精品解析：西南名校联盟2026届高三上学期“3+3+3”高考备考诊断性联考（一）数学试题

西南名校联盟2026届“3+3+3”高考备考诊断性联考（一） 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由交集的概念可得. 【详解】由交集的概念得，. 故选：B 2. 已知函数，则它的最小正周期、初相分别是（ ） A. 2π， B. ， C. 2π， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】由周期公式和初相概念即可求解. 【详解】由解析式可知， 由周期公式可得最小正周期为，初相为. 故选：B 3. 已知复数（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数除法的运算法则和模的运算进行计算. 【详解】解法一：由题意， 所以， 解法二：由题意知， 故选：C． 4. 已知向量，，若与共线，则实数m=（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由向量共线的坐标关系得出. 【详解】由题意得，，所以. 故选：D． 5. 已知O为坐标原点，过双曲线C：（，）的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点M，过M作x轴的垂线，垂足为N，若N为OF的中点，则双曲线的离心率为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据渐近线的性质可得：，因为为直角三角形，且，利用勾股定理得到，点N为垂足，且N为OF的中点，所以，即，再结合离心率的公式，即可得离心率的值. 【详解】 如图所示：双曲线的右焦点到渐近线的距离为，得， 又，在，，所以， 又且N为OF中点，所以， 即该双曲线为等轴双曲线， 所以离心率； 故选：B 6. 下图是某古代建筑的屋顶结构模型，其中为矩形，，，，，为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为10 m，圆心角为．已知区域和是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将区域还原到圆柱中求得其面积，由区域和全等可求得总面积. 【详解】由题意知区域和全等，且都是底面半径为10 m，高为40 m的圆柱的侧面的一部分. 将区域还原到如图所示圆柱中，可知，，. 由扇形的弧长公式可知，， 由圆柱的侧面积公式可知， 所以， 所以被瓦片覆盖的区域和的总面积为. 故选：D. 7. 已知的三个内角所对的边分别为，，的面积为，角A的平分线交边于D，且，则a为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由面积公式及角平分线的性质推导出，再由面积公式求出和，最后由余弦定理计算a. 【详解】因为，且角A的平分线交边BC于D，且， 所以，即， 又，所以，所以，， 由余弦定理得， 所以，即， 故选：A． 8. 已知函数，若对于任意的实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意化为，即，根据是R上的增函数，得对恒成立，进而利用判别式法求解即可. 【详解】由题意得，如图所示， 因为，所以， 所以，即， 因为，所以原不等式化为， 由图可知是R上的增函数，所以对恒成立， 所以，则，即. 故选：D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知为坐标原点，是抛物线：的焦点，是上的三个点，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的准线方程为 B. C. 直线的斜率为 D. 若三点共线，则的最小值为8 【答案】AD 【解析】 【分析】利用抛物线方程可求出点坐标，进而可判断ABC；利用通径为焦点弦长的最小值可判断D. 【详解】对于选项A：由抛物线方程可得，即，且焦点在x轴正半轴上， 所以C的准线方程为，故A正确； 对于选项B：令，得，所以， 由抛物线定义得：，故B错误； 对于选项C：由选项B知，所以直线OA的斜率为，故C错误； 对于选项D：若B，D，F三点共线，则的最小值为通径，令得， 所以，所以的最小值为8，故D正确. 故选：AD． 10. 已知等比数列的公比为q，前n项和为，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用等比数列的基本量运算判断A，利用等比数列前n项和公式判断B，利用等比数列的性质判断C，利用等比数列的性质并结合等差数列的求和公式判断D即可. 【详解】对于A，由题意得，则，故A正确； 对于B，由，可得，解得， 由等比数列前项和公式得， 得到，故B正确； 对于C，由等比数列性质得，，成等比数列， 且，，得到， 即，故C错误； 对于D，由等比数列性质得， 则，故D错误. 故选：AB． 11. 正方体的棱长为2，线段上有两个动点E、F，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为定值 C. 过点A仅能作1条直线，使正方体的12条棱所在直线与此直线所成的角都相等 D. 点P是平面内一点，若，则点P的轨迹长度是 【答案】ABD 【解析】 【分析】由可判断A；取中点O，由，易知，线段经过点，因为的面积为定值，且平面ACO，可求三棱锥A-EFC的体积，判断B；易知正方体的体对角线与正方体的12条棱所在直线所成的角均相等，由此可判断C；分析点P的轨迹，并求得其长度可判断D. 【详解】对于A，因为∥，所以.因为，所以，A正确； 对于B，如图取中点O，连接，因为，所以，即，且； 同理可得，，且；所以是等腰三角形. 记，则为和的中点，所以， 所以. 因为平面，所以平面ACO. 因为，所以过点. 所以，为定值，所以B正确； 对于C，易知正方体的体对角线与正方体的12条棱所在直线所成的角均相等， 所以过点A的体对角线及过分别平行于的直线均满足要求，所以C错误； 对于D，因为，所以点P在以的中点为球心，半径为的球面上， 所以动点P的轨迹为平面与球的球面的交线. 因为平面，所以平面，所以到平面的距离为. 所以球心到平面的距离为，且球心在平面的投影为的中点. 设平面截球所得截面圆的半径为r，则. 所以点P在平面内的轨迹是圆，因此动点P的轨迹长度为圆的周长，等于，所以D正确. 故选:ABD． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数（，且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数性质求解即可. 【详解】令，解得，此时， 所以函数（，且）的图象恒过定点． 故答案为： 13. 将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），先后抛掷两次，将得到的点数分别记为m，n，若向量，，则的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知求出满足条件的关系式，然后根据古典概型概率公式，得出答案. 【详解】先后抛掷两次正方体骰子，用数组表示可能的结果，m是第一次抛掷的点数，n是第二次抛掷的点数， 则试验的样本空间为，其中共有36个样本点， 由得，∴，满足题意的样本点共3个：， 所以的概率. 故答案为：. 14. 已知，是的导函数，若有且只有两个不同的零点，且和的零点均在集合中，则的极大值为________． 【答案】0 【解析】 【分析】利用三次函数的性质，可依题意设函数，从而求导可得零点，然后根据题意分析这三个零点取值，最后可确定一种情形来求函数的极大值. 【详解】由题意可知，设有且只有两个不同的零点，则， 即． 令，得，， 由于中，且， 分析：由于，可知， 又由于，且，所以零点的组合不能是或， 故的组合只能是，这样只能是，，可计算得， 满足题意， 此时，． 令，得或， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 则由单调性可知，的极大值为． 故答案为：0 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 某高校为了解学生在一周内参与志愿服务的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参与志愿服务的次数，现随机抽取了50名同学，统计在某一周参与志愿服务的数据，结果如下表： 一周参与志愿服务次数 1 2 3 4 5 6 合计 男生人数 4 6 6 4 3 2 25 女生人数 1 1 3 5 9 6 25 合计 5 7 9 9 12 8 50 （1）若将一周参与志愿服务次数为5次及5次以上的，称为“积极参与”，其余的称为“一般参与”．请完成以下2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生参与志愿服务的积极性有关系； 性别 志愿服务 合计 一般参与 积极参与 男生 女生 合计 （2）若将一周参与志愿服务达到6次的同学称为“最美志愿者”，在样本的8名“最美志愿者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附：，． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1） 性别 志愿服务 合计 一般参与 积极参与 男生 20 5 25 女生 10 15 25 合计 30 20 50 认为性别因素与学生参与志愿服务的积极性有关系 （2） Y 0 1 2 P 期望为 【解析】 【分析】（1）由题意可直接完成列联表，再由公式即可求解； （2）确定的可能取值，求得概率，进而可求解. 【小问1详解】 根据统计表格数据可得列联表如下： 性别 志愿服务 合计 一般参与 积极参与 男生 20 5 25 女生 10 15 25 合计 30 20 50 零假设为：性别与参与志愿服务情况独立，即性别因素与学生志愿服务的参与积极性无关， 根据列联表的数据计算可得， 因为， 所以，依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为性别因素与学生参与志愿服务的积极性有关系． 【小问2详解】 由题可知8名“最美志愿者”有2名男生，6名女生，所以Y的所有可能取值为0，1，2， 且服从超几何分布，则，，， Y的分布列为： Y 0 1 2 P 可得． 16. 在正项数列中，，． （1）证明：数列是等差数列； （2）记，设数列的前n项和为，证明：． 【答案】（1） 由，得， 因为数列为正项数列，所以，即， 又因为，所以数列是以为首项，2为公差的等差数列． （2） 由（1）可知，，即， 则， ∴， ∵，，∴． 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义进行运算证明即可； （2）利用裂项相消法进行运算证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图，在三棱锥中，平面，是的中点，是的中点，点在棱上，且． （1）求证：平面； （2）若是边长为的等边三角形，且三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 证明：取的中点为，在上取点，使， 连接，如图， 因为是的中点，所以，， 又因为，所以，， 所以，， 即四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， ∴平面． （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明； （2）结合三棱锥体积得到的长度，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用公式计算两平面夹角的余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设， 因为平面，是的中点， 所以， 即， 所以 分别取的中点，连接，如图， 则， 因为平面，所以平面， 又因为为正三角形，所以， 即两两垂直， 以为轴建系，则， 则，， 设平面的一个法向量为， 则，令，， 平面ACD的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 18. 已知，是椭圆的左、右焦点，椭圆Γ的离心率为，短轴长为． （1）求椭圆Γ的标准方程； （2）不重合的两直线，过点且分别与椭圆Γ交于A，B和C，D两点，，不与坐标轴平行或重合，并满足． ①试判断两直线，的斜率关系并写出证明过程； ②若两直线，的斜率正负号相同，M，N分别为线段AB和CD的中点，求证：MN过定点． 【答案】（1）； （2）①斜率之积为1或 ，证明如下； 与斜率存在且不为零，不妨设的方程为， 联立，消去y，可得， 设 ， ，分别为的斜率，则， ， 所以， 在的表达式中用“”代换“”可得， 所以，则， 所以，得， 所以或． ②由①，M是AB中点，则， ，即， 将代换为，则， 法1：直线MN为， 即，则直线MN恒过定点得证． 法2：记定点为点T，则，MN过定点得证. 【解析】 【分析】（1）由短轴长、离心率求椭圆参数，即可得方程； （2）①设的方程为， ， ，联立椭圆，并应用韦达定理、弦长公式及已知得到关于直线，斜率的方程，即可证； ②根据①中的韦达公式求弦中点的坐标，法1：写出直线 的方程，进而确定定点，即可证，法2：记定点为点T，判断是否成立，即可证. 【小问1详解】 由题意得，短轴长为，所以，解得， ，所以，则， 所以椭圆Γ的标准方程为； 【小问2详解】 ①略 ②略 19. 已知函数． （1）若，，求在处的切线方程； （2）若，且在定义域内有三个零点，，（），求的取值范围； （3）在（2）的条件下，请找出与的关系，并证明：． 【答案】（1） （2） （3）， 注意到，，即，由于，则有， 注意到的三个零点，所以有， 要证：，即证：， 即证：， 即证：， 由于，，即证：，即证：， 由于，， 则有， 即证：，即证：， 构造：，则， 所以在上单调递增， 所以，证毕. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线斜率，再根据点斜式求切线方程； （2）根据导数分类讨论函数单调性且存在零点情况得到参数范围； （3）通过零点条件构造新函数，求函数单调性证明不等式成立即可. 【小问1详解】 由，可得，则， 又，则， 所以在处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 由可知，， 又， 当时，，，恒成立， 则在定义域内单调递增，仅有一个零点，与题意不符，舍去； 当时，恒成立， 则在定义域内单调递减，仅有一个零点，与题意不符，舍去； 当时，由于的， 可设的两个根为． 下证：，事实上，这表明， 又，这表明， 结合的定义域，则有时，，递增； 时，，递减；时，，递增； 注意到，则有，， 且趋于正无穷时，趋于正无穷大，趋于时，趋于负无穷大． 由零点存在定理，可知存在，使得， 又，这表明． 综上，． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西南名校联盟2026届“3+3+3”高考备考诊断性联考（一） 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则它的最小正周期、初相分别是（ ） A. 2π， B. ， C. 2π， D. ， 3. 已知复数（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，若与共线，则实数m=（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. 4 5. 已知O为坐标原点，过双曲线C：（，）的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点M，过M作x轴的垂线，垂足为N，若N为OF的中点，则双曲线的离心率为（ ） A. 1 B. C. D. 2 6. 下图是某古代建筑的屋顶结构模型，其中为矩形，，，，，为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为10 m，圆心角为．已知区域和是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知的三个内角所对的边分别为，，的面积为，角A的平分线交边于D，且，则a为（ ） A. B. C. D. 1 8. 已知函数，若对于任意的实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知为坐标原点，是抛物线：的焦点，是上的三个点，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的准线方程为 B. C. 直线的斜率为 D. 若三点共线，则的最小值为8 10. 已知等比数列的公比为q，前n项和为，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 正方体的棱长为2，线段上有两个动点E、F，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为定值 C. 过点A仅能作1条直线，使正方体的12条棱所在直线与此直线所成的角都相等 D. 点P是平面内一点，若，则点P的轨迹长度是 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数（，且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为______． 13. 将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），先后抛掷两次，将得到的点数分别记为m，n，若向量，，则的概率是________． 14. 已知，是的导函数，若有且只有两个不同的零点，且和的零点均在集合中，则的极大值为________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 某高校为了解学生在一周内参与志愿服务的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参与志愿服务的次数，现随机抽取了50名同学，统计在某一周参与志愿服务的数据，结果如下表： 一周参与志愿服务次数 1 2 3 4 5 6 合计 男生人数 4 6 6 4 3 2 25 女生人数 1 1 3 5 9 6 25 合计 5 7 9 9 12 8 50 （1）若将一周参与志愿服务次数为5次及5次以上的，称为“积极参与”，其余的称为“一般参与”．请完成以下2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生参与志愿服务的积极性有关系； 性别 志愿服务 合计 一般参与 积极参与 男生 女生 合计 （2）若将一周参与志愿服务达到6次的同学称为“最美志愿者”，在样本的8名“最美志愿者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附：，． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16. 在正项数列中，，． （1）证明：数列是等差数列； （2）记，设数列的前n项和为，证明：． 17. 如图，在三棱锥中，平面，是的中点，是的中点，点在棱上，且． （1）求证：平面； （2）若是边长为的等边三角形，且三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知，是椭圆的左、右焦点，椭圆Γ的离心率为，短轴长为． （1）求椭圆Γ的标准方程； （2）不重合的两直线，过点且分别与椭圆Γ交于A，B和C，D两点，，不与坐标轴平行或重合，并满足． ①试判断两直线，的斜率关系并写出证明过程； ②若两直线，的斜率正负号相同，M，N分别为线段AB和CD的中点，求证：MN过定点． 19. 已知函数． （1）若，，求在处的切线方程； （2）若，且在定义域内有三个零点，，（），求的取值范围； （3）在（2）的条件下，请找出与的关系，并证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $