精品解析：陕西省镇安中学2025-2026学年高二上学期阶段性联考（二）（12月）数学试题（北师大版）

2025~2026学年度第一学期阶段性联考（二） 高二数学 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，时间120分钟； 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上； 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效； 4．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效； 5．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间四边形中，等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的加减运算，即可得结果. 【详解】由向量的加减运算法则可得： . 故选：C 2. 抛物线的准线方程是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线标准方程直接求准线方程 【详解】因为抛物线的标准方程为：x2=8y，焦点在y轴上； 所以：2p=8，即p=4， 所以：， ∴准线方程 y=-，即y=-2． 故选：A 3. 在空间直角坐标系中，若点，，则两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两点间距离公式直接求解即可. 【详解】，，， 即两点间的距离为. 故选：D. 4. 已知向量，，若，则实数（ ） A. 5 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用向量的坐标运算求得，再由向量垂直的坐标表示列方程求参数值. 【详解】由，而， 所以， 所以. 故选：B 5. 若是空间向量的一组基底，则下列可作为空间向量的一组基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理判断各选项中的每组向量是否共面可得结论. 【详解】对于A，因为是空间向量的一组基底，所以向量不共面， 因此也不共面，因此可以作为一组基底，即A正确； 对于B，易知，因此向量共面，不能作为基底，即B错误； 对于C，显然，因此共面，不能作为基底，即C错误； 对于D，显然，因此共面，不能作为基底，即D错误； 故选：A 6. 下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A. 将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B. 若空间向量，满足，则或； C. 若空间向量满足，则； D. 若空间向量满足，，则． 【答案】C 【解析】 【分析】根据单位向量的性质可判断A的正误，根据相等向量的定义可判断BC的正误，根据零向量的性质可判断D的正误. 【详解】对于A，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点， 则它们的终点构成一个球面，所以A错误； 对于B，若空间向量，满足， 但由于它们的方向不一定相同或相反，故不一定相等或相反，所以B错误； 对于C，根据向量相等的定义可得，所以C正确； 对于D，向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行， 则不一定平行，所以D错误. 故选：C. 7. 如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为原点，分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系，写出，的坐标，然后代入投影向量公式可得到正确答案. 【详解】以为原点，分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系, 由，，是的中点，得： ，，， 故， 故， 故， 故选：D 8. 直线y=x与椭圆C:+=1的交点在x轴上的射影恰好是椭圆的焦点,则椭圆C的离心率为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设在第一象限的交点为右焦点为根据题意：A在椭圆上，则A在直线上，则所以，所以 解得故选A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，则下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 与同方向的单位向量是 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，由，可得，故A正确； 对于B，由，可得，故B正确； 对于C，由，可得，故C正确； 对于D，由，可得与同方向的单位向量是，故D错误； 10. 已知椭圆与双曲线，下列关于两曲线的说法正确的是（ ） A. 的长轴长与的实轴长相等 B. 的短轴长与的虚轴长相等 C. 焦距相等 D. 离心率不相等 【答案】CD 【解析】 【分析】根据椭圆与双曲线的几何性质直接判断. 【详解】椭圆：长轴长，短轴长，焦距，离心率； 双曲线：实轴长，短轴长，焦距，离心率； ，选项A不正确； ，选项B不正确； ，选项C正确； ，选项D正确； 故选：CD. 11. 已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，为抛物线上一个动点，，则（ ） A. 的坐标为 B. 的最小值为2 C. 若，则过与抛物线相切的直线的方程为 D. 的最小值为3 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用抛物线的性质求解焦点判断A，举反例判断B，联立方程组，令判别式为0求解切线斜率，进而得到切线方程判断C，利用抛物线的定义求解最小值判断D即可. 【详解】对于A，由抛物线性质得的坐标为，故A正确， 对于B，当的斜率不存在时，可得的方程为， 联立方程组，解得，， 得到，，则， 得到的最小值不可能为2，故B错误， 对于C，若，设切线方程为不为， 联立方程组，可得， 此时，解得， 则，即，故C正确， 对于D，如图，作出符合题意的图形，作垂直于准线， 由抛物线定义可得， 当且仅当三点共线时取等，此时，可得， 则的最小值为3，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 点关于平面对称的点的坐标是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点关于平面对称点的特征进行求解即可. 【详解】点关于平面对称的点的坐标是， 故答案为： 13. 已知、、三点不共线，点在平面外，点满足，则当点、、、四点共面时，实数_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】首先把换成以为起点的，整理得到关于、、的线性表达式.，然后用空间四点共面的向量判定定理，的线性组合系数和为1，据此列方程求解. 【详解】已知，得， 四点共面时，系数和为1，即 计算得 故答案为： 14. 如图，双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，满足，直线与圆相切，则双曲线的离心率为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】由结合双曲线性质可得，，再由双曲线定义得，结合，消元计算可得. 【详解】如图，设直线与圆相切于点，则，又， 所以，过作于点， 因为，所以为中点，且， 所以，所以， 所以，又． ，即，即， 从而，即， 即，解得． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线，圆. （1）若直线把圆分成面积相等的两部分，求实数的值； （2）若直线与圆相切，求实数的值. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）直线平分圆面积，意味着直线过圆心，将圆心坐标代入直线方程即可求； （2）直线与圆相切，利用圆心到直线距离等于半径来求. 【小问1详解】 ∵直线把圆分成面积相等的两部分， ∴圆心在直线上， 即，解得； 【小问2详解】 由题知，圆的圆心为，半径为， ∵直线与圆相切， ∴圆心到直线的距离， 解得或. 16. 已知双曲线（，）过点，且其两条渐近线方程为与. （1）求双曲线的标准方程； （2）若直线与双曲线交于不同的两点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用渐近线方程和双曲线上的点可求出双曲线的标准方程； （2）联立直线方程和双曲线方程后利用根的判别式可求参数的取值范围. 【小问1详解】 ∵双曲线的渐近线方程为与， ∴，故双曲线， ∵双曲线过点，∴，得， 故双曲线的标准方程为：. 【小问2详解】 由（1）知，双曲线， 联立可得， ∵直线与双曲线交于不同的两点， ∴，得或， ∴的取值范围为. 17. 已知空间向量，，． （1）设，，求； （2）若向量与向量，共面，求实数的值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据共线设，再用模长公式求，回代得. （2）由共面设，列方程组先解、，再求. 【小问1详解】 解：（1）， 存在实数，使得，即， 又，，解得， 当时，，当时，. 【小问2详解】 （2）向量与向量，共面， 存在有序实数对，使得， ， ，解得 实数的值为 18. 如图，在正三棱柱中，设，，，底面边长为． （1）以为基底表示向量、； （2）若，求证：； （3）若，求． 【答案】（1）， （2） 由题意可知，，，， ，， ∴， 故. （3） 【解析】 【分析】（1）由向量的加减法即可表示出结果； （2）由题意得到向量的模长，以及它们之间的夹角，由向量的数量积公式求得，然后求得，由数量积判断； （3）由（2）求得，然后求得，由向量的数量积公式求得. 【小问1详解】 在正三棱柱中，，，， 则， . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， ， ， 故， 解得， 19. 已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，且左焦点到直线的距离为. （1）求椭圆的标准方程； （2）点在椭圆的长轴上，过点且不与轴重合的直线交椭圆于，两点，若，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）由短轴长求出，由点到直线的距离得到，再结合，求出、，即可得解； （2）方法一：设直线的方程为：，，，，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，由则，从而得到，即可得到，再由基本不等式计算可得；方法二：设直线的方程为：，，，联立直线与椭圆方程，依题意可得，列出韦达定理得到，再表示出及点到的距离，最后由基本不等式计算可得. 【小问1详解】 由椭圆短轴长为，得， 又椭圆左焦点到直线的距离为， 即，解得， 又，解得，， 椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 方法一：依题意直线的斜率存在且不为， 设直线的方程为：，，，， 联立，消去整理得， 显然，，， ，，则，， 代入可得，所以， 的面积， ，当且仅当时取等号， 面积的最大值为. 方法二：依题意直线的斜率存在且不为， 设直线的方程为：，，， ，， 联立，消去整理得， 所以，. ，， ，， 则， 可得， 又 ， 设原点到直线的距离为，则， 的面积， 当且仅当时取等号， 面积的最大值为1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期阶段性联考（二） 高二数学 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，时间120分钟； 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上； 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效； 4．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效； 5．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间四边形中，等于（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的准线方程是 A. B. C. D. 3. 在空间直角坐标系中，若点，，则两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，若，则实数（ ） A. 5 B. C. 1 D. 5. 若是空间向量的一组基底，则下列可作为空间向量的一组基底的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A. 将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B. 若空间向量，满足，则或； C. 若空间向量满足，则； D. 若空间向量满足，，则． 7. 如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 直线y=x与椭圆C:+=1的交点在x轴上的射影恰好是椭圆的焦点,则椭圆C的离心率为(　　) A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，则下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 与同方向的单位向量是 10. 已知椭圆与双曲线，下列关于两曲线的说法正确的是（ ） A. 的长轴长与的实轴长相等 B. 的短轴长与的虚轴长相等 C. 焦距相等 D. 离心率不相等 11. 已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，为抛物线上一个动点，，则（ ） A. 的坐标为 B. 的最小值为2 C. 若，则过与抛物线相切的直线的方程为 D. 的最小值为3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 点关于平面对称的点的坐标是_____________． 13. 已知、、三点不共线，点在平面外，点满足，则当点、、、四点共面时，实数_____________． 14. 如图，双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，满足，直线与圆相切，则双曲线的离心率为_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线，圆. （1）若直线把圆分成面积相等的两部分，求实数的值； （2）若直线与圆相切，求实数的值. 16. 已知双曲线（，）过点，且其两条渐近线方程为与. （1）求双曲线的标准方程； （2）若直线与双曲线交于不同的两点，求的取值范围. 17. 已知空间向量，，． （1）设，，求； （2）若向量与向量，共面，求实数的值． 18. 如图，在正三棱柱中，设，，，底面边长为． （1）以为基底表示向量、； （2）若，求证：； （3）若，求． 19. 已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，且左焦点到直线的距离为. （1）求椭圆的标准方程； （2）点在椭圆的长轴上，过点且不与轴重合的直线交椭圆于，两点，若，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $