专题02 圆、圆柱与圆锥 （期末复习讲义）六年级数学上学期新教材人教版五四制

该初中数学期末复习讲义通过表格系统梳理圆、圆柱与圆锥的核心考点，明确复习目标与考情规律，构建“基础概念-公式应用-实际问题”的知识框架，用分层知识点模块呈现圆的性质、圆柱圆锥特征及组合图形计算等重难点内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计与解题技巧指导，通过“题型+变式”模式（如自喷浇灌器旋转浇灌面积计算）培养数学思维与模型意识，针对易错点（如圆锥体积漏乘1/3）设置方法提示。基础通关练与重难突破练满足不同学生需求，助力教师实施精准教学，提升学生空间观念与应用能力。

专题02 圆、圆柱与圆锥（期末复习讲义） 核心考点 1复习目标 考情规律 圆的基本性质（圆心、半径、直径、对称性） 能准确描述圆心、半径、直径的定义及关系，判断圆的对称轴数量，熟练运用或进行计算 基础必考点，多以选择题、填空题形式考查，易错点是忽略“同一个圆内”的前提条件判断半径与直径关系 扇形的认识（弧、圆心角、特征） 能识别弧、圆心角和扇形，掌握扇形大小与圆心角的关系，判断扇形的对称性 高频基础题，常结合圆的性质综合命题，易混淆“弧长相等”与“等弧”的概念 圆的周长与弧长计算 熟练运用圆的周长公式或、弧长公式解决计算问题 必考计算点，选择题、填空题、解答题均有涉及，易错点是单位换算不统一或圆心角度数代入错误 圆、扇形、圆环的面积计算 能灵活运用圆的面积公式、扇形面积公式或、圆环面积公式（大圆面积-小圆面积）解决问题 核心计算考点，解答题高频出现，易出错处是扇形圆心角对应的半径判断错误，或圆环面积计算时误将直径当作半径代入 圆柱的认识与表面积、体积计算 能识别圆柱的底面、侧面、高，熟练运用圆柱侧面积公式、表面积公式、体积公式解决实际问题 重点必考考点，多结合生活场景（如制作容器、计算用料）命题，易错点是计算表面积时遗漏底面（如无盖容器）或体积单位换算错误 圆锥的认识与表面积、体积计算 能识别圆锥的底面、侧面、高，掌握圆锥侧面积公式、表面积公式、体积公式，理解圆锥与等底等高圆柱的体积关系 重点考点，解答题中常与圆柱综合考查，易出错点是忘记圆锥体积公式中的，或混淆母线与底面半径、高的关系 圆、圆柱与圆锥的实际应用 能将实际问题转化为几何问题，选择合适公式计算，结合题意处理结果（如保留整数、单位换算） 高频解答题型，分值占比高，易错点是审题不清（如忽略“从里面测量” “无盖”等条件）或实际场景与公式的匹配错误 组合图形的周长与面积、体积计算 能拆分或转化组合图形，利用圆、圆柱、圆锥的相关公式分步计算 拉分考点，多以压轴解答题形式出现，易出错处是组合图形的拆分逻辑混乱，或遗漏部分图形的周长/面积（如半圆组合图形的周长包含直径） 知识点01圆 1．关键要素与性质：圆心定位置，半径定大小；同一圆内，所有半径（或直径）相等；圆是轴对称图形，有无数条对称轴。 2．弧、圆心角与扇形：弧分优弧和劣弧，圆心角度数=所对弧度数；扇形由圆心角和弧围成，1条对称轴，大小由圆心角和半径决定。 3．计算公式： 周长：， 弧长：， 面积：， 扇形面积： 知识点02圆柱与圆锥 1．特征对比： 圆柱：2个等圆底面+1个曲面侧面，无数条高，侧面展开为长方形（或正方形）。 圆锥：1个圆底面+1个曲面侧面，1条高，侧面展开为扇形。 2．计算公式： 圆柱侧面积：。 圆柱表面积：（无盖需减1个底面积）。 圆柱体积：。 圆锥体积：（等底等高时是圆柱体积的）。 3．易错点：圆锥体积漏乘；圆柱表面积多算（或少算）底面；混淆“母线”与“高”；单位换算错误。 知识点03组合图形（体）与实际应用 1．组合图形（体）：平面图形用“和差法”拆分，立体图形体积求和、表面积减重叠部分。 2．实际场景：铺路（侧面积/体积）、容器容积（从里面测量）、扫风面积（侧面积），需转化为几何问题再计算。 3．易错点：遗漏组合图形关键边长（如半圆直径）；审题忽略“无盖” “从里面量”等条件。 题型一 圆的周长与面积 解｜题｜技｜巧 1．先明确所求量，锁定对应公式。 2．统一单位后代入数据，注意“同一圆内”半径、直径的关系。 【典例】某世博园的绿草地上安装了一种自喷浇灌器，最远能喷4米，这个自喷浇灌器旋转一周最多能浇灌（　　）平方米． A．12.56 B．25.12 C．37.68 D．50.24 【变式1】(24-25七上·黑龙江大庆肇源县·期末)体育课上，同学们围成一个圆圈玩“击鼓传花”游戏，老师站在圆心位置击鼓，已知每名同学与老师之间的距离是，那么同学们围成的圆圈的周长是 ．（取） 【变式2】儿童乐园要修建一个旋转木马场地，木马旋转范围的直径是8米，周边还要留出1米宽的小路，在外侧围均匀安装16根木桩，并在木桩铺上安全防护网．（取） (1)求这个旋转木马场地的占地面积是多少平方米? (2)两木桩的间隔距离大约是多少米．（得数保留整数．） 题型二 与圆有关的平面组合图形周长及面积的计算 解｜题｜技｜巧 1．拆分图形：将组合体拆为圆、正方形、长方形等基础图形（和差法）。 2．周长计算：不遗漏关键边（如半圆组合需加直径，外方内圆算正方形边长+圆周长）。 3．面积计算：用“相加法”（多图形拼接）或“相减法”（图形挖空），分步计算再整合。 【典例】观察如图有两个同样大小的正方形，两图中阴影部分的周长和面积的关系是（    ） A．周长和面积都不相等 B．周长和面积都相等 C．周长相等，面积不相等 D．周长不相等，面积相等 【变式1】(24-25六·上海杨浦区·期末)如图，四边形是一个边长为的正方形，在的延长线上且，则涂色部分面积为 ． 【变式2】如图，一个运动场的两端是半圆形，中间是长方形，长方形的长为100米，宽为64米．（π取3） (1)这个运动场的周长是多少？ (2)若将此运动场全部铺上塑胶，铺完后每平方米塑胶的费用为100元，求这个运动场铺上塑胶后所需要的费用是多少元？ 题型三 圆柱的表面积和体积问题 解｜题｜技｜巧 1．表面积：先判断是否有盖，公式灵活变形。 2．体积：用准公式，单位要统一。 3．侧面展开图：长方形的长=底面周长、宽=圆柱高，正方形需满足“底面周长=高”。 【典例】(24-25六下·上海徐汇区徐汇中学·期末)如图，长方形的长为、宽为，分别以该长方形的长、宽所在直线为轴，将其旋转一周，形成甲、乙两个圆柱，其体积分别记作，侧面积分别记作，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】把一个底面直径和高都是3厘米的圆柱的侧面沿虚线剪开，得到一个不规则图形（如图），这个不规则图形的面积是 ． 【变式2】父亲节时，小明送爸爸一只茶杯．（如图） (1)这只茶杯占据桌面的大小是多少平方厘米？ (2)茶杯中部的一圈装饰带很漂亮，那是小明怕烫伤爸爸的手特意贴上的，这条装饰带宽5厘米，长至少有多少厘米？（接头处忽略不计） (3)这只茶杯能装多少毫升水？ 题型四 圆锥的表面积和体积问题 解｜题｜技｜巧 1．牢记圆锥的表面积和体积公式。 2．灵活应用公式，等底等高时优先用“圆柱体积÷3”快速求解。 3．易错提醒：区分 “母线”与“高”，不直接用高代替母线计算侧面积。 【典例】一段圆柱形木材削成一个最大的圆锥，削成的圆锥的体积是削去部分的体积的（   ） A． B． C． D． 【变式1】(24-25六下·上海青浦区实验中学·期末)在手工课上，小明用半径，圆心角的扇形纸板制作圆锥形的生日帽．不考虑接缝的情况下，这个生日帽的底面半径为 ． 【变式2】把一个圆锥沿着高切开，得到两个如图所示的物体，表面积比原来增加了平方厘米．圆锥的高是厘米，那么圆锥的体积是多少立方厘米？ 题型五 与圆柱、圆锥有关的组合体问题 解｜题｜技｜巧 1．立体组合：体积直接求和，表面积需减去重叠部分。 2．分步计算：先求单个基础图形的量，再根据组合逻辑整合。 3．审题标注：圈出“等底等高”“无盖”“重叠”等关键词，避免思路偏差。 【典例】如图，一个玻璃杯，杯口内直径是，总深，圆柱部分高．把玻璃杯装满水倒入一个内直径为的圆柱形茶杯后，茶杯中的水深（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，将高都是2米、底面半径分别为4米和3米的两个圆柱堆积成一个立体图形，这个立体图形的表面积是 平方米．（π取） 【变式2】蜂窝煤是由煤炼制而成的．如图1，每个蜂窝煤中都有12个相同的空心小圆柱，每个蜂窝煤底面的直径为，高为，其中空心小圆柱底面的直径均为． (1)求一个蜂窝煤大约需要用煤多少立方厘米（结果保留）？ (2)如图2，现有一堆煤，近似于一个圆锥，它的底面直径为4米，高为0.9米，如果用这堆煤来制作图1中的蜂窝煤，可以制作多少个蜂窝煤？ (3)如图3，若将12个这样蜂窝煤按如图所示的方式放入有盖的包装箱内，则这个箱子的表面积至少是多少（箱子厚度忽略不计）？ 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．将一个圆分成三个扇形，它们的面积之比为，则面积最小的扇形的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25六下·黑龙江哈尔滨南岗区·期末)一种内直径是1.2cm的水龙头，打开后水的流速是20厘米/秒．打开水龙头后，1分钟能放出（    ）的水（取3.14） A．0.022608 B．0.22608 C．1.35648 D．13.5648 3．一只挂钟的分针长，经过30分钟后，分针的尖端所走的路程为 ． 4．(19-20六上·黑龙江哈尔滨第九十五中学·期末)一个实心的长方体木块，它的长、宽、高分别为，把这个长方体木块加工成一个圆锥，要求圆锥的底面是长方体一个侧面上的最大的圆，圆锥的顶点在长方体的另一个侧面上，那么这个圆锥的体积是 ．（结果保留π） 6．(24-25六下·黑龙江大庆杜尔伯特蒙古族自治县·期末)淘气将“圆”的知识应用到圆柱中，他先把一个圆柱展开，并将展开图中的两个圆切开，如图②．再将2个圆转化成一个近似的长方形，与侧面展开后的长方形拼起来，形成一个大长方形，如图③．由此得到圆柱表面积的另一种算法． (1)分析大长方形的长是________，宽是_______（用含字母的式子表示） (2)归纳：因为大长方形的面积=长宽=________________，所以圆柱的表面积的公式可以表示为________． (3)应用：，请计算圆柱的表面积． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．(24-25七上·黑龙江大庆肇源县·期末)小华在推导圆环面积计算公式时，她把圆环平均分成了32份，拼成了一个图形（如图）．图中所求部分的长度是（   ）（大圆半径用R表示，小圆半径用r表示）． A． B． C． D． 2．一个圆柱和一个圆锥的底面积相等，高相等，体积相差立方分米，则圆柱和圆锥的体积各是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．如图，一个圆柱体零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂 平方厘米．（结果保留π） 4．(24-25六下·上海宝山区宝山实验学校·期末)如图所示，圆锥形容器中装有7升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，且水面半径也正好是圆锥底面半径的一半，则这个容器还能装水 升． 5．(24-25六下·上海崇明区上海民办民一中学（五四制）·期末)底面积为的圆柱形容器内有若干水，水位高度为，现将一个边长为4的正方体铁块水平放入容器底部，正方体完全沉没入水中（如图甲）．再将第二个正方体铁块水平放在第一个正方体上面，且第二个正方体只有一半没入水中（如图乙）．此时水位高度为，若，求第二个正方体的边长． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆、圆柱与圆锥（期末复习讲义） 核心考点 1复习目标 考情规律 圆的基本性质（圆心、半径、直径、对称性） 能准确描述圆心、半径、直径的定义及关系，判断圆的对称轴数量，熟练运用或进行计算 基础必考点，多以选择题、填空题形式考查，易错点是忽略“同一个圆内”的前提条件判断半径与直径关系 扇形的认识（弧、圆心角、特征） 能识别弧、圆心角和扇形，掌握扇形大小与圆心角的关系，判断扇形的对称性 高频基础题，常结合圆的性质综合命题，易混淆“弧长相等”与“等弧”的概念 圆的周长与弧长计算 熟练运用圆的周长公式或、弧长公式解决计算问题 必考计算点，选择题、填空题、解答题均有涉及，易错点是单位换算不统一或圆心角度数代入错误 圆、扇形、圆环的面积计算 能灵活运用圆的面积公式、扇形面积公式或、圆环面积公式（大圆面积-小圆面积）解决问题 核心计算考点，解答题高频出现，易出错处是扇形圆心角对应的半径判断错误，或圆环面积计算时误将直径当作半径代入 圆柱的认识与表面积、体积计算 能识别圆柱的底面、侧面、高，熟练运用圆柱侧面积公式、表面积公式、体积公式解决实际问题 重点必考考点，多结合生活场景（如制作容器、计算用料）命题，易错点是计算表面积时遗漏底面（如无盖容器）或体积单位换算错误 圆锥的认识与表面积、体积计算 能识别圆锥的底面、侧面、高，掌握圆锥侧面积公式、表面积公式、体积公式，理解圆锥与等底等高圆柱的体积关系 重点考点，解答题中常与圆柱综合考查，易出错点是忘记圆锥体积公式中的，或混淆母线与底面半径、高的关系 圆、圆柱与圆锥的实际应用 能将实际问题转化为几何问题，选择合适公式计算，结合题意处理结果（如保留整数、单位换算） 高频解答题型，分值占比高，易错点是审题不清（如忽略“从里面测量” “无盖”等条件）或实际场景与公式的匹配错误 组合图形的周长与面积、体积计算 能拆分或转化组合图形，利用圆、圆柱、圆锥的相关公式分步计算 拉分考点，多以压轴解答题形式出现，易出错处是组合图形的拆分逻辑混乱，或遗漏部分图形的周长/面积（如半圆组合图形的周长包含直径） 知识点01圆 1．关键要素与性质：圆心定位置，半径定大小；同一圆内，所有半径（或直径）相等；圆是轴对称图形，有无数条对称轴。 2．弧、圆心角与扇形：弧分优弧和劣弧，圆心角度数=所对弧度数；扇形由圆心角和弧围成，1条对称轴，大小由圆心角和半径决定。 3．计算公式： 周长：， 弧长：， 面积：， 扇形面积： 知识点02圆柱与圆锥 1．特征对比： 圆柱：2个等圆底面+1个曲面侧面，无数条高，侧面展开为长方形（或正方形）。 圆锥：1个圆底面+1个曲面侧面，1条高，侧面展开为扇形。 2．计算公式： 圆柱侧面积：。 圆柱表面积：（无盖需减1个底面积）。 圆柱体积：。 圆锥体积：（等底等高时是圆柱体积的）。 3．易错点：圆锥体积漏乘；圆柱表面积多算（或少算）底面；混淆“母线”与“高”；单位换算错误。 知识点03组合图形（体）与实际应用 1．组合图形（体）：平面图形用“和差法”拆分，立体图形体积求和、表面积减重叠部分。 2．实际场景：铺路（侧面积/体积）、容器容积（从里面测量）、扫风面积（侧面积），需转化为几何问题再计算。 3．易错点：遗漏组合图形关键边长（如半圆直径）；审题忽略“无盖” “从里面量”等条件。 题型一 圆的周长与面积 解｜题｜技｜巧 1．先明确所求量，锁定对应公式。 2．统一单位后代入数据，注意“同一圆内”半径、直径的关系。 【典例】某世博园的绿草地上安装了一种自喷浇灌器，最远能喷4米，这个自喷浇灌器旋转一周最多能浇灌（　　）平方米． A．12.56 B．25.12 C．37.68 D．50.24 【答案】D 【分析】本题考查了圆的面积公式，由题意可知，这个自喷浇灌器旋转一周，浇灌部分是一个圆；根据最远能喷4米，可知这个圆的半径为4米，要求的是圆的面积；利用圆的面积半径半径，求出圆的面积，即为浇灌的面积，熟练掌握圆的面积的计算方法是解题的关键． 【详解】解：（平方米）， 即这个自喷浇灌器旋转一周能浇灌50.24平方米． 故选：D． 【变式1】(24-25七上·黑龙江大庆肇源县·期末)体育课上，同学们围成一个圆圈玩“击鼓传花”游戏，老师站在圆心位置击鼓，已知每名同学与老师之间的距离是，那么同学们围成的圆圈的周长是 ．（取） 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的周长计算，根据题意可得围成的圆圈的半径为，据此根据圆的周长等于其半径的2倍乘以圆周率计算求解即可． 【详解】解：， 所以同学们围成的圆圈的周长是， 故答案为：． 【变式2】儿童乐园要修建一个旋转木马场地，木马旋转范围的直径是8米，周边还要留出1米宽的小路，在外侧围均匀安装16根木桩，并在木桩铺上安全防护网．（取） (1)求这个旋转木马场地的占地面积是多少平方米? (2)两木桩的间隔距离大约是多少米．（得数保留整数．） 【答案】(1)这个旋转木马场地的占地面积是平方米 (2)两木桩的间隔距离大约是米 【分析】本题考查了圆周长、面积的应用； （1）求出旋转木马场地的半径，再利用圆的面积公式进行计算即可； （2）先求出圆的周长，再平均分成份即可． 【详解】（1）解：旋转木马场地的外围半径为（米）， 因此面积为（平方米）， 答：这个旋转木马场地的占地面积是平方米； （2）（米）， 答：两木桩的间隔距离大约是米． 题型二 与圆有关的平面组合图形周长及面积的计算 解｜题｜技｜巧 1．拆分图形：将组合体拆为圆、正方形、长方形等基础图形（和差法）。 2．周长计算：不遗漏关键边（如半圆组合需加直径，外方内圆算正方形边长+圆周长）。 3．面积计算：用“相加法”（多图形拼接）或“相减法”（图形挖空），分步计算再整合。 【典例】观察如图有两个同样大小的正方形，两图中阴影部分的周长和面积的关系是（    ） A．周长和面积都不相等 B．周长和面积都相等 C．周长相等，面积不相等 D．周长不相等，面积相等 【答案】D 【分析】此题考查了面积和周长大小比较的方法，关键是找出面积和周长的求法，再比较大小． 观察图形可发现：两个正方形的面积相等；两个图形中空白部分可以组成一个完整的圆，从图中可以看出两个图形阴影部分的面积=正方形的面积-圆的面积，所以阴影部分的面积相等．第一个图形中阴影部分的周长是圆的周长再加上正方形的两条边，第二个图形中阴影部分周长是圆的周长加上正方形的一条边，所以周长不相等；据此选择． 【详解】解：由图可知，正方形相等，圆也相等，两个图形阴影部分的面积=正方形的面积-圆的面积，所以阴影部分的面积相等． 第一个图形中阴影部分的周长是圆的周长再加上正方形的两条边，第二个图形中阴影部分周长是圆的周长加上正方形的一条边，所以周长不相等． 故选：D． 【变式1】(24-25六·上海杨浦区·期末)如图，四边形是一个边长为的正方形，在的延长线上且，则涂色部分面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的面积．观察得到和的面积相等，根据涂色部分面积为计算即可求解． 【详解】解：观察得到和的面积相等， ∴涂色部分面积为， 故答案为：． 【变式2】如图，一个运动场的两端是半圆形，中间是长方形，长方形的长为100米，宽为64米．（π取3） (1)这个运动场的周长是多少？ (2)若将此运动场全部铺上塑胶，铺完后每平方米塑胶的费用为100元，求这个运动场铺上塑胶后所需要的费用是多少元？ 【答案】(1)392米 (2)947200元 【分析】本题主要考查圆的周长及面积，熟练掌握圆的周长及面积公式是解题的关键； （1）由图可知，这个运动场的周长是长方形的两条长和圆的周长所构成，进而问题可求解； （2）由圆的面积和长方形的面积可直接列式进行求解即可． 【详解】（1）解：（米）； 答：这个运动场的周长是392米 （2）解：运动场的面积， （元）； 答：这个运动场铺上塑胶后所需要的费用是947200元． 题型三 圆柱的表面积和体积问题 解｜题｜技｜巧 1．表面积：先判断是否有盖，公式灵活变形。 2．体积：用准公式，单位要统一。 3．侧面展开图：长方形的长=底面周长、宽=圆柱高，正方形需满足“底面周长=高”。 【典例】(24-25六下·上海徐汇区徐汇中学·期末)如图，长方形的长为、宽为，分别以该长方形的长、宽所在直线为轴，将其旋转一周，形成甲、乙两个圆柱，其体积分别记作，侧面积分别记作，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆柱的体积和侧面积，掌握圆柱的体积和侧面积公式是解题关键．根据题意分别求出和，比较即可求解． 【详解】解：由题意可知，，， ，， 则， 故选：A． 【变式1】把一个底面直径和高都是3厘米的圆柱的侧面沿虚线剪开，得到一个不规则图形（如图），这个不规则图形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是圆柱的侧面积的计算，由展开图的含义可得沿圆柱的母线展开可得展开图是长方形，而不规则的展开图的面积等于展开图是长方形的面积，从而可得答案. 【详解】解： （平方厘米）； 故答案为：． 【变式2】父亲节时，小明送爸爸一只茶杯．（如图） (1)这只茶杯占据桌面的大小是多少平方厘米？ (2)茶杯中部的一圈装饰带很漂亮，那是小明怕烫伤爸爸的手特意贴上的，这条装饰带宽5厘米，长至少有多少厘米？（接头处忽略不计） (3)这只茶杯能装多少毫升水？ 【答案】(1)这只茶杯占据桌面的大小是平方厘米 (2)长至少有厘米 (3)这只茶杯能装毫升水 【分析】本题考查了圆柱的侧面积及体积，掌握相关公式是解题关键． （1）由题意可知，茶杯的底面半径为3厘米，再根据圆的面积公式计算即可； （2）根据圆的周长公式计算即可； （3）根据圆柱的体积公式计算即可． 【详解】（1）解：                 （平方厘米）           答：这只茶杯占据桌面的大小是平方厘米． （2）解：（厘米） 答：长至少有厘米． （3）解： （立方厘米）（毫升） 答：这只茶杯能装毫升水． 题型四 圆锥的表面积和体积问题 解｜题｜技｜巧 1．牢记圆锥的表面积和体积公式。 2．灵活应用公式，等底等高时优先用“圆柱体积÷3”快速求解。 3．易错提醒：区分 “母线”与“高”，不直接用高代替母线计算侧面积。 【典例】一段圆柱形木材削成一个最大的圆锥，削成的圆锥的体积是削去部分的体积的（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆柱与圆锥体积的关系，熟练掌握圆柱与圆锥体积的关系是解题的关键．根据圆柱与圆锥体积的关系进行解答即可． 【详解】解：要把一个圆柱削成一个最大的圆锥，那么削成的圆锥的体积为圆柱的， 把圆锥的体积看作份，那么圆柱的体积是份，削去的部分是（份）， ， 即：圆锥的体积是削去部分体积的． 故选：C． 【变式1】(24-25六下·上海青浦区实验中学·期末)在手工课上，小明用半径，圆心角的扇形纸板制作圆锥形的生日帽．不考虑接缝的情况下，这个生日帽的底面半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形的弧长，圆的周长，解题的关键是熟练掌握圆锥及其侧面展开图中相关量之间的关系． 根据半径和圆心角，可得扇形的弧长，即为生日帽的底面周长，由圆的周长公式，即可得生日帽的底面半径． 【详解】解：∵扇形的半径为，圆心角为， ∴扇形的弧长为：， ∴生日帽的底面周长为， ∴生日帽的底面半径为 故答案为：． 【变式2】把一个圆锥沿着高切开，得到两个如图所示的物体，表面积比原来增加了平方厘米．圆锥的高是厘米，那么圆锥的体积是多少立方厘米？ 【答案】立方厘米 【分析】本题考查圆锥的切割与体积计算，运用切割增加的表面积与圆锥体积公式思想，易错点是混淆增加的面的形状（三角形）或底面半径与直径的关系；思路是通过增加的表面积求出圆锥底面直径，再结合高用体积公式计算． 【详解】解：（平方厘米） （厘米） （立方厘米） 答：圆锥的体积是立方厘米． 题型五 与圆柱、圆锥有关的组合体问题 解｜题｜技｜巧 1．立体组合：体积直接求和，表面积需减去重叠部分。 2．分步计算：先求单个基础图形的量，再根据组合逻辑整合。 3．审题标注：圈出“等底等高”“无盖”“重叠”等关键词，避免思路偏差。 【典例】如图，一个玻璃杯，杯口内直径是，总深，圆柱部分高．把玻璃杯装满水倒入一个内直径为的圆柱形茶杯后，茶杯中的水深（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆柱和圆锥的体积，先根据圆柱和圆锥的体积公式求出玻璃杯的容积，再除以茶杯的底面积即可求出茶杯中的水深，正确计算是解题的关键． 【详解】解：玻璃杯的容积： ， 所以茶杯中的水深：， 故选：． 【变式1】如图，将高都是2米、底面半径分别为4米和3米的两个圆柱堆积成一个立体图形，这个立体图形的表面积是 平方米．（π取） 【答案】 【分析】本题考查了组合体的表面积． 虽然上面的圆柱挡住了下面大的圆柱的底面的一部分，但是通过平移可以将上面的圆柱的底面平移到下面圆柱的底面，最后立体图形的表面积大圆柱的表面积小圆柱的侧面积．圆柱的表面积圆柱的侧面积圆柱的底面积．圆柱的侧面积． 【详解】大圆柱的表面积： （平方米） 小圆柱的侧面积： （平方米） （平方米） 则这个立体图形的表面积是平方米． 故答案为：． 【变式2】蜂窝煤是由煤炼制而成的．如图1，每个蜂窝煤中都有12个相同的空心小圆柱，每个蜂窝煤底面的直径为，高为，其中空心小圆柱底面的直径均为． (1)求一个蜂窝煤大约需要用煤多少立方厘米（结果保留）？ (2)如图2，现有一堆煤，近似于一个圆锥，它的底面直径为4米，高为0.9米，如果用这堆煤来制作图1中的蜂窝煤，可以制作多少个蜂窝煤？ (3)如图3，若将12个这样蜂窝煤按如图所示的方式放入有盖的包装箱内，则这个箱子的表面积至少是多少（箱子厚度忽略不计）？ 【答案】(1)一个蜂窝煤大约需要用煤 (2)可以制5000个蜂窝煤 (3) 【分析】（1）用蜂窝煤的体积减去空心小圆柱的体积即可得到答案； （2）先算出这堆煤的体积，然后结合（1）所求进行求解即可； （3）先求出长方体的长宽高，然后根据长方体表面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得一个蜂窝煤大约需要用煤 ， 答：一个蜂窝煤大约需要用煤； （2）解：由题意得这堆煤的体积， 所以可以制作个， 答：可以制5000个蜂窝煤； （3）解：由题意得，这个长方体包装箱的长宽高分别为、、10cm， 所以这个箱子的表面积至少是 【点睛】本题主要考查了圆柱，圆锥的体积公式，长方体的表面积公式，熟知相关公式是解题的关键． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．将一个圆分成三个扇形，它们的面积之比为，则面积最小的扇形的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比应用，扇形的面积，圆的圆心角总和为，扇形面积之比等于圆心角度数之比．将面积比转化为圆心角比例，计算最小扇形的圆心角即可． 【详解】三个扇形的面积比为，因此圆心角度数比也为． 总份数为份，每份对应． 面积最小的扇形对应1份，圆心角度数为， 故选A． 2．(24-25六下·黑龙江哈尔滨南岗区·期末)一种内直径是1.2cm的水龙头，打开后水的流速是20厘米/秒．打开水龙头后，1分钟能放出（    ）的水（取3.14） A．0.022608 B．0.22608 C．1.35648 D．13.5648 【答案】C 【分析】水龙头放水的体积可视为水流形成的圆柱体积，需计算水管的横截面积、水流长度，再结合时间求出总体积，最后进行单位换算. 【详解】解：1. 计算水管半径：直径1.2 cm，半径， 2. 计算横截面积： 3. 计算水流总长度：流速20 cm/s，时间1分钟（60秒），总长度： 4. 计算总体积： 5. 单位换算：1 L = 1000，故体积为： 因此，1分钟放出的水量为1.35648 L. 故选：C. 3．一只挂钟的分针长，经过30分钟后，分针的尖端所走的路程为 ． 【答案】62.8 【分析】本题考查圆的周长，分针60分钟旋转一周，30分钟旋转半周，因此半径为的圆的周长的一半即为所求． 【详解】解：， 即分针的尖端所走的路程为． 故答案为：62.8． 4．(19-20六上·黑龙江哈尔滨第九十五中学·期末)一个实心的长方体木块，它的长、宽、高分别为，把这个长方体木块加工成一个圆锥，要求圆锥的底面是长方体一个侧面上的最大的圆，圆锥的顶点在长方体的另一个侧面上，那么这个圆锥的体积是 ．（结果保留π） 【答案】或 【分析】本题主要考查了圆锥的体积计算，根据题意考虑两种情况，圆锥的高为长方体的长或宽/高分别计算即可． 【详解】解： 故答案为：或 6．(24-25六下·黑龙江大庆杜尔伯特蒙古族自治县·期末)淘气将“圆”的知识应用到圆柱中，他先把一个圆柱展开，并将展开图中的两个圆切开，如图②．再将2个圆转化成一个近似的长方形，与侧面展开后的长方形拼起来，形成一个大长方形，如图③．由此得到圆柱表面积的另一种算法． (1)分析大长方形的长是________，宽是_______（用含字母的式子表示） (2)归纳：因为大长方形的面积=长宽=________________，所以圆柱的表面积的公式可以表示为________． (3)应用：，请计算圆柱的表面积． 【答案】(1)； (2)；； (3)这个圆柱的表面积是平方厘米 【分析】此题考查的目的是理解掌握圆柱表面积公式的推导方法及应用． （1）通过观察图形可知，把一个圆柱的侧面展开，再把圆柱的两个底面剪拼成一个近似长方形，然后与圆柱侧面展开图合并起来，拼成的长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高加上底面半径； （2）圆柱的表面积就等于拼成的长方形的面积=长×宽=圆柱的底面周长×（高+半径）； （3）把数据代入公式上面的公式解答即可． 【详解】（1）解：拼成的大长方形的长是，宽是； 故答案为：，； （2）解：因为拼成的长方形的面积=长×宽，所以圆柱的表面积公式可以表示为， 故答案为：，；； （3）解： （平方厘米） 答：这个圆柱的表面积是平方厘米． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．(24-25七上·黑龙江大庆肇源县·期末)小华在推导圆环面积计算公式时，她把圆环平均分成了32份，拼成了一个图形（如图）．图中所求部分的长度是（   ）（大圆半径用R表示，小圆半径用r表示）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆环图形的相关计算，理解图中所求部分的长度为大圆周长的一半加小圆周长的一半是解题关键．根据图形可知图中所求部分的长度为大圆周长的一半加小圆周长的一半，然后求解即可． 【详解】解：根据题意，可知图中所求部分的长度为大圆周长的一半加小圆周长的一半， 即． 故选：C． 2．一个圆柱和一个圆锥的底面积相等，高相等，体积相差立方分米，则圆柱和圆锥的体积各是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了等底等高的圆柱与圆锥的体积关系及体积计算，解题的关键是掌握“等底等高时，圆柱体积是圆锥体积的3倍”这一核心关系，并利用体积差求出两者体积． 根据等底等高的圆柱与圆锥体积关系，设圆锥体积为，则圆柱体积为；由体积相差立方分米，列等式，求出圆锥体积；再计算圆柱体积，最后对比选项确定答案． 【详解】解：∵圆柱和圆锥底面积相等、高相等， ∴圆柱体积圆锥体积（等底等高圆柱与圆锥体积关系） 设圆锥体积为，则圆柱体积为， 由体积差得：， ， ∴， 圆柱体积（立方分米）， 故选：C． 3．如图，一个圆柱体零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂 平方厘米．（结果保留π） 【答案】 【分析】本题考查了组合立体图形的表面积，把它转化成几个规则立体图形的表面积之和或者差进行解答是解题的关键．这个零件的涂上防锈漆面积等于圆柱体的表面积加上小圆柱的侧面积，由此利用圆柱的侧面积、底面积公式代入数据即可解答． 【详解】解： （平方厘米） 故答案为：． 4．(24-25六下·上海宝山区宝山实验学校·期末)如图所示，圆锥形容器中装有7升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，且水面半径也正好是圆锥底面半径的一半，则这个容器还能装水 升． 【答案】49 【分析】本题主要考查了圆锥的体积计算，根据圆锥体积计算公式计算出，即这个容器一共能装56升水，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， 所以， 所以， 所以这个容器一共能装56升水， 所以还可以装升水， 故答案为：49． 5．(24-25六下·上海崇明区上海民办民一中学（五四制）·期末)底面积为的圆柱形容器内有若干水，水位高度为，现将一个边长为4的正方体铁块水平放入容器底部，正方体完全沉没入水中（如图甲）．再将第二个正方体铁块水平放在第一个正方体上面，且第二个正方体只有一半没入水中（如图乙）．此时水位高度为，若，求第二个正方体的边长． 【答案】 【分析】本题主要考查正方体的体积公式，圆柱的体积和方程的应用．设第二个正方体的边长为，结合，根据圆柱的体积和正方体的体积公式列方程，解方程即可． 【详解】解：设第二个正方体的边长为． 由题意得， 即， 整理得， ， ． 答：第二个正方体的边长为． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $