统非遗文化（宣传前均未了解过），记宣传后“比较了解”的人数为，求的分布列和数学期望； （2）列出列联表，并依据的独立性检验，是否可以认为宣传效果与宣传方法有关? （3）若按照宣传方法进行分层抽样，从这84人中随机抽取14人，再从这14人中等可能依次抽取2人，求在第一次抽到“有点了解”的人的情况下，第二次抽到采用宣传方法二宣传且了解程度为“有点了解”的人的概率. 附：，. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知函数． （1）当时，求的单调递增区间； （2）若有两个极值点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 17. 如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，底面为等边三角形，平面平面，点满足，点为棱上的动点（含端点）． （1）当与重合时，证明：平面平面； （2）是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 18. 如图，已知椭圆的离心率为，短轴长为2． （1）求椭圆的方程； （2）已知直线与轴交于点，过点的直线与交于两点，点为直线上任意一点，设直线与直线交于点，记的斜率分别为，求证：． 19. 已知数列是等差数列，是等比数列，． （1）求，的通项公式； （2），，有， （i）求证：对任意实数，均有; （ii）求所有元素之和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ GAS高2023级第一次诊断性考试模拟测评 数学试题 本试卷满分150分，考试时间120分钟，全卷共6页. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0. 5mm黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔记清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 6.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：共8小题，每小题5分，满分40分. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求函数的定义域求得集合，进而求得. 【详解】对于函数，，所以， 所以. 故选：B 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算化简复数，即可判断其共轭复数. 【详解】，， 故选：C. 3. 已知平面向量，，若，则=（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量线性运算、垂直的向量表示、模长公式计算即可. 【详解】易知，所以， 即. 故选：A 4. 某班级学生到工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，cm，且，则下列说法错误的是（ ） A. 该圆台轴截面面积为 B. 该圆台的高为1cm C. 该圆台的侧面积为6 D. 该圆台的体积为 【答案】B 【解析】 【分析】利用梯形面积公式计算可判断A；根据梯形性质利用勾股定理计算可判断B；代入圆台侧面积公式可判断C；代入圆台体积公式可判断D. 【详解】由，且，可得， 则上底面圆的半径和下底面圆的半径分别为1和2， 在梯形中，即代表圆台的高， 利用勾股定理计算可得， 圆台轴截面面积为， 故A正确，B错误； 圆台的侧面积为，故C正确； 易知下底面圆的面积为，上底面圆的面积为； 所以该圆台的体积为，故D正确． 故选：B 5. 某初中为了了解本校学生的体重情况，该校医务室从学生中随机抽取200名学生，测量他们的体重（单位：千克），根据测量数据，按分成六组，得到的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 估计这200名学生的平均体重为56.45千克（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） C. 估计该校中学生体重的第65百分位数是56.25 D. 从该校所有学生中随机抽取一名学生，其体重不低于60千克的概率为0.4 【答案】C 【解析】 【分析】A选项，利用频率之和为1得到方程，求出，A错误；B选项，利用中点值作代表，求出平均数；C选项，先确定第65百分位数落在第4组中，设出未知数，得到方程，求出答案；D选项，由频率分布直方图得到体重不低于60千克的频率为0.2，D错误. 【详解】A选项，，解得，A错误； B选项，， 估计这200名学生的平均体重为54.75千克，B错误； C选项，前3组数据的频率和为， 前4组数据的频率和为， 故该校中学生体重的第65百分位数落在第4组中，设为， 则，解得，C正确； D选项，从频率分布直方图可知，体重不低于60千克的频率为， 故从该校所有学生中随机抽取一名学生，其体重不低于60千克的概率为0.2，D错误. 故选：C 6. 已知函数的值域为，实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分别求出，函数的值域，在由条件可得出答案． 【详解】当时，，故， 令，得 当时，，得函数在上单调递增， 当时，，得函数在上单调递减， 故得最大值为，当时，； 当时，，因此当时，， 当时，函数， 由题意可得此时的的范围是的子集，对进行分类讨论： （1）．若，则， 当时，，不符合范围是的子集的要求， 因此不满足题意； （2）．若，函数的图象是开口向下的抛物线， 且对称轴为 故当时，函数在对称轴处取得最大值： 且 由题意得 因为，解得：； （3）若，函数的图象是开口向上的抛物线， 且对称轴为， 故在上单调递减，且 故，这不符合范围是的子集的要求； 综上，的取值范围是． 故选：A． 7. 若函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于轴对称，则实数可以是（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知函数关于直线对称，分和两种情况，结合函数的对称性分析求解即可. 【详解】因为函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于轴对称， 可知函数关于直线对称， 若，则函数关于直线对称，符合题意； 若，设， 则函数的对称轴所对应的值（）必为函数的对称轴， 又因为函数的对称轴为轴， 则，解得； 综上所述：或. 结合选项可知：A正确，BCD错误. 故选：A. 8. 若不等式（，且）在内恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据恒成立的性质，结合二次函数和对数函数的最值性质分类讨论进行求解即可. 【详解】因为二次函数的对称轴为，且开口向上， 所以当时，该二次函数是单调递增函数， 当时，；当时，，所以此时二次函数的值域为. 当时，当时，函数单调递减， 当时，；当时，， 所以，而， 因此在内不成立； 当时，当时，函数单调递增， 当时，；当时，，此时该对数函数的值域为， 二次函数和对数函数的图象如下图所示： 要想不等式 在内恒成立， 只需，而，所以， 故选：B 二、多选题：共3小题，每小题6分，全选得满分，漏选得部分分，错选得0分，满分18分. 9. 某体育器材厂生产一批篮球，设单个篮球的质量为X（单位：克）．若，其中，则（ ） A. B. C. D. σ越小，越大 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可判断. 【详解】由条件可知，由正太密度曲线的对称性可知： 对于A:，故A正确；对于B：由对称性有，故B错误； 对于C：由对称性有，故C正确； σ越小，说明数据越集中，越小，故D错误. 故选：AC. 10. 已知函数，则（ ） A. 在区间上单调递减 B. 在区间上单调递增 C. 图象在处的切线方程为 D. 的极小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过求导分析函数单调性、极值、切线方程，从而确定正确答案. 【详解】， 当时，，单调递减；当时，，单调递减，A选项正确. 当时，，单调递增，B选项错误. 当时，，， 所以图象在处的切线方程为， 整理得，C选项正确. 由单调性可知，当时，取得极小值，，D选项正确. 故选：ACD 11. 在数学中有“四瓣花”系列曲线，下列结论正确的有（ ） A. 曲线恰好经过9个竖点（即横、纵坐标均为整数的点） B. 曲线夹在直线和直线之间 C. 曲线所围成区域面积是所围成区域面积的5倍 D. 曲线上任意两点距离都不超过 【答案】AB 【解析】 【分析】A选项，分别就的正负进行分类讨论，画出表示的图形，找到9个整点，A正确；B选项，分别就的正负进行分类讨论，画出表示的图象，得到B正确；C选项，在A选项的基础上，求出和表示的图形可以分解为一个正方形和四个半圆，求出所围成的区域面积，得到C正确；D选项，分别就的正负进行分类讨论，画出的图形，数形结合，连接两圆心并延长，求出，D错误. 【详解】A选项，，，有， ，，有， ，时，有， ，时，， 画出图形，如下： 经过的整点有：，，，，，，，，，共9个，故A正确； B选项，曲线， 当，，有，即， 当，，有，即， 当，，有，即， 当，，有，即， 画出图形，如下： 其中，， 故，则， 故曲线由四个弓形组成，弓形的弓高为， 是夹在直线和直线之间，又因为，，故B正确. C选项，由A选项知，表示的图形可以分解为一个正方形和四个半圆， 其中正方形边长为，半圆半径为，故其面积为， 同理，曲线也可以分解为一个正方形和四个半圆， 其中正方形边长为，半圆半径为，其面积为， 所围成区域面积为所围成的区域面积的9倍，C错误； D选项，当，，有，即， 当，，有，即， 当，，有，即， 当，，有，即， 画出图形，如下： 连接两圆心并延长，分别与两圆交于， 则，D错误. 故选：AB 三、填空题：共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 在我市的一项竞赛活动中，某县的三所学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生排成一排合影，要求同校的任意2名学生不能相邻，那么不同的排法有______种．（用数字作答） 【答案】120 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理进行求解即可. 【详解】记有1名、2名、3名学生获奖的学校分别为． 先排学校的3名学生，有种；再对学校的学生进行排列： ①若校的1名与校2名中的1名相邻，则有种排法； ②若校的1名与校的2名均间隔，则有种排法． 由加法原理得（种）． 故答案为：120. 13. 若函数满足且在区间上单调递减．则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由结合的取值范围可得出的值，分、、三种情况讨论，根据求出的取值范围，根据函数在区间上的单调性可得出区间之间的包含关系，可得出关于的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为且，所以，，则， 当时，，该函数在上不单调，不合乎题意； 当时，由可得， 因为函数在区间上单调递减， 所以，， 所以，，解得， 由可得，又由于，则，则， 因为，则，此时，； 当时，由可得， 由于内层函数在上单调递减，函数在区间上单调递减， 所以，函数在上单调递增， 则， 所以，，解得， 由得，由于，则， 由于，则，可得，此时，. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路： （1）将函数解析式变形为或的形式； （2）将看成一个整体； （3）借助正弦函数或余弦函数的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等）解决相关问题. 14. 一个箱子里有5个相同的球，分别以1∼5标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少被取出一次的球的个数为，则数学期望________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分布列和数学期望的定义，结合排列组合求解即可. 【详解】的可能取值为1，2，3， ， ， ， ． 故答案为． 四、解答题：共5小题，15题13分，16-17题每小题15分，18-19题每小题17分，共77分. 15. 某兴趣小组为宣传传统非遗文化制定了两种宣传方法，为了解两种宣传方法的宣传效果，该小组在人群中随机对84人进行了宣传（宣传前所有人均未了解过），其中42人采用宣传方法一，其余采用宣传方法二，宣传后的人群对传统非遗文化的了解程度分为“比较了解”和“有点了解”.经统计发现，采用宣传方法一宣传后的人中有30人是“比较了解”，采用宣传方法二宣传后的人中有18人是“比较了解”. （1）以频率估计概率，现给2人采用宣传方法一宣传传统非遗文化（宣传前均未了解过），记宣传后“比较了解”的人数为，求的分布列和数学期望； （2）列出列联表，并依据的独立性检验，是否可以认为宣传效果与宣传方法有关? （3）若按照宣传方法进行分层抽样，从这84人中随机抽取14人，再从这14人中等可能依次抽取2人，求在第一次抽到“有点了解”的人的情况下，第二次抽到采用宣传方法二宣传且了解程度为“有点了解”的人的概率. 附：，. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 0 1 2 （2） 宣传方法 了解程度 合计 有点了解 比较了解 方法一 12 30 42 方法二 24 18 42 合计 36 48 84 有关 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得采用宣传方法一宣传后的人是“比较了解”的概率为，进而得到，再根据二项分布的概率公式及期望公式求解即可； （2）由题意求出列联表，再计算出即可判断； （3）先确定抽取的14人中采用宣传方法一宣传且了解程度为“有点了解”和采用宣传方法二宣传且了解程度为“有点了解”的人数，进而结合条件概率公式求解即可. 【小问1详解】 依题意可得，采用宣传方法一宣传后的人是“比较了解”的概率为， 所以， 则，，， 所以的分布列为 0 1 2 则. 【小问2详解】 由题意，列联表如下： 宣传方法 了解程度 合计 有点了解 比较了解 方法一 12 30 42 方法二 24 18 42 合计 36 48 84 零假设：宣传效果与宣传方法无关. 经计算得， 所以依据的独立性检验，我们推断不成立， 即可以认为宣传效果与宣传方法有关，此推断犯错误的概率不超过0.01. 【小问3详解】 14人中，采用宣传方法一宣传且了解程度为“有点了解”的有人， 采用宣传方法二宣传且了解程度为“有点了解”的有人， 记事件表示“第一次抽到‘有点了解’的人”， 事件表示“第二次抽到采用宣传方法二宣传且了解程度为‘有点了解’的人”， 则，， 所以. 16. 已知函数． （1）当时，求的单调递增区间； （2）若有两个极值点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，令导函数大于0，可求函数的增区间. （2）（ⅰ）求导，结合换元法，把问题转化成二次函数有两个不等正根可求参数的取值范围. （ⅱ）利用（ⅰ）中的有关结论，把化成，设，问题转化成证明.利用导数，分析函数单调性，即可证明结论. 【小问1详解】 当时，， 由，所以. 故单调递增区间为. 【小问2详解】 （ⅰ），令，即 令，，则是方程的两个正根， 则，即， 有，，即. 所以的取值范围为：. （ⅱ） 令 则． 令，则， 则在上单调递减， 又 故存在，使，即， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减 则， 又，故 即. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用换元的思想，利用换元转化为其他函数，利用导数，转化为隐零点问题求解. 17. 如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，底面为等边三角形，平面平面，点满足，点为棱上的动点（含端点）． （1）当与重合时，证明：平面平面； （2）是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明如下： 如图，取中点，连接， 因为侧面为菱形，， 所以， 又因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 又因为为的中点，所以四边形为平行四边形，所以， 所以平面，又平面，所以平面平面； （2）存在， 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，根据面面垂直的性质证明平面，证明，可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可得证； （2）连接，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，因为为等边三角形，则， 所以两两垂直，则以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示： 令三棱柱的棱长为2，所以， 故， ， 又，所以， 设，， 则， 即； 又， 设平面的法向量为， 则则，取，则， 故平面的法向量可为， 又，设直线与平面所成角为， 由题可得，即， 整理得：，解得， 故当时，直线与平面所成角的正弦值为． 18. 如图，已知椭圆的离心率为，短轴长为2． （1）求椭圆的方程； （2）已知直线与轴交于点，过点的直线与交于两点，点为直线上任意一点，设直线与直线交于点，记的斜率分别为，求证：． 【答案】（1）； （2）证明如下： 设，，若直线与轴不重合时， 设直线的方程为，点， 代入椭圆方程整理得，显然， 则， ， 若直线与轴重合时，则， 此时，而，故． 综上所述，． 【解析】 【分析】（1）由离心率、短轴长、可得答案； （2）设，，若直线与轴不重合，设直线的方程为，与椭圆方程联立利用韦达定理求出，若直线与轴重合，利用与得出． 【小问1详解】 由条件可得，解得， 故椭圆的方程为； 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：方法为韦达定理法，因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用． 19. 已知数列是等差数列，是等比数列，． （1）求，的通项公式； （2），，有， （i）求证：对任意实数，均有; （ii）求所有元素之和． 【答案】（1）； （2）（i）证明：由（1）或，， 当时， 设， 所以， 所以， 所以，为中的最大元素， 此时恒成立， 所以对，均有. （ii） 【解析】 【分析】（1）设数列的公差为d，数列公比为，由题设列出关于d和的方程求解，再结合等差和等比数列通项公式即可得解； （2）（i）由题意结合（1）求出和的最大值，再作差比较两者大小即可证明； （ii）法一：根据中全为1、一个为0其余为1、2个为0其余为、…、全为0几个情况将中的所有元素分系列，并求出各系列中元素的和，最后将所有系列所得的和加起来即可得解； 法二：根据元素的特征得到中的所有元素的和中各项出现的次数均为次即可求解. 【小问1详解】 设数列的公差为d，数列公比为， 则由题得， 所以； 【小问2详解】 （i）略 （ii）法一：由（i）得对任意实数，均有， 所以，， 所以取值随着的取值不同各不相同， 又为中的最大元素， 由题意可得中的所有元素由以下系列中所有元素组成： 当均为1时：此时该系列元素只有即个； 当中只有一个为0，其余均为1时： 此时该系列的元素有共有个， 则这个元素的和为； 当中只有2个为0，其余均为1时： 此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； 当中有个为0，其余均为1时：此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； … 当中有个为0，1个为1时：此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； 当均为0时：此时该系列的元素为即个， 综上所述，中的所有元素之和为 ； 法二：由（i）得，为中的最大元素， 由题意可得， 所以的所有的元素的和中各项出现的次数均为次， 所以中的所有元素之和为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $