精品解析：重庆市开州区东华初级中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

东华初中九年级上数学12月月考卷 注意事项： 1． 试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2． 作答前认真阅读答题卡上的注意事项： 3． 作图(包括辅助线)请一律用黑色2B铅笔完成． 一 、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的．请将正确答案的代号填涂在答题卡上． 1. 中国的航天技术已跨入世界先进行列．下列航天领域的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各点在反比例函数的图象上的点是（ ） A. B. C. D. 4. 估计的运算结果应在哪两个连续自然数之间（　　） A. 3和4 B. 4和5 C. 5和6 D. 6和7 5. 某超市一月份的营业额为300万元，第一季度的营业额共为1500万元，如果平均每月增长率为，则由题意可列方程为( ) A. B. C. D. 6. 如图，已知圆心角∠AOB=110°，则圆周角∠ACB=（　　） A. 55° B. 110° C. 120° D. 125° 7. 有机化学中的稠环芳香烃是由若干个苯环组合而成，下图是一组稠环芳香烃的结构简式，其中图①是由个苯环组成，图②是由个苯环组成，，依此规律，图⑨中苯环的个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 8. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，则图中阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，将绕着点顺时针旋转交的延长线于点，，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数）．已知，并规定：，如：，以下结论中，正确的个数为（ ） ①； ②若，则； ③若，则； ④若的值为整数，则满足条件的整数共有6个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二 、填空题：本大题6个小题，每小题4分，共24分，把答案填写在答题卡相应的位置上． 11. 已知是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ______ 12. 某校八年级选举了4名同学获得“学习之星”荣誉，其中有2名女同学，2名男同学，在这4名同学中随机选2名同学作为学生代表在期末大会上发言，那么恰好有1名男同学，1名女同学代表发言的概率为 ___________． 13. 如图，平行四边形的面积是12，轴，反比例函数图象交于点E且，则______． 14. 若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为_____． 15. 如图，已知是的直径，弦于点，过点作的切线交的延长线于点，为的中点，连接．若，则的半径是__________，__________． 16. 一个四位自然数的各个数位上的数字互不相等，如果前两位数字所组成的两位数与后两位数字组成的两位数的和等于，那么就称这个数为“满分数”．把“满分数”的前两位数字与后两位数字整体交换得到新的四位数，设例如：一个四位数，∵，∴是“满分数”，且，则 _________；若是“满分数”，且是整数，则满足条件的所有的和为_________· 三 、解答题：本大题10个小题，17小题8分，18小题8分，其余每小题10分，共86分，解答时应写出必要的 文字说明、演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上． 17. 计算： （1） （2） 18. 4月，某校初2021级800名学生进行了一次政治测试（满分：50分）．测试完成后，在甲乙两班各抽取了20名学生的测试成绩，对数据进行整理分析，并给出了下列信息： 甲班20名同学的测试成绩统计如下： 41，47，43，45，50，49，48，50，50，49，48，47，44，50，43，50，50，50，49，47． 乙班20名同学的测试成绩统计如下： 组别 频数 1 1 6 9 其中，乙班20名同学的测试成绩高于46，但不超过48分的成绩如下：47，48，48，47，48，48． 甲乙两班抽取的学生的测试成绩的平均数、中位数、众数如表所示： 班级 平均数 中位数 众数 甲班 47.5 48.5 乙班 47.5 49 （1）根据以上信息可以求出：_____，_____，_____； （2）你认为甲乙两个班哪个班的学生政治测试成绩较好，请说明理由（理由写出一条即可）； （3）若规定49分及以上为优秀，请估计该校初2021级参加此次测试的学生中优秀的学生有多少人？ 19. 先化简，再求值：，其中m 为方程的解 ． 20. 在学习了平行四边形的性质，小西和小北进行了拓展探究．如图，在中，点E是上的一点，且． （1）作的平分线交于点F，连接（尺规作图，保留痕迹，不写作法）； （2）根据（1）中作图，小西猜测四边形是菱形，小北写出了如下不完整的证明思路，请你帮助她们把证明过程补充完整． 证明：∵平分， ∴ ① ． ∵在中，， ∴ ② ， ∴， ∴ ③ ． ∵， ∴ ④ ． ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 小西和小北经过进一步探究发现，与互相垂直，并且与的内角无关． 请你依照题意完成下面的命题： 平行四边形的任意一组内角的平分线 ⑤ ． 21. 北碚玻璃器皿成型刻花工艺，是流行于重庆市北碚区的传统手工技艺，也是市级“非物质文化遗产”之一．其突出了玻璃制品刻花和精雕工艺的特色，更加突出了手工工艺在玻璃制品上的再创造；通过手工刻花工艺，使用粗砂、细砂砂轮切削后抛光等工艺，展现出玻璃制品晶莹剔透、高雅华贵的品质．精雕工艺的创新，使玻璃工艺的表现形式更加丰富多彩．为推进玻璃器皿销售，渝礼堂准备购进花瓶和茶具，其中茶具的进价比花瓶的进价少元，已知花瓶的售价为每件元，茶具的售价为每件元，若用元购进花瓶的数量与用元购进茶具的数量相同． （1）求茶具、花瓶每件的进价各是多少元； （2）已知渝礼堂月份卖出花瓶个，茶具套，1月份购进花瓶和茶具若干．为增加1月份花瓶的销量，渝礼堂采取降价措施．据市场调查发现，在月的基础上，若花瓶的售价每降低1元，可多售出2个，1月份茶具售卖的数量和价格与月份一样．若渝礼堂1月份卖出的花瓶和茶具共获利元，则花瓶的售价应降价多少元？ 22. 某班正在点处上体育课，上完体育课后，小巴和小川准备去四食堂处吃午饭，经测量，点位于点的正东方100米处，点位于点的北偏东方向80米处，且位于点正南方30米处，点位于点的正西方，且位于点的东北方向（点、、、、在同一平面内，参考数据：）． （1）求点到点的距离（结果保留整数）； （2）下课后，小巴沿以的速度前往四食堂，小川沿以的速度前往四食堂，请通过计算判断小川与小巴谁先到达四食堂（结果保留整数）？ 23. 如图1，在矩形中，点为中点，连接，，点沿着的方向运动，到点时停止运动，连接，设点运动的路程为，的面积为． （1）直接写出的解析式及自变量的取值范围； （2）在图2中画出的图象，并写出一条的性质； （3）反比例函数如图所示，请直接写出时，自变量的取值范围（结果保留1位小数，误差不超过）． 24. 如图，抛物线与x轴分别交于点A，点B（A在B的左侧），与y轴交于点C，直线的图象过B，C两点，． （1）求抛物线解析式； （2）点P为直线上方抛物线上一点，点D为直线上一动点，连接，，，当面积最大时，求点P的坐标及的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移后过点C，在新抛物线上是否存在一点Q，使，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 在中，，，点为直线上一动点，连接，为上一点，连接． （1）如图1，点为线段上一点，为的中点，若，求的长度． （2）如图2，点在射线上，与线段交于点，将线段绕点逆时针旋转得，且点刚好落在延长线上，连接，若．求证：． （3）在（1）问的条件下，点为直线上一动点，连接，把沿翻折，得到，且点落在所在平面内，连接，当最大时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东华初中九年级上数学12月月考卷 注意事项： 1． 试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2． 作答前认真阅读答题卡上的注意事项： 3． 作图(包括辅助线)请一律用黑色2B铅笔完成． 一 、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的．请将正确答案的代号填涂在答题卡上． 1. 中国的航天技术已跨入世界先进行列．下列航天领域的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选D． 2. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义，对选项逐个分析即可． 【详解】解：是一元一次方程，不是一元二次方程，故A选项错误； 是二元一次方程，不是一元二次方程，故B选项错误； 是一元二次方程，故C选项正确； 是分式方程，不是一元二次方程，故D选项正确． 故选：C． 3. 下列各点在反比例函数的图象上的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查判断给出各点是否在反比例函数的图象上，只需将各选项坐标代入验证即可. 【详解】解：，不符合题意； ，符合题意； ，不符合题意； ，不符合题意； 故选：B 4. 估计的运算结果应在哪两个连续自然数之间（　　） A. 3和4 B. 4和5 C. 5和6 D. 6和7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，先计算得出，再估算的大小，即可求解． 【详解】解：， ∵ ∴ ∴ 故选：A． 5. 某超市一月份的营业额为300万元，第一季度的营业额共为1500万元，如果平均每月增长率为，则由题意可列方程为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=1500，把相关数值代入即可． 【详解】∵一月份的营业额为300万元，平均每月增长率为x， ∴二月份的营业额为300×（1+x）， ∴三月份的营业额为300×（1+x）×（1+x）=300×（1+x）2， ∴可列方程为300+300×（1+x）+300×（1+x）2=1500． 即300[1+（1+x）+（1+x）2]=1500． 故选D． 【点睛】此题考查了求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b，得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键． 6. 如图，已知圆心角∠AOB=110°，则圆周角∠ACB=（　　） A. 55° B. 110° C. 120° D. 125° 【答案】D 【解析】 【详解】分析：根据圆周角定理进行求解．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 详解：根据圆周角定理，得 ∠ACB=（360°-∠AOB）=×250°=125°． 故选D． 点睛：此题考查了圆周角定理． 注意：必须是一条弧所对的圆周角和圆心角之间才有一半的关系． 7. 有机化学中的稠环芳香烃是由若干个苯环组合而成，下图是一组稠环芳香烃的结构简式，其中图①是由个苯环组成，图②是由个苯环组成，，依此规律，图⑨中苯环的个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律变化问题，由已知图形可得第个图形苯环的个数为，据此解答即可求解，由已知图形找到变化规律是解题的关键． 【详解】解：图①苯环的个数为， 图②苯环的个数为， 图③苯环的个数为， 图④苯环的个数为， ， ∴第个图形苯环的个数为， 当时，， ∴图⑨中苯环的个数为， 故选：． 8. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，则图中阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求不规则图形的面积，涉及旋转性质、等腰直角三角形的性质、扇形面积公式、勾股定理，得到阴影部分的面积关系是解答的关键．先根据等腰直角三角形的性质得，，由旋转性质得，，，，由图中阴影部分面积为求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，，，， ∴图中阴影部分面积为 ， 故选：B． 9. 如图，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，将绕着点顺时针旋转交的延长线于点，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作的平行线交于点，交于点，设，则，由正方形的性质可得，，，，即得四边形为矩形，得到，，利用勾股定理可得，进而得到，即得，由旋转的性质得，，再根据余角性质得到，可得，得到，即可得，得到，最后代入计算即可求解． 【详解】解：过点作的平行线交于点，交于点，如图， 设，则， ∵四边形为正方形， ∴，，，， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，∵， ∴， 在中，∵，， ∴， ∵绕着点顺时针旋转交的延长线于点， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 10. 给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数）．已知，并规定：，如：，以下结论中，正确的个数为（ ） ①； ②若，则； ③若，则； ④若的值为整数，则满足条件的整数共有6个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式中的规律探究，分式的求值，先求出前几个数，得到这列数6个数为一个周期，循环出现，再逐一进行判断即可，正确的找到规律，是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴这列数6个数为一个周期，循环出现， ∵， ∴，故①错误； ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误； ∵，， ∴，， ∴， ∵的值为整数， ∴，，，， ∴满足条件的整数共有8个． 又，，即，，， 故满足条件的整数共有6个．故④正确， 故选：B． 二 、填空题：本大题6个小题，每小题4分，共24分，把答案填写在答题卡相应的位置上． 11. 已知是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ______ 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后代入表达式计算即可． 【详解】解：由根与系数的关系，得． 所以 故答案为5 12. 某校八年级选举了4名同学获得“学习之星”荣誉，其中有2名女同学，2名男同学，在这4名同学中随机选2名同学作为学生代表在期末大会上发言，那么恰好有1名男同学，1名女同学代表发言的概率为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表格法求概率，由题意列出表格，然后根据概率公式，即可求出答案． 【详解】解：列表如下： 女1 女2 男1 男2 女1 ﹣﹣﹣ （女1，女2） （女1，男1） （女1，男2） 女2 （女2，女1） ﹣﹣﹣ （女2，男1） （女2，男2） 男1 （男1，女1） （男1，女2） ﹣﹣﹣ （男1，男2） 男2 （男2，女1） （男2，女2） （男2，男1） ﹣﹣﹣ 总共有12种等可能结果，其中恰好有1名男同学，1名女同学的结果有8种， ∴恰好有1名男同学，1名女同学代表发言的概率， 故答案为：． 13. 如图，平行四边形的面积是12，轴，反比例函数图象交于点E且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数和平行四边形的性质，解题的关键是根据平行四边形的面积建立等式进行换算．设点，根据和平行四边形的面积建立m和n的等式进行换算即可得到答案． 【详解】解：设点， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解分式方程，根据一元一次不等式组和分式方程解的情况求参数，解题的关键在于找出所有符合条件的数．先解一元一次不等式组得到的取值范围，再解分式方程，结合分式方程的解找出符合条件的值，最后求和，即可解题． 【详解】解： ， ， 又关于x的一元一次不等式组的解集为， ， 解得； ， 关于y的分式方程的解为非负整数，且，即， 符合条件的所有整数a为，， 符合条件的所有整数a的和为； 故答案为：． 15. 如图，已知是的直径，弦于点，过点作的切线交的延长线于点，为的中点，连接．若，则的半径是__________，__________． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质定理、垂径定理、勾股定理、圆周角定理、含30度角的直角三角形的性质、解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解题关键． 连接，，，根据垂径定理可得，根据切线的性质定理可得，即，进而可得，再解得，然后证明，设，易得，，在中，利用勾股定理解得，即可求出半径，再用三角函数求出的长即可求解． 【详解】解：如图，连接，，， 是的切线， ， ， ， ， 于点，， ， 设， 为的中点， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ，即的半径为4． ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：4，． 16. 一个四位自然数的各个数位上的数字互不相等，如果前两位数字所组成的两位数与后两位数字组成的两位数的和等于，那么就称这个数为“满分数”．把“满分数”的前两位数字与后两位数字整体交换得到新的四位数，设例如：一个四位数，∵，∴是“满分数”，且，则 _________；若是“满分数”，且是整数，则满足条件的所有的和为_________· 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查的是新定义运算，整式的加减运算的应用、方程整数解的应用． 根据题意得到，再根据题意得到，，进一步得到是整数，设，其中为正整数，求出或，据此进行分类求解即可． 【详解】解：∵， ∴是“满分数”， ， ∵是“满分数”， ∴，， ∴ ∴， ∴ ∵是整数， ∴设，其中为正整数， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵为整数， ∴或， 当时，，则， 当，时，此时，不符合题意； 当，时，此时，不符合题意； 当，时，此时，不符合题意； 当，时，此时，不符合题意； 当时，此时，即，数字均为，不满足各数位数字互不相等，不符合题意； 当时，，则， 当，时，此时，即，，符合题意，则， 当，时，此时，即，，不满足各个数位上的数字互不相等，故不符合题意； 当，时，此时，即，，符合题意，则， 当，时，此时，即，，符合题意，则， 则 ∴满足条件的所有的和为， 故答案为：， 三 、解答题：本大题10个小题，17小题8分，18小题8分，其余每小题10分，共86分，解答时应写出必要的 文字说明、演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式、平方差公式的展开形式是解题关键． （1）先展开完全平方、多项式乘法，再算多项式除以单项式，最后去括号，合并同类项； （2）先算单项式乘多项式，用平方差公式展开多项式乘法，再展开完全平方，最后去括号，合并同类项． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 4月，某校初2021级800名学生进行了一次政治测试（满分：50分）．测试完成后，在甲乙两班各抽取了20名学生的测试成绩，对数据进行整理分析，并给出了下列信息： 甲班20名同学的测试成绩统计如下： 41，47，43，45，50，49，48，50，50，49，48，47，44，50，43，50，50，50，49，47． 乙班20名同学的测试成绩统计如下： 组别 频数 1 1 6 9 其中，乙班20名同学的测试成绩高于46，但不超过48分的成绩如下：47，48，48，47，48，48． 甲乙两班抽取的学生的测试成绩的平均数、中位数、众数如表所示： 班级 平均数 中位数 众数 甲班 47.5 48.5 乙班 47.5 49 （1）根据以上信息可以求出：_____，_____，_____； （2）你认为甲乙两个班哪个班的学生政治测试成绩较好，请说明理由（理由写出一条即可）； （3）若规定49分及以上为优秀，请估计该校初2021级参加此次测试的学生中优秀的学生有多少人？ 【答案】（1）3，48，50 （2）甲班的成绩较好，理由：甲乙两班的平均数相等、甲班的中位数、众数都比乙班的大 （3）估计该校初2021级参加此次测试的学生中优秀的学生有380人 【解析】 【分析】（1）根据题中数据和中位数、众数的定义求解即可； （2）根据甲乙两班的平均数、中位数和众数分析决策即可； （3）用总人数乘以样本中优秀人数所占的比例求解即可． 【小问1详解】 解：； 乙班成绩第10、11个数为成绩高于46，但不超过48分的成绩的较大的两个，为48，48． ∴； 将甲班20名同学的测试成绩按从小到大的顺序排列：41，43，43，44，45，47，47，47，48，48，49，49，49，50，50，50，50，50，50，50， 甲班的测试成绩出现次数最多的是50，因此众数是50， ∴c＝50， 故答案为：3，48，50； 【小问2详解】 解：甲班的成绩较好，理由：甲乙两班的平均数相等、甲班的中位数、众数都比乙班的大； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校初2021级参加此次测试的学生中优秀的学生有380人． 【点睛】本题考查频数分布表、中位数、众数、用样本估计总体，理解中位数和众数的定义，并会利用这些统计量作决策是解答的关键． 19. 先化简，再求值：，其中m 为方程的解 ． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，一元二次方程的解，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 根据分式的加减法和乘除法可以化简题目中的式子，然后根据 的值为方程 的解，可以求得的值，然后代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解： ， ∵m为方程的解， ， ， 原式． 20. 在学习了平行四边形的性质，小西和小北进行了拓展探究．如图，在中，点E是上的一点，且． （1）作的平分线交于点F，连接（尺规作图，保留痕迹，不写作法）； （2）根据（1）中作图，小西猜测四边形是菱形，小北写出了如下不完整的证明思路，请你帮助她们把证明过程补充完整． 证明：∵平分， ∴ ① ． ∵在中，， ∴ ② ， ∴， ∴ ③ ． ∵， ∴ ④ ． ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 小西和小北经过进一步探究发现，与互相垂直，并且与的内角无关． 请你依照题意完成下面的命题： 平行四边形的任意一组内角的平分线 ⑤ ． 【答案】（1） 如图：即为所求； （2）①；②；③；④；⑤互相垂直 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图、平行四边形的判定和性质、菱形的判定等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质和菱形的判定是解题的关键． （1）根据画角平分线的方法即可； （2）根据角平分线的定义得，平行四边形的性质和平行线的性质可得，由得可得，进而得到，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形是平行四边形，进一步证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：∵平分， ∴． ∵在中，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 平行四边形的任意一组邻角的平分线：相互垂直， 理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，即平行四边形的任意一组邻角的平分线相互垂直． 故答案为：①；②；③；④；⑤互相垂直． 21. 北碚玻璃器皿成型刻花工艺，是流行于重庆市北碚区的传统手工技艺，也是市级“非物质文化遗产”之一．其突出了玻璃制品刻花和精雕工艺的特色，更加突出了手工工艺在玻璃制品上的再创造；通过手工刻花工艺，使用粗砂、细砂砂轮切削后抛光等工艺，展现出玻璃制品晶莹剔透、高雅华贵的品质．精雕工艺的创新，使玻璃工艺的表现形式更加丰富多彩．为推进玻璃器皿销售，渝礼堂准备购进花瓶和茶具，其中茶具的进价比花瓶的进价少元，已知花瓶的售价为每件元，茶具的售价为每件元，若用元购进花瓶的数量与用元购进茶具的数量相同． （1）求茶具、花瓶每件的进价各是多少元； （2）已知渝礼堂月份卖出花瓶个，茶具套，1月份购进花瓶和茶具若干．为增加1月份花瓶的销量，渝礼堂采取降价措施．据市场调查发现，在月的基础上，若花瓶的售价每降低1元，可多售出2个，1月份茶具售卖的数量和价格与月份一样．若渝礼堂1月份卖出的花瓶和茶具共获利元，则花瓶的售价应降价多少元？ 【答案】（1）茶具每件的进价是元，花瓶每件的进价是元； （2）花瓶的售价应降价3元． 【解析】 【分析】本题考查分式方程解决应用题，本题考查一元二次方程解决销售利润问题： （1）设花瓶的进价为元，则茶具的进价为元，根据用元购进花瓶的数量与用元购进茶具的数量相同列方程求解即可得到答案； （2）设花瓶的售价降价元，得到花瓶售出的数量为：，根据利润列方程求解即可得到答案 【小问1详解】 解：设花瓶的进价为元，则茶具的进价为元，由题意可得， ， 解得：， ∴， 答：茶具每件的进价是元，花瓶每件的进价是元； 【小问2详解】 解：设花瓶的售价降价元， ∵花瓶的售价每降低1元，可多售出2个， ∴花瓶售出的数量为：， 由题意可得， ， 解得：，（不符合题意舍去）， 答：花瓶的售价应降价3元． 22. 某班正在点处上体育课，上完体育课后，小巴和小川准备去四食堂处吃午饭，经测量，点位于点的正东方100米处，点位于点的北偏东方向80米处，且位于点正南方30米处，点位于点的正西方，且位于点的东北方向（点、、、、在同一平面内，参考数据：）． （1）求点到点的距离（结果保留整数）； （2）下课后，小巴沿以的速度前往四食堂，小川沿以的速度前往四食堂，请通过计算判断小川与小巴谁先到达四食堂（结果保留整数）？ 【答案】（1）41米 （2）小川先到达四食堂 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，读懂题意，数形结合，掌握方位角表示位置及特殊角的三角函数是解决问题的关键． （1）过点作，交延长线于点，延长交于点，如图所示，根据矩形的判定得到四边形为矩形，结合题意，由特殊角的三角函数值列式求解即可得到答案； （2）先解直角三角形求出，再由小川和小巴运行路线及速度列式求时间，比较长短即可得到答案． 【小问1详解】 解：过点作，交延长线于点，延长交于点，如图所示： 由题意得， 四边形为矩形， 点位于点的北偏东方向80米处， 在中，，米， ∴米，米， 点位于点正南方30米处， 米， 点位于点的正东方100米处， 米， 点位于点的东北方向， 在中，，米， ∴米， ∴（米）， 答：的距离为41米； 【小问2详解】 解：在中，米， 小川沿以米/秒的速度前往四食堂， （秒）； 小巴沿以米/秒的速度前往四食堂， （秒）； ∵， ∴小川先到达四食堂． 23. 如图1，在矩形中，点为中点，连接，，点沿着的方向运动，到点时停止运动，连接，设点运动的路程为，的面积为． （1）直接写出的解析式及自变量的取值范围； （2）在图2中画出的图象，并写出一条的性质； （3）反比例函数如图所示，请直接写出时，自变量的取值范围（结果保留1位小数，误差不超过）． 【答案】（1） （2） 如图所示： 性质：当时，随增大而减小；当时，随增大而增大（答案不唯一）； （3）或 （答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）当点沿着的方向运动时，，则，从而得到；当点沿着的方向运动时，，过点作，如图所示，由列比例式求出即可由三角形面积公式求出的解析式及自变量的取值范围； （2）由（1）中求得的解析式及自变量的取值范围直接作图即可得到答案； （3）由（2）中所在图象，求出两个函数图象的交点横坐标，数形结合求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：当点沿着的方向运动时，设点运动的路程为， ， 在矩形中，，则， ； 当点沿着的方向运动时，设点运动的路程为， ， 过点作，如图所示： ， 在矩形中，，，，则，， ，即， 点为中点， ， 在中，，则由勾股定理可得， ，解得， ； 当点与点重合时，不存在，没有面积； 综上所述，； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：由（2）可知， 、的图象如下： 当时，函数图象在函数图象的上方， 过图象交点作轴的垂线，如图所示： 联立，则，即，解得， 或； 联立，则，即，解得， 或（负值舍去）； 当时，或． 【点睛】本题考查函数综合，涉及矩形性质、相似三角形的判定与性质、求函数表达式、勾股定理、作函数图象、解一元二次方程、利用图象解不等式等知识，数形结合是解决问题的关键． 24. 如图，抛物线与x轴分别交于点A，点B（A在B的左侧），与y轴交于点C，直线的图象过B，C两点，． （1）求抛物线解析式； （2）点P为直线上方抛物线上一点，点D为直线上一动点，连接，，，当面积最大时，求点P的坐标及的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移后过点C，在新抛物线上是否存在一点Q，使，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y （2），的最小值为3 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可； （2）作轴于E，交于F，先直线的解析式为，设，，则，利用二次函数的性质可求得，作轴，作于G，作于H，利用平行线的性质和锐角三角函数可得到，进而由可求解； （3）作轴于W，先根据题意和图象的平移规则得到平移后的抛物线解析式为，设，证明，利用相似三角形的对应边成比例列方程求得x值，进而可求得Q的坐标． 【小问1详解】 解：（1）当时，，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为：y； 【小问2详解】 解：如图1，作轴于E，交于F， 设直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴，设，则 ∴， ∴， ∴当时，， 当时，， ∴， 作轴，作于G，作于H， ∴， ∴， ∴， ∴， 则的最小值为3； 【小问3详解】 解：如图2，作轴于W， 由题意，抛物线向右平移4个单位，向上平移2个单位后， 则平移后的抛物线解析式为， 设， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，（舍去），，（舍去）， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数图象的平移，二次函数与图形面积，线段和的最小值问题，角度问题，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用等知识，作出合适的辅助线是解本题的关键． 25. 在中，，，点为直线上一动点，连接，为上一点，连接． （1）如图1，点为线段上一点，为的中点，若，求的长度． （2）如图2，点在射线上，与线段交于点，将线段绕点逆时针旋转得，且点刚好落在延长线上，连接，若．求证：． （3）在（1）问的条件下，点为直线上一动点，连接，把沿翻折，得到，且点落在所在平面内，连接，当最大时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） 证明：∵和为等腰直角三角形， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∴， 过点作交于点，     ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴， 过点作于点，      设， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴四边形为矩形， ∵将线段绕点逆时针旋转得， ∴， ∴， 即：； （3） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，根据已知得出，根据平行线分线段成比例可得，进而得出，在中，勾股定理，即可求解； （2）根据得出四点共圆，进而可得，过点作交于点，证明，得出则，过点作于点，进而证明四边形为矩形，得出，进而即可得证； （3）由题意得，点在以为圆心，为半径的圆上，连接，当过圆心时最大，此时分别作，，证，根据全等三角形的性质得出，进而根据三角形的面积，即可求解． 【小问1详解】 解：过点作于点， ∵在中，，，， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：把沿翻折，得到， ∴， 点在以为圆心，为半径的圆上， 连接，当过圆心时最大，此时分别作，，垂足分别为，如图所示．   ∵， ∴， 在中， ∴， ∴， 由（1）可得为的中点， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，同弧所对的圆周角相等，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，求一点到圆上的距离的最值问题，正切的定义，矩形的性质与判定，折叠的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $