广东省深圳市盐田高级中学2025-2026学年高三上学期12月26日周末数学练习卷（20）

盐田高级中学2026届高三（上）数学周末练习卷（20） 命题人：高* 审题人：俞** 一、单选题 1．已知为实数集，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，不共线，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．某中学共有名学生，该校从全校学生中随机抽取名，统计他们年阅读的书籍数量，由此来估计该校学生当年阅读书籍数量的情况，下列关于估计中正确的是（    ） A．阅读量的众数估值为 B．阅读量的中位数估值为 C．阅读量的平均数估值为 D．第百分位数为 4．已知数列满足，其中、为常数，则“”是“数列为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．设为两条不同直线，为三个不同平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 6．复数满足，则（i为虚数单位）的最小值为（   ） A．4 B．5 C．2 D．3 7．正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为3，侧棱长为，则体积为（    ） A． B． C． D． 8．已知分别是双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上一点，的角平分线交轴于点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．3 二、多选题 9．下列命题中，真命题的是（    ） A．数据，，，，，，，的第百分位数是； B．若回归方程为，则变量与成负相关 C．若随机变量服从正态分布，，则 D．在线性回归分析中相关指数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 10．已知双曲线的左、右焦点分别为，则下列说法正确的是（   ） A．若点P在双曲线C的右支上，且，则 B．若双曲线C的渐近线方程为，则其离心率为 C．若，直线与双曲线C有且仅有一个交点，则满足条件的k值有2个 D．若双曲线C的离心率为，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，则的面积为 11．设是函数的导数，若，且对任意的，有，则下列各项正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．的展开式中，常数项为 （用数字作答）. 13．已知，都是锐角，，，则 . 14．已知正项等比数列中，，，则数列的前20项和为 ． 四、解答题 15．已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前20项和. 16．已知，函数（为常数）. (1)求的最小正周期及单调递减区间； (2)若，且在中，内角的对边分别为，求的面积. 17．如图，直三棱柱的体积为4，的面积为． (1)求A到平面的距离； (2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 18．已知函数. (1)求的单调区间； (2)若对于任意，总存在，使得，求的取值范围. 19．某学校心理咨询老师为了对一份心理健康测试卷进行评估，安排了一个实验组参与测试，实验组由已经确诊为心理异常的青少年患者和心理健康的青少年组成，其中心理异常者占10%.测试结果显示，确诊心理异常的测试者中有80%的测试卷诊断呈阳性；另一方面，心理健康的测试者中有10%的测试卷诊断也呈阳性. (1)从测试卷中随机抽取一份，在该测试卷诊断结果为阴性的条件下，测试者为心理异常的概率是多少? (2)如果参与本次测试的实验组总人数为100人，那么其中确诊为心理异常者的测试卷中有若干份被误诊为阴性，在此称之为漏诊卷.专家们要对这几份漏诊卷作进一步的分析.现在采取不放回的方式从这10份确诊为心理异常者的测试卷中每次随机抽取一份，直到把所有漏诊卷找出来.若已经抽取的5份测试卷均不是漏诊卷，设还需要抽取份才可以找出所有漏诊卷，写出的分布列并计算. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 盐田高级中学2026届高三（上）数学周末练习卷（20）参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D D A B A C B AB ABD 题号 11 答案 AC 1．D【详解】由，得，解得，则，而， 因此，所以. 故选：D 2．D【详解】，两边平方得，解得， 向量在向量上的投影向量为. 故选：D 3．D【详解】对于，众数估值为，故错误； 对于，设中位数为，则在内，所以，解得，故错误； 对于，平均数，故错误； 对于，设第百分位数为，则在内，所以，解得，故正确． 故选：． 4．A【详解】充分性：若，则，可得，此时数列为等差数列，即充分性成立； 必要性：取，则，则，此时数列为等差数列，即必要性不成立. 因此，“”是“数列为等差数列”的充分不必要条件. 故选：A. 5．B【详解】对于A，与可能相交（如墙角的三个平面）； 对于B，因为，所以在内存在直线使得，由得，故； 对于C，应推出； 对于D，由且，由面面垂直的判定定理， 若一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直， 这里缺少这个条件，所以不能得出，故D错误；故选：B． 6．A【详解】设复数在复平面内对应的点为，由知，点的轨迹为以原点为圆心， 半径为1的圆，表示圆上的点到点的距离，如下图，    如图，最小值为.故选：A 7．C【详解】由题知当上底面边长时，则正三角形中心（重心）到顶点的距离：， 当下底面边长时，正三角形中心到顶点的距离：， 设棱台的高为，侧棱长， 由勾股定理得： ， 则，， 将，， 代入体积公式： 故选：C. 8．B【详解】由的角平分线交轴于点，得， 而，则，， 在中，，由余弦定理得， 整理得，即，则， 所以双曲线的离心率为.故选：B 9．AB【详解】对于A：将，，，，，，，排序为，，，，，，，， ，所以第百分位数是第个数，即为，故A正确， 对于B，回归方程为， 又，变量与成负相关，故B正确， 对于C，随机变量服从正态分布，， ， 故，故C错误， 对于D，线性回归分析中相关指数用来刻画回归的效果，若值越大，说明模型的拟合效果越好，故D错误．故选：AB． 10．ABD 【详解】对于A，因为点P在双曲线C的右支上，所以，又，解得，故A正确； 对于B，因为双曲线的渐近线方程为且焦点在x轴上，所以， 又，所以离心率，故B正确； 对于C，因为直线方程为：，所以直线恒过点， 当直线与渐近线平行时，满足题意的直线有两条； 当直线与渐近线不平行且与双曲线相切时，满足题意的直线也有两条． 综上，满足条件的直线有4条，即k的值也有4个，故C错误； 对于D，如图，因为垂直于渐近线，所以，又因为，所以． 在中，，所以， 所以， 又因为，即，所以， 所以，故D正确．故选：ABD． 11．AC【详解】因为，所以在上是单调递增函数，即，故A正确； 因为对任意的，有， 所以在上是一个上凸函数，如图： 根据导数的几何意义，结合图象和可知：随着的增大，在点处的切线斜率越来越小，即在上单调递减，即，故B错误； 由上图可知：在的切线斜率大于两点的斜率，即， 又由图可知：在的切线斜率小于两点的斜率，即，故C正确； 根据导数的几何意义，结合图象和可知：随着的增大，在点处的切线斜率越来越小，且斜率变化率越来越慢，所以是一个下凹函数， 根据图象可知斜率小于斜率，即有，故D错误；故选：AC 12．【详解】由题可得二项式展开式通项公式为， 所以当时得展开式常数项为.故答案为： 13．【详解】由， 又，都是锐角，则，又，，则， 所以，故. 故答案为： 14．【详解】由题，设正项等比数列的公比为， 因为正项等比数列满足，， 所以，即，解得或（舍）， 所以， 设， 所以的前20项和为 故答案为： 15．(1)； (2). 【详解】（1）在数列中，， 当时，， 两式相减得， 则， 由可得， 所以当，依然成立， 的通项公式为. （2）由（1）得 则 ， 所以数列的前20项和. 16．(1)， (2) 【详解】（1）由题意得 ， 所以的最小正周期， 令，得， 所以的单调递减区间为. （2）由，得，故. 由，得， 即， 因为，所以，所以， 所以， 又，即，所以， 所以. 17．(1) (2) 【详解】（1）在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h， 则， 解得， 所以点A到平面的距离为； （2）取的中点E,连接AE,如图，因为，所以, 又平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 在直三棱柱中，平面， 由平面，平面可得，， 又平面且相交，所以平面， 所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图， 由（1）得，所以，，所以， 则,所以的中点， 则，, 设平面的一个法向量，则， 可取， 设平面的一个法向量，则， 可取， 则， 所以二面角的正弦值为. 18．(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）函数的定义域为, 则， 令，可得或，令，可得或， 则的单调递增区间为和，单调递减区间为和 （2）由（1）知：在上单调递增，在上单调递减， 故当时，， 由已知：在上有解， 在上有解，在上有解， ，； 令，则， 在上单调递增，， 令，，则在上单调递增， 则，故. 的取值范围为. 19．(1) (2) 【详解】（1）依题意记“确诊为心理异常”为事件，则“确诊为心理健康”为； “测试卷诊断结果为阳性”为事件，“测试卷诊断结果为阴性”为事件， 易知； 所以，可得； 在该测试卷诊断结果为阴性的条件下，测试者为心理异常的概率是； 所以， 因此在该测试卷诊断结果为阴性的条件下，测试者为心理异常的概率为； （2）由实验组总人数为100人，心理异常者占10%可得心理异常者共10人， 又确诊心理异常的测试者中有80%的测试卷诊断呈阳性，所以诊断卷为阳性的共8人，阴性的2人，即漏诊卷为2份， 若已经抽取的5份测试卷均不是漏诊卷，则剩下的5份测试卷中还有2份漏诊卷， 设还需要抽取份才可以找出所有漏诊卷，则的所有可能取值为2,3,4； 可得； ； ； 则的分布列为 所以 答案第8页，共9页 答案第1页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $